Performances et stabilité des avions
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Performances et stabilité des avions
Gérard Degrez
Automne
ii
Table des matières
Performances des avions
. Conventions de la mécanique du vol . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.. L’atmosphère standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.. Altitude et vitesse de l’avion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Vol en palier horizontal stabilisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.. Équations d’équilibre — Conséquences immédiates . . . . .
.. Poussée requise, limitations — calcul des performances pour
un avion à réaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.. Puissance requise — calcul des performances pour un avion
à hélice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.. Distance franchissable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.. Endurance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Vol stabilisé incliné (montée/descente) . . . . . . . . . . . . . . . . .
.. Conséquences des équations d’équilibre . . . . . . . . . . . .
.. Cas particulier : le vol plané . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.. Vol motorisé : vitesse ascensionnelle maximum . . . . . . . .
.. Temps de montée. Méthode de l’énergie totale . . . . . . . .
. Manœuvres — Enveloppe de manœuvre . . . . . . . . . . . . . . . .
.. Décollage et atterrissage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.. La ressource — Notion de facteur de charge . . . . . . . . . .
.. Le vol en virage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.. Charges dues aux rafales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stabilité statique et guidage
. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Stabilité statique longitudinale manche fixe . . . . . . . . . . . .
.. Critère de stabilité statique longitudinale et implications
.. Moment de tangage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.. Point neutre manche fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Guidage et stabilité statique manche libre longitudinaux . . . . .
.. Angle de gouverne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.. Couple de charnière et effort dans le manche . . . . . . .
.. Point neutre manche libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
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iv
TABLE DES MATIÈRES
.. Compensateurs et gradient de force dans le manche
. Stabilité statique latérale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.. Notations et remarques préalables . . . . . . . . . . .
.. Stabilité directionnelle et guidage . . . . . . . . . . .
.. Stabilité en roulis et guidage . . . . . . . . . . . . . .
Équations générales du mouvement
. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Les équations du mouvement . . . . . . . . . . . . .
.. Équations d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . .
.. Contribution des rotors . . . . . . . . . . . .
.. Résumé et discussion . . . . . . . . . . . . .
. Théorie des petites perturbations . . . . . . . . . .
.. Linéarisation des équations . . . . . . . . . .
.. Forces et couples aérodynamiques . . . . . .
.. Forme adimensionnelle des équations . . .
.. Dérivées aérodynamiques dimensionnelles
Dérivées de stabilité
. Introduction . . . . . . . . . . .
. Dérivées longitudinales . . . .
.. Dérivées par rapport à α
.. Dérivées par rapport à u
.. Dérivées par rapport à q
.. Dérivées par rapport à α̇
. Dérivées latérales . . . . . . . .
.. Dérivées par rapport à β
.. Dérivées par rapport à p
.. Dérivées par rapport à r
. Résumé . . . . . . . . . . . . . .
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Stabilité dynamique
. Solution générale des équations des petites perturbations . . .
. Modes longitudinaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.. Cas illustratif d’un long-courrier à réaction . . . . . . . .
.. Approximation des modes longitudinaux . . . . . . . . .
.. Stabilité statique longitudinale . . . . . . . . . . . . . . .
.. Effet des conditions de vol sur les modes longitudinaux
. Modes latéraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.. Cas illustratif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.. Approximation des modes latéraux . . . . . . . . . . . .
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TABLE DES MATIÈRES
v
Réponse aux commandes
. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.. Guidage longitudinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.. Guidage latéral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.. Solution des problèmes de réponse aux commandes . . . . .
. Réponse longitudinale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.. Réponse à la gouverne de profondeur . . . . . . . . . . . . . .
.. Réponse à la commande de poussée . . . . . . . . . . . . . .
. Réponse latérale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.. Fonctions de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.. Réponse transitoire aux ailerons et à la gouverne de direction
A L’atmosphère standard
B Aspects physiologiques du vol
C Forme adimensionnelle des équations
vi
TABLE DES MATIÈRES
Introduction
L’objet de ce cours est l’étude du vol atmosphérique, c’est-à-dire du mouvement des avions en vol. Pour cette étude, plusieurs niveaux d’approximation
sont possibles, qui correspondent chacun à des échelles de temps caractéristiques différents :
Point matériel Ce niveau d’approximation correspond à des échelles de temps
caractéristiques longs (plusieurs minutes) et permet, par l’analyse de l’équilibre des forces sur l’avion, de déterminer ses performances.
Solide indéformable On s’intéresse à ce niveau à des échelles de temps caractéristiques moyens (de l’ordre de quelques secondes à quelques dizaines de
secondes). L’analyse de l’équilibre des forces et des moments sur l’avion
permet d’en déterminer les caractéristiques de stabilité et de réponse aux
commandes (guidage).
Solide déformable Ce niveau correspond à des échelles de temps caractéristiques encore plus courts (typiquement inférieurs à la seconde). On s’intéresse alors au couplage entre les modes globaux du mouvement et les
modes de vibration de la structure élastique de l’avion : c’est l’objet de
l’aéroélasticité.
On se limitera dans ce cours aux deux premiers niveaux d’approximation, que
l’on a coutume de rassembler sous le vocable de mécanique du vol.
Évidemment, s’agissant de vol atmosphérique, la majeure partie des forces
et couples s’exerçant sur l’avion sont d’origine aérodynamique. Le cours exige
donc une bonne connaissance des caractéristiques aérodynamiques des surfaces portantes, qui sont étudiées dans les cours de mécanique des fluides (I
et II). À toutes fins utiles, on trouvera une synthèse sur les forces et couples aérodynamiques sur les avions dans les références bibliographiques [–].
INTRODUCTION
Chapitre
Performances des avions
. Conventions de la mécanique du vol
.. L’atmosphère standard
Les performances d’un avion dépendent grandement des propriétés physiques (densité, température, pression) de l’air dans lequel il vole. Pour pouvoir
comparer les performances de divers appareils, on devra les placer dans des
conditions atmosphériques semblables. Pour ce faire, on est convenu d’effectuer les calculs de performances dans une atmosphère standard internationale
(ISA). Cette atmosphère représente assez bien les conditions de température et
de pression moyennes sur l’année pour les climats tempérés d’Europe et d’Amérique du Nord . Les conventions de l’atmosphère standard sont les suivant :
– l’air est assimilé à un gaz parfait avec une constante massique R = 287 J/kg K,
– l’air est sec,
– le vent météorologique est nul (pas de turbulence atmosphérique),
– l’atmosphère est en équilibre hydrostatique, c’est-à-dire
d p = −ρg (h) d h
(.)
où h est l’altitude au-dessus du niveau de la mer. On peut encore réécrire
cette équation d’équilibre sous la forme
d p = −ρg0 dH
(.)
en définissant l’altitude géopotentielle H par dH = g (h)/g0 d h où g0 est
l’accélération de la gravité au niveau de la mer .
Il existe également des atmosphères standard représentant des conditions extrêmes, tropicale
et polaire, voir plus avant.
À titre indicatif, la relation entre altitude vraie et altitude géopotentielle aux latitudes
moyennes est tabulée ci-dessous.
H (m)
h (m)
Chapitre 1. Performances des avions
Avec ces conventions, la spécification de la distribution de température en
fonction de l’altitude (géopotentielle) suffit à déterminer les conditions thermodynamiques en fonction de l’altitude. En effet, en combinant l’équation d’équilibre hydrostatique (.) et l’équation d’état des gaz parfaits p = ρRT , on obtient
g0
dp
=−
dH
p
RT (H)
(.)
qui permet de calculer la distribution de pression pour autant que l’on spécifie
la pression au niveau de la mer, et l’on obtient ensuite la distribution de masse
volumique par application de l’équation des gaz parfaits.
Aux latitudes moyennes (conditions tempérées), la distribution de température de l’atmosphère standard du niveau de la mer à une altitude de km est la
suivante :
Troposphère (0 ≤ H ≤ 11 km) T = 288, 16 − 6, 5H (km)
Stratosphère (11 km ≤ H ≤ 20 km) T = 216, 66
La frontière entre la troposphère et la stratosphère est appelée tropopause. Cette
distribution de température est représentée à la figure suivante, de même que
les distributions de température correspondant aux conditions tropicale et polaire. Avec une pression au niveau de la mer de , kPa, on obtient les expressions suivantes pour la distribution de pression :
Troposphère (0 ≤ H ≤ 11 km) p = 101, 325(1 − 22, 56 10−3 H)5,26
−3 (H−11)
Stratosphère (11 km ≤ H ≤ 20 km) p = 22, 632 e −157,7 10
Ces distributions, ainsi que celles de la masse volumique et de la viscosité sont
tabulées à l’annexe A, en termes de grandeurs relatives par rapport aux conditions au niveau de la mer.
.. Altitude et vitesse de l’avion
L’altimètre
La correspondance biunivoque entre altitude et pression dans l’atmosphère
standard est mise à profit dans l’altimètre de l’avion, qui consiste en un manomètre (mesure de p) dont l’échelle est graduée en mètres (pieds) grâce à
la relation entre pression et altitude. Contrairement aux manomètres de laboratoire qui sont généralement des manomètres à liquide (mercure, eau) et ne
conviennent pas pour les avions, ce sont le plus souvent des manomètres à capsule (type Bourdon) dont la capsule est évacuée et qui se déforment en fonction
de la pression extérieure. La déformation est communiquée à un système d’aiguille qui se déplace sur l’échelle. De nos jours, ces manomètres mécaniques
sont de plus en plus souvent remplacés par des capteurs qui transforment la
pression en signal électrique, mais les manomètres à capsule sont encore couramment employés en aviation générale. Comme l’échelle est graduée à partir
de l’atmosphère standard, le pilote doit effectuer les corrections en fonction des
1.1. Conventions de la mécanique du vol
Fig. . – Distribution de température en fonction de l’altitude dans l’atmosphère
standard internationale
conditions atmosphériques locales. Sur les avions de ligne, ces données, communiquées par les tours de contrôle, sont intégrées par les ordinateurs de bord,
qui effectuent automatiquement les corrections.
L’indicateur de vitesse
La vitesse de l’avion est déterminée par un tube de pitot situé au nez de
l’avion ou attaché à une aile. La différence de pression mesurée peut être reliée au nombre de Mach de vol par les relations suivantes (voir Mécanique des
fluides, e partie).
Chapitre 1. Performances des avions
subsonique
γ
∆p
γ − 1 2 γ−1
= (1 +
M ) −1
p
2
Saint-Venant
supersonique On a dans ce cas une onde de choc devant le tube de pitot, de
sorte que la relation devient
µ
¶ γ µ
¶ 1
γ−1
∆p
(γ + 1)M 2 γ−1
γ+1
−1
Rayleigh
=
2
p
2
2γM − (γ − 1)
En mesurant simultanément ∆p et p (par exemple avec l’altimètre), on peut
donc déterminer le nombre de Mach de vol M. L’appareil basé sur ce principe
est le machmètre. Si l’on mesurait aussi la température T , on pourrait calculer la
p
vitesse vraie V (= Ma = M γRT , où a est la vitesse du son). Si l’on ne mesure
que ∆p, on peut calculer une vitesse dite vitesse conventionnelle (Calibrated Air
Speed) Vc en calculant un nombre de Mach fictif M̃ à partir de ∆p et de p0 (pression au niveau de la mer en atmosphère standard), que l’on multiplie ensuite
par a0 (vitesse du son au niveau de la mer). C’est cette vitesse qui est affichée à
l’indicateur. Pour les faibles nombres de Mach, on peut linéariser l’équation de
Saint-Venant :
∆p γM̃ 2
=
p0
2
→
Vc2 = M̃ 2 γRT0 =
2∆p
2∆p
RT0 =
p0
ρ0
(.)
Pour les avions volant à basse vitesse, l’échelle de l’indicateur de vitesse suit de
près cette relation approchée.
Finalement, on introduit le concept supplémentaire de vitesse équivalente
ou équivalent de vitesse (Equivalent Air Speed) VE définie par
VE2 =
ρ 2 2q̄
V =
ρ0
ρ0
ou
VE =
p
σV
(.)
Cette vitesse n’est pas directement accessible par la mesure de ∆p mais elle
s’avère très utile pour les calculs puisque les coefficients aérodynamiques utilisent la pression dynamique q̄ (= ρ0 VE2 ) comme pression de normalisation. Aux
faibles nombres de Mach (pour lesquels l’équation de Bernoulli est applicable),
q̄ ' ∆p, de sorte que VE ' Vc . Aux autres nombres de Mach, on calcule d’abord
V à partir de Vc et de T et on calcule ensuite VE par sa définition. Signalons qu’il
existe une grande confusion à propos de ces diverses vitesses dans plusieurs ouvrages, dont celui de Houghton et Carruthers précédemment cité [].
. Vol en palier horizontal stabilisé
.. Équations d’équilibre — Conséquences immédiates
Équations d’équilibre
Pour des avions qui possèdent un plan de symétrie (de loin le cas le plus fréquent, bien qu’il existe certaines configurations asymétriques), l’équilibre trans-
1.2. Vol en palier horizontal stabilisé
versal est automatiquement assuré par la symétrie de la configuration, de sorte
qu’il suffit d’étudier l’équilibre dans le plan de symétrie. La configuration et le
système de forces sont représentées à la figure suivante dans le cas plus général du vol incliné, où l’on fait pour la première fois apparaître les trois sysθ angle d’assiette : angle entre l’axe de
l’avion et l’horizontale géographique
(attitude)
α incidence : angle entre la direction
de la vitesse (vent) et l’axe de l’avion
γ pente : angle entre la direction de la
vitesse et l’horizontale géographique
(γ = 0 en vol horizontal)
Avec ces définitions, des trois angles
sont reliés entre eux par
θ = γ+α
(.)
Fig. . – Vol stabilisé — cas général
tèmes d’axes employés en mécanique du vol, à savoir les axes aérodynamiques
(wind axes) xa , ya , za définis par l’alignement de l’axe xa avec le vecteur vitesse
de l’avion, les axes liés à l’avion (body axes) x, y, z (par exemple les axes principaux d’inertie de l’avion) et enfin les axes liés à la terre (earth axes) x0 , y0 , z0 dont
l’axe z0 est aligné avec l’accélération de la gravité. On donnera les définitions
complètes des trois systèmes d’axes dans la deuxième partie de ce cours.
Dans le schéma, on a représenté la force de propulsion inclinée d’un angle
αT 6= α avec la direction de la vitesse, de sorte qu’elle fait un angle ε = α − αT
avec l’axe de l’avion. Puisque la force de propulsion est solidaire de l’avion, on
peut alternativement définir l’axe de l’avion comme étant l’axe d’application de
la force de propulsion mais il faut alors en tenir compte pour l’évaluation des
efforts aérodynamiques.
Équilibre selon za
P cos γ − L − T sin αT = 0
(.)
T cos αT − D − P sin γ = 0
(.)
Équilibre selon xa
Pour un vol horizontal à incidence modérée (αT ¿ 1), T ' D. Or, en configuration normale D ¿ L, de sorte que T sin αT ¿ L. En négligeant ce dernier terme,
on obtient les équations simplifiées
P −L = 0
T −D = 0
(.)
Chapitre 1. Performances des avions
Conséquences
Avec les définitions des coefficients aérodynamiques
CL =
L
q̄S
CD =
D
q̄S
on obtient, en résolvant l’équation d’équilibre en sustentation pour la vitesse
s
V=
2P
ρSCL
(.)
Pour une charge alaire (P/S) et une altitude données, la vitesse ne dépend que
du coefficient de portance, c’est-à-dire de l’incidence. Comme le coefficient de
portance est fonction croissante de l’incidence, il en résulte que la vitesse est
une fonction décroissante de l’incidence.
Avec la définition de la vitesse équivalente (.), on obtient
s
VE =
2P
ρ0 SCL
(.)
et l’on constate que VE ne dépend pas de l’altitude mais uniquement de l’incidence. Pour le pilote, comme VE est directement reliée à l’incidence de l’avion,
elle a une signification physique plus immédiate que V . À faible nombre de
Mach, puisque VE ' Vc , l’indicateur de vitesse donne donc une indication utile
de la configuration de vol.
.. Poussée requise, limitations — calcul des performances pour un
avion à réaction
Poussée requise
En divisant les deux équations (.) on obtient
T CD
=
P CL
et, puisque P est une donnée, on voit que T est proportionnel à CD /CL . Pour
des vitesses modérées, ce rapport ne dépend que de l’incidence α (plus généralement, il faudrait tenir compte également des effets des nombres de Reynolds
et de Mach) ou encore de la vitesse équivalente, étant donné la relation entre
incidence et vitesse équivalente. À partir de la polaire de l’avion (courbe CL en
fonction de CD graduée en incidence), on peut facilement déterminer la fonction
CD /CL (VE ), que l’on a représenté ci-dessous. On s’aperçoit que, pour une poussée T donnée, il existe deux configurations de vol possibles, une correspondant
au régime lent et l’autre au régime rapide et qu’il existe une vitesse équivalente
(incidence) particulière pour laquelle la poussée requise est minimale.
1.2. Vol en palier horizontal stabilisé
Fig. . – Poussée requise au vol en palier
La polaire des avions est en général bien approchée par une expression de la
forme
CD = CD,0 + kCL2
(.)
où CD,0 est la traînée dite parasite, essentiellement visqueuse, et le deuxième
terme est la traînée de portance, traînée induite et traînée d’onde pour les vols
supersoniques. Avec une telle expression, on peut déterminer analytiquement le
CL correspondant à la traînée minimum et donc à la poussée requise minimum.
CD,0
d(CD /CL )
→
=− 2 +k =0
dCL
CL
s
CD,0
CL,T min =
CD,T min = 2CD,0
k
CD
CL
¶
=
q
4kCD,0
(.)
min
Remarquez que la configuration de traînée minimale correspond à l’égalité de
la traînée parasite et de la traînée de portance.
Limitations
Décrochage De l’équilibre en sustentation, on a
s
VE =
2P
ρ0 SCL
Chapitre 1. Performances des avions
Or, CL prend une valeur maximum au décrochage (= CL,max ). On en déduit qu’il
existe une valeur minimale de la vitesse
s
2P
(.)
VE ,min =
ρ0 SCL,max
indépendante de l’altitude et qui peut donc être inscrite sur l’indicateur de vitesse . On a en général deux valeurs de VE ,min selon que les volets hypersustentateurs sont déployés ou non. Dans la pratique, on impose une limite inférieure
de vitesse égale à 1, 3VE ,min et c’est à cette vitesse qu’on atterrit.
Vitesse maximum La vitesse maximum atteignable est donnée par la poussée
maximum disponible. Avec l’expression approchée de la traînée (.), on obtient
1 Tmax
CL,Vmax =
(
−
2k P
sµ
Tmax
P
s
¶2
− 4kCD,0 )
→
VE ,max =
2P
ρ0 SCL,Vmax
(.)
Performances en vol stabilisé — Domaine de vol Pour déterminer les performances d’un avion, il faut superposer à la courbe CD /CL (VE ) les courbes de
poussée du moteur en fonction de l’altitude et de la position de la manette des
gaz. Le calcul des performances en termes de poussée convient particulièrement bien aux avions turboréactés pour lesquels la poussée varie peu avec la vitesse (voir figure). À chaque altitude, on détermine ainsi une vitesse équivalente
Fig. . – Courbes de poussée disponible pour les hélices entraînées par moteur
à piston et pour les turboréacteurs
maximum et minimum (le plus souvent fixée par la limite de décrochage) et on
peut calculer les vitesses vraies correspondantes. Ceci définit dans le plan H, V
une courbe appelée l’enveloppe de vol stabilisé et qui contient le domaine de
vol. On observe sur l’enveloppe de vol l’avantage de voler en altitude : la vitesse
maximale est atteinte en altitude, pour une poussée et donc une consommation
plus faible. On déterminera de telles enveloppes de vol aux exercices.
En aviation générale, il existe également un avertisseur sonore qui prévient le pilote lorsqu’il
s’approche trop de cette limite.
1.2. Vol en palier horizontal stabilisé
Fig. . – Enveloppe de vol typique
Stabilité de propulsion Examinons ce qui se passe si l’on perturbe légèrement
un vol stabilisé, Supposons que l’avion subisse une perturbation de vitesse ∆V .
régime rapide Si ∆V > 0, on voit que CD /CL augmente, alors que T /P reste
constant. L’avion a donc tendance à ralentir, le régime de vol est statiquement stable.
régime lent En effectuant le même raisonnement, on constate que le régime
lent est statiquement instable. C’est donc un régime dangereux, qu’il convient
d’éviter, particulièrement lors des phases de décollage ou d’atterrissage.
En effet, si la vitesse tombe sous la vitesse de poussée requise minimale,
il n’est pas toujours possible d’augmenter la poussée (en poussant la manette) suffisamment ou assez vite pour éviter le décrochage. On pourrait
penser que cette limitation est plus restrictive que la limitation liée au décrochage mais à l’atterrissage, en raison du déploiement des spoilers, volets et train d’atterrissage, le CD,0 augmente brutalement, ce qui déplace le
CL,T min vers le haut et élargit donc la zone de régime rapide vers les basses
vitesses.
.. Puissance requise — calcul des performances pour un avion à
hélice
Puissance requise
Pour les avions à hélice, il est plus commode d’exprimer les caractéristiques
du moteur en termes de puissance, car pour ce type de propulsion, la puissance
fournie dépend peu de la vitesse (voir figure). Il faut donc évaluer la puissance
requise au vol. Celle-ci s’exprime par
W =TV
(.)
Chapitre 1. Performances des avions
Fig. . – Courbes de puissance disponible pour les hélices entraînées par moteur à piston et pour les turboréacteurs
et, puisque
s
T CD CD,0
=
=
+ kCL
P CL
CL
V=
et
2P
ρSCL
il en résulte que
s
W =P
3/2
ou encore
s
W
ρ
= P 3/2
ρ0
2 CD
ρS CL3/2
s
(.)
2 CD
ρ0 S CL3/2
(.)
dont le membre de droite est indépendant de l’altitude et peut être porté en
graphique en fonction de la vitesse équivalente. Calculons, pour une altitude
donnée, la puissance minimum requise au vol.
d(CD /CL3/2 )
dCL
=−
s
CL,W min =
3 CD,0 1 k
+
=0
2 CL5/2 2 CL1/2
3CD,0
k
CD,W min = 4CD,0
→
CD
!
CL3/2 min
=
4CD,0
(3CD,0 /k)3/4
(.)
On constate que CL,W min > CL,T min et donc que VE ,W min < VE ,T min .
Calcul des performances en termes de puissance
Semblablement à ce qui a été fait sur le diagramme de poussée, les régimes
de vol possibles et donc l’enveloppe de vol peuvent se calculer en reportant les
caractéristiques du propulseur sur le diagramme de puissance requise multip
pliée par σ.
Pour les avions à hélice, on peut faire les observations suivantes :
– Du fait que VE ,W min < VE ,T min et que d’autre part la puissance disponible ne
croît que légèrement avec la vitesse pour les avions à hélice (voir Fig. .),
il n’y a quasiment pas de régime lent pour ces appareils. Il y a donc peu de
risques d’instabilité de propulsion.
1.2. Vol en palier horizontal stabilisé
Fig. . – Puissance requise au vol en palier
– Du fait que la puissance disponible est approximativement proportionp
nelle à la masse volumique, Wdisp σ ∝ σ3/2 décroît rapidement avec l’altitude. Il en résulte que le plafond est généralement plus faible pour les
avions à hélice que pour les avions à réaction. En outre, l’enveloppe de vol
est moins penchée vers les hautes vitesses comme illustré ci-dessous pour
le Cherokee Arrow . Il est donc moins intéressant de voler en altitude.
.. Distance franchissable
Définitions
La connaissance du vol en palier horizontal stabilisé va nous permettre de
calculer approximativement la distance franchissable ou encore rayon d’action
de l’avion. Il existe trois définitions du rayon d’action.
Rayon d’action de sécurité Distance horizontale maximum entre deux aéroports
que peut parcourir un avion de manière sécuritaire en effectuant un service régulier et fiable. Pour calculer ce rayon d’action, il faut tenir compte
Noter la limite de décrochage qui apparaît très clairement.
Chapitre 1. Performances des avions
Fig. . – Enveloppe de vol pour le Cherokee Arrow
d’énormément de facteurs comme
– carburant consommé au décollage,
– montée initiale/descente finale,
– règles de sécurité qui exigent de conserver à tout moment suffisamment
de carburant pour pouvoir se détourner,
– conditions météo défavorables (vent de face),
– ...
Ceci rend le calcul extrêmement long et complexe. C’est pourquoi on utilise également deux définitions simples mais nécessairement plus artificielles, qui sont surtout utiles pour comparer deux appareils entre eux.
Rayon d’action SAR (still air range) On suppose que l’avion décolle réservoir
plein, rejoint ses conditions de vol de croisière (altitude, vitesse) et poursuit son vol jusqu’à épuisement du carburant. Le SAR est la distance franchie, à l’exclusion du décollage.
Rayon d’action GSAR (gross still air range) On considère un scénario encore plus
simple : soit l’avion initialement dans les conditions de vol de croisière, réservoirs pleins. Le GSAR est la distance qu’il franchirait en palier jusqu’à
épuisement du carburant. Ce concept est évidemment extrêmement artificiel mais il offre l’avantage d’être très simple à calculer et de fournir les
tendances du rayon d’action avec divers paramètres.
1.2. Vol en palier horizontal stabilisé
Calcul du rayon d’action pour un avion à réaction
Pour un avion à réaction, on définit la consommation spécifique comme
·
¸
kg/s
ṁc débit de carburant
=
(.)
c=
T
poussée
N
Elle est en première approximation constante lorsque la vitesse varie. On aura
alors
dP
= −g cT
(.)
dt
Or, en palier, T = P(CD /CL ). Donc,
dP
g cCD
=−
P
dt
CL
ou encore
dt = −
CL dP
g cCD P
(.)
Pendant un temps d t , l’avion parcourt une distance d x = V d t , d’où
dx = −
CL dP
CL V
=−
dm
g cCD P
cCD P
(.)
Cette relation permet de définir deux grandeurs :
le rayon d’action spécifique (RAS) : distance parcourue en brûlant une unité de
masse de carburant
· ¸
m
CL V
(.)
RAS =
cCD P
kg
le rayon d’action spécifique unitaire (RASU) : distance parcourue en brûlant une
unité de masse de carburant par unité de masse de l’avion
RASU =
CL V
g cCD
[m]
(.)
En supposant un RASU constant, on peut intégrer l’équation (.) pour obtenir
X (GSAR) =
CL V
P1
ln
g cCD P2
(.)
où P1 est le poids initial de l’avion et P2 le poids après épuisement du carburant.
Cette formule est connue dans la littérature sous le nom de formule de BréguetLeduc, bien que ses origines réelles soient obscures []. Elle permet d’étudier
qualitativement comment on peut améliorer le rayon d’action, à savoir
– augmenter CL /CD : tâche de l’aérodynamicien,
– diminuer c : tâche du motoriste,
– augmenter ln PP12 , soit en augmentant la taille des réservoirs, soit en réduisant le poids à vide, ce qui est la tâche du structuriste.
En toute généralité, pour intégrer (.), il faut faire une hypothèse sur le scénario de vol. Les trois variables CL , V et ρ étant liées par l’équilibre en sustentation, seules deux peuvent être fixées librement. On a donc scénarios possibles
avec deux de ces grandeurs constantes, à savoir
Chapitre 1. Performances des avions
. ρ (altitude) et CL constants,
. V et CL constants, et
. ρ (altitude) et V constants.
et ce n’est que pour le deuxième scénario que le RASU est constant (en supposant la consommation spécifique c indépendante de l’altitude et de la vitesse). Comme le poids diminue au cours du vol, il faut dans ce deuxième scénario que ρ diminue proportionnellement, c’est-à-dire que l’avion monte. C’est
pourquoi on nomme ce scénario croisière ascendante. Puisque le coefficient de
portance et donc la finesse sont constants, la poussée doit diminuer également
proportionnellement au poids et donc à ρ. Ceci se réalise très facilement dans
la stratosphère car dans la stratosphère, T ∝ ρ à position de la manette des
gaz constante. Ce n’est pas le cas dans la troposphère et par conséquent, pour
réaliser le scénario de croisière ascendante dans la troposphère, le pilote doit
constamment ajuster la position de la manette des gaz afin de faire varier T proportionnellement à ρ.
On peut obtenir l’expression analytique du rayon d’action pour les deux autres
scénarios également [], et l’on constate que, parmi les trois scénarios, c’est la
croisière ascendante qui fournit le plus grand rayon d’action. En pratique toutefois, ce scénario n’est en général pas autorisé par les autorités du contrôle aérien,
mais bien plutôt le scénario ρ, V constants. Pour bénéficier de l’avantage fourni
par le scénario de croisière ascendante, on peut s’en approcher par un vol à altitude constante par morceaux. Cette méthode est couramment utilisée pour les
vols long-courriers comme les vols transcontinentaux ou transocéaniques.
Calcul du rayon d’action pour un avion à hélice
Pour un avion à hélice, on utilise la notion d’efficacité du moteur plutôt que
la notion de consommation spécifique, à savoir
ηm =
Wm
Puissance [W]
=
qc L débit de carburant [kg/s] pouvoir calorifique [J/kg]
car ηm dépend peu de la vitesse. On peut alors écrire
g qc = −
dP
Wm
=g
dt
ηm L
(.)
Le rendement de propulsion ηp étant lui défini comme le rapport entre la puissance propulsive W = T V et la puissance mécanique à l’arbre du moteur Wm ,
on en déduit
dP
TV
g P CD
=−
= −g
V
dt
ηp ηm L
ηL CL
| {z }
η
et donc
dx = −
ηL CL dP
g CD P
RASU =
ηL CL
g CD
(.)
1.2. Vol en palier horizontal stabilisé
Optimisation du rayon d’action
Avion à réaction Pour optimiser le rayon d’action, il faut maximiser à chaque
moment le rapport VCL /CD . Or, comme on l’a mentionné précédemment, parmi
les trois variables ρ, V et CL , deux sont indépendantes. Le problème d’optimisation dépendra donc de la contrainte (relation entre les variables indépendantes)
imposée.
. Optimisation à ρ imposé
ρ étant imposé, l’optimum s’obtient par
µ
¶
d VCL
=0
dCL CD ρ
Comme V est lié à CL par l’équation de sustentation,
C 1/2
VCL
∝ L
CD
CD
Avec la polaire parabolique, on obtient alors l’optimum pour
s
s
·
¸
CD,0
2P 3k 1/4
→
Vrao =
CL )rao =
3k
ρS CD,0
(.)
Il faut remarquer que ce n’est pas parce que ρ est imposé qu’il est constant
au cours du vol. C’est le cas dans les scénarios et , mais pas pour la
croisière ascendante. Dans ce dernier cas, ρ évolue au cours du vol, mais
sans être néanmoins une variable pour l’optimisation, car son évolution
est entièrement régie par l’évolution du poids P.
. Optimisation à position de la manette des gaz imposée
La contrainte d’une position de la manette des gaz fixe impose une relation entre la vitesse V et les coefficients aérodynamiques. En effet, on a,
par l’équation de propulsion
T (ρ, Π) = ρ
V2
SCD
2
Si l’on suppose qu’à position de la manette des gaz (Π) donnée la poussée
T soit proportionnelle à ρ, ce qui est le cas dans la stratosphère comme on
l’a mentionné précédemment, ceci devient
T0 (Π) = ρ0
V2
SCD
2
→
V ∝ CD−1/2
→
VCL
CL
∝ 3/2
CD
CD
Avec la polaire parabolique, on obtient alors l’optimum pour
s
s
·
¸
CD,0
2P 2k 1/4
CL )rao =
→
Vrao =
2k
ρS CD,0
(.)
Chapitre 1. Performances des avions
L’altitude correspondant à l’optimum résulte alors de l’équation de sustentation
2P
ρ= 2
V SCL
. Optimisation à V imposée
Dans ce cas, la solution est élémentaire, l’optimum est atteint pour l’incidence de finesse maximum. Dans ce cas également, ρ est déduit de l’équilibre en sustentation.
Parmi ces trois optimisations, c’est certainement la première qui a le plus de
signification pratique. Examinons l’influence de diverses variables sur le rayon
d’action optimum donné par la formule de Breguet-Leduc (croisière ascendante)
dans ce cas.
CL Vrao P1
X opt =
ln
g cCD
P2
q
Comme Vrao ∝ PS (aussi bien pour l’optimisation à position de manette des
gaz imposée qu’à altitude imposée d’ailleurs), il apparaît que le rayon d’action
est fonction croissante de la charge alaire P/S (que l’on augmente en réduisant
la surface alaire, pas en augmentant le poids !). L’augmentation du rayon d’action est donc un objectif en contradiction avec la réduction de la vitesse d’atterrissage (décollage/atterrissage courts). Des valeurs typiques de la charge alaire
sont de l’ordre de à Nm−2 ( à kgm−2 ) pour les avions de ligne
long-courriers, de Nm−2 pour les court-courriers et les chasseurs, et de
k 1/4
à Nm−2 pour l’aviation générale. Enfin, comme Vrao ∝ [ CD,0
] mais que par
ailleurs (CL /CD )rao ∝ [kCD,0 ]−1/2 , on augmente le rayon d’action en réduisant k
(c’est-à-dire en augmentant l’allongement) mais surtout CD,0 .
Avion à hélice Dans le cas de l’avion à hélice, la vitesse n’intervenant pas dans
l’expression du RASU, le rayon d’action maximum s’obtient en maximisant la
finesse CL /CD , quelle que soit la contrainte imposée (altitude, position de la manette des gaz ou vitesse).
.. Endurance
L’endurance est le temps de vol correspondant au rayon d’action GSAR. Pour
un avion à réaction, on avait (.)
dP
= −g cT
dt
Pour une incidence donnée et en considérant une consommation spécifique
constante, on obtient en intégrant
T=
P1
CL
ln
g cCD P2
(.)
1.3. Vol stabilisé incliné (montée/descente)
et l’on voit que l’endurance est optimisée à l’incidence de finesse maximum.
Pour un avion à hélice, on avait
g P CD
dP
=−
V
dt
ηL CL
→
dt = −
ηL CL dP
g VCD P
ηL
CL
L’endurance est donc optimisée en maximisant g VC
, et il faut spécifier une reD
lation entre les variables indépendantes pour définir précisément le problème
d’optimisation. Pour une altitude imposée (cas le plus intéressant en pratique),
V ∝ CL−1/2 de sorte qu’il faut maximiser le rapport CL3/2 /CD , soit le même problème que pour obtenir une puissance requise minimale .
. Vol stabilisé incliné (montée/descente)
.. Conséquences des équations d’équilibre
Comme pour le vol horizontal, on simplifie les équations d’équilibre (.–.)
en négligeant T sin αT par rapport à L et en supposant cos αt ≈ 1, qui deviennent
dès lors
P cos γ − L = 0
(.)
T − D − P sin γ = 0
Examinons à présent les conséquences de nos hypothèses de vol incliné stabilisé. Ces conditions s’expriment mathématiquement par V = cste, γ = cste.
Comme
V2
P cos γ = L = ρ SCL ,
2
il en résulte que le produit ρCL doit rester constant (en ignorant la variation de
masse due à la consommation de carburant). Pour un vol en montée (γ > 0),
on en déduit que la diminution de ρ au cours du vol doit s’accompagner d’une
augmentation de l’incidence, c’est-à-dire qu’il faut tirer sur le manche au fur et
à mesure que l’on monte.
D’autre part, l’équation de propulsion donne
T = P sin γ +
CD
CD
L = P sin γ +
P cos γ
CL
CL
En régime rapide, CD /CL diminue lorsque l’incidence augmente. D’autre part,
ρ diminue. Cet effet étant en général prépondérant, le pilote devra donc augmenter les gaz. On voit que la manœuvre considérée est loin d’être simple (elle
nécessite d’ajuster simultanément l’incidence et la manette des gaz) et, pour la
réaliser, le pilote doit surveiller son indicateur de vitesse ascensionnelle (variomètre). C’est pourquoi on doit parfois tenir compte des variations de vitesse ( dV
)
dt
Ceci est assez logique car, la puissance étant une énergie par unité de temps, pour une énergie
donnée (l’énergie de combustion contenue dans le carburant), le temps est maximisé en minimisant la puissance consommée
Chapitre 1. Performances des avions
dγ
et de pente ( d t ), qui font apparaître dans les équations d’équilibre des termes
d’inertie
sustentation P cos γ − L =
P V2 P
P dγ
= Vω=− V
g R
g
g dt
(.)
propulsion
P dV
T − D − P sin γ =
g dt
Dans cette section, on supposera la manœuvre parfaite et donc les termes d’inertie négligeables.
.. Cas particulier : le vol plané
Dans ce cas, il n’y a pas de poussée (T = 0), de sorte que les équations deviennent
P cos γ − L = 0
(.)
−D − P sin γ = 0
dont on déduit directement
tan γ = −
D
CD
=−
L
CL
(.)
Considérons le cas d’un avion à une altitude H donnée et dont les moteurs s’arrêtent brutalement. Il va commencer à planer. La distance qu’il va parcourir
avant d’atteindre le sol sera
Z 0
dH
X=
tan
γ
H
Si l’on désire maximiser cette distance (rayon d’action maximum en vol plané),
il faudra minimiser | tan γ|. L’équation (.) nous montre que ceci est obtenu à
l’incidence de finesse maximum, et que la pente minimum est indépendante de
l’altitude et du poids de l’avion. Il ne sert donc à rien de jeter du lest dans l’espoir
d’aller plus loin.
Calculons à présent la vitesse de descente.
wd = −V sin γ
Mais − sin γ = − cos γ tan γ = cos γCD /CL . Déduisant la vitesse de l’équation de
sustentation, on obtient
s
s
2P cos γ
CD
2P CD
wd =
cos γ
=
cos γ3/2
(.)
ρSCL
CL
ρS CL3/2
dans laquelle le dernier terme peut être négligé pour les faibles angles de descente. On en déduit que la vitesse de descente dépend effectivement du poids
de l’avion ainsi que de l’altitude. Pour un poids et une altitude donnés, on minimise wd (ce qui est équivalent à maximiser le temps en l’air, c’est-à-dire l’endurance) à l’incidence minimisant CD /CL3/2 , soit l’incidence de puissance requise
1.3. Vol stabilisé incliné (montée/descente)
pour le vol horizontal minimale (voir section ..). Cette situation est parfois recherchée par les pilotes de planeur qui désirent rester en l’air le plus longtemps
possible dans l’espoir d’amélioration des conditions météorologiques (apparition d’ascendances).
Pour des angles de descente plus importants, il faut tenir compte du facteur
cos γ3/2 . On peut consulter à ce sujet l’ouvrage de Houghton et Carruthers [],
section ... On pourra consulter la même référence (section ..) pour un
calcul complet du temps de descente d’un planeur.
.. Vol motorisé : vitesse ascensionnelle maximum
Reprenons les équations d’équilibre simplifiées (.)
P cos γ − L = 0
T − D − P sin γ = 0
De la deuxième de ces deux équations, on tire la pente
sin γ =
T −D
P
(.)
et, en multipliant par la vitesse, on obtient la vitesse ascensionnelle wa = V sin γ.
Point de vue de l’avion à réaction Nous allons tenter de déterminer dans quelles
conditions d’incidence on pourra obtenir une vitesse ascensionnelle maximum avec un avion à réaction (T indépendant de V ).
Faisons l’hypothèse de faibles angles de montée (cos γ ≈ 1). Il en résulte
L ≈ P, de sorte que
T − D T CD
sin γ =
= −
P
P CL
On en déduit que l’angle de montée maximum est obtenu à l’incidence
de finesse maximum. Cette condition de vol peut avoir une signification
pour le décollage ou l’atterrissage avorté. Multipliant par V , on obtient la
vitesse ascensionnelle
s
µ
¶
2P cos γ T CD
wa =
−
ρSCL
P CL
Pour maximiser la vitesse ascensionnelle, il faudra donc maximiser le produit CL−1/2 (T /P−CD /CL ). Avec une polaire parabolique, cela conduit à l’équation
1 T −3/2 3 CD,0 1 −1/2
−
C
+
− kC
=0
2P L
2 CL5/2 2 L
soit, en multipliant par CL5/2 ,
kCL2 +
T
CL − 3CD,0 = 0
P
(.)
Chapitre 1. Performances des avions
qui est une équation du second degré en CL assez simple à résoudre. Remarquons que T /P variant avec l’altitude, la vitesse ascensionnelle maximum sera atteinte pour des incidences qui varieront avec l’altitude.
Exemple . Considérons un avion de polaire parabolique dont les caractéristiques sont les suivantes :
¶
CL
= fmax = 12
VE ,T min = 110 ms−1
P = 100 kN
CD max
et dont la poussée varie comme suit avec l’altitude
H (km)
T (kN)
.
.
.
.
.
Calculons la vitesse ascensionnelle maximum à ces diverses altitudes. Réécrivons tout d’abord (.) en faisant apparaître le rapport λ = CL /CL,T min .
2
2
kCL,T
min λ +
T
CL,T min λ − 3CD,0 = 0
P
2
Or, kCL,T
min = CD,0 et
CL,T min CD,T min 2CD,0
=
=
P
Tmin
Tmin
de sorte qu’en simplifiant par CD,0 on obtient finalement
λ2 + 2
T
Tmin
λ−3 = 0
où Tmin = P/ fmax = 8.33 kN. On calcule alors aisément wa,max . Comme CD =
2
CD,T min 1+λ
2 =
1+λ2
2 CL,T min / fmax ,
s
µ
¶ s
µ
¶
1 1 + λ2
2P T CD
2P
T
wa,max =
−
=
λ−1/2
−
ρSCL P CL
ρSCL,T min
P 2 fmax λ
s
µ
2¶
2P
T
1 1+λ
1
=p
λ−1/2
−
P 2 fmax λ
σ ρ0 SCL,T min
¶
µ
VE ,T min −1/2 T
1 1 + λ2
−
= p
λ
P 2 fmax λ
σ
Avec les données ci-dessus, on obtient
H (km)
λ
wa,max (ms−1 )
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Le plafond absolu de . km est assez académique et l’on préfère définir un
plafond de service (de manœuvre) qui est l’altitude à laquelle wa,max prend
une valeur prescrite ( m/min = . ms−1 ). À cette altitude, l’avion dispose
d’une certaine réserve de manœuvre qui peut s’avérer nécessaire.
Point de vue de l’avion à hélice Lorsque l’angle de montée est faible (< 13◦ ), les
changements de portance, traînée et vitesse causées par l’inclinaison de
la trajectoire peuvent être négligés. Dès lors, la puissance requise pour
1.3. Vol stabilisé incliné (montée/descente)
vaincre la traînée diffère peu de celle du vol horizontal dans les mêmes
conditions d’altitude et de vitesse (c.-à-d. d’incidence). Dans ces conditions, si dans une configuration de vol donnée, on dispose d’un excès de
puissance ∆W , celui-ci provoquera une vitesse ascensionnelle wa telle
que wa P = ∆W , ce que l’on voit immédiatement en multipliant (.) par
V,
T − D Wdisp − Wreq ∆W
wa = V sin γ = V
=
=
P
P
P
Pour maximiser la vitesse ascensionnelle, il faut donc maximiser ∆W . Si
l’on prend comme hypothèse simplificatrice que la puissance disponible
est indépendante de la vitesse, alors le taux de montée maximum est obtenu dans la configuration de puissance requise minimale (voir section ..).
L’angle de montée maximum peut être calculé et conduit à la résolution
d’une équation non-linéaire []. On consultera également l’ouvrage de Houghton et Carruthers pour les corrections exigées par les angles de montée
importants.
.. Temps de montée. Méthode de l’énergie totale
Dans le paragraphe précédent, on a calculé la vitesse de montée avec l’hypothèse d’un vol stabilisé (V = cste) mais par ailleurs, on avait vu que réaliser une
telle configuration de vol nécessitait une manœuvre difficile. En tenant compte
des effets d’accélération mais en supposant toujours γ = cste, les équations du
mouvement sont
P cos γ − L = 0
P dV
T − D − P sin γ =
g dt
(.)
La deuxième équation peut se réécrire comme suit
T − D = P sin γ +
P dV
P
P dV d h
P
V dV
= wa +
= wa (1 +
)
g dt
V
g dh dt
V
g dh
par définition de wa = d h/d t . Résolvant pour wa , il vient
wa = V
T −D
P(1 + Vg
dV
)
dh
(.)
Si l’on emploie cette formule dans le cas de l’avion à réaction considéré précédemment, on obtient, à l’altitude de km, un écart de , % sur la valeur de wa ,
ce qui est loin d’être négligeable.
Pour beaucoup d’avions, en particulier les avions de chasse, ce que l’on requiert est qu’ils atteignent le plus rapidement possible une altitude et une vitesse
données. La trajectoire de montée sera constituée des phases suivantes :
. à l’altitude de départ, transition aux conditions optimales de montée,
Chapitre 1. Performances des avions
. trajectoire optimum de montée,
. à l’altitude finale, transition à la vitesse prescrite.
Pour analyser ce problème, il est commode d’introduire le concept de hauteur
totale. Reprenons l’équation de propulsion (.). On a
·
¸
P d he
V2
P d h V dV
+
=
où he = h +
(.)
T −D =
V dt
g dt
V dt
2g
et l’on appelle he la hauteur totale. Elle est intimement liée à l’énergie mécanique totale de l’avion
E = mg h + m
V2
= mg he = Phe
2
Pour obtenir le temps de montée minimum, il faudra, à chaque altitude, se trouver au point où d he /d t est maximum. Ceci peut se représenter graphiquement
de la manière suivante. En chaque point de l’enveloppe de vol, on calcule
d he V (T (ρ, 1) − D)
=
dt
P
où T (ρ, 1) représente la poussée maximum (position de la manette des gaz à
fond, Π = 1) à l’altitude considérée. D’autre part, D se calcule aisément à partir
de la polaire et de l’équilibre en sustentation. Comme on a négligé les variations
de pente, et en supposant par ailleurs l’angle de montée faible, on a
L=P =ρ
V2
SCL
2
de sorte qu’on peut calculer CL en chaque point de l’enveloppe de vol. On déduit CD de l’expression de la polaire, ce qui permet finalement de calculer D. On
porte alors en graphique dans le plan h, V les courbes iso-d he /d t , que l’on appelle parfois courbes iso-réserve de manœuvre, d he /d t étant appelée la réserve
de manœuvre. On porte sur le même graphique les courbes iso-he , qui sont des
paraboles. On en donne des exemples à la figure suivante, pour le cas d’un appareil soussonique hypothétique et d’un chasseur supersonique ancien (Lockheed
F-G), avec la trajectoire de montée optimale, qui est le lieu des points où les
courbes iso-he sont tangentes aux courbes iso-réserve de manœuvre. Dans le
cas du chasseur supersonique, on constate que la trajectoire de montée optimale est assez complexe, se subdivisant en une montée soussonique suivie d’un
piqué à hauteur totale constante et enfin d’une montée supersonique. Ceci est
dû aux caractéristiques aérodynamiques particulières du régime transsonique,
notamment l’augmentation sensible du coefficient de traînée dans ce régime
(mur du son). La courbe d he /d t = 0 n’est rien d’autre que l’enveloppe de vol définie précédemment. Comme on l’avait souligné pour le plafond absolu, on ne
dispose en ces points d’aucune réserve de manœuvre. En pratique, on ne peut
atteindre tous les points de cette enveloppe car d’autres limitations s’y ajoutent,
telles que
1.4. Manœuvres — Enveloppe de manœuvre
(a) avion soussonique
(a) avion supersonique (Lockheed F-G)
Fig. . – Diagramme he -d he /d t pour la détermination de la trajectoire de montée optimale
–
–
–
–
–
décrochage (déjà mentionné),
tremblement (buffet) et flottement (flutter),
nombre de Mach maximum,
limitations structurales,
limitations dues au moteur (instabilité de combustion).
. Manœuvres — Enveloppe de manœuvre
.. Décollage et atterrissage
Bien qu’il ne s’agisse pas de conditions de vol à proprement parler, les phases
de décollage et d’atterrissage revêtent néanmoins une grande importance pour
des raisons opérationnelles, et sont parfois des facteurs critiques dans la conception d’un avion. Les paramètres déterminants sont évidemment la distance de
décollage/atterrissage et, dans une moindre mesure, le temps correspondant.
Décollage
Pour les avions à train tricycle (configuration la plus courante de nos jours),
la manœuvre de décollage se décompose en trois parties, à savoir l’accélération
au sol, la manœuvre de rotation par laquelle le pilote soulève le nez de l’avion,
lui donnant de la sorte une incidence positive, et enfin la montée initiale (voir figure). Selon les règles de certification en vigueur, la manœuvre prend fin lorsque
l’avion a atteint une hauteur de pieds (, m) et la distance totale de décollage est la distance horizontale parcourue depuis la position initiale de l’avion.
Analysons tout d’abord la phase d’accélération au sol au cours de laquelle
l’avion est accéléré jusqu’à une vitesse supérieure à la vitesse minimum en vol
Chapitre 1. Performances des avions
Fig. . – Schéma de la manœuvre de décollage selon la norme FAR Part (aviation de ligne)
horizontal stabilisé. L’équation du mouvement est simplement
P dV
= T − D − µ(P − L)
g dt
où µ est le facteur de frottement sur la piste, de l’ordre de . pour une piste
asphaltée et . pour une pelouse. En première approximation, négligeons la
traînée et la résistance de roulement — on reviendra sur cette approximation
par la suite — et supposons la poussée indépendante de la vitesse (approximation acceptable pour les avions à réaction). Dans ces conditions, l’équation du
mouvement (uniformément accéléré) s’intègre aisément et donne
sdéc =
2
P Vdéc
T 2g
(.)
La vitesse de décollage Vdéc est généralement fixée à , fois la vitesse de décrochage Vs , de sorte qu’avec
s
2P
Vs =
ρSCL,max
on obtient
sdéc =
P (P/S)
P 1, 44(P/S)
P 1, 44(P/S)
=
=
T ρ0 σgCL,déc T ρ0 σgCL,max T0 ρ0 σ2 gCL,max
(.)
si l’on suppose que la poussée T est proportionnelle à la masse volumique ρ.
Bien que résultant d’une analyse simplifiée à l’extrême, cette expression est néanmoins utile en ce sens qu’elle permet d’identifier l’influence des divers paramètres affectant la distance au sol. Ainsi, on constate que
– la distance au sol est extrêmement sensible au poids, variant quadratiquement avec celui-ci,
– la distance au sol dépend fortement des conditions atmosphériques locales, étant inversément proportionnelle au carré de la masse volumique,
– la distance au sol diminue en augmentant la surface alaire, le CL,max et
la poussée. Comme on l’a mentionné précédemment, l’augmentation de
1.4. Manœuvres — Enveloppe de manœuvre
la surface alaire influence cependant négativement la distance franchissable. C’est également le cas de l’augmentation de la poussée car elle ne
peut s’obtenir que par l’installation d’un moteur plus lourd.
Évaluons à présent l’influence de la résistance à l’avancement. Celle-ci comprend d’une part la traînée aérodynamique et d’autre part la résistance de roulement. La traînée aérodynamique s’exprime par la relation habituelle
D =ρ
V2
SCD
2
mais deux effets soivent être pris en compte pour l’évaluation du CD :
. l’effet du déploiement des volets, qui se manifeste par une augmentation
du coefficient de traînée parasite par rapport à la configuration normale
(volets non déployés), et
. l’effet de sol, qui se manifeste par une diminution de la traînée induite. Ce
dernier effet, qui est la cause de la tendance des avions à « flotter » au moment de l’atterrissage, peut s’évaluer approximativement par la méthode
des images [], qui fournit l’expression suivante du coefficient de réduction de la traînée induite :
φ=
(16h/πb)2
1 + (16h/πb)2
(.)
où h est la hauteur de l’aile au-dessus du sol et b son envergure. Pour
h/b = 0.1, on trouve ainsi φ = 0.2, soit une réduction de % de la traînée induite.
La résistance de roulement, elle, est proportionnelle à la différence entre le poids
et la portance, qui s’exprime selon l’expression habituelle, mais pour la configuration volets déployés et à l’incidence au sol.
On constate que tant la traînée aérodynamique que la résistance au roulement sont des fonctions linéaires de la pression dynamique, tout comme (en
première approximation) la distance parcourue depuis le repos. De plus, elles
varient en sens inverse, de sorte que leur somme est approximativement constante
au cours de la phase d’accélération. Une méthode simple couramment utilisée
pour tenir compte de ces résistances consiste dès lors à considérer une résistance moyenne, évaluée à une vitesse égale à % de la vitesse de décollage [].
Cette méthode fournit des valeurs de la distance au sol correctes à quelques
pourcents près. La résistance à l’avancement (traînée aérodynamique plus résistance au roulement) représente typiquement de à % de la poussée disponible.
La manœuvre de rotation est entamée au sol (à une vitesse VR inférieure à
la vitesse de décollage Vdéc ). Le pilote tire sur le manche pour défléchir la gouverne de profondeur vers le haut. Ceci crée un couple aérodynamique cabreur
qui met l’avion en rotation à une vitesse de rotation de l’ordre de à degrés par
Chapitre 1. Performances des avions
seconde, jusqu’à ce qu’il atteigne l’incidence de décollage, alors que l’accélération se poursuit pour amener l’avion à la vitesse Vdéc . Au moment où il atteint
ces vitesse et incidence, l’avion quitte le sol.
La trajectoire de l’avion après le décollage se calcule à partir des équations
du vol incliné accéléré (.) auxquelles s’ajoute l’équation de rotation de tangage qui régit l’évolution de l’angle de pente. Dans cette phase de vol, les effets
instationnaires doivent cependant être pris en compte. En particulier, la portance ne s’établit pas instantanément. On reviendra sur cette question dans la
deuxième partie du cours lors de l’étude de la dynamique de l’avion au voisinage d’un point d’équilibre. Pour des calculs préliminaires, on préfère souvent
utiliser le modèle simplifié suivant : on approxime la trajectoire de l’avion lors
de cette phase d’arrondi par un arc de cercle. Dès lors, les hauteur et pente en
fin d’arrondi étant respectivement h et γ, la distance parcourue du point de décollage à la fin de l’arrondi est
h
s2 ≈ 2
(.)
tan γ
La hauteur h est prise égale à pieds et la pente est calculée en considérant un
vol incliné stabilisé (.), de sorte que
tan γ ≈ sin γ =
T − D T CD
≈ −
P
P CL
On constate que s2 est d’autant plus faible que l’angle de montée est grand, c’està-dire que le rapport poussée/poids et la finesse sont élevés. Ceci explique en
partie pourquoi on préfère ne déployer que partiellement les volets lors du décollage. La distance en l’air du point de décollage au point où l’avion atteint la
hauteur prescrite peut représenter de l’ordre de % de la distance au sol [].
Après avoir atteint la hauteur nominale, le train d’atterrissage et les volets
sont rentrés, ce qui a pour effet de réduire le coefficient de traînée, mais aussi
le coefficient de portance. Il en résulte d’une part que l’incidence doit être augmentée pour compenser la rentrée des volets et d’autre part que l’angle de montée augmente.
Atterrissage
L’analyse de l’atterrissage est en tous points semblable à celle du décollage.
L’atterrissage se décompose également en trois parties, à savoir l’approche, l’arrondi et le freinage au sol (voir figure). L’approche, qui constitue la phase finale
de la descente, s’effectue avec un angle de descente de à ˚ (˚ pour une descente aux instruments). La vitesse à l’entame de l’approche (à la hauteur de
pieds) doit être % plus élevée que la vitesse de décrochage dans les conditions
d’atterrissage, c’est-à-dire volets complètement déployés. En effet, une traînée
importante n’est pas néfaste à l’atterrissage puisqu’elle contribue à augmenter
1.4. Manœuvres — Enveloppe de manœuvre
Fig. . – Schéma de la manœuvre d’atterrissage
l’angle de descente. La vitesse de décrochage
s
Vs,att =
2P
ρSCL,max
est donc sensiblement plus faible qu’au décollage en raison d’un coefficient de
portance maximum supérieur, mais aussi d’une charge alaire plus faible due à
un poids à l’atterrissage sensiblement inférieur.
L’arrondi a pour fonction de réduire la vitesse verticale, idéalement à , au
point de contact avec le sol. On tolère toutefois une faible vitesse négative au
point de contact (. ms−1 correspondant à un atterrissage très brusque) limitée
par le confort des passagers et la résistance mécanique du train d’atterrissage.
Comme pour le décollage, on décrit cette phase par le modèle simplifié de trajectoire en arc de cercle. Si l’on dénote par R le rayon de courbure de l’arrondi ,
la distance parcourue en l’air (approche + arrondi) est dès lors
s2 =
h
γ
+ R tan
tan γ
2
(.)
et l’on constate qu’elle diminue en réduisant le rayon de courbure. Il y a toutefois une limite à cette réduction car la trajectoire circulaire s’accompagne d’une
réaction centrifuge qui augmente avec la courbure (voir section suivante) et qui
Ce rayon R est lié à la hauteur h
arr à laquelle est entamé l’arrondi par la relation harr = R(1 −
cos γ) = 2R sin2 (γ/2).
Chapitre 1. Performances des avions
est limitée en particulier par le décrochage, mais aussi par le confort des passagers (accélération limitée à , g pour l’aviation commerciale). La distance minimale est atteinte pour une trajectoire d’atterrissage sans arrondi. Évidemment,
l’atterrissage est alors extrêmement brutal. Ce type d’atterrissage est cependant
employé dans le cas où la minimisation de la longueur d’atterrissage est primordiale, à savoir dans l’aviation embarquée. Le train d’atterrissage est alors soumis
à des sollicitations mécaniques extrêmes, à tel point qu’il s’agit généralement
d’un élément critique pour la conception d’avions embarqués.
Après le contact avec le sol, le pilote effectue la manœuvre de rotation pour
amener la roue avant en contact avec le sol, actionne les freins, déploie les inverseurs de poussée et augmente les gaz pour obtenir la poussée négative la plus
grande. Cette phase prend de l’ordre de à secondes (soit à m pour une
vitesse de ms−1 . Le roulement au sol subséquent s’analyse de la même manière que pour le décollage, avec les différences suivantes :
– la poussée est inversée (par utilisation d’inverseurs de poussée pour les
avions à réaction ou par inversion du calage des hélices pour les avions à
hélice). La contrepoussée maximum est de l’ordre de % de la poussée
maximum.
– l’application des freins augmente considérablement le coefficient de frottement, qui atteint une valeur de , à ,.
– le coefficient de traînée aérodynamique est considérablement plus élevé,
en raison du déploiement complet des volets, mais aussi des spoilers, la
fonction principale de ces derniers étant d’annuler la portance pour assurer une résistance au roulement maximale.
Grâce à cet ensemble de mesures, on obtient typiquement des décélérations de
l’ordre de , à , g en aviation de ligne. Pour l’aviation embarquée, on atteint
des valeurs beaucoup plus élevées (jusqu’à g) à l’aide de dispositfs additionnels : crosse/câbles d’appontage, filet de retenue. On calcule la distance de roulement comme pour la phase de décollage en prenant comme résistance au roulement moyenne sa valeur pour une vitesse égale à % de la vitesse de contact
Vc (égale à , Vs comme indiqué ci-dessus). On obtient ainsi
satt =
1.69P 2
ρg SCL,max [TR + D + µP]0.7Vc
(.)
.. La ressource — Notion de facteur de charge
À la section précédente, on a évoqué le vol le long d’une trajectoire circulaire
dans le plan de symétrie de l’avion. Cette manœuvre est appelée ressource. On
l’emploie pour les transitions entre le vol horizontal et le vol incliné telles que
l’entame d’une montée (voir figure) ou le redressement après une descente (voir
un piqué). Analysons le mouvement en supposant la vitesse V constante (et par
conséquent aussi la vitesse de rotation ω = V /R pour une trajectoire circulaire)
1.4. Manœuvres — Enveloppe de manœuvre
Fig. . – Schéma de la ressource
lors de la manœuvre. Les équations du mouvement sont dès lors (.)
sustentation P cos γ − L =
propulsion
P V2
g R
T − D − P sin γ = 0
Considérons le point bas de la ressource (γ = 0). On obtient
¶
µ
V2
L = P 1+
gR
(.)
D =T
On définit le facteur de charge de la manœuvre, noté n comme le rapport entre
la portance et le poids :
L
n≡
(.)
P
de sorte que pour la ressource, n = 1 + (V 2 /g R). Plus on voudra serrer la ressource, plus le facteur de charge augmentera. Par conséquent, pour une vitesse
Chapitre 1. Performances des avions
donnée, cela nécessitera d’augmenter CL et il existera une limitation due au décrochage. Comme L ≤ (ρV 2 /2)SCL,max , il en résulte
n = 1+
V2 V2
1
V 2 ρV 2 SCL,max V 2
−1 → R ≥
≤
= 2 →
≤
1
gR
2P
Vs
g R Vs2
g ( V 2 − V12 )
(.)
s
où Vs est la vitesse de décrochage en vol horizontal stabilisé. On constate que
le rayon minimal de ressource diminue en augmentant la vitesse. Mais le facteur de charge augmente rapidement. La ressource est d’ailleurs la manœuvre
qui provoque les facteurs de charge les plus importants, et donc détermine la
conception structurale de l’avion. Outre la limitation de sustentation examinée
ci-dessus, le pilote devra se tenir en deçà de la limite imposée par la conception structurale. Clairement, cette limitation structurale diffère grandement selon le type d’appareil. Alors que le facteur de charge maximum est de l’ordre de
, pour les avions de ligne et d’aviation générale, il peut atteindre pour les
avions militaires ou d’acrobatie. On a coutume de représenter ces limitations
dans un diagramme V −n que l’on appelle encore enveloppe de manœuvre, dont
on donne un exemple à la figure suivante. Les deux limitations identifiées précé-
Fig. . – Enveloppe de manœuvre
demment — limitation liée au décrochage n ≤ (V /Vs )2 et limitation structurale
n ≤ nmax — y sont représentées, de même que leurs analogues en vol inversé. En
outre, pour les appareils de haute performance, il faut également tenir compte
de limitations physiologiques. On donne quelques informations à ce sujet à l’annexe B. L’intersection entre la frontière correspondant au décrochage et la frontière structurale (point A de la figure) joue un rôle particulier car il correspond à
la ressource la plus serrée possible (et, comme on le verra à la section suivante,
1.4. Manœuvres — Enveloppe de manœuvre
au virage le plus serré possible). En combat aérien et en vol acrobatique, le pilote
tente de se maintenir constamment au voisinage de ce point, que l’on appelle
point de manœuvre.
Pour un point quelconque de la ressource, l’équation de sustentation devient
µ
¶
V2
V2
L = P cos γ +
→ R=
gR
g (n − cos γ)
Elle permet de calculer la hauteur verticale requise pour un redressement à partir d’un piqué. En effet,
Z
dH = −R sin γ dγ
→
H =−
0
− π2
R sin γ dγ = −
Z
0
− π2
V 2 sin γ
dγ
g n − cos γ
de sorte qu’on obtient finalement, en supposant la vitesse et le facteur de charge
constant au cours du redressement
H=
V2
n
ln
g
n −1
(.)
.. Le vol en virage
On considère dans cette section le virage stabilisé (à vitesse constante V ) à
altitude constante effectué sans vitesse latérale, tel que représenté à la figure.
Pour assurer l’équilibre, il faut incliner l’avion d’un angle φ. Pour déterminer cet
angle, écrivons les équations d’équilibre dans le plan y − z :
L cos φ = P
L sin φ =
P V2
g R
tan φ =
→
V2
gR
(.)
Le facteur de charge correspondant est
L
1
n= =
=
P cos φ
q
1 + tan2 φ =
s
1+
V4
g 2R2
(.)
L’équation de propulsion reste la même qu’en vol horizontal stabilisé, à savoir
T − D = 0.
Comme dans le cas de la ressource, il existe des limitations à la manœuvre
qui, pour une vitesse donnée, déterminent un rayon minimum de virage :
Limitation due au décrochage La limitation due au décrochage est la même
que pour la ressource, à savoir n ≤ (V /Vs )2 . Ceci conduit à
R2 ≥
1
g 2 ( V14
s
− V14 )
(.)
Chapitre 1. Performances des avions
Fig. . – Avion en virage horizontal
Limitation structurale La conception structurale fixe une borne supérieure nmax
au facteur de charge. Il en résulte la borne inférieure au rayon de virage
R2 ≥
V4
2
(nmax
− 1)g 2
(.)
et, comme annoncé à la section précédente, le rayon minimum de virage
est obtenu lorsque les deux bornes précédentes coïncident, c’est-à-dire au
point de manœuvre.
Limitation due à la poussée D ne peut excéder Tmax . Par conséquent,
D=
CD
CD
L=
nP ≤ Tmax
CL
CL
→
n
CD Tmax
≤
CL
P
(.)
En général, pour V faible, on rencontre d’abord la limitation due à la sustentation et pour V grande, c’est la poussée maximum qui limite la manœuvre, surtout en altitude. Cette dernière équation permet de définir
1.4. Manœuvres — Enveloppe de manœuvre
des enveloppes de vol de manœuvre (g, g, . . . ) et les plafonds correspondants.
Signalons pour terminer que la mise en virage horizontal est une manœuvre
très difficile à réaliser car il faut agir simultanément sur les quatre commandes :
manche ( directions, palonnier et manette des gaz).
.. Charges dues aux rafales
Le passage à travers une rafale verticale n’est pas à proprement parler une
manœuvre mais, pour certaines catégories d’avion, il peut constituer une condition de vol critique pour la conception structurale de l’appareil. Considérons le
cas de l’avion en vol horizontal stabilisé à vitesse V subissant un échelon de
vitesse verticale (rafale verticale) Ude (voir figure). Cet échelon de vitesse verti-
Fig. . – Aile pénétrant dans une rafale verticale
cale produit initialement un échelon d’incidence ∆α = Ude /V . Il en résulte une
augmentation de la portance qui produit une accélération verticale de l’avion.
La vitesse verticale w ainsi créée produit une réduction d’incidence. Asymptotiquement, la vitesse verticale tend vers la vitesse Ude de la rafale, c’est-à-dire que
l’avion monte avec le vent. L’équation du mouvement s’écrit comme suit :
L(α +
Ude w
P dw
− )−P =
V
V
g dt
Mais comme le vol original est un vol horizontal stabilisé, L(α) = P. Dès lors, en
supposant que la portance s’établisse instantanément,
L(α +
Ude w
dL Ude w
ρV 2 dCL Ude w
− )−P =
(
− )=
S
(
− )
V
V
dα V
V
2 |dα
V
{z } V
≡CLα
de sorte que l’équation du mouvement est finalement
ρV 2
Ude w
P dw
SCLα (
− )=
2
V
V
g dt
→
d w ρgCLα
=
V (Ude − w)
dt
2(P/S)
ou encore,
dw V
= (Ude − w)
dt
L
en définissant
L=
2(P/S)
ρgCLα
(.)
Chapitre 1. Performances des avions
Cette équation s’intègre immédiatement pour donner
w = Ude (1 − exp(−
s
Vt
)) = Ude (1 − exp(− ))
L
L
(.)
Le facteur de charge correspondant est
n=
L
ρVCLα (Ude − w)
V (Ude − w)
VUde
Vt
= 1+
= 1+
= 1+
exp(−
)
P
2(P/S)
gL
gL
L
qui prend une valeur maximum au temps initial
n = 1+
ρCLα Ude V
VUde
= 1+
gL
2(P/S)
(.)
En réalité, les rafales ne sont jamais abruptes mais bien graduelles, de sorte que
la charge réelle est atténuée . On tient compte de cet effet en introduisant un
facteur d’atténuation dans l’expression précédente.
n = 1+F
ρCLα Ude V
2(P/S)
(.)
On a inclus les charges dues aux rafales sur l’enveloppe de manœuvre représentée à la Fig. ..
En outre, comme on l’a mentionné précédemment, la portance ne s’établit pas instantanément, ce qui renforce cet effet d’atténuation.
Chapitre
Stabilité statique et guidage
. Introduction
Avant d’entamer l’étude des caractéristiques de stabilité des avions, il
convient d’en mesurer la portée réelle et d’autre part de définir précisément les
notions qui seront utilisées par la suite et notamment la distinction entre stabilité statique et stabilité dynamique. En réalité, pour les véhicules aériens comme
pour les véhicules terrestres ou maritimes, la préoccupation essentielle est que
le véhicule soit aisément contrôlable, c’est-à-dire que le pilote puisse sans effort excessif d’une part maintenir le véhicule dans une configuration de vol (de
mouvement) donnée et d’autre part faire passer le véhicule d’une configuration
à l’autre (manœuvrabilité).
Cet aspect de contrôlabilité du véhicule a revêtu dès la naissance de l’aviation une importance primordiale pour la conception des avions. L’importance
bien plus grande que présente ce sujet pour les véhicules aériens que pour
les véhicules terrestres provient principalement du fait que ces véhicules, tout
comme les sous-marins d’ailleurs, se déplacent dans un espace à trois dimensions, contrairement aux véhicules terrestres, qui se déplacent sur une surface
(espace à deux dimensions) voire le long d’une courbe (espace à une dimension)
pour le cas des véhicules ferroviaires. Et par rapport aux sous-marins et aux dirigeables, c’est l’origine physique des forces de sustentation (aérodynamiques
plutôt qu’hydrostatiques) qui en rend le contrôle plus délicat.
Contrôlabilité et stabilité d’un véhicule ne sont pas des concepts équivalents. En effet, la contrôlabilité d’un véhicule n’implique pas qu’il soit stable visà-vis de perturbations extérieures sans intervention du pilote : on utilise bien les
bicyclettes, qui sont pourtant instables de ce point de vue. Semblablement, bon
nombre d’avions considérés excellents du point de vue de leurs caractéristiques
de pilotage présentent une légère instabilité latérale appelée divergence spirale.
Cette instabilité ne présente aucun problème car elle se développe tellement
lentement que le pilote la corrige constamment sans même s’en rendre compte.
Par contre, lorsque l’avion est sous pilotage automatique, il est évidemment es
Chapitre 2. Stabilité statique et guidage
sentiel que le système en boucle fermée (avion + régulateur) soit stable vis-à-vis
de perturbations atmosphériques et des commandes provenant du système de
navigation.
Un aspect étroitement lié à la question de la stabilité est celle du guidage, à
savoir l’action des commandes sur l’avion. Les questions qui nous préoccupent
à cet égard sont d’une part de déterminer le réglage des commandes requis pour
obtenir une configuration de vol donnée (et les efforts associés à fournir par
le pilote) et d’autre part la manière dont l’avion répond dynamiquement à un
échelon de commande. En général, on constate un certain conflit entre les exigences de stabilité et de manœuvrabilité : une configuration très stable nécessite
de fortes sollicitations pour changer d’état d’équilibre alors qu’une configuration très manœuvrable est souvent proche de l’instabilité.
Définissons à présent plus précisément les notions de stabilité statique et
dynamique. La stabilité est une propriété d’un état d’équilibre de l’avion, c’est-àdire d’un vol stabilisé. L’état d’équilibre est dynamiquement stable si le véhicule y
retourne après en avoir été écarté par une petite perturbation. La stabilité dynamique concerne par conséquent le comportement asymptotique (la limite pour
t → ∞) du transitoire produit par un écart par rapport à l’équilibre. En se limitant à de petites perturbations, on peut linéariser les équations du mouvement
autour du point d’équilibre. On parle alors d’une théorie linéaire de stabilité. La
stabilité statique est relative quant à elle à la réponse initiale à la perturbation,
c’est-à-dire à la limite de la réponse pour t → 0. On dit qu’un avion est statiquement stable si les forces/couples résultant de la perturbation ont tendance
à le ramener à l’état d’équilibre. Comme elle est relative à l’état initial, la stabilité statique s’étudie beaucoup plus simplement que la stabilité dynamique. On
obtient de la sorte de nombreuses informations utiles, d’autant plus que la stabilité statique est une condition nécessaire de la stabilité dynamique. Enfin, on
distingue les stabilité « commandes fixes » et « commandes libres » selon que les
commandes soient maintenues en position ou au contraire libres de se déplacer
sous l’effet des sollicitations résultant de la perturbation.
. Stabilité statique longitudinale manche fixe
.. Critère de stabilité statique longitudinale et implications
Équilibre en rotation
Pour assurer l’équilibre longitudinal de l’avion, la somme des forces dans le
plan de symétrie de l’avion (deux composantes) et du moment des forces dans la
direction normale au plan de symétrie (une composante, moment de tangage)
doivent s’annuler. Soit un aéronef donné (de configuration arbitraire : aile seule,
aile et fuselage, aile, fuselage et empennage, . . . ). La géométrie étant fixée (en
particulier le réglage de la gouverne de profondeur), en portant en graphique
le coefficient de moment des forces aérodynamiques (et de propulsion) autour
2.2. Stabilité statique longitudinale manche fixe
du centre de gravité de l’avion en fonction de l’incidence α mesurée à partir de
la direction de portance nulle de l’aéronef entier, on obtient typiquement une
courbe telle que celles représentées à la figure ., ainsi que le montre l’analyse
de la section suivante. Dans ces conditions, l’équilibre en rotation n’est assuré
Fig. . – Moment de tangage en fonction de l’incidence
qu’au point où la courbe de moment de tangage croise l’axe des abcisses, c’està-dire au point A. Cela signifie que, pour cette géométrie, le vol n’est possible
qu’à l’incidence correspondante (et, vu l’équilibre en sustentation, qu’à la vitesse correspondante).
Stabilité statique
Examinons à présent la stabilité statique de ce point d’équilibre. En réalité, on considère une forme restreinte de la stabilité statique, que l’on appelle
parfois « raideur en tangage » [], à savoir la stabilité vis-à-vis de perturbations
d’incidence uniquement. Supposons que l’avion correspondant à la courbe a de
la figure subisse une perturbation d’incidence positive. Le moment de tangage
prendra alors une valeur négative (moment piqueur) et aura donc tendance à
ramener l’avion dans son état non perturbé. En accord avec la définition introduite à la section précédente, on en déduit que l’avion est statiquement stable en
tangage, ou qu’il présente une raideur en tangage positive. Inversément, l’avion
correspondant à la courbe b de la figure est statiquement instable.
Une conséquence directe de cette analyse est que les deux conditions à remplir par une géométrie pour qu’il existe un état d’équilibre stable sont que le coefficient de moment pour une portance nulle C m0 soit positif et que la pente de
la courbe de moment de tangage en fonction de l’incidence C mα soit négative.
Comme on le verra ultérieurement, cette dernière condition peut être remplie
pour n’importe quelle configuration d’avion en plaçant le centre de gravité suffisamment en avant. Par conséquent, il suffit pour assurer l’existence d’un état
équilibre stable que la configuration possède un C m0 positif.
Chapitre 2. Stabilité statique et guidage
Configurations possibles
Considérons tout d’abord le cas d’une aile droite isolée. Pour une telle aile, le
coefficient de moment au foyer est de signe inverse de la cambrure de l’aile (voir
cours de Mécanique des fluides I). Par conséquent, seule une aile de cambrure
négative permet d’obtenir un état d’équilibre stable. Mais cette configuration
présente de nombreux défauts, notamment une traînée élevée et un faible coefficient de portance maximum.
Par contre, il est possible d’obtenir un C m0 positif avec une aile en flèche de
cambrure positive en vrillant les extrémités vers le bas (voir figure). Dans ce cas,
Fig. . – Aile en flèche vrillée
à l’incidence de portance nulle, la partie centrale de l’aile fournit une portance
positive et les extrémités une portance négative, ce qui produit le moment positif souhaité. On peut semblablement obtenir un coefficient de moment positif
pour une aile delta en vrillant les extrémités ou en introduisant une cambrure
négative aux extrémités, par exemple en défléchissant le bord de fuite vers le
haut.
Mais la solution la plus utilisée en pratique pour obtenir une configuration
avec un coefficient de moment positif consiste à utiliser deux (voire parfois trois)
surfaces portantes. Le plus souvent, une de ces surfaces est beaucoup plus grande
que l’autre. On distingue alors deux configurations (voir figure) : soit l’aile principale est située en avant, c’est la configuration classique avec empennage horizontal arrière, soit l’aile principale est située en arrière, ce qu’on appelle généralement configuration canard. Dans le cas de la configuration classique, l’empennage est calé négativement de manière à produire une portance négative à l’incidence de portance nulle, alors que pour la configuration canard, le canard est
calé positivement de manière à produire une portance positive. Mentionnons
pour l’anecdote que la configuration de l’avion des frères Wright était de type
canard. Chacune des deux configurations a des avantages et des inconvénients
dont la discussion sort du cadre de ce cours. On consultera avantageusement à
2.2. Stabilité statique longitudinale manche fixe
Fig. . – Configurations avec deux surfaces portantes
ce propos la littérature relative à la conception des avions (aircraft design), par
exemple l’ouvrage de D. Raymer [].
.. Moment de tangage
Analysons à présent l’expression du moment de tangage autour d’une configuration classique pour déterminer la condition à satisfaire par la position du
centre de gravité pour obtenir un état d’équilibre stable.
Contribution de l’aile principale
Le centre aérodynamique de l’aile (foyer) étant défini comme le point autour
duquel le moment des forces aérodynamiques est indépendant de l’incidence
(et donc de la portance), le moment autour du centre de gravité de l’avion de
ces forces s’obtient aisément par les règles de transport du moment. Avec les
notations définies à la figure . où c̄ est la corde aérodynamique moyenne de
l’aile définie par
Z
1 b/2 2
c̄ =
c dy
(.)
S −b/2
on obtient
Mw = Macw + (L w cos αw + Dw sin αw )(h − hnw )c̄ + (L w sin αw − Dw cos αw )z (.)
Remarquons que l’expression obtenue est indépendante de la position (arbitraire) du bord d’attaque de la corde aérodynamique moyenne par rapport à
laquelle les distances sont mesurées. En non-dimensionnalisant par ½ρV 2 c̄S,
et en supposant des angles d’incidence faibles, on obtient
C mw = C macw + (CLw +CDw αw )(h − hnw ) + (CLw αw −CDw )z/c̄
(.)
Chapitre 2. Stabilité statique et guidage
Fig. . – Système de forces et moment sur l’aile
Dans la plupart des cas, le dernier terme est négligeable, de même que la contribution de la traînée dans le deuxième terme, de sorte qu’on obtient finalement
C mw = C macw +CLw (h − hnw )
= C macw + aw αw (h − hnw )
(.)
en notant aw la pente de la courbe de portance de l’aile (aw = CLαw ).
Contribution du fuselage et des nacelles
L’influence du fuselage et des nacelles est complexe. Un fuselage isolé subit également des efforts aérodynamiques qui se réduisent globalement, pour
des incidences modérées, à une portance, une traînée et un moment indépendant de l’incidence autour d’un centre aérodynamique. Les propriétés aérodynamiques d’une combinaison aile/fuselage ne s’obtiennent cependant pas par
la simple superposition des propriétés de l’aile et du fuselage séparément car
de fortes interférences existent. Ainsi, la présence du fuselage modifie l’écoulement autour de l’aile, en particulier la distribution de portance en envergure, et
les vitesses induites par la nappe tourbillonaire émise par l’aile produisent une
contribution positive (déstabilisante) à la pente de la courbe C m − α.
En résumé, l’adjonction du fuselage et des nacelles à une aile a généralement pour effet de déplacer le centre aérodynamique vers l’avant, d’augmenter
légèrement la pente de la courbe de portance et de fournir une contribution négative au coefficient de moment au foyer. L’équation du moment de tangage de
la combinaison aile/fuselage/nacelles prend alors la même forme que pour l’aile
seule (.) mais avec des valeurs différentes des paramètres.
C mwb = C macwb +CLwb (h − hnwb )
= C macwb + awb αwb (h − hnwb )
(.)
où awb est la pente de la courbe de portance de la combinaison aile/fuselage/
nacelles.
2.2. Stabilité statique longitudinale manche fixe
Contribution de l’empennage
Les efforts aérodynamiques sur l’empennage s’expriment exactement
comme ceux sur l’aile principale, à ceci près que les interférences dues à la présence de l’aile principale doivent être prises en compte. L’effet dominant est la
déflection vers le bas de l’écoulement abordant l’empennage par la nappe tourbillonnaire émise par l’aile principale, qui a pour effet de réduire l’incidence
d’un angle de déflexion ². La position de l’empennage par rapport à l’aile principale étant schématisé à la figure ., on obtient l’expression suivante pour le
Fig. . – Système de forces et moment sur l’empennage
moment de tangage produit par l’empennage :
Mt = Mact − lt [L t cos(αwb − ²) + Dt sin(αwb − ²)]
−zt [(L t sin(αwb − ²) − Dt cos(αwb − ²)]
(.)
où L t et Dt sont respectivement portance et traînée — c’est-à-dire composantes
perpendiculaire et parallèle au vent effectif V 0 de la force aérodynamique — de
l’empennage. En pratique, le terme −lt L t cos(αwb − ²) ≈ −lt L t est prépondérant.
En définissant le coefficient de portance de l’empennage comme
CLt =
Lt
½ρV 2 S t
(.)
on obtient, en non-dimensionnalisant à nouveau par ½ρV 2 c̄S
C mt = −
lt S t
CL
c̄ S t
(.)
Mentionnons que souvent dans la littérature le coefficient de portance de l’empennage est défini à partir de la pression dynamique locale (= ½ρV 02 ) qui diffère de la pression dynamique de l’écoulement libre en raison des interférences
produites par l’aile principale, ce qui introduit dans l’expression du moment
de tangage un facteur V 02 /V 2 que l’on appelle parfois un facteur d’efficacité de
l’empennage. On adopte plutôt ici l’approche suivie par Etkin [] qui consiste à
intégrer ce facteur dans le coefficient de portance de l’empennage.
Chapitre 2. Stabilité statique et guidage
Le rapport lt S t /c̄S qui apparaît dans l’expression du coefficient de moment
de l’empennage (.) est un rapport de volumes caractéristique de la géométrie
de l’avion, que l’on appelle communément « rapport de volumes de l’empennage horizontal » et que l’on note VH , de sorte qu’avec cette notation, on a
C mt = −VH CLt
Le centre de gravité d’un avion pouvant bouger en fonction du chargement et
de la consommation de carburant, il est plus commode de définir la position
de l’empennage par rapport au foyer de la combinaison aile/fuselage/nacelles
plutôt que par rapport au centre de gravité. En notant l¯t la distance le long de la
direction de portance nulle de l’aile/fuselage entre le foyer de l’empennage et le
foyer de l’aile, on a
l¯t = lt + (h − hnwb )c̄
(.)
de sorte qu’en définissant V̄H = l¯t S t /c̄S = VH + (h − hnwb )S t /S, l’expression du
coefficient de moment de l’empennage devient
C mt = −V̄H CLt + (h − hnwb )
St
CL
S t
(.)
Contribution du système de propulsion
Le système de propulsion fournit deux contributions au moment de tangage
de l’avion : la contribution directe du moment des forces propulsives, et une
contribution indirecte par l’interférence entre le souffle ou le jet propulsif et la
cellule (aile/fuselages/empennage). En supposant que les effets indirects sont
intégrés dans les coefficients aérodynamiques des éléments de la cellule, il reste
la contribution directe que l’on notera C mp .
.. Point neutre manche fixe
En rassemblant l’ensemble des contributions au moment de tangage, on obtient
St
C m = C macwb +CLwb (h − hnwb ) − V̄H CLt + (h − hnwb ) CLt +C mp
S
Cette expression se simplifie en remarquant que
CLwb +
St
L wb + L t
CL =
= CL
S t ½ρV 2 c̄S
(.)
n’est rien d’autre que le coefficient de portance global, pour donner
C m = C macwb +CL (h − hnwb ) − V̄H CLt +C mp
(.)
On obtient alors la raideur en tangage en dérivant par rapport à l’angle d’incidence α.
∂CLt ∂C mp
+
(.)
C mα = CLα (h − hnwb ) − V̄H
∂α
∂α
2.2. Stabilité statique longitudinale manche fixe
puisque, par la définition même du centre aérodynamique de l’ensemble aile/fuselage, le coefficient de moment en ce point est indépendant de l’incidence.
On observe que la raideur en tangage est une fonction linéaire de la position du
centre de gravité. Le point pour lequel la raideur en tangage s’annule, prend un
sens particulier puisqu’il définit la frontière entre centrages stables et instables.
On lui donne le nom de point neutre. À partir de l’expression (.), on obtient
immédiatement
·
¸
∂CLt ∂C mp
1
hn = hnwb +
(.)
V̄H
−
C Lα
∂α
∂α
En utilisant cette définition, la raideur en tangage s’exprime simplement comme
C mα = CLα (h − hn )
qui suggère une manière simple de déterminer la position du point neutre à partir de mesures expérimentales de portance et de moment : la position du point
neutre s’obtient directement à partir des pentes des courbes de C m et CL en fonction d’α :
Cm
(.)
hn − h = − α
C Lα
On appelle communément marge statique cette distance entre le centre de gravité et le point neutre. Puisque C mα doit être négatif pour que l’avion soit statiquement stable, on en déduit que hn − h doit être positif, c’est-à-dire que le
centre de gravité doit se trouver en avant du point neutre. Plus le centre de gravité occupe une position avancée, plus la marge statique est élevée. Les règles
de certification imposent que la marge statique demeure constammant plus
grande ou égale à % de la corde aérodynamique moyenne.
L’expression de la position du point neutre peut être explicitée pour des expressions linéaires des forces de portance. Avec
CLwb = awb αwb
CLt = at αt = at (αwb − i t − ²)
et en linéarisant l’expression de la déflexion ²
² = ²0 +
∂²
αwb
∂α
l’expression du coefficient de portance devient
St
St
∂²
CL = CLwb + CLt = awb αwb + at (αwb (1 −
) − i t − ²0 )
S
S
∂α
¸
·
∂²
St
St
) αwb − at (i t + ²0 )
= awb + at (1 −
S
∂α
S
= aα
avec
a = awb +
St
∂²
at (1 −
)
S
∂α
et
α = αwb −
at S t
(i t + ²0 )
aS
(.)
Chapitre 2. Stabilité statique et guidage
Semblablement, en linéarisant l’expression du coefficient de moment de moment de tangage dû aux forces de propulsion selon
C mp = C m0p +
∂C mp
∂α
α
l’expression du coefficient de moment devient,
∂C mp
∂²
) − i t − ²0 ) +C m0p +
α
∂α
∂α
∂C mp
∂²
)αwb +
α
+C m0p + V̄H at (i t + ²0 ) + aα(h − hnwb ) − V̄H at (1 −
∂α
∂α
·
¸
at S t
∂²
+C m0p + V̄H at (i t + ²0 ) 1 −
(1 −
) +
aS
∂α
{z
}
C m = C macwb + aα(h − hnwb ) − V̄H at (αwb (1 −
= C macwb
= C macwb
|
C m0
¸
∂C mp
∂²
a(h − hnwb ) − V̄H at (1 −
α
)+
∂α
∂α
{z
}
|
·
(.)
C mα
On en déduit la position du point neutre, à savoir
·
¸
∂C mp
∂²
1
V̄H at (1 −
hn = hnwb +
)−
a
∂α
∂α
(.)
Comme C mα = a(h − hn ), le coefficient de moment au centre de gravité peut finalement s’exprimer simplement par la relation linéaire
C m = C m0 + aα(h − hn )
(.)
. Guidage et stabilité statique manche libre longitudinaux
.. Angle de gouverne
Étudions à présent la question du guidage longitudinal de l’avion du point
de vue statique, c’est-à-dire la relation entre l’état d’équilibre de l’avion et le réglage de la commande correspondante. À partir de l’expression finale du coefficient de moment de tangage, on en déduit que le point d’équilibre est obtenu
pour l’incidence
C m0
(.)
α=
a(hn − h)
d’où on déduit qu’il est possible de contrôler l’état d’équilibre en faisant varier
le centrage (la marge statique). Cette possibilité, qui a effectivement été mise en
pratique par Lilientahl, un des pionniers de l’aviation, et l’est encore pour certains ULM ou parapentes, n’est évidemment pas utilisable pour la plupart des
2.3. Guidage et stabilité statique manche libre longitudinaux
avions. En outre, elle présente le désavantage de faire varier la marge statique
en même temps que le point d’équilibre, la marge statique diminuant alors que
l’incidence augmente, et donc que l’on se rapproche du décrochage.
Pour ces raisons, on préfère contrôler l’incidence de l’avion par une déformation de sa géométrie qui modifie C m0 en modifiant le moins possible la marge
statique. La solution la plus communément employée consiste à introduire un
volet mobile dans l’empennage appelée gouverne de profondeur, qui en modifie la cambrure et par conséquent l’incidence de portance nulle (voir figure) :
Notant δe l’angle de la gouverne de profondeur, l’expression du coefficient de
Fig. . – Gouverne de profondeur
portance de l’empennage se modifie comme suit :
CLt = at αt + ae δe = at (αwb − i t − ²) + ae δe
(.)
c’est-à-dire que s’ajoute un terme dépendant linéairement de l’angle de gouverne. Par conséquent, le coefficient de portance et le coefficient de moment
globaux s’en trouvent modifiés. En ce qui concerne le coefficient de portance, il
devient
St
CL = aα + ae δe
(.)
S
En ce qui concerne le coefficient de moment, C mα et donc la marge statique restent inchangés alors que C m0 est modifié comme suit :
·
C m0 = C m00 +
¸
St
(h − hnwb ) − V̄H ae δe
S
(.)
Ces modifications sont représentées à la figure suivante. Une déflexion positive
de la gouverne déplace le point d’équilibre vers une incidence plus faible (et
donc une vitesse plus élevée).
La relation entre l’angle de gouverne et l’incidence d’équilibre s’obtient directement en résolvant l’équation d’équilibre en rotation C m = 0. On obtient
ainsi
C m00 + a(h − hn )α
C m (α)
δeéq. = − £ S
(.)
¤ = − £ St
¤
t
ae S (h − hnwb ) − V̄H
ae S (h − hnwb ) − V̄H
et le coefficient de portance correspondant vaut
CLéq. = aα +
St
ae δeéq.
S
Chapitre 2. Stabilité statique et guidage
Fig. . – Effet de la déflexion de la gouverne de profondeur sur les coefficients
aérodynamiques
En pratique, c’est le coefficient de portance qui est spécifié plutôt que l’angle
d’incidence (en vol horizontal, le coefficient de portance est directement fonction de la vitesse de vol). L’incidence et la déflexion de la gouverne s’obtiennent
alors en résolvant le système
St
ae δeéq. = CLéq.
S
¸
·
St
a(h − hn )αéq. + ae
(h − hnwb ) − V̄H δeéq. = −C m00
S
aαéq. +
On obtient
£ St
αéq. = ae
S
¤
(h − hnwb ) − V̄H CLéq. + SSt C m00
D
avec
·
D = aae
δeéq. = −a
St
(hn − hnwb ) − V̄H
S
C m00 + (h − hn )CLéq.
D
(.)
(.)
¸
À partir de ces résultats, on peut en déduire la courbe de portance à l’équilibre
(CLéq. en fonction de αéq. ), à savoir
·
¸
1
St
D
CLéq. = S
− C m00 + αéq.
(.)
t
S
ae
(h
−
h
)
−
V̄
H
n
wb
S
2.3. Guidage et stabilité statique manche libre longitudinaux
dont la pente est
dCLéq.
dαéq.
D
=
ae
St
S
St
S
"
1
(h − hnwb ) − V̄H
= a 1−
St
S
(h − hn )
#
(h − hnwb ) − V̄H
(.)
soit légèrement plus faible que la pente à géométrie fixe CLα = a comme illustré
à la figure.
Fig. . – Pente de la courbe de portance à l’équilibre
La variation de l’angle de gouverne en fonction du coefficient de portance
à l’équilibre (.) suggère une détermination expérimentale en vol de la position du point neutre. En effet, la pente de la courbe de l’angle de gouverne en
fonction du coefficient de portance
dδeéq.
dCLéq.
=−
a(h − hn )
D
(.)
est directement proportionnelle à la marge statique. Dès lors, en portant cette
pente en fonction de la position du centre de gravité, on obtient le point neutre
par extrapolation au point où la pente s’annule comme esquissé à la figure.
Fig. . – Détermination du point neutre par essais en vol
Chapitre 2. Stabilité statique et guidage
.. Couple de charnière et effort dans le manche
Pour défléchir la gouverne de profondeur, il faut appliquer un effort dans le
manche qui équilibre le couple produit par les pressions aérodynamiques résultant de la déflexion sur la charnière de la gouverne. Anciennement, et encore de nos jours pour beaucoup d’appareils d’aviation légère, la commande de
la gouverne par le manche s’effectuait au moyen d’un système mécanique de
câbles, tiges, leviers et poulies, dont le principe est schématiquement représenté
à la figure .. Avec l’augmentation de la vitesse des appareils, il est devenu né-
Fig. . – Schéma d’un système mécanique de commande de la gouverne de
profondeur
cessaire d’adjoindre une assistance via des actuateurs amplifiant l’effort fourni
par le pilote. Actuellement, on recourt fréquemment à des systèmes de commandes électriques (« fly-by-wire ») ou opto-électriques (« fly-by-light »). En tout
cas, quelle que soit la nature du système de commande, il est nécessaire, pour
le concevoir correctement, de connaître précisément le couple à appliquer à la
gouverne pour la défléchir d’un angle donné.
Considérons une géométrie typique d’empennage horizontal comprenant
un compensateur (tab) tel que représenté à la figure .. Le compensateur (tab),
dont on discutera la fonction ultérieurement, est un petit volet qui a généralement un effet négligeable sur la portance de l’empennage (et donc sur le moment de tangage sur l’avion) mais par contre un effet substantiel sur le couple
de charnière de la gouverne He . Définissant le coefficient adimensionnel associé
C he =
He
,
q̄S e c̄e
(.)
où S e est la surface de la partie de la gouverne en arrière de la charnière, il s’exprime, dans le cadre d’une théorie linéarisée, de la manière suivante :
C he = b0 + b1 αt + b2 δe + b3 δt
(.)
2.3. Guidage et stabilité statique manche libre longitudinaux
Fig. . – Géométrie d’un empennage horizontal
où δt est la déflexion du compensateur, comptée positive vers le bas. Pour les
empennages à profil symétrique (b0 = 0), cas le plus fréquent en pratique, compte
tenu de l’expression de l’incidence sur l’empennage
·
¸
∂²
at S t
∂²
∂²
)αwb − i t − ²0 = (1 −
)α − 1 −
(1 −
) (i t + ²0 )
(.)
αt = (1 −
∂α
∂α
aS
∂α
cette expression devient
C he = C he0 +C heα α + b2 δe + b3 δt
(.)
avec
·
¸
∂²
at S t
(1 −
) (i t + ²0 )
C he0 = −b1 1 −
aS
∂α
∂²
C heα = b1 (1 −
)
∂α
Les coefficients b1,2,3 sont parmi les coefficients aérodynamiques intervenant en
stabilité et guidage les plus difficiles à évaluer. Ils sont en effet extrêmement sensibles aux multiples paramètres définissant la géométrie de l’empennage — balance aérodynamique (rapport cb /ce ), fraction de corde de la gouverne (rapport
Chapitre 2. Stabilité statique et guidage
ce /ct ), passage entre la gouverne et la partie fixe de l’empennage, angle de bord
de fuite, . . . — mais aussi au nombre de Reynolds (état et épaisseur des couches
limites sur l’empennage et la gouverne). On les évalue généralement à l’aide de
corrélations empiriques basées sur des mesures en soufflerie et en vol mises à
jour continuellement (Engineering Data Sheets britanniques et Datcom américains, disponibles sous forme informatique).
Dans le cas d’un système mécanique de commande de la gouverne (voir figure .), la relation entre la force dans le manche et le moment de charnière de
la gouverne s’obtient aisément par le théorème de l’énergie cinétique. Comme
l’énergie cinétique du système est invariante, on en déduit que le travail total est
nul, c’est-à-dire
F s + He δe = 0
(.)
de sorte que la force dans le manche est simplement proportionnelle au couple
de charnière
δe
F = − He = GHe
(.)
s
où le facteur G est la démultiplication du système mécanique. Pour un système
avec assistance, la force dans le manche reste proportionnelle au couple de charnière, la seule différence étant que le facteur G comprend également l’effet de
l’assistance. Enfin, même dans le cas de commandes électriques ou opto-électriques,
la relation reste généralement valable car ces systèmes reproduisent une résistance dans le manche de manière à fournir au pilote une sensation (« artificielle ») semblable à celle (sensation « naturelle ») fournie par un système mécanique. Compte tenu de l’expression du coefficient de couple de charnière (.),
la force dans le manche peut s’écrire de la manière suivante :
F
= q̄(C he0 +C heα α + b2 δe + b3 δt )
GS e c̄e
En exprimant l’incidence et la déflexion de la gouverne en fonction du coefficient de portance et en utilisant l’équilibre en sustentation q̄CLéq. = P/S, cette
équation devient
·
¸
C mδe C heα − b2C mα P
CLδe C heα − b2CLα
F
=
+ q̄ C he0 + b3 δt +
C m00
GS e c̄e
D
S
D
(.)
ou encore
F
= A + B q̄
GS e c̄e
(.)
d’où il apparaît que la force dans le manche est directement proportionnelle à
la pression dynamique, ce qui explique la nécessité d’employer des dispositifs
d’assistance pour les vols à grande vitesse.
2.3. Guidage et stabilité statique manche libre longitudinaux
.. Point neutre manche libre
On a considéré précédemment la stabilité statique dans le cas où la gouverne de profondeur est calée dans une position fixe. En pratique, un pilote humain est incapable de maintenir le manche en position fixe lorsque l’avion subit
une perturbation d’incidence, alors que l’on s’en approche si l’avion est équipé
d’un dispositif d’assistance avec bloquage. On s’intéresse maintenant à l’autre
cas extrême, à savoir celui où la gouverne de profondeur est totalement libre de
se déplacer sous l’effet des forces aérodynamiques qui s’exercent sur elle. Il s’agit
d’un cas extrême en raison des frottements inévitables qui s’opposent au mouvement de la gouverne, mais il est néanmoins intéressant de l’analyser puisque
la réalité se situe entre les deux cas extrêmes.
Lorsque la gouverne de profondeur est libre, le couple de charnière est nul.
Par conséquent, la déflexion de la gouverne vaut
δelibre = −
1
(C he0 +C heα α + b3 δt )
be
(.)
Il en résulte que les expression du coefficient de portance et de moment se modifient comme suit :
C Lδe
C heα
St
ae δelibre = (a −CLδe
)α −
(C he0 + b3 δt )
S
b2
b2
·
¸
St
C m = C m00 + a(h − hn )α +
(h − hnwb ) − V̄H ae δelibre
S
CL = aα +
(.)
= C m00 +C mα α +C mδe δelibre
= C m00 + (C mα −
C mδe C heα
b2
)α −
C mδ e
b2
(C he0 + b3 δt )
(.)
On constate donc que la pente de la courbe de portance est réduite :
a 0 = a(1 −
CLδe C heα
ab2
)
(.)
L’effet de la gouverne libre peut aussi s’exprimer comme une réduction de l’efficacité de l’empennage. En effet, le coefficient de portance de l’empennage étant
donné par
C lt = a t α t + ae δe
cette expression devient, dans le cas d’une gouverne libre,
C lt = (at − ae
b1
ae b3
)αt −
δt
b2
b2
(.)
c’est-à-dire que la pente
de la
µ
¶ courbe de portance de l’empennage est réduite
ae b1
par un facteur F = 1 −
communément appelé facteur de gouverne libre
at b2
de l’empennage.
Chapitre 2. Stabilité statique et guidage
Les propriétés de stabilité de l’avion avec gouverne libre s’obtiennent alors
simplement à partir des propriétés avec gouverne fixe en remplaçant a par a 0 et
at par F at . Par exemple, on tire de (.)
0
= C mα −
Cm
α
C mδe C heα
b2
= a(h − hn ) −
C mδe C heα
(.)
b2
On en déduit que cette grandeur s’annule pour (point neutre manche libre)
h = hn +
C mδe C heα
ab2
·
¸
∂C mp
C mδe C heα
∂²
1
= hnwb +
+
V̄H at (1 −
)−
a
∂α
∂α
ab2
(.)
Compte tenu des expressions de C mδe et de CLδe , à savoir
C Lδe
ae S t
=
S
·
C mδ e = a e
¸
St
(h − hnwb ) − V̄H = CLδe (h − hnwb ) − ae V̄H
S
l’équation précédente devient
·
¸
∂C mp
C heα
∂²
1
V̄H at (1 −
+ (CLδe (h − hnwb ) − ae V̄H )
h = hnwb +
)−
a
∂α
∂α
ab2
ou encore, compte tenu de l’expression de C heα
¶
µ
µ
¶
CLδe C heα
CLδe C heα
∂²
1
ae b1 ∂C mp
= hnwb 1 −
+ V̄H at (1 −
) (1 −
)−
h 1−
ab2
a
∂α
at b1
∂α
ab2
| {z }
|
{z
}
0
F
= aa
(.)
0
Multipliant par a/a 0 , on obtient finalement que C m
s’annule pour
α
hn0 = hnwb +
·
¸
∂C mp
1
∂²
V̄
F
a
(1
−
)
−
H
t
a0
∂α
∂α
(.)
soit effectivement la même expression que celle du point neutre manche fixe
dans laquelle a est remplacé par a 0 et at par F at . Avec cette expression du point
neutre manche libre, on obtient encore l’expression suivante pour la raideur en
tangage
0
Cm
= a 0 (h − hn0 )
α
(.)
où h − hn0 est appelée marge statique manche libre.
La différence entre la marge statique manche fixe et la marge statique manche
2.3. Guidage et stabilité statique manche libre longitudinaux
libre est égale à hn0 − hn . À partir des expressions de la raideur en tangage
0
Cm
= a 0 (h − hn0 ) = a(h − hn ) −
α
C mδe C heα
b2
= a(h − hn ) − (CLδe (h − hnwb ) − ae V̄H )
CLδe C heα
= (h − hn ) (a −
b
|
{z 2
a0
C heα
b2
C heα
) −(CLδe (hn − hnwb ) − ae V̄H )
b2
}
b1
∂²
= a 0 (h − hn ) − (1 −
)(CLδe (hn − hnwb ) − ae V̄H )
b2
∂α
on obtient
b1
∂²
(1 −
)(CLδe (hn − hnwb ) − ae V̄H )
0
a b2
∂α
∂²
St
ae b1
)(− (hn − hnwb ) + V̄H )
= − 0 (1 −
a b2
∂α
S
hn0 − hn =
(.)
qui est typiquement une grandeur négative de l’ordre de ,. Ceci signifie que
le point neutre manche libre est sensiblement en avant du point neutre manche
fixe, et par conséquent une réduction de la marge statique, donc de la stabilité
par rapport au cas du manche fixe.
.. Compensateurs et gradient de force dans le manche
On a vu précédemment (section ..) que pour voler à une vitesse donnée, et
donc à un CL donné, il fallait braquer la gouverne d’un angle δeéq. bien précis. On
a vu d’autre part (section ..) qu’à chaque angle de gouverne correspondait un
couple de charnière et par conséquent une force dans le manche. En régime de
croisière pour une longue période, il serait extrêmement fatigant pour le pilote
d’exercer constamment un effort dans le manche. Comme l’angle de gouverne
libre δelibre est fonction de la déflexion du compensateur, on se sert alors de celuici pour faire coïncider l’angle de gouverne libre avec celui d’équilibre. L’angle de
compensateur désiré s’obtient à partir de l’équation du moment de charnière
(.)
1
δtéq = − (C he0 +C heα αéq + b2 δeéq )
(.)
b3
Insérant dans cette équations les expressions de l’incidence et de l’angle de gouverne à l’équilibre, on obtient
·
¸
CLδe C heα − b2CLα
C mδe C heα − b2C mα
1
+CLéq
δtéq = −
C he0 +C m00
(.)
b3
D
D
On remarque la ressemblance avec l’expression de la force dans le manche (.),
que l’on peut donc réécrire comme
F
= q̄C he = q̄b3 (δt − δtéq )
GS e c̄e
(.)
Chapitre 2. Stabilité statique et guidage
D’autre part, compte tenu de la définition de la raideur en tangage manche libre
0
= C mα −
Cm
α
C mδe C heα
b2
on peut reformuler l’expression de l’angle du compensateur à l’équilibre comme
¸
·
0
CLδe C heα − b2CLα b2C m
1
α
C he0 +C m00
−
CLéq
b3
D
D
·
¸
−
b
C
C
C
1
b2 a 0
2 Lα
Lδe heα
0
=−
C he0 +C m00
−
(h − hn )CLéq
b3
D
D
δtéq = −
(.)
d’où l’on observe que l’angle du compensateur à l’équilibre est fonction linéaire
du coefficient de portance d’équilibre et que la pente est proportionnelle à la
marge statique manche libre comme indiqué à la figure. L’expression de la pente
Fig. . – Angle du compensateur à l’équilibre
est
dδtéq
dCLéq
=
b2 a 0
(h − hn0 )
b3 D
(.)
soit une expression très semblable à celle de la pente de l’angle de gouverne
(.). On en conclut que l’on peut déterminer le point neutre manche libre
en vol par une procédure semblable à celle suggérée pour la détermination du
point neutre manche fixe, à savoir en portant en graphique la pente dδtéq /dCLéq
en fonction du centrage.
Pour terminer, réanalysons l’expression de la force dans le manche (.).
·
¸
C mδe C heα − b2C mα P
CLδe C heα − b2CLα
F
=
+ q̄ C he0 + b3 δt +
C m00
GS e c̄e
D
S
D
Avec l’expression de la raideur en tangage manche libre, on obtient l’expression
alternative
·
¸
CLδe C heα − b2CLα
b2 a 0
P
F
=−
(h − hn0 ) + q̄ C he0 + b3 δt +
C m00
(.)
GS e c̄e
D
S
D
2.3. Guidage et stabilité statique manche libre longitudinaux
Fig. . – Effet du centrage sur la force dans le manche et son gradient au point
d’équilibre
d’où l’on voit que le terme constant est proportionnel à la marge statique manche
libre, comme illustré à la figure. Comme F = 0 à la vitesse correspondant à la position d’équilibre du compensateur, on peut encore réécrire ceci comme
F
b2 a 0
P
q̄
=−
(h − hn0 ) (1 −
)
GS e c̄e
D
S
q̄éq
(.)
Le gradient de cette force par rapport à la vitesse au point d’équilibre constitue
une importante caractéristique de pilotage. Dérivant l’expression précédente
par rapport à la vitesse, on obtient
1 dF
ρV dF b2 a 0
P ρV
=
=
(h − hn0 )
GS e c̄e dV GS e c̄e d q
D
S q̄éq
et la valeur au point d’équilibre est donc
µ
¶
dF
b2 a 0
P 2
1
=
(h − hn0 )
GS e c̄e dV éq
D
S Véq
(.)
c’est-à-dire proportionnelle à la marge statique manche libre. Au point neutre
manche libre, le gradient de force dans le manche s’annule et la force dans le
manche est nulle pour toutes les vitesses. Il s’agit là d’une propriété caractéristique du point neutre manche libre, à savoir que lorsque le centre de gravité est
en ce point, on ne doit exercer aucune force pour modifier la vitesse de vol.
En examinant l’expression du gradient de force dans le manche, on observe
également que la commande sera d’autant plus ferme que l’avion est grand (F ∝
S e c̄e , c’est-à-dire au cube de la taille de l’avion), que la vitesse est faible et donc, à
pression dynamique constante, que l’altitude est faible, que le centre de gravité
est avancé et que le poids est élevé.
Chapitre 2. Stabilité statique et guidage
. Stabilité statique latérale
.. Notations et remarques préalables
À ce stade, il devient nécessaire de préciser les notations pour les diverses
composantes du couple aérodynamique, ainsi que pour les angles définissant
l’attitude de l’avion et les angles définissant la configuration aérodynamique.
Tant qu’on se restreint au vol stabilisé dans le plan de symétrie, l’attitude de
l’avion se caractérise en effet uniquement par l’angle d’assiette et la seule composante du couple aérodynamique est le moment de tangage, mais dans le cas
général, il faut considérer les deux autres composantes du couple aérodynamique et les deux autres angles caractérisant l’attitude de l’avion.
L’orientation de l’avion par rapport au système inertiel d’axes liés à la terre
est entièrement définie par trois paramètres : on peut utiliser à cette fin les cosinus directeurs des vecteurs de base du repère lié à l’avion (remarquer que seuls
trois parmi les neufs sont indépendants, les autres étant liés par les conditions
d’orthonormalité) ou les angles d’Euler, angles de trois rotations successives à
appliquer au repère inertiel pour l’amener sur le repère lié à l’avion. C’est cette
dernière option que l’on adopte ici, comme dans la plupart des ouvrages de mécanique du vol, en raison de son plus grand sens physique. Les rotations définissant les angles d’Euler sont (voir figure)
. une rotation d’angle ψ, appelé azimut, autour de l’axe z1 du repère local
(avec origine au centre de gravité de l’avion) parallèle au repère inertiel
Ox0 y0 z0 ,
. une rotation d’angle θ, appelé assiette longitudinale ou en abrégé assiette,
autour de l’axe y2 du repère obtenu par la rotation précédente, et
. une rotation d’angle φ, appelé angle de gîte ou encore de roulis, autour de
l’axe x3 du repère obtenu par la rotation précédente.
Il faut remarquer que l’ordre des rotations n’est pas indifférent, car la valeur des
angles serait modifiée si l’on adoptait un ordre différent. Il ne devient indifférent
que pour des rotations infinitésimales.
On note respectivement L, M et N les composantes du couple aérodynamique dans le repère avion et p, q (à ne pas confondre avec la pression dynamique) et r les composantes de la vitesse de rotation de l’avion.
Le repère aérodynamique, lui, est entièrement défini par rapport au repère
avion par deux angles. L’axe xa étant aligné avec le vecteur vitesse, l’axe za est
défini comme étant l’intersection du plan perpendiculaire à xa et du plan de symétrie de l’avion, et l’axe ya complète le repère. Avec cette définition, on amène
le repère avion sur le repère aérodynamique par les deux rotations suivantes :
. une rotation d’angle −αx , appelé incidence , autour de l’axe y, et
On identifie l’incidence ainsi définie par l’indice x pour la distinguer de l’incidence par rap-
port à la direction de portance nulle α. Les deux incidences coïncident si l’axe x est aligné avec
la direction de portance nulle, mais il est souvent plus commode de le choisir différemment (voir
2.4. Stabilité statique latérale
Fig. . – Orientation de l’avion
. une rotation d’angle β, appelé dérapage, autour de l’axe za .
~ 0 , projection orthogonale
Ces angles peuvent aussi se définir à partir du vecteur V
du vecteur vitesse sur le plan de symétrie de l’avion, αx étant l’angle entre l’axe
~ 0 et β étant l’angle entre le vecteur vitesse et le vecteur V
~ 0 . Ils
x et le vecteur V
se calculent simplement à partir des composantes u, v, w du vecteur V dans le
repère avion par les expressions suivantes
αx = tan−1
w
u
β = sin−1
v
V
(.)
Il existe de grandes différences entre mouvement longitudinal et latéral. Alors
que le mouvement longitudinal ne comporte qu’un seul degré de liberté en rotation, ce qui a pour conséquence que la stabilité est étroitement liée à la raideur
en tangage, le mouvement latéral, lui, comporte deux degrés de liberté en rotation, qui de plus sont couplés. En effet, un mouvement de roulis (composante
chapitre .
Chapitre 2. Stabilité statique et guidage
p de la vitesse de rotation) produit généralement non seulement un couple de
roulis L mais aussi un couple de lacet N et un mouvement de lacet (composante
r de la vitesse de rotation) produit tout à la fois un couple de lacet et de roulis.
D’autre part, en vol stabilisé symétrique, le problème de guidage latéral ne se
pose pas : les positions d’équilibre des ailerons et du gouvernail sont nulles par
symétrie. Ce n’est plus vrai en cas de rupture de symétrie, par exemple en cas de
défaillance d’un moteur. Enfin, du fait que pour un vol stabilisé symétrique, l’accélération de la gravité est dans le plan de symétrie, il en résulte que la position
du centre de gravité ne joue pas un rôle prépondérant pour les caractéristiques
de stabilité latérale, comme pour les caractéristiques de stabilité longitudinale.
.. Stabilité directionnelle et guidage
Considérons un avion subissant une perturbation de dérapage β (voir figure). Selon la définition de la stabilité statique, la condition de stabilité statique
Fig. . – Avion en dérapage
sera que le couple aérodynamique produit ait tendance à ramener l’avion en vol
symétrique, c’est-à-dire que la raideur en lacet ∂N/∂β soit positive. Le coefficient adimensionnel de moment de lacet est
Cn =
N
½ρV 2 Sb
(.)
(remarquer que la longueur de référence est l’envergure b et non la corde c̄) et sa
dérivée par rapport au dérapage est notée C nβ de manière analogue à la notation
adoptée pour la raideur en tangage (C mα ).
Tout comme on l’avait fait pour cette dernière, on évalue C nβ par assemblage
des contributions des diverses composantes de l’avion. Les contributions prin-
2.4. Stabilité statique latérale
cipales sont celles du fuselage et de la dérive, alors que la contribution de l’aile
est généralement faible et que la position du centre de gravité joue peu.
Le rôle de la dérive est illustré à la figure .. En absence de composantes
Fig. . – Forces aérodynamiques sur la dérive
autres, la vitesse de l’écoulement abordant la dérive VF serait bien évidemment
égale à la vitesse V et l’incidence αF sur la dérive égale à l’opposé du dérapage
αF = −β. En réalité cependant, il faut tenir compte des interférences dues au
souffle des hélices, au fuselage et à l’aile. En direction, ces interférences sont
représentées par une déflexion angulaire σ semblable à la déflexion ² ressentie
par l’empennage horizontal, à laquelle on attribue un signe positif si elle a pour
effet d’augmenter l’incidence. On aura donc
αF = −β + σ
(.)
Avec une expression linéaire pour le coefficient de portance sur la dérive
CLF = aF (−β + σ) + ar δr
(.)
où δr est le braquage du gouvernail, on obtient le coefficent de moment de lacet
dû à la dérive
µ ¶
S F lF VF 2
C nF = −CLF
(.)
Sb V
Chapitre 2. Stabilité statique et guidage
où le rapport S F lF /Sb est appelé le rapport de volumes de la dérive et noté VV
semblablement au rapport analogue pour l’empennage horizontal. Dérivant par
rapport au dérapage, on obtient
µ ¶2 µ
¶
∂C nF
∂σ
VF
aF 1 −
(.)
= VV
∂β
V
∂β
D’une manière générale, la déflexion latérale σ est difficile à évaluer. Les
contributions principales sont celles du fuselage agissant comme une surface
portante lorsque mis en dérapage, de l’hélice mais aussi de l’aile en raison de
la structure asymétrique de l’écoulement lorsque l’avion est en dérapage, cette
dernière contribution étant d’autant plus importante pour les ailes en flèche de
faible allongement. Quant au rapport des vitesses VF /V , il ne diffère pas sensiblement de l’unité, sauf lorsque la dérive est dans le souffle d’une hélice.
Il existe en outre une contribution au couple de roulis provenant de la force
normale qui agit sur une hélice lorsqu’elle est mise en dérapage. Cette force fournit une contribution négative (donc déstabilisante) lorsque l’hélice est située en
avant du centre de gravité et à l’inverse positive pour une configuration avec hélice en position arrière (hélice propulsive). Les turboréacteurs produisent une
contribution semblable.
La plupart des conditions de vol souhaitables sont des configurations symétriques, c’est-à-dire sans dérapage. Un avion vraiment symétrique ayant une
raideur en lacet positive aura naturellement tendance à se placer dans de telles
conditions de vol. Mais il peut se produire des couples de lacet résulant de la
défaillance d’un moteur, de la rotation du souffle propulsif ou encore de l’asymétrie de l’écoulement en virage. Dans ces conditions, il faudra produire un
couple aérodynamique de sens contraire par braquage du gouvernail pour assurer l’équilibre en lacet. Contrairement à la gouverne de profondeur, ce rôle
d’équilibrage n’est pour le gouvernail qu’un rôle secondaire. Cela étant, l’analyse de l’effet du gouvernail est en tout point semblable à celle de l’effet de la
gouverne de profondeur. À partir des équations (.–.), on obtient
µ ¶2
∂C n
VF
C nδr =
= −ar VV
(.)
∂δr
V
Cette dérivée, que l’on appelle parfois « puissance du gouvernail », doit être suffisamment élevée pour maintenir un dérapage nul dans les conditions les plus
défavorables d’une poussée asymétrique en virage.
Un autre indicateur utile de l’effectivité du gouvernail est l’angle de dérapage
qui peut être maintenu pour un braquage de gouvernail donné. Le couple de
lacet étant donné par
(.)
C n = C nβ β +C nδr δr
et puisqu’il doit être nul à l’équilibre, l’effectivité du gouvernail est donc
C nδr
β
=−
δr
C nβ
(.)
2.4. Stabilité statique latérale
Le couple de charnière et la force dans le palonnier correspondante se calculent également de manière semblable à celle employée pour la gouverne de
profondeur. Avec une expression du coefficient de couple de charnière de la
forme
C hr = b1 αF + b2 δr
(.)
la force dans le palonnier s’exprime comme suit :
F =G
=G
ρVF2
2
ρVF2
2
S r c̄r (b1 αF + b2 δr )
S r c̄r [b1 (−β + σ) + b2 δr ]
(.)
où G est le rapport de démultiplication du système de commande du gouvernail.
L’influence d’un gouvernail libre sur la raideur en lacet s’obtient en annulant
le coefficient de couple de charnière. L’angle de flottement du gouvernail étant
δrfree = −
b1
αF
b2
la pente de la courbe de portance de la dérive s’obtient directement à partir de
(.).
µ
¶
ar b1
0
CLF = aF αF 1 −
(.)
aF b2
de sorte que l’efficacité du gouvernail est réduite par un facteur semblable à celui obtenu pour celle de la gouverne de profondeur.
.. Stabilité en roulis et guidage
Pour aborder la stabilité en roulis, considérons par la pensée un avion qui
serait contraint à ne se mouvoir que selon ce degré de liberté. Ce serait le cas par
exemple d’un modèle en soufflerie libre de tourner autour de l’axe de son support. Remarquons que si cet axe est aligné avec la vitesse du vent, une rotation
d’angle φ autour de l’axe ne modifie en rien la configuration aérodynamique.
Par conséquent, aucun couple de roulis n’est créé et donc la dérivée aérodynamique C lφ est nulle.
Si la vitesse V n’est pas alignée avec l’axe de rotation (donc que l’incidence
α est non nulle), alors une rotation d’angle φ produit un dérapage. En effet, si la
configuration originale est sans dérapage et donc que la composante transversale de la vitesse v est nulle, après rotation d’angle φ on a (en identifiant les
variables après rotation par le symbole 0 ) v 0 = V sin α sin φ, de sorte que β0 =
sin−1 (sin α sin φ). Il apparaîtra donc une raideur en roulis du second ordre par
l’entremise de la dérivée aérodynamique C lβ qui représente le moment de roulis engendré par un dérapage. Avec l’expression précédente pour l’angle de dérapage produit par la rotation d’angle φ, on obtient, en considérant de petits
angles,
C lφ = sin αC lβ ≈ αC lβ
(.)
Chapitre 2. Stabilité statique et guidage
C lβ étant généralement négative, on aura donc un couple tendant à ramener les ailes dans leur orientation initiale (supposée horizontale) pour des incidences positives. Si l’incidence est négative, alors l’avion poursuivra sa rotation
jusqu’à un angle de roulis de ˚ où le moment de roulis s’annule et C lφ est négative (configuration statiquement stable).
Pour des avions libres de se mouvoir selon leurs degrés de liberté, la question de savoir si, à la suite d’une perturbation en roulis, ils ont tendance à revenir
à leur état initial est beaucoup plus complexe et ne peut recevoir une réponse
que par une analyse dynamique complète (voir section .). D’une manière générale cependant, on constate que la plupart des avions ont une tendance naturelle à voler avec les ailes horizontales, en raison de l’influence du paramètre C lβ ,
que l’on nomme communément « l’effet dièdre ». En effet, si un avion est incliné
en roulis d’un angle φ, il apparaît une composante du poids dans la direction y
qui a tendance à mettre l’avion en dérapage (voir figure). Et le dérapage résultant
Fig. . – Avion incliné en roulis
produit un couple de roulis C lβ β négatif ayant tendance à ramener les ailes en
position horizontale si C lβ est négatif. Comme indiqué précédemment, le détail
du mouvement ne peut se déterminer que par une analyse dynamique, mais la
discussion illustre bien l’importance des effets de couplage sur les mouvements
latéraux et du paramètre C lβ .
La dérivée aérodynamique C lβ dont on vient de montrer l’importance, est
principalement produite par l’aile, dont plusieurs paramètres géométriques (dièdre, flèche, allongement, position par rapport au fuselage) influencent fortement la valeur. L’effet du dièdre est illustré à la figure .. On voit que la composante latérale de la vitesse (v = V sin β ≈ V β) fournit une contribution vΓ = V βΓ
à la vitesse normale au plan de l’aile tribord (à gauche sur la figure) et une contribution opposée à la vitesse normale au plan de l’aile bâbord. Il en résulte les incréments d’incidence ∆α = ±βΓ respectivement sur les ailes tribord et bâbord,
2.4. Stabilité statique latérale
Fig. . – Rôle du dièdre
ce qui produit un couple de roulis proportionnel à βΓ et donc une contribution
à C lβ proportionnelle à Γ.
La flèche de l’aile joue également un rôle important . En effet, comme indiqué à la figure, en présence d’un dérapage, la composante de la vitesse perpen-
Fig. . – Effet de la flèche sur C lβ
diculaire à l’axe aérodynamique de l’aile est plus élevée sur l’aile tribord que sur
l’aile bâbord. Il en résulte que la portance est plus élevée également et donc qu’il
apparaît un couple de roulis négatif, proportionnel au coefficient de portance de
l’aile et au dérapage.
La position de l’aile joue aussi un grand rôle. En effet, l’écoulement autour
du fuselage interagit avec l’écoulement sur l’aile comme illustré à la figure (vue
de l’arrière). On voit que l’écoulement autour du fuselage induit par le dérapage
a tendance à augmenter/réduire l’incidence sur l’aile tribord selon que l’aile est
en position haute ou basse et réciproquement pour l’aile bâbord. On en conclut
que l’interférence entre aile et fuselage produit une contribution négative à C lβ
pour une aile haute et positive pour une aile basse. C’est la raison pour laquelle
les ailes hautes ont un dièdre moins élevé que les ailes basses, surtout pour les
La flèche de l’aile est toutefois déterminée principalement en fonction de considérations
autres.
Chapitre 2. Stabilité statique et guidage
Fig. . – Effet du fuselage sur C lβ
ailes en flèche, pour lesquelles on peut même observer parfois des dièdres négatifs (Harrier). En effet, s’il est souhaitable que C lβ soit négatif, une valeur trop
basse rend l’appareil inconfortable à piloter.
Enfin, la dernière contribution importante à C lβ est celle de la dérive. La portance sur la dérive résultant d’un dérapage (voir section précédente) produit en
effet un couple de roulis égal à LF zF , où zF est la distance entre le centre aérodynamique de la dérive et l’axe x. Par conséquent, le coefficient de couple de roulis
vaut
µ ¶
zF S F VF 2
∆C l = aF (−β + σ)
(.)
Sb V
et la contribution à C lβ
¶
µ ¶
µ
∂σ zF S F VF 2
∆C lβ = −aF 1 −
∂β Sb V
(.)
On terminera l’examen de la stabilité statique latérale en abordant brièvement la question du guidage en roulis. L’angle de gîte de l’avion est commandé
par les ailerons, qui sont le plus souvent des volets mobiles de l’aile principale
braqués de manière différentielle comme indiqué sur la figure. L’effet principal
Fig. . – Ailerons
des ailerons est de produire un couple de roulis, mais ils produisent également
2.4. Stabilité statique latérale
un couple de lacet. On représente ces deux effets par les dérivées aérodynamiques C lδa et C nδa . Le braquage des ailerons est défini comme la moyenne arithmétique du braquage vers le bas de l’aileron tribord et du braquage vers le haut
de l’aileron bâbord. En raison de cette définition, C lδa est donc normalement négative, un braquage positif de l’aileron produisant un couple de roulis négatif.
L’augmentation de portance sur l’aile tribord et la dimimution sur l’aile bâbord
résultant d’un braquage positif des ailerons s’accompagnent de variations semblables des traînées, ce qui produit un couple de lacet positif. Comme on braque
les ailerons positivement pour amorcer un virage vers la gauche, ce couple de lacet est donc de sens inverse à celui souhaité, ce qui peut entraîner des difficultés
de guidage latéral pour les avions de grand allongement. Une manière de remédier à ce problème est d’utiliser des aérofreins (spoilers) ou des ailerons Frise.
L’action des aérofreins est illustrée ci-dessous. Le déploiement de l’aérofrein bâ-
Fig. . – Aérofreins
bord a pour effet de réduire la portance et d’augmenter la traînée de l’aile bâbord, et donc des couples de roulis et de lacet négatifs. Remarquons pour terminer que les ailerons diffèrent fonctionnellement des autres commandes (gouvernes de profondeur et de direction) en ce qu’ils constituent une commande
de vitesse de roulis, c’est-à-dire qu’une déflexion constante des ailerons produit
une vitesse de rotation constante, alors que les gourvernes de profondeur et de
direction sont des commandes d’angle d’incidence et de dérapage.
Mentionnons enfin que la plupart des avions conventionnels tant subsoniques que supersoniques, sont affectés par un effet aéroélastique connu sous le
nom d’inversion des ailerons. Le braquage des ailerons produit un couple de torsion de l’aile qui a tendance à vriller l’aile dans le sens inverse du braquage des
ailerons. Le couple de torsion de l’aile étant proportionnel à ½ρV 2 δa , l’angle de
vrillage, et par conséquent le couple de roulis corresondant, seront également
proportionnels à ½ρV 2 δa . On aura donc que le couple de roulis résultant d’un
Chapitre 2. Stabilité statique et guidage
braquage des ailerons vaudra
¡
¢
∆C l = C lδa indéf δa + k½ρV 2 δa
(.)
et donc
¡
¢
C lδa = C lδa indéf + k½ρV 2
(.)
¡
¢
Comme on l’a mentionné précédemment, C lδa indéf est négative et par ailleurs,
la constante de proportionnalité k est positive si, comme c’est généralement le
cas, le centre de poussée de l’incrément de portance dû aux ailerons est en arrière de l’axe élastique de l’aile. Il en résulte que l’effectivité des ailerons diminue
avec la vitesse et même s’annule pour une certaine vitesse VR , que l’on appelle la
vitesse d’inversion des ailerons. À partir des expression précédentes, on obtient
VR2 = −
¢
2 ¡
C lδa indéf
ρk
(.)
et l’expression suivante de l’efficacité des ailerons
¶
µ
¡
¢
V2
C lδa = C lδa indéf 1 − 2
VR
(.)
On peut éviter l’inversion des ailerons en raidissant l’aile (réduisant le coefficient k) de manière à faire en sorte que la vitesse d’inversion soit au-delà de
la vitesse maximale, mais cela induit une augmentation de poids. Une solution
alternative est l’utilisation des aérofreins pour le guidage en roulis.
Chapitre
Équations générales du
mouvement
. Introduction
Nous abordons dans ce chapitre le problème de la stabilité et du guidage du
point de vue dynamique, c’est-à-dire l’analyse du mouvement de l’avion soumis
à des perturbations ou à des actions sur les commandes. Comme on l’a souligné dans l’introduction générale, on considérera pour ce faire l’avion comme
un solide indéformable. Il s’agit évidemment d’une approximation, qui néglige
l’élasticité de l’avion, mais l’expérience a montré sa grande utilité pratique. Dans
ces conditions, la dynamique du vol est simplement une application particulière
de la dynamique des solides, dont la théorie générale a été présentée en détail
dans le cours MATH 107 Mécanique rationnelle II, qui se singularise par rapport
à d’autres applications par la nature aérodynamique des forces qui s’exercent
sur l’avion.
On commencera donc dans ce chapitre par rappeler les équations générales
du mouvement d’un solide indéformable telles qu’elles s’appliquent au mouvement d’un avion, y compris en présence de parties tournantes, telles que les hélices ou les turboréacteurs. Ensuite, on considérera le cas particulier de petites
perturbations autour d’un état d’équilibre, qui permet de linéariser les équations. Puis, on analysera l’expression des forces aérodynamiques et on montrera en particulier que, pour les avions de configuration symétrique, les mouvements de faible amplitude autour d’un état d’équilibre se décomposent en un
problème longitudinal et un problème latéral.
Chapitre 3. Équations générales du mouvement
. Les équations du mouvement
.. Équations d’Euler
Les équations du mouvement d’un solide indéformable établies au cours de
mécanique rationnelle sont
~)
d(m V
~
=F
dt
~)
d(~~I · ω
~
=G
dt
(.)
(.)
~I est le tenseur d’inertie, ω
~ et G
~ les forces et mo~ la vitesse de rotation, et F
où ~
ments appliqués respectivement, qui se composent du poids, des forces et moments aérodynamiques et des forces et moments des propulseurs, que l’on peut
éventuellement inclure dans les forces et moments aérodynamiques.
Particularisons ces équations en les exprimant dans le repère avion présenté
à la section ... Comme ce repère n’est pas inertiel, les dérivées temporelles apparaissant dans les équations du mouvement (.–.) doivent être transformées
par les règles habituelles, à savoir
µ
d ai
dt
¶
µ
=
inertiel
d ai
dt
¶
+ δi j k ω j ak
(.)
avion
La masse de l’avion et le tenseur d’inertie étant constants en repère avion, les
équations du mouvement en repère avion s’écrivent comme suit (en notations
indicielles)
d vi
+ δi j k ω j vk ) = Fi
dt
dω j
Ii j
+ δi j k ω j Ikl ωl = Gi
dt
m(
(.)
(.)
Établissons à présent l’expression de la transformation de coordonnées entre
le repère inertiel et le repère avion, ainsi que celle des vitesses de rotation en
fonction des angles d’Euler ψ, θ et φ. En vertu de la définition des angles d’Euler
3.2. Les équations du mouvement
donnée à la section .. (voir figure .), on a
x
1
0
0
cos θ 0 − sin θ
y = 0 cos φ sin φ 0
1
0
z
0 − sin φ cos φ
sin θ 0 cos θ
cos ψ sin ψ
− sin ψ cos ψ
0
0
cos θ cos ψ
cos θ sin ψ
− sin θ
sin φ sin θ cos ψ sin φ sin θ sin ψ sin φ cos θ
+ cos φ cos ψ
= − cos φ sin ψ
cos φ sin θ cos ψ cos φ sin θ sin ψ cos φ cos θ
+ sin φ sin ψ
− sin φ cos ψ
0
x1
0 y1
1
z1
x1
y
1
z1
(.)
La vitesse de rotation, elle, vaut
~ = ψ̇~ez1 + θ̇~e y2 + φ̇~ex3
ω
(.)
où ~ex j est le vecteur unitaire selon l’axe x du repère j . En exprimant tous ces
vecteurs dans le repère avion, on obtient finalement
1
0
− sin θ
p
q = ψ̇ sin φ cos θ + θ̇ cos φ + φ̇ 0
0
− sin φ
cos φ cos θ
r
φ̇ − sin θ ψ̇
= sin φ cos θ ψ̇ + cos φ θ̇
(.)
cos φ cos θ ψ̇ − sin φ θ̇
dont on tire l’expression inverse
p + tan θ(sin φ q + cos φ r)
φ̇
θ̇ =
cos φ q − sin φ r
sec θ(sin φ q + cos φ r)
ψ̇
(.)
En utilisant les résultats précédents, les équations du mouvement s’explicitent comme suit :
m(u̇ + qw − r v) = −P sin θ + X
(.a)
m(v̇ + r u − pw) = P sin φ cos θ + Y
(.b)
m(ẇ + pv − qu) = P cos φ cos θ + Z
(.c)
Ixx ṗ + Ix y (q̇ − pr) + Ixz (ṙ + pq) + I y z (q 2 − r 2 ) + (Izz − I y y )rq = L
(.a)
2
2
(.b)
2
2
(.c)
I y y q̇ + Ix y (ṗ + qr) + I y z (ṙ − pq) + Ixz (r − p ) + (Ixx − Izz )pr = M
Izz ṙ + Ixz (ṗ − qr) + I y z (q̇ + pr) + Ix y (p − q ) + (I y y − Ixx )pq = N
Chapitre 3. Équations générales du mouvement
On considérera par la suite le cas le plus fréquent où le plan x − z est un plan de
symétrie. Dans ces conditions, les produits d’inertie Ix y et I y z sont nuls. Si l’on
prend comme axes du repère avion les axes principaux d’inertie, alors le produit
d’inertie Ix y est nul également. Lorsqu’on étudie des petites perturbations autour d’un état d’équilibre symétrique (et donc un vol sans dérapage), il s’avère
toutefois plus commode d’employer comme repère avion un repère dans lequel
l’axe x est aligné avec la direction du vecteur vitesse à l’équilibre, car cela simplifie grandement l’expression des forces et moments aérodynamiques.
.. Contribution des rotors
Les équations établies précédemment sont valides pour un avion entièrement fixe dans le repère avion, c’est-à-dire sans partie mobile. Or, les moteurs
des avions comprennent des parties tournantes (rotors). Pour tenir compte de
ces rotors, il suffit d’ajouter explicitement le moment cinétique des rotors dans
l’expression du moment cinétique. Appelant hx0 , h y0 et hz0 les composantes du
moment cinétique des rotors dans le repère avion, supposé constant dans le
temps (orientation et vitesse de rotation des rotors constantes), il suffit d’ajouter
dans le membre de gauche des équations (.) les termes
composante x
composante y
composante z
qhz0 − r h y0
r hx0 − phz0
ph y0 − qhx0
(.)
connus sous le nom de couples gyroscopiques.
.. Résumé et discussion
Dans le cas d’un avion symétrique, l’ensemble des équations du mouvement
(dynamiques et cinématiques) se résument comme suit (en l’absence de vent
atmosphérique).
m(u̇ + qw − r v) = −P sin θ + X
(.a)
m(v̇ + r u − pw) = P sin φ cos θ + Y
(.b)
m(ẇ + pv − qu) = P cos φ cos θ + Z
(.c)
Ixx ṗ + Ixz (ṙ + pq) + (Izz − I y y )rq + qhz0 − r h y0 = L
(.a)
2
2
I y y q̇ + Ixz (r − p ) + (Ixx − Izz )pr + r hx0
Izz ṙ + Ixz (ṗ − qr) + (I y y − Ixx )pq + ph y0
− phz0
− qhx0
=M
(.b)
=N
(.c)
3.2. Les équations du mouvement
ẋ0 = cos θ cos ψ u + (sin φ sin θ cos ψ − cos φ sin ψ)v
+ (cos φ sin θ cos ψ + sin φ sin ψ)w
(.a)
ẏ0 = cos θ sin ψ u + (sin φ sin θ sin ψ + cos φ cos ψ)v
+ (cos φ sin θ sin ψ − sin φ cos ψ)w
ż0 = − sin θ u + sin φ cos θ v + cos φ cos θ w
(.b)
(.c)
φ̇ = p + tan θ(sin φ q + cos φ r)
(.a)
θ̇ = cos φ q − sin φ r
(.b)
ψ̇ = sec θ(sin φ q + cos φ r)
(.c)
Il s’agit d’un système de équations différentielles non-linéaires dans les inconnues x0 , y0 , z0 , φ, θ, ψ, u, v, w, p, q et r puisque les forces et couples aérodynamiques X , Y , Z , L, M et N dépendent du mouvement de l’avion représenté par
son vecteur vitesse u, v, w et son vecteur vitesse de rotation p, q, r, ainsi que d’un
vecteur c de paramètres de commandes
c = (δa , δe , δr , Π)
(.)
où δa , δe et δr représentent les braquages des ailerons et des gouvernes de profondeur et de direction, et Π la position de la manette des gaz, et sont des fonctions supposées données du temps.
Ce système différentiel est représenté symboliquement par le schéma-bloc
de la figure . qui fait apparaître les variables d’entrée et de sortie de chaque
sous-système. On constate que toutes les variables d’entrée se retrouvent comme
variables de sortie, sauf les variables de commande qui doivent être spécifiées.
Dans l’étude du mouvement de l’avion décrite par ce système, on peut distinguer divers types de problèmes :
Stabilité – commandes fixes Dans ce type de problèmes, on étudie le mouvement de l’avion consécutif à une perturbation, les commandes étant maintenues en position, c’est-à-dire pour un vecteur de commande constant.
En raison de la non-linéarité du système mentionnée précédemment, il
n’existe en général pas de solution analytique. Toutefois, pour des mouvements de faible amplitude, les équations du mouvement peuvent être
linéarisées, ce qui permet d’obtenir des solutions analytiques. On analysera ce type de problèmes au chapitre .
Stabilité – commandes libres Dans ce cas également, on étudie le mouvement
de l’avion consécutif à une perturbation, mais cette fois les commandes
sont libres de se déplacer sous l’effet des couples aérodynamiques qui
s’appliquent sur elles. Les variables de commande ne sont donc plus spécifiées, mais sont elles-mêmes liées aux variables d’état du système (orientation, vitesse, vitesse angulaire) par l’entremise des équations décrivant
Chapitre 3. Équations générales du mouvement
Fig. . – Schéma-bloc de la dynamique de l’avion
le mouvement des commandes, qui s’ajoutent donc au système de base.
Ce type de problèmes présente un intérêt surtout pour les avions à commandes mécaniques.
Stabilité – commandes automatiques C’est encore une fois le mouvement de
l’avion consécutif à une perturbation que l’on étudie, mais lorsque celuici est sous le contrôle d’un système de pilotage automatique qui actionne
les commandes en fonction de l’évolution des variables d’état et éventuellement de commandes extérieures telles que données par un système de
navigation.
Réponse aux commandes On étudie dans ce cas le mouvement de l’avion consécutif à l’actionnement d’une commande selon une loi de variation dans le
temps spécifiée, généralement un échelon de commande. On analysera ce
type de problèmes au chapitre .
Réponse à la turbulence atmosphérique L’étude du mouvement de l’avion et
des forces qui s’exercent sur lui en raison de turbulences atmosphériques
est extrêmement importante, tant du point de vue de la conception que
du point de vue opérationnel. Les équations du mouvement se modifient
simplement par l’ajout du vent atmosphérique, fluctuant en raison de la
turbulence, au vecteur vitesse de l’avion par rapport à l’atmosphère (u, v, w).
Problèmes inverses Cette dernière classe de problèmes correspond au cas où
l’évolution de certaines des variables d’état est spécifiée. Par exemple, on
peut chercher à déterminer quelle est l’action à appliquer aux commandes
pour obtenir un mouvement donné. C’est aussi à des problèmes de ce
type que conduit l’analyse d’essais en vol. Là, les mouvements de l’avion
et des commandes sont connus (mesurés) et il s’agit de déterminer la va-
3.3. Théorie des petites perturbations
leur des paramètres de l’avion qui correspondent au mouvement observé.
Il s’agit d’un exemple de l’important problème d’identification des paramètres en théorie des systèmes.
. Théorie des petites perturbations
On considère dans cette section des mouvements de faible amplitude autour
d’un état d’équilibre. Dans ces conditions, les équations du mouvement peuvent
se linéariser. L’expérience a montré que cette théorie simplifiée donne de bons
résultats, notamment pour l’analyse de la stabilité des états d’équilibre et de la
réponse aux commandes.
.. Linéarisation des équations
On commence par décomposer le mouvement entre l’état d’équilibre de référence (vol rectiligne uniforme) identifié par l’indice et les écarts par rapport
à cet état (perturbations), identifiés par le préfixe ∆. L’état de référence étant un
mouvement rectiligne uniforme, p0 = q0 = r0 = 0. De plus, on supposera que
l’état de référence est un vol symétrique, de sorte que v0 = φ0 = 0. Enfin, on peut
sans perte de généralité prendre w0 = 0 en alignant l’axe x avec le vecteur vitesse
à l’équilibre (repère avion de stabilité) et ψ0 = 0 en choisissant la direction x0 du
repère sol dans le plan de symétrie de l’avion.
On négligera en outre le moment cinétique des rotors, soit que l’avion soit
en vol plané, soit qu’il y ait un nombre pair de rotors tournant en sens inverse,
de sorte que le moment cinétique global est nul, soit enfin, dans le cas des monomoteurs, que le moment cinétique soit suffisamment faible pour être négligé.
Enfin, l’atmosphère sera supposée au repos (vent nul).
Dans ces conditions, en négligeant les termes quadratiques dans les écarts
et en linéarisant les expressions trigonométriques, les équations du mouvement
(.–.) deviennent
m∆u̇ = −P(sin θ0 + cos θ0 ∆θ) + X 0 + ∆X
m(∆v̇ + r u0 ) = P∆φ cos θ0 + Y0 + ∆Y
(.a)
(.b)
m(∆ẇ − qu0 ) = P(cos θ0 − sin θ0 ∆θ) + Z0 + ∆Z
(.c)
Ixx ∆ṗ + Ixz ∆ṙ = L0 + ∆L
(.a)
I y y ∆q̇ = M0 + ∆M
Izz ∆ṙ + Ixz ∆ṗ = N0 + ∆N
(.b)
(.c)
ẋ0 = cos θ0 (u0 + ∆u) − u0 sin θ0 ∆θ + sin θ0 ∆w
(.a)
ẏ0 = u0 cos θ0 ∆ψ + ∆v
(.b)
ż0 = − sin θ0 (u0 + ∆u) − u0 cos θ0 ∆θ + cos θ0 ∆w
(.c)
Chapitre 3. Équations générales du mouvement
∆φ̇ = ∆p + tan θ0 ∆r
(.a)
∆θ̇ = ∆q
(.b)
∆ψ̇ = sec θ0 ∆r
(.c)
L’état de référence étant un état d’équilibre, il satisfait les équations d’équilibre
0
0
0
0
= −P sin θ0 + X 0
= Y0
= P cos θ0 + Z0
= L0 = M0 = N0
(.)
de sorte que les équations des petites perturbations s’écrivent finalement, en
ommettant le préfixe ∆ pour les angles et les vitesses (de translation et de rotation) dont la valeur de référence est nulle et en écrivant les équations de translation pour l’écart ∆x0 , ∆y0 , ∆z0 entre la positions du centre de masse et sa position
au même moment en vol rectiligne uniforme
m∆u̇ = −P cos θ0 ∆θ + ∆X
m(v̇ + r u0 ) = Pφ cos θ0 + ∆Y
(.a)
(.b)
m(ẇ − qu0 ) = −P sin θ0 ∆θ + ∆Z
(.c)
Ixx ṗ + Ixz ṙ = ∆L
(.a)
I y y q̇ = ∆M
(.b)
Izz ṙ + Ixz ṗ = ∆N
(.c)
∆ẋ0 = cos θ0 ∆u − u0 sin θ0 ∆θ + sin θ0 w
(.a)
∆ ẏ0 = u0 cos θ0 ψ + v
(.b)
∆ż0 = − sin θ0 ∆u − u0 cos θ0 ∆θ + cos θ0 w
(.c)
φ̇ = p + tan θ0 r
(.a)
∆θ̇ = q
ψ̇ = sec θ0 r
(.b)
(.c)
Pour obtenir le système différentiel sous forme canonique, il suffit alors de résoudre les équations du mouvement pour les dérivées des composantes de la
vitesse et de la vitesse angulaire de perturbation, à savoir
∆X
m
∆Y
v̇ = g φ cos θ0 +
− r u0
m
∆Z
ẇ = −g sin θ0 ∆θ +
+ qu0
m
∆u̇ = −g cos θ0 ∆θ +
(.a)
(.b)
(.c)
3.3. Théorie des petites perturbations
Izz ∆L − Ixz ∆N
2
Ixx Izz − Ixz
∆M
q̇ =
Iy y
Ixx ∆N − Ixz ∆L
ṙ =
2
Ixx Izz − Ixz
ṗ =
(.a)
(.b)
(.c)
.. Forces et couples aérodynamiques
Comme on l’a mentionné précédemment, les forces et couples aérodynamiques dépendent du mouvement de l’avion représenté par son vecteur vitesse
u, v, w et son vecteur vitesse de rotation p, q, r, ainsi que du vecteur de paramètres de commandes. La détermination de la manière dont ils en dépendent
est au cœur de la dynamique du vol atmosphérique.
En toute rigueur, les forces et couples aérodynamiques sont des fonctionnelles des variables d’état. Par exemple, la portance de l’aile dépend non seulement de la valeur instantanée de l’incidence mais aussi de toute son histoire
passée, ce que l’on peut exprimer par la relation
L(t ) = L[α(τ)]
−∞ ≤ τ ≤ t
(.)
En supposant que la fonction α(τ) soit développable en série de Taylor,
α(τ) = α(t ) + (τ − t )α̇(t ) + ½(τ − t )2 α̈(t ) + · · ·
α(τ) peut être remplacé dans la relation précédente par la série infinie α(t ), α̇(t ),
α̈(t ), . . . . En développant une nouvelle fois en série de Taylor par rapport à l’état
d’équilibre initial (pour t = t0 ), on peut écrire
∆L = Lα ∆α + ½Lαα (∆α)2 + · · · + Lα̇ ∆α̇ + ½Lα̇α̇ (∆α̇)2 + · · ·
(.)
Dans le cadre de la théorie des petites perturbations, on fait classiquement l’hypothèse, introduite par Bryan (), de forces aérodynamiques linéaires, c’està-dire que l’on ne retient que les termes linéaires dans l’expression précédente,
même si la fonction α(t ) n’est pas analytique (développable en série de Taylor),
c’est-à-dire
∆L = Lα ∆α + Lα̇ ∆α̇ + Lα̈ ∆α̈ + · · ·
(.)
Les grandeurs Lα , Lα̇ , . . ., dont on a déjà rencontré des exemples aux chapitres
précédents, sont appelées dérivées de stabilité ou plus généralement dérivées
aérodynamiques. Pour la plupart des forces aérodynamiques et des variables
d’état, le premier terme suffit, mais dans certains cas, on doit garder les termes
jusqu’à la dérivée seconde pour être suffisamment précis.
Chapitre 3. Équations générales du mouvement
Une grande part du travail en mécanique du vol a été consacré à déterminer
la valeur de ces dérivées aérodynamiques en fonction des caractéristiques géométriques des aéronefs et des conditions de vol, tant par des méthodes expérimentales que théoriques, et, plus récemment, numériques. Une quantité considérable de connaissances a ainsi été accumulée, qui seront largement présentées au chapitre suivant.
Une limitation de la théorie classique est l’hypothèse de régularité des variables d’état, qui est mise en défaut en cas de discontinuités, par exemple pour
des échelons des variables (ou de leurs dérivées). Ainsi, pour un échelon d’incidence, l’expression classique donne
∆L = Lα ∆α = const
puisque ∆α est constant, ce qui est en contradiction avec l’observation expérimentale que la portance ne s’établit pas instantanément. Dans le cadre d’une
théorie aérodynamique linéaire, on peut aisément résoudre ce problème en utilisant le concept de fonction de transfert. On n’abordera pas ici cette extension
de la théorie classique de Bryan.
Pour terminer cette section, examinons les simplifications induites par l’hypothèse de l’existence d’un plan de symétrie et de la symétrie de l’état d’équilibre de référence. Pour une configuration symétrique, il est clair que la force latérale Y et les couples de lacet et de roulis L et N sont identiquement nuls pour
tout vol symétrique, c’est-à-dire tel que v = p = r = φ = ψ = 0, ceci étant vrai
quelle que soit l’amplitude du mouvement (c’est-à-dire pas uniquement pour
de petites perturbations). Par conséquent, les dérivées des forces et couples latéraux par rapport aux variables longitudinales (u, w, q) sont strictement nulles.
Nous ferons en outre les approximations de négliger
. les dérivées des forces et couples aérodynamiques longitudinaux par rapport aux variables latérales,
. les dérivées des forces et couples aérodynamiques par rapport aux dérivées temporelles des variables d’état, à l’exception des dérivées Zẇ et Mẇ ,
. la dérivée X q ,
. les variations de masse volumique de l’atmosphère avec l’altitude.
Il faut souligner qu’aucune de ces approximations n’est indispensable pour résoudre les problèmes de dynamique du vol, elles sont seulement motivées par
l’expérience et la commodité, et peuvent être remises en cause au besoin. Avec
ces approximations, les forces et couples aérodynamiques s’expriment comme
3.3. Théorie des petites perturbations
suit :
∆X = X u ∆u + X w w + ∆X c
(.a)
∆Y = Yv v + Yp p + Yr r + ∆Yc
(.b)
∆Z = Zu ∆u + Zw w + Zẇ ẇ + Zq q + ∆Zc
(.c)
∆L = L v v + L p p + L r r + ∆L c
(.d)
∆M = Mu ∆u + Mw w + Mẇ ẇ + Mq q + ∆Mc
(.e)
∆N = Nv v + Np p + Nr r + ∆Nc
(.f)
où les termes avec l’indice c indiquent les forces et couples aérodynamiques
résultant de l’actionnement des commandes.
Pour obtenir l’expression finale des équations du mouvement de faible amplitude sous forme canonique, il suffit d’introduire ces expressions des forces
et couples aérodynamiques dans les équations (.,.,.,.), en résolvant
les équations en translation selon z et en rotation de tangage pour ẇ et q. De
l’équation en translation selon z, on obtient
Zu ∆u + Zw w + Zẇ ẇ + Zq q + ∆Zc
→
ẇ = −g sin θ0 ∆θ + qu0 +
m
¸
·
Zu ∆u + Zw w + Zq q + ∆Zc
1
ẇ =
−g sin θ0 ∆θ + qu0 +
Zẇ
m
1− m
£
¤
1
=
Zu ∆u + Zw w + (Zq + mu0 )q − mg sin θ0 ∆θ + ∆Zc
m − Zẇ
(.)
L’équation en rotation de tangage donne, quant à elle,
q̇ =
Mu ∆u + Mw w + Mẇ ẇ + Mq q + ∆Mc
Iy y
·µ
¶
µ
¶
Zu Mẇ
Zw Mẇ
1
Mu +
∆u + Mw +
w
=
Iy y
m − Zẇ
m − Zẇ
µ
¶
¸
(Zq + mu0 )Mẇ
mg sin θ0 Mẇ
∆Zc Mẇ
+ Mq +
q−
∆θ + ∆Mc +
m − Zẇ
m − Zẇ
m − Zẇ
(.)
En écrivant l’ensemble des équations en détail, on constate qu’elles se divisent
en deux groupes indépendants décrivant respectivement les mouvements longitudinal et latéral, présentés sous forme matricielle en (.) et (.).
Le découplage ainsi obtenu résulte des hypothèses faites. Comme on l’a mentionné précédemment, un mouvement longitudinal n’induit aucune force latérale ni couple de lacet ou de roulis. Par conséquent, le système latéral est identiquement satisfait par v = p = r = φ = 0 (en supposant les ailerons et la gouverne
de direction en position neutre) et le mouvement sera entièrement décrit par
le système (.) qui constitue un système dans les variables ∆u, w, q, ∆θ, ∆x0
et ∆z0 . Ces mouvements pour lesquels les variables latérales sont identiquement nulles sont appelés longitudinaux ou symétriques, de même que le sys-
Chapitre 3. Équations générales du mouvement
∆u̇
ẇ
q̇
∆θ̇
Zq + mu0
0
−mg sin θ0
m − Zẇ
−g cos θ0
Système longitudinal
m − Zẇ
Xw
m
Zw
m − Zẇ
−mg sin θ0 Mẇ
I y y (m − Zẇ )
0
∆u
w
q
∆θ
0
(.)
(.)
∆X c
m
∆Zc
m − Zẇ
+
∆Zc Mẇ
∆M
c
+
I y y (m − Zẇ )
Iy y
∆Yc
m
0
0
Izz ∆L c − Ixz ∆Nc
+
0
∆L c
I 0 ∆Nc − Ixz
xx
0
·
¸
(Z + mu0 )Mẇ
1
q
Mq +
Iy y
m − Zẇ
1
Yr
− u0
m
0
∆ẋ0 = cos θ0 ∆u − u0 sin θ0 ∆θ + sin θ0 w
m
0
0
Izz
L r − Ixz
Nr
g cos θ0
0
0
0
∆ż0 = − sin θ0 ∆u − u0 cos θ0 ∆θ + cos θ0 w
0
0
Izz
L p − Ixz
Np
0
0
Lr
Nr − Ixz
Ixx
Système latéral
0
0
Lp
Np − Ixz
Ixx
tan θ0
Yp
1
v
p
r
φ
·
¸
1
Zw Mẇ
Mw +
Iy y
m − Zẇ
Yv
m
0
0
Izz L v − Ixz Nv
=
I0 N − I0 L
xx v xz v
0
Xu
m
Zu
m − Zẇ
=
·
¸
1 M + Zu Mẇ
u
m − Zẇ
I
yy
v̇
ṗ
ṙ
φ̇
0
ψ̇ = sec θ0 r
∆ ẏ0 = u0 cos θ0 ψ + v
0
2
Ixx
= Ixx /(Ixx Izz − Ixz
)
0
2
Izz
= Izz /(Ixx Izz − Ixz
)
0
2
Ixz
= Ixz /(Ixx Izz − Ixz
)
3.3. Théorie des petites perturbations
tème d’équations qui les décrit. Inversément, le système longitudinal est entièrement satisfait par ∆u = w = q = ∆θ = 0, et les mouvements correspondants
sont purement latéraux et décrits par le système (.) appelé de même.
Il faut remarquer toutefois que l’existence de mouvements purement longitudinaux est soumise à moins de conditions que celle de mouvements latéraux.
En effet, les seules conditions à remplir sont simplement
– l’existence d’un plan de symétrie, et
– l’absence d’effets gyroscopiques de rotors.
En particulier, l’hypothèse de petites perturbations n’est pas nécessaire, il peut
exister des mouvements purement longitudinaux de grande amplitude.
Par contre, l’existence de mouvements latéraux est soumise à des conditions
supplémentaires, à savoir, outre les conditions d’existence des mouvements longitudinaux
– la faible amplitude des mouvements, condition de la linéarisation des équations, et
– l’absence de couplage aérodynamique entre mouvements latéraux et forces/couples longitudinaux.
La linéarisation est en effet indispensable en raison de la présence de termes tels
que mr v et mpv dans les équations du mouvement longitudinal. Par conséquent, un mouvement latéral d’amplitude appréciable induit un mouvement
longitudinal, mais l’inverse n’est pas vrai.
.. Forme adimensionnelle des équations
On connaît le grand usage fait en aérodynamique des coefficients adimensionnels, qui permet de prendre en compte automatiquement les effets principaux de grandeur, de vitesse et de masse volumique. De même, on peut définir
des formes non-dimensionnelles des diverses dérivées aérodynamiques intervenant dans les équations du mouvement (. et .). Malheureusement, il
n’existe pas de norme universellement acceptée pour cette adimensionnalisation. On adoptera ici le système employé par la NASA, qui est d’un usage répandu.
Les facteurs d’adimensionnalisation pour la théorie des petites perturbations sont définis au tableau .. Il est intéressant de remarquer que dans le cadre
de cette théorie, les vitesses adimensionnelles v̂ et ŵ ne sont rien d’autre que les
angles aérodynamiques β et αx . En effet, au premier ordre dans les vitesses de
perturbation
V 2 = (u0 + ∆u)2 + v 2 + w 2 ≈ (u0 + ∆u)2 → V ≈ u0 + ∆u
v
v
v
β = sin−1 ≈
≈
= v̂
V
u0 + ∆u u0
w
w
w
αx = tan−1 = tan−1
≈
= ŵ
u
u0 + ∆u u0
Chapitre 3. Équations générales du mouvement
Tab. . – Adimensionnalisation des équations
Grandeur
Facteur de
Coefficient
dimensionnelle
normalisation
adimensionnel
X,Y,Z
P
M
L, N
u, v, w
α̇, q
½ρu02 S
½ρu02 S
½ρu02 S c̄
½ρu02 Sb
u0
2u0 /c̄
β̇, p, r
m
Iy y
Ixx , Izz , Ixz
t
2u0 /b
ρS c̄/2
ρS(c̄/2)3
ρS(b/2)3
t ∗ = c̄/2u0
C x ,C y ,C z
CP
Cm
C l ,C n
û, v̂, ŵ
α̇ˆ , q̂
ˆ
β̇, p̂, r̂
µ
Iˆy y
Iˆxx , Iˆzz , Iˆxz
t̂
C’est la raison pour laquelle on a coutume d’exprimer les dérivées aérodynamiques adimensionnelles par rapport à α, α̇, β et β̇ plutôt que par rapport aux
vitesses réduites. Remarquons enfin que, puisque αx et l’incidence par rapport
à la direction de portance nulle α diffèrent d’un angle constant, les dérivées par
rapport à αx et par rapport à α sont identiques. L’ensemble des dérivées aérodynamiques adimensionnelles intervenant dans la théorie des petites perturbations sont rassemblées aux tableaux . et . pour les dérivées longitudinales et
latérales respectivement, chaque symbole représentant la dérivée du coefficient
aérodynamique en tête de colonne par rapport à la variable en tête de rangée.
Comme indiqué précédemment, on admettra que les dérivées C xα̇ et C xq sont
nulles.
Tab. . – Dérivées longitudinales adimensionnelles
Cx
Cz
Cm
û C xu C zu C mu
α C xα C zα C mα
q̂ C xq C zq C mq
α̇ˆ C xα̇ C zα̇ C mα̇
Tab. . – Dérivées latérales adimensionnelles
Cy
Cl
Cn
β C yβ C lβ C nβ
p̂ C yp C lp C np
r̂ C yr C lr C nr
Bien qu’il soit possible d’écrire les équations du mouvement (. et .)
sous forme entièrement adimensionnelle (voir annexe C) , la pratique courante
de nos jours est plutôt de les résoudre numériquement sous forme dimension-
3.3. Théorie des petites perturbations
nelle. Aussi, il faut exprimer les dérivées aérodynamiques dimensionnelles en
fonction des dérivées adimensionnelles présentées aux tableaux . et ..
.. Dérivées aérodynamiques dimensionnelles
Pour conclure ce chapitre, établissons les expressions des dérivées aérodynamiques dimensionnelles. On utilise à cette fin une procédure systématique
décrite en détail pour les dérivées de la force Z . En vertu de l’adimensionnalisation présentée au tableau .,
Z = ½ρu02 SC z
Par conséquent,
Zu = ρu0 SC z + ½ρu02 SC zu
d û
= ρu0 SC z + ½ρu0 SC zu
du
Mais d’autre part, en vertu des équations d’équilibre ., C z = −CP cos θ0 , de
sorte que
Zu = −ρu0 SCP cos θ0 + ½ρu0 SC zu
(.)
Semblablement,
dα
= ½ρu0 SC zα
dw
d q̂
Zq = ½ρu02 SC zq
= ¼ρu0 c̄SC zq
dq
d α̇ˆ
= ¼ρc̄SC zα̇
Zẇ = ½ρu02 SC zα̇
d ẇ
Zw = ½ρu02 SC zα
En répétant la même procédure pour toutes les autres dérivées et compte tenu
de ce qu’à l’état d’équilibre
C x = CP sin θ0 C m = C l = C n = 0
on obtient les expressions rassemblées aux tableaux . et . pour les dérivées
longitudinales et latérales respectivement.
u
w
q
ẇ
Chapitre 3. Équations générales du mouvement
Tab. . – Dérivées longitudinales dimensionnelles
X
Z
M
ρu0 SCP sin θ0 + ½ρu0 SC xu −ρu0 SCP cos θ0 + ½ρu0 SC zu
½ρu0 c̄SC mu
½ρu0 SC xα
½ρu0 SC zα
½ρu0 c̄SC mα
¼ρu0 c̄SC xq
¼ρu0 c̄SC zq
¼ρu0 c̄ 2 SC mq
¼ρc̄SC xα̇
¼ρc̄SC zα̇
¼ρc̄ 2 SC mα̇
Tab. . – Dérivées latérales dimensionnelles
Y
L
N
v
½ρu0 SC yβ
½ρu0 bSC lβ
½ρu0 bSC nβ
p ¼ρu0 bSC yp ¼ρu0 b 2 SC lp ¼ρu0 b 2 SC np
r ¼ρu0 bSC yr ¼ρu0 b 2 SC lr ¼ρu0 b 2 SC nr
Chapitre
Dérivées de stabilité
. Introduction
On analysera dans ce chapitre les dérivées aérodynamiques définies au chapitre précédent, et dont certaines (p. ex. C mα ,C lβ ) ont déjà été rencontrées au
chapitre . Le but principal de ce chapitre est de mettre en évidence les mécanismes physiques à l’origine des efforts aérodynamiques représentés par ces dérivées. Dans la mesure du possible, on tentera d’établir des expressions permettant de les calculer, ou de calculer la contribution de certaines parties de l’avion.
Pour l’évaluation précise des dérivées, on recourt en pratique à des corrélations
empiriques basées sur des essais en soufflerie et en vol, présentées sous forme
d’abaques ou de logiciels. On consultera à ce propos la littérature [].
Comme on l’a vu au chapitre précédent, la dynamique de l’avion s’exprime
le plus commodément dans un repère avion et, pour l’étude de petites perturbations autour d’un état d’équilibre, dans le repère avion dont l’axe x est aligné avec la vitesse à l’équilibre, appelé repère de stabilité. Il en résulte qu’il faut
exprimer les forces aérodynamiques dans ces axes. Comme les forces aérodynamiques sont habituellement exprimées dans un repère aérodynamique (portance et traînée), commençons par énoncer les relations entre les coefficients de
force C x et C z et les coefficients de portance et traînée CL et CD . L’angle entre la
force de propulsion et l’axe x (généralement faible) étant pris égal à zéro, on a
C x = CT +CL αx −CD
C z = −(CL +CD αx )
où CT est le coefficient de poussée T /½ρV 2 S.
(.)
Chapitre 4. Dérivées de stabilité
. Dérivées longitudinales
.. Dérivées par rapport à α
C xα
En dérivant (.) par rapport à α, on trouve
C xα =
∂CT
∂CL ∂CD
+CL + αx
−
∂α
∂α
∂α
En supposant le coefficient de poussée indépendant de l’incidence et en évaluant l’expression précédente à l’état d’équilibre (identifié par l’indice , avec en
particulier αx0 = 0), on obtient
µ
¶
∂CD
C xα = CL0 −
(.)
∂α 0
Pour une polaire parabolique CD = CDpar + kCL2 , l’expression devient
C xα = CL0 − 2kCL0 CLα
(.)
où CLα est la pente de la courbe de portance notée a au chapitre .
C zα
En dérivant (.) par rapport à α et en évaluant à l’état d’équilibre, on obtient
C zα = −CLα −CD0
(.)
expression dans laquelle CD0 est souvent négligeable par rapport à CLα .
C mα
C mα est la raideur en tangage discutée en détail au chapitre , que l’on exprime commodément en fonction de la position du point neutre manche fixe
C mα = a(h − hn )
(.)
Elle est donc négative lorsque le centre de gravité est en avant du point neutre
(configuration stable).
.. Dérivées par rapport à u
Les dérivées par rapport à u représentent les variations des coefficients de
forces et moment dues à une variation de vitesse pour une incidence et une position des commandes (gouverne de profondeur et manette des gaz) fixes. Si l’on
suppose que les coefficients de portance et de traînée ne dépendent que de l’incidence, c’est-à-dire si l’on néglige leur dépendance vis-à-vis des nombres de
4.2. Dérivées longitudinales
Reynolds et de Mach, alors seule la dérivée du coefficient de poussée CT par
rapport à u fournira une contribution à la dérivées C xu et éventuellement à la
dérivée C mu (puisque C m = C m0 +a(h −hn )α et que la poussée intervient dans les
expressions de C m0 et de la position du point neutre manche fixe hn ).
Les choses ne sont toutefois pas si simples. D’une part, si l’effet du nombre
de Reynolds peut la plupart du temps être négligé, il n’en est pas de même de
l’effet du nombre de Mach, qui est non négligeable sauf pour les vols à faible
vitesse. D’autre part, sauf pour les avions de petite taille relativement rigides,
on doit souvent tenir compte de la flexibilité de l’avion qui induit des modifications de la géométrie (et donc de réponse aérodynamique) en fonction de la
charge aérodynamique (effet aéroélastique statique). De plus, les variations de
poussée avec la vitesse ont un effet indirect par l’interaction propulsion/cellule,
par exemple l’interaction du souffle d’une hélice avec l’aile, le fuselage ou l’empennage. Dès lors, d’une manière générale, on devra écrire, par exemple pour la
dérivée C xu ,
µ
¶ µ
¶ µ
¶
∂C x ∂M
∂C x ∂q̄
∂C x ∂CT
C xu =
+
+
(.)
∂M ∂û 0
∂q̄ ∂û 0
∂CT ∂û 0
où le deuxième terme représente l’effet de flexibilité de la structure, dont la
charge est proportionnelle à la pression dynamique q̄.
Les dérivées ∂M/∂û, ∂q̄/∂û et ∂CT /∂û se calculent aisément :
¶
¶
¶
µ
µ
∂M
∂M
∂V
= u0
= M0
= M0
∂û
∂u
∂u 0
¶
µ ¶0
µ ¶0
µ
∂q̄
∂q̄
∂V
= u0
= ρu02
= ρu02
∂û 0
∂u 0
∂u 0
¶
¶
¶
µ
µ
µ
∂CT
∂CT
2 (∂T /∂u)0
∂V
2 (∂T /∂u)0
= u0
=
− 2CT0
=
− 2CT0
∂û 0
∂u 0
ρu0 S
∂u 0
ρu0 S
µ
(.)
(.)
(.)
Dans la dernière expression, le terme (∂T /∂u)0 dépend du type de propulsion
utilisée. Pour un avion à turboréacteurs, la poussée est approximativement indépendante de la vitesse, de sorte que (∂T /∂u)0 = 0, alors que pour un avion à
turbopropulseur ou motopropulseur, la puissance est approximativement indépendante de la vitesse, de sorte que (∂T /∂u)0 = − (T /u)0 = −½ρu0 SCT0 .
Les dérivées des coefficients aérodynamiques (C x ,C z ,C m ) par rapport au
nombre de Mach, à la pression dynamique et au coefficient de poussée s’obtiennent en fonction des dérivées des coefficients de traînée, de portance et de
poussée à partir des expressions (.). Les dérivées par rapport au nombre de
Mach s’obtiennent le plus souvent par des essais en soufflerie sur modèles rigides. En ce qui concerne le moment de tangage en particulier, sa dérivée s’accroît sensiblement dans le régime transsonique, où elle résulte principalement
du déplacement vers l’arrière du foyer de l’aile, celui-ci passant typiquement
du quart de la corde en subsonique à la moitié de la corde en supersonique.
Ce déplacement produit un incrément de moment piqueur, d’où il résulte que
C mu < 0. Les dérivées par rapport à la pression dynamique s’obtiennent soit
Chapitre 4. Dérivées de stabilité
par des analyses aéroélastiques, soit par des essais sur modèles flexibles. Enfin,
l’évaluation des dérivées par rapport au coefficient de poussée nécessite d’effectuer des essais en soufflerie sur modèles motorisés. Dans ce cas, il arrive fréquemment que l’on mesure directement les dérivées des coefficients aérodynamiques C x et C z plutôt que les dérivées des coefficients de portance et de traînée.
.. Dérivées par rapport à q
Ces dérivées représentent les efforts aérodynamiques consécutifs à un mouvement de rotation de tangage par rapport au centre de gravité, l’incidence αx
restant inchangée (c’est-à-dire nulle). Ce type de mouvement est illustré à la
figure .b, en contraste avec le mouvement illustré à la Figure .a qui est un
Fig. . – Mouvements longitudinaux : (a) q = 0, αx variable, (b) αx = 0, q variable
mouvement de pure translation, à incidence variable. Comme on l’a indiqué au
chapitre précédent, la force aérodynamique selon x résultant d’un mouvement
de rotation est négligeable, de sorte que seules C zq et C mq sont à déterminer.
Bien que l’aile soit également touchée par le mouvement de rotation, pour
les avions avec empennage, c’est l’empennage qui fournit la contribution principale, la contribution de l’aile étant alors fréquemment négligée ou prise en
compte simplement en majorant la contribution de l’empennage d’un facteur
correctif arbitraire de l’ordre de %.
4.2. Dérivées longitudinales
Contribution de l’empennage
L’effet principale de la rotation, comme illustré à la figure ., est d’augmen-
Fig. . – Effet d’une rotation en tangage sur l’empennage
ter l’incidence de l’empennage d’un angle égal à qlt /u0 . En faisant l’approximation que la portance de l’empennage s’établit instantanément, cet incrément
d’incidence produit donc un incrément de coefficient de portance
∆CL =
St
S t qlt S t 2q̂lt
St
∆CLt = at ∆αt = at
= at
= 2at VH q̂
S
S
S
u0
S
c̄
(.)
puisque q/u0 = 2q̂/c̄. On en déduit les expressions suivantes de C zq et C mq :
C zq = −2at VH
C mq = −2at VH
(.)
lt
c̄
(.)
Contribution de l’aile
Comme elle est négligeable pour les avions à empennage, sauf éventuellement pour les ailes à forte flèche de faible allongement, on se contentera dans
cette section de décrire les mécanismes physiques à l’origine des contributions
de l’aile aux dérivées par rapport à q.
Tout comme pour l’empennage, la rotation de l’aile par rapport au centre de
gravité a pour effet d’induire une vitesse verticale, qui varie linéairement avec
la distance par rapport au centre de gravité (voir figure) — alors que pour l’empennage, comme c̄t ¿ lt , on pouvait considérer la vitesse induite constante sur
l’empennage.
Chapitre 4. Dérivées de stabilité
Fig. . – Vitesses induites par une rotation en tangage
Dans le cadre d’une théorie aérodynamique des petites perturbations, cet
effet est équivalent à une cambrure additionnelle de l’aile. En effet, la condition
de tangence devient
~ ·n
~ = −qx
V
⇔
−u0
dz
+ w = −qx
dx
⇒
w
d z qx
=
−
u0 d x u0
(.)
d’où on déduit que le mouvement de rotation est équivalent à une augmentation de la pente locale de l’aile de −qx/u0 , que l’on obtiendrait en déformant
l’aile selon ∆z = −qx 2 /2u0 , c’est-à-dire en ajoutant une cambrure parabolique.
Cette cambrure additionnelle produit une variation de portance et de moment
de tangage que l’on peut calculer par la méthode des petites perturbations, on
que l’on peut mesurer en soufflerie par des essais sur une aile déformée équivalente.
Cette théorie est quasi-statique et néglige par conséquent les effets de courbure du sillage et les effets instationnaires. On a observé [] que, pour des trajectoires sinusoïdales, ces effets sont effectivement négligeables lorsque la longueur d’onde de la trajectoire est grande par rapport à la corde de l’aile.
Enfin, puisque la distribution de vitesse induite dépend de la position du
centre de rotation, c’est-à-dire du centre de gravité, la déformation équivalente
et par conséquent les efforts aérodynamiques dépendent également du centrage. On peut montrer [] que CLq (et par conséquent C zq ) dépend linéairement
de h alors que C mq est fonction quadratique de h.
4.2. Dérivées longitudinales
.. Dérivées par rapport à α̇
Les dérivées par rapport à α̇ proviennent du fait que la distribution de pression sur l’aile ou l’empennnage ne s’ajustent pas instantanément aux variations
d’incidence. Il s’agit donc d’un effet instationnaire contrairement aux effets considérés précédemment qui pouvaient tous s’analyser par une théorie aérodynamique stationnaire. Tout comme pour la vitesse de rotation q, on néglige l’effet
d’α̇ sur la force axiale C xα̇ ≈ 0.
Contribution de l’aile
Considérons une aile soumise à un échelon d’incidence (voir figure .). La
portance subit un transitoire (réponse indicielle A(t̂ )) dépendant du régime de
vol avant d’atteindre sa valeur asymptotique.
Considérons ensuite la même aile soumise à une variation linéaire d’incidence (figure .). La réponse en portance se calcule alors par l’intégrale de
convolution
Z
Z
t̂
CL (t̂ ) =
t̂
A(t̂ − τ)α̇dτ = α̇
0
A(t̂ − τ)dτ
(.)
0
Comme asymptotiquement la réponse indicielle tend vers la pente de la courbe
de portance CLα , la réponse en portance tend vers une droite de pente CLα α̇, ou
encore
Z
CL (t̂ ) = CLα α̇t̂ − α̇
t̂
|0
(CLα − A(t̂ − τ))dτ = CLα α̇t̂ − S(t̂ )α̇
{z
}
(.)
S(t̂ )
soit une expression semblable à celle donnée par la la théorie classique exposée
à la section .. (.)
CL (t̂ ) = CLα α(t ) +CLα̇ α̇
à ceci près que CLα̇ = −S(t̂ ) n’est pas constant contrairement à ce que la théorie
classique suppose. Ceci illustre la non-validité du concept de dérivée aérodynamique en général, ainsi que mentionné précédemment. Toutefois, la fonction
S(t ) tend rapidement vers une constante, de sorte que la théorie classique est
applicable à l’exception des premiers instants. L’intervalle de temps au-delà duquel la théorie classique devient valide n’est pas très long, de l’ordre du temps
pris pour parcourir quelques cordes. La dérivée par rapport à α̇ s’obtient donc
aisément à partir de la réponse indicielle :
t̂
Z
CLα̇ = −
0
(CLα − A(t̂ − τ))dτ =
t̂
Z
0
(A(t̂ − τ) −CLα )dτ
(.)
Comme illustré à la figure ., elle peut prendre une valeur positive ou négative
selon le régime de vol. On peut déterminer la dérivée C mα̇ de la même manière.
Mentionnons pour terminer que ces dérivées peuvent aussi s’évaluer grâce à
une analyse fréquentielle de mouvements d’oscillations harmoniques (voir []
pour plus de détails).
Chapitre 4. Dérivées de stabilité
Fig. . – Évolution de la portance consécutive à un échelon d’incidence
Contribution de l’empennage
La contribution de l’empennage peut s’évaluer approximativement par le
concept de retard de la déflexion, selon lequel l’empennage produit la portance
correspondant à l’angle d’incidence instantané (pas de transitoire d’établissement de la portance de l’empennage), mais pour une valeur de la déflexion correspondant à l’incidence vue par l’aile principale au moment de l’émission des
tourbillons qui se trouvent au niveau de l’empennage à l’instant considéré. Mathématiquement, cela s’exprime par
CLt (t ) = at αt (t ) = at [αwb (t ) − i t − ²(t − ∆t )]
(.)
4.2. Dérivées longitudinales
Fig. . – Évolution de la portance consécutive à une variation linéaire d’incidence
où ∆t = lt /u0 est le temps mis par les tourbillons pour atteindre l’empennage.
La contribution instationnaire est donc
∆CLt = at
∂²
∂² lt
α̇∆t = at
α̇
∂α
∂α u0
(.)
On en déduit directement les dérivées C zα̇ et C mα̇ , à savoir
C zα̇ = −CLα̇ = −
et
∂²
S t ∂CLt 2u0
= −2at
VH
S ∂α̇ c̄
∂α
lt
lt S t ∂CLt 2u0
∂²
lt
C mα̇ = − CLα̇ = −
= −2at
VH
c̄
c̄ S ∂α̇ c̄
∂α
c̄
(.)
(.)
Chapitre 4. Dérivées de stabilité
. Dérivées latérales
.. Dérivées par rapport à β
Les dérivées par rapport à β s’obtiennent au moyen d’essais en soufflerie sur
modèles en dérapage. De manière générale, les méthodes d’estimation ne sont
pas entièrement fiables et les essais sont nécessaires.
C yβ
C yβ représent la force latérale résultant d’un dérapage. Elle est généralement
négative, et fréquemment assez faible pour être négligée. Les contributions principales proviennent du fuselage et de la dérive, bien que les contributions de
l’aile et des interférences aile/fuselage puissent l’affecter sensiblement. Parmi
ces contributions, seule celle de la dérive peut s’estimer aisément, grâce à l’analyse effectuée à la section ...
Pour un angle de gouverne de direction nul, le coefficient de portance de la
dérive s’exprime comme (.)
CLF = aF (−β + σ)
Par conséquent, le coefficient de force latérale vaut, en supposant le rapport de
vitesses à la dérive VF /V égal à l’unité
Cy =
SF
aF (−β + σ)
S
(.)
et
C yβ = −aF
µ
¶
SF
∂σ
1−
S
∂β
(.)
expression dans laquelle la grandeur la plus délicate à évaluer est la dérivée de
la déflexion latérale ∂σ/∂β, en raison de sa sensibilité à la géométrie de l’aile et
du fuselage.
C lβ
C lβ est l’effet dièdre analysé en détail à la section ...
C nβ
C nβ est la stabilité directionnelle (positive pour une configuration statiquement stable), examinée à la section ...
4.3. Dérivées latérales
.. Dérivées par rapport à p
Un avion en roulis à vitesse angulaire p constante effectue un mouvement
semblable à celui d’une vis. Les extrémités de l’aile décrivent une hélice dont
l’angle n’est rien d’autre que la vitesse de roulis adimensionnelle p̂ = pb/2u0 . Ce
mouvement modifie l’incidence de toutes les sections de l’aile et de l’empennage et, par conséquent, induit des efforts aérodynamiques. La modification de
la distribution de portance de l’aile altère également son sillage tourbillonnaire.
La distribution de tourbillon devient asymétyrique, ce qui induit une déflexion
latérale sur la dérive, caractérisé par la dérivée ∂σ/∂p̂. Enfin, le mouvement hélicoïdal de l’aile produit un sillage hélicoïdal, mais cet effet est négligeable pour
les faibles vitesses de rotation.
C yp
La force latérale due au roulis est fréquemment négligeable. Lorsqu’elle ne
l’est pas, les contributions principales proviennent de l’aile et de la dérive. L’effet
de la dérive s’estime en fonction de la modification d’incidence sur la dérive due
au roulis (figure .). La vitesse induite par le mouvement de roulis de la dérive
Fig. . – Vitesses induites par un mouvement de roulis
valant pzF , où zF est la hauteur moyenne de la dérive, la variation d’incidence
due au roulis vaut donc
∆αF = −
∂σ
pzF
2p̂zF
∂σ
+p
=−
+ p̂
u0
∂p
b
∂p̂
(.)
Chapitre 4. Dérivées de stabilité
La variation de coefficient de portance de la dérive vaut donc
∆CLF = −aF p̂
µ
2zF ∂σ
−
b
∂p̂
¶
(.)
de sorte que la dérivée du coefficient de force latérale vaut
C yp = −aF
µ
¶
S F 2zF ∂σ
−
S
b
∂p̂
(.)
C lp
La dérivée C lp est communément appelée amortissement du roulis et exprime la résistance de l’avion à un mouvement de roulis. Elle provient principalement de l’aile. Comme illustré à la figure ., le mouvement de roulis induit
une augmentation d’incidence de l’aile tribord (plongeante) et une diminution
de l’aile bâbord (ascendante) qui se traduit par un incrément de portance asymétrique (voir figure .) qui, dans la gamme de variation linéaire de la portance,
Fig. . – Vitesses induites par un mouvement de roulis
se superpose à la distribution symétrique de l’état d’équilibre. Ceci produit un
moment de tangage négatif élevé proportionnel à l’incidence de bout d’aile p̂.
Si l’incidence à l’emplanture à l’état d’équilibre αw (0) est élevée cependant,
l’incrément d’incidence dû au roulis peut amener certaines sections de l’aile audelà de l’angle de décrochage (voir figure .), ce qui a pour effet de réduire le
moment de roulis induit (en module), voire, si αw (0) est suffisamment élevé, de
le faire changer de signe. Dans ces conditions, l’aile se met en autorotation, ce
qui est une des caractéristiques principales de la vrille.
C np
Le moment de lacet dû au roulis est une de ces dérivées croisées responsables
du couplage étroit des mouvements de lacet et de roulis. Tant l’aile que la dérive
contribuent à cette dérivée.
4.3. Dérivées latérales
Fig. . – Vitesses induites par un mouvement de roulis
La contribution de l’aile se divise en deux parties. D’une part, l’augmentation d’incidence sur l’aile tribord s’accompagne d’une augmentation de traînée et inversément pour l’aile bâbord. Il en résulte un moment de lacet positif.
D’autre part, l’augmentation d’incidence sur l’aile tribord (plongeante) se traduit par une inclinaison de la force de portance vers l’avant (voir figure .) et
Fig. . – Inclinaison de la portance sur les ailes due au roulis
inversément pour l’aile bâbord. Il en résulte un moment de lacet négatif. En ré-
Chapitre 4. Dérivées de stabilité
gime subsonique, l’effet d’inclinaison de la portance peut compenser entièrement l’effet de traînée. En supersonique au contraire, l’effet net est toujours un
moment de lacet positif.
La contribution de la dérive se calcule aisément à partir de l’expression de la
force latérale établie précédemment. Le couple de lacet induit vaut
µ
¶
2zF ∂σ
S F lF
(.)
∆CLF = aF VV
−
(∆C n )dérive = −
S b
b
∂p̂
où VV est le rapport de volumes de la dérive.
.. Dérivées par rapport à r
En présence d’une rotation de lacet, le champ de vitesses sur l’aile et la dérive est sensiblement perturbé, comme illustré à la figure . La situation est
Fig. . – Vitesses induites par un mouvement de lacet
manifestement très compliquée sur l’aile lorsque la flèche est importante. L’effet principal cependant est une augmentation de la vitesse sur l’aile bâbord et
une réduction de la vitesse sur l’aile tribord, dont il résulte une augmentation
4.3. Dérivées latérales
des forces aérodynamiques sur l’aile bâbord et une diminution sur l’aile tribord,
ainsi que l’asymétrie de la nappe tourbillonnaire émise au bord de fuite, ellemême responsable de l’apparition d’une déflexion latérale.
L’incrément d’incidence de la dérive est donc
µ
¶
∂σ
2lF ∂σ
r lF
+r
= r̂
+
∆αF =
u0
∂r
b
∂r̂
(.)
C yr
Normalement, la seule contribution importante à C yr est celle de la dérive.
Avec l’expression de l’incrément d’incidence induit sur la dérive établie précédemment, on obtient
µ
¶
S F 2lF ∂σ
C yr = aF
+
(.)
S
b
∂r̂
C lr
Il s’agit à nouveau d’une dérivée croisée importante, le couple de roulis dû
au lacet. L’augmentation de portance sur l’aile bâbord et la diminution sur l’aile
tribord produisent un couple de roulis positif, proportionnel au coefficient de
portance à l’équilibre CL . L’effet est donc maximum à basse vitesse. L’importance
de cet effet dépend tant de l’allongement, que de l’effilement et la flèche de l’aile.
Une dérive de grande taille contribue également de manière significative à
cette dérivée. En suivant un raisonnement semblable à celui suivi pour l’estimation de la contribution de la dérive à C lp , on obtient
C lr =
µ
¶
zF
S F zF 2lF ∂σ
C yr = aF
+
b
S b b
∂r̂
(.)
C nr
Cette dérivée est l’amortissement en lacet et est toujours négative. Les contributions les plus importantes sont celles de l’aile et de la dérive. La contribution
de l’aile provient de l’augmentation de la traînée sur l’aile bâbord et de sa diminution sur l’aile tribord qui produisent un couple de lacet négatif s’opposant
au mouvement, dont l’ampleur dépend également de l’allongement, de l’effilement et de la flèche de l’aile. Pour des flèches très élevées, le couple de lacet
associé à la traînée induite peut s’inverser et donc réduire l’amortissement.
La portance sur la dérive produit également un couple de lacet négatif, qui
se calcule comme précédemment, à savoir
C nr
µ
¶
µ
¶
2lF ∂σ
S F lF 2lF ∂σ
lF
+
= −aF VV
+
= − C yr = −aF
b
S b b
∂r̂
b
∂r̂
(.)
Chapitre 4. Dérivées de stabilité
. Résumé
Pour terminer, on rassemble les expression établies tout au long de ce chapitre dans les deux tableaux suivants. Les contributions indiquées d’un astérisque sont celles de l’empennage ou de la dérive uniquement, ce qui ne signifie
pas que les contributions de l’aile ou du fuselage sont négligeables, mais simplement qu’il n’existe pas de formules adéquates pour les exprimer.
q̂
α̇
α
û
r̂
p̂
β
Cµy
¶
SF
∂σ
*−aF
1−
Sµ
∂β ¶
S F 2zF ∂σ
*−aF
−
Sµ b
∂p̂¶
S F 2lF ∂σ
*aF
+
S
b
∂r̂
négligeable
pas d’expression adéquate
µ
¶
S F zF 2lF ∂σ
*aF
+
S b b
∂r̂
pas d’expression adéquate
Tab. . – Dérivées latérales
Cl
*−2at VH
Cm
∂C m
∂C m
∂C m
+ ρu02
+CTu
M0
∂M
∂q̄
∂CT
a(h − hn )
lt ∂²
*−2at VH
c̄ ∂α
lt
*−2at VH
c̄
C
µn
¶
∂σ
*aF VV 1 −
∂β ¶
µ
2zF ∂σ
*aF VV
−
∂p̂ ¶
µb
2lF ∂σ
*−aF VV
+
b
∂r̂
Tab. . – Dérivées longitudinales
Cz
µ
µ
¶
¶
∂CL
∂CL
∂CT ∂CD
∂C
∂C
∂C
D
D
L
−
+CTu 1 −
− ρu02
−CTu
M0
− ρu02
−M0
∂M
∂M
∂q̄
∂CT
∂M
∂q̄
∂CT
CL0 −CDα
−(CLα +CD0 )
∂²
négligeable
*−2at VH
∂α
Cx
4.4. Résumé
Chapitre 4. Dérivées de stabilité
Chapitre
Stabilité dynamique
Après avoir préparé le terrain dans les deux chapitres précédents, nous abordons finalement dans ce chapitre et le suivant l’analyse des mouvements de
l’avion consécutifs à une perturbation (ce chapitre-ci) ou à l’actionnement d’une
commande (chapitre suivant). Le comportement de l’avion consécutif à une petite perturbation autour d’un état d’équilibre (la stabilité dynamique) est une
propriété extrêmement importante des avions. En effet, les états d’équilibre (vols
stabilisés) occupent l’essentiel du temps de vol et, dans ces conditions de vol, les
perturbations doivent demeurer faibles pour que l’avion soit acceptable pour
un usage civil ou militaire. On assure un comportement dynamique adéquat
par conception (dimensionnement adéquat des surfaces portantes et des gouvernes), en telle manière qu’un pilote humain ou automatique puisse garder les
perturbations à un niveau acceptable (sans efforts excessifs dans le cas du pilote humain). Il faut enfin souligner que la théorie des petites perturbations que
l’on utilisera pour cette analyse est valide pour des perturbations qui seraient
considérées comme violentes par des passagers.
. Solution générale des équations des petites perturbations
Forme de la solution
Les équations des petites perturbations (., .) sont de la forme
ẋ = Ax + ∆fc
(.)
où x est le vecteur de variables d’état, A une matrice carrée à coefficients constants
et ∆fc le vecteur des forces et couples de commande. Soit R la matrice des vecteurs propres droits (colonnes) rk , L la matrice des vecteurs propres gauches
(lignes) lk et Λ la matrice diagonale des valeurs propres λk de la matrice A. Grâce
à l’identité algébrique
L A = ΛL
Chapitre 5. Stabilité dynamique
le système devient diagonal après multiplication à gauche par L.
Lẋ = L Ax + L∆fc = Λ |{z}
Lx +L
≡w
∆fc
|{z}
→
wk = wk (0)e λk t
(.)
=0(mvt libre)
La solution finale s’obtient alors en multipliant par la matrice des vecteurs propres
droits R (puisque RL = LR = I pour des vecteurs propres unitaires).
X
x = Rw = rk wk (0)e λk t
(.)
k
Chaque solution de la forme ark e λk t est un mode naturel de l’avion, et la solution générale est une superposition des modes naturels, wk (0) étant l’amplitude
du mode k.
On obtient le même résultat en appliquant la transformée de Laplace à l’équation (..
sX (s) − x(0) = AX (s) + ∆Fc (s)
→
(sI − A)X (s) = x(0) + ∆Fc (s)
En l’absence de forces de commande (mouvement libre), on obtient finalement
après multiplication par L
(sI − Λ) LX (s) = Lx(0)
| {z } | {z }
W (s)
w(0)
et en appliquant la transformation inverse, on retrouve
wk = wk (0)e λk t .
Caractéristiques du mouvement
La matrice A étant réelles, les valeurs propres sont soit réelles, soit complexes conjuguées et, dans ce dernier cas, les vecteurs propres correspondants
(et les amplitudes correspondantes) sont complexes conjugués également. Posant λ = σ±i ω, on a donc des modes réels de la forme ae σt et des modes oscillatoires de la forme (A1 cos ωt + A2 sin ωt )e σt . Selon le signe de σ, on a donc quatre
comportements possibles, représentés à la figure . Lorsque σ > 0 (cas (a) et (c)),
l’amplitude de la perturbation augmente et le mode est donc dynamiquement
instable. D’autre part, dans les trois cas (b), (c) et (d), la dérivée initiale est négative (la perturbation décroît initialement) et par conséquent la configuration est
statiquement stable au sens de la définition de la stabilité statique donnée au
chapitre. On vérifie donc bien que la stabilité statique est une condition nécessaire mais non suffisante de stabilité dynamique. On a coutume de dénommer
divergence le comportement statiquement instable (a) et oscillation divergente le
comportement (c) alors que les comportements stables (b) et (d) sont dénommés respectivement convergence et oscillation amortie ou convergente.
On caractérise généralement le comportement des modes naturels par les
paramètres suivants :
5.1. Solution générale des équations des petites perturbations
Fig. . – Comportements possibles des modes naturels
. la période T = 2π/ω,
. le temps pour doubler ou réduire de moitié,
. le nombre de cycles pour doubler (Ndouble ) ou réduire de moitié (Nmoitié )
En définissant la pulsation non-amortie ωn et le facteur d’amortissement ζ de la
manière suivante
λ = σ + i ω = ωn (−ζ + i
p
1 − ζ2 )
→
ωn =
p
σ2 + ω2 ,
ζ=−
σ
ωn
on obtient aisément les expressions suivantes pour les paramètres caractéristiques.
Temps pour doubler ou réduire de moitié En notant T½ le temps pour réduire
Chapitre 5. Stabilité dynamique
de moitié, il doit satisfaire e σT½ = 1/2. On obtient donc
T½ = −
ln 2 ln 2
=
σ
ζωn
(.)
Le temps pour doubler T2 s’obtient en changeant de signe. Les mouvements amplifiés correspondent donc à des temps pour réduire de moitié
négatifs.
Nombre de cycles pour doubler ou réduire de moitié Le nombre de cycle pour
réduire de moitié s’obtient directement à partir du temps pour réduire de
moitié et de la période :
p
T½
ln 2 ω ln 2 1 − ζ2
Nmoitié =
=−
=
(.)
T
2π σ
2π
ζ
Décrément logarithmique Le décrément logarithmique δ est défini comme le
logarithme du rapport entre deux maxima successifs. On a donc
δ = ln
e −σt
e −σ(t +T )
= −σT = −2π
σ
ln 2
=
ω Nmoitié
(.)
Critère de stabilité
Comme on l’a souligné précédemment, la stabilité du mouvement libre exige
que les parties réelles des valeurs propres σ soient négatives. Or, il n’est pas nécessaire de calculer les valeurs propres pour déterminer si certaines ont une
partie réelle négative, on peut utiliser à cette fin le critère de Routh, qui impose
qu’un certain ensemble d’expressions soient toutes positives. Dans le cas particulier des racines d’une équation du quatrième ordre que constituent les équations caractéristiques des mouvements longitudinaux et latéraux
Aλ4 + Bλ3 +C λ2 + Dλ + E = 0
(.)
les conditions nécessaires et suffisantes pour que toutes les parties réelles des
racines soient négatives sont
A, B, D, E > 0
et
R = D(BC − AD) − B 2 E > 0
(.)
dont il résulte que C doit aussi être positif.
De plus, on peut montrer que l’annulation de E et de R correspondent à des
cas critiques particuliers
. Le changement de signe de E correspond au changement de signe d’une
racine réelle. Par conséquent, lorsque E devient négatif, cela correspond à
l’apparition d’une divergence. E > 0 constitue donc le critère de stabilité
statique au sens général.
. Le changement de signe de R correspond au changement de signe de la
partie réelle d’une paire de racines complexes conjuguées, et donc R devenant négatif marque l’apparition d’une oscillation divergente.
5.2. Modes longitudinaux
. Modes longitudinaux
.. Cas illustratif d’un long-courrier à réaction
On illustrera la forme typique des modes longitudinaux en prenant l’exemple
du Boeing [] en vol horizontal stabilisé (H = 40 000 pieds, M = 0, 8).
Caractéristiques
Les paramètres représentatifs de ce cas sont rassemblées ci-dessous :
Dimensions, masse et inertie
c̄ = 8,324 m
P = 2, 83176 106 N
Izz = 0,673 108 kg m2
b = 59,64 m
Ixx = 0,247 108 kg m2
Ixz = 0,212 107 kg m2
S = 511 m2
I y y = 0,449 108 kg m2
Conditions de vol
ρ = 0,304 5 kg m−3
u0 = 235,9 m s−1
CL0 = 0, 654
CD0 = 0, 0430
Dérivées de stabilité Les dérivées de stabilités adimensionnelles et dimensionnelles sont présentées aux tableaux . et ..
Tab. . – Dérivées longitudinales non-dimensionnelles — Boeing
Cx
Cz
Cm
û
−0,1080
−0,1060
0,1043
α
0,2193
−4,920
−1,023
q̂
0
−5,921
−23,92
α̇
0
5,896
−6,314
Tab. . – Dérivées longitudinales dimensionnelles — Boeing
X (N)
Z (N)
M (N m)
u (m s−1 ) −1,982 103 −2,595 104
1,593 104
w (m s−1 )
4,025 103 −9,030 104 −1,563 105
−1
q (rad s )
0
−4,524 105 −1,521 107
−2
ẇ (m s )
0
1,909 103 −1,702 104
Matrice du système — équation caractéristique
Avec ces paramètres, la matrice du système longitudinal est
−0, 006868
0, 01395
0 −9, 81
−0, 09055
−0, 3151
235, 91
0
A=
0, 0003894 −0, 003366 −0, 4285
0
0
0
1
0
(.)
Chapitre 5. Stabilité dynamique
On en tire l’équation caractéristique
λ4 + 0, 750468 λ3 + 0, 935494 λ2 + 0, 0094630 λ + 0, 0041959 = 0
(.)
Les deux critères de stabilité de Routh
E = 0, 0094630 > 0
et
R = 0, 004191 > 0
sont vérifiés. Il n’y a donc pas de mode instable.
Valeurs propres
Les racines de l’équation caractéristique . sont les deux paires de racines
complexes conjuguées suivantes :
Mode (Phugoïde)
λ1,2 = −0, 003289 ± 0, 06723i
Mode (Oscillation d’incidence) λ3,4 = −0, 3719 ± 0, 8875i
(.)
Il s’agit de deux modes oscillatoires amortis, l’un de grande période faiblement
amorti et l’autre de faible période fortement amorti, identifiés par les dénominations conventionnelles indiquées. Ce résultat est assez typique. Leurs paramètres caractéristiques sont donnés au tableau . et le comportement transitoire correspondant est représenté à la figure ..
Mode
Tab. . – Paramètres des modes longitudinaux
Dénomination
T (s) T½ (s) Nmoitié (s)
a
Phugoïde
,
211
,
Oscillation d’incidence
,
,
,
a Le nom de phugoïde a été attribué à ce mode par Lanchester () qui l’a décrit le premier.
Il dérive d’une racine grecque signifiant fuir comme dans le mot fugitif. En réalité, Lanchester
voulait employer la racine du verbe voler. Néanmoins, le mot phugoïde est resté dans le jargon
aéronautique.
Vecteurs propres
Les vecteurs propres associés aux modes ci-dessus sont indiqués au tableau .
sous forme adimensionnelle, la phase correspondant à la racine σ + i ω. Les vecteurs propres étant définis à un facteur près, c’est seulement la valeur relative
des composantes qui importe. On a choisi ici de fixer la composante de ∆θ à .
Les vecteurs propres peuvent également être représentés graphiquement dans
le plan complexe (diagramme d’Argand), voir figure ..
On constate que la phugoïde se caractérise par des variations d’incidence
et une rotation de tangage négligeables avec des variations de vitesse et d’angle
d’assiette de même ordre de grandeur, les variations de vitesse étant en avance
de phase d’environ ˚.
5.2. Modes longitudinaux
Fig. . – Comportement transitoire des modes longitudinaux. (a) Phugoïde. (b)
Oscillation d’incidence.
Tab. . – Vecteurs propres longitudinaux
Phugoïde
Oscillation d’incidence
Module
Phase Module
Phase
∆û
,
,˚
,
,˚
α = ŵ
,
,˚
,
,˚
q̂
,
,˚
,
,˚
∆θ
,
˚
,
˚
Au contraire, pour l’oscillation d’incidence, les variations de vitesse sont négligeables alors que les variations d’incidence sont de même ordre de grandeur
que (et en phase avec) les variations d’angle d’assiette. Ce mode se comporte
pratiquement comme un mode où seuls deux degrés de liberté (∆θ et α) sont
excités.
Chapitre 5. Stabilité dynamique
Fig. . – Vecteurs propres longitudinaux. (a) Phugoïde. (b) Oscillation d’incidence.
5.2. Modes longitudinaux
Trajectoires de vol associés aux modes propres
Un éclairage supplémentaire des modes propres est obtenu par l’analyse de
la trajectoire de vol correspondante. Dans le cas de petites perturbations autour
d’un vol stabilisé horizontal (θ0 = 0), les équations de la trajectoire (.) se simplifient en
∆ẋ0 = ∆u
(.)
∆ż0 = −u0 ∆θ + w
Pour un mode propre complexe de valeurs propres λ, λ∗ , les variations de ∆u, w
et ∆θ sont les suivantes :
∗t
∆u = r1 e λt + r1∗ e λ
∗t
w = r2 e λt + r2∗ e λ
∆θ = r4 e λt + r4∗ e
(.)
λ∗ t
(.)
où les constantes ri sont les composantes du vecteur propre correspondant à la
valeur propre λ, soit dans le cas de l’exemple, les valeurs données au tableau ..
Insérant ces expressions dans l’équation de la trajectoire (.) on trouve après
intégration
r1 λt r1∗ λ∗ t
e + ∗ e + const
λ
h rλ
i
1 i ωt
σt
= 2e ℜ
+ const
e
λ
hr −u r
i
2
0 4 i ωt
∆z0 = 2e σt ℜ
e
+ const
λ
∆x0 = x0 − u0 t =
(.)
où le symbole ℜ indique la partie réelle du nombre complexe entre parenthèses
carrées. On a représenté à la figure . les trajectoires de vol correspondant aux
deux modes propres dans le cas de l’exemple considéré, pour des conditions
initiales arbitraires. Comme les deux modes sont stables, les trajectoires tendent
asymptotiquement vers la trajectoire horizontale du vol stabilisé de référence.
On observe que la phugoïde est un vol ondulant de très grande longueur d’onde.
Du fait que les variations de vitesse sont en avance de phase d’environ ˚ sur
les variations d’angle d’assiette, comme on l’a observé à la figure ., on en déduit que la vitesse u passe par son maximum au point bas de la trajectoire (˚
avant le point de pente — et donc d’assiette — maximum). Il en résulte que la
distance parcourue dans la partie basse de la trajectoire est plus longue que la
distance parcourue dans la partie haute, comme illustré sur la figure. Pour des
mouvements de plus grande amplitude, cette dissymétrie de la trajectoire devient nettement plus prononcée (noter que l’on sort alors du cadre de validité de
la théorie linéaire), jusqu’à ce qu’il apparaisse un point de rebroussement puis
une boucle dans la partie supérieure. Il apparaît que le mouvement phugoïde
est approximativement un mouvement à énergie totale constante, les phases de
Chapitre 5. Stabilité dynamique
Fig. . – Trajectoires de vol. (a) Phugoïde, référentiel fixe. (b) Phugoïde, référentiel mobile. (c) Oscillation d’inicidence.
5.2. Modes longitudinaux
montée et de descente correspondant à un échange entre énergie potentielle et
énergie cinétique. On a représenté à la figure .b la trajectoire de vol dans un
référentiel se déplaçant à la vitesse u0 du vol non perturbé, c’est-à-dire la trajectoire qui serait vue par un observateur volant dans un avion n’ayant pas subi de
perturbation. On constate qu’il s’agit d’une spirale dont les tours sont approximativement elliptiques.
Enfin, la figure .c représente la trajectoire correspondant à l’oscillation
d’incidence. Comme attendu, la perturbation est rapidement amortie, le transitoire ayant pratiquement disparu après pieds, bien que les perturbations
initiales d’incidence et d’assiette aient été importantes. La trajectoire s’écarte
peu de la ligne droite, la principale caractéristique du mouvement étant un rapide mouvement de tangage.
.. Approximation des modes longitudinaux
Le calcul numérique des modes nous a certes permis d’en mettre en évidence les propriétés, mais ne fournit guère d’explication physique quant à leur
origine. Pour déterminer et comprendre l’influence des paramètres de l’avion et
du vol sur les modes propres, on doit pouvoir en exprimer les caractéristiques
(pulsation non-amortie, amortissement) analytiquement en fonction de ces paramètres. Comme de telles expressions ne peuvent être obtenues à partir du système complet d’équations, on cherchera à établir des expressions analytiques
approchées décrivant les modes. Outre leur vertu de fournir une interprétation
physique des modes, de telles expressions sont également utiles pour la conception de système de pilotage automatique.
Deux méthododologies peuvent être utilisées pour établir de telles approximations. Une première méthodologie, plutôt d’inspiration mathématique, consiste
à analyser l’ordre de grandeur des divers termes de l’équation caractéristique et
de faire les simplifications qui en résultent. Ainsi, si l’on sait que l’équation caractéristique (.) possède une racine petite en module, on peut en obtenir une
valeur approchée en négligeant les termes en puissances supérieures de λ dans
l’équation caractéristique, c’est-à-dire en résolvant l’équation approchée
Dλ + E = 0.
Semblablement, on peut obtenir une valeur approchée d’une paire de racines
complexes conjuguées de grand module en ne conservant que les termes en
puissances supérieures de λ, à savoir
Aλ4 + Bλ3 +C λ2 = 0
Cette méthodologie très souvent utile est parfois la seule permettant d’obtenir
une approximation.
Une deuxième méthodologie, d’inspiration plus physique, consiste, à partir d’une connaissance qualitative préalable des caractéristiques des modes, à
Chapitre 5. Stabilité dynamique
apporter certaines simplifications dans les équations du mouvement, qui réduisent l’ordre du système étudié. Dans le cas des modes longitudinaux qui nous
occupe ici, c’est essentiellement la deuxième méthodologie qui sera adoptée,
alors que pour les modes latéraux, l’une et l’autre méthodologies seront employées.
Il faut souligner qu’aucune approximation analytique simple ne peut fournir des résultats numériques fiables en toutes circonstances. Pour cela, la seule
voie assurée est la résolution numérique du système complet. La précision des
diverses approximations sera évaluée à l’aide d’exemples.
Les modes longitudinaux se distinguent généralement par une grande séparation d’échelles de temps et aussi par le fait que certaines variables d’état ne
sont quasiment pas excitées dans chacun des deux modes. On met cette dernière propriété à profit pour établir des approximations des modes longitudinaux en simplifiant les équations du mouvement de manière correspondante.
Phugoïde
Théorie de Lanchester Comme on l’a mentionné précédemment, le mode phugoïde a été étudié en premier par Lanchester () qui lui a donné son nom.
L’analyse de Lanchester est basée sur les hypothèses que l’incidence α reste
constante et que la poussée reste constamment égale à la traînée (T − D = 0).
Dans ces conditions, il n’y pas de force nette dans la direction du vol et donc
pas de travail sur l’avion si ce n’est celui de la gravité. Le mouvement est donc à
énergie totale constante, comme on l’a évoqué précédemment, c’est-à-dire
m
V2
− mg z0 = const
2
(.)
ou
V 2 = u02 + 2g ∆z0
(.)
L’incidence étant constante, le coefficient de portance CL reste également constant
si l’on néglige les effets de nombre de Reynolds et de Mach ainsi que les effets
aéroélastiques éventuels. En multipliant l’équation précédente par ½ρSCL , on
obtient dès lors
L = P + ρg SCL ∆z0
(.)
puisque ½ρu02 SCL = L0 = P. L’équation du mouvement dans la direction verticale étant
m∆z̈0 = P − L cos γ ≈ P − L
(.)
pour les faibles pentes, elle s’écrit finalement, compte tenu du résultat précédent
m∆z̈0 + ρg SCL ∆z0 = 0
(.)
5.2. Modes longitudinaux
qui est l’équation d’un mouvement harmonique de période
s
T = 2π
s
p u0
u02
m
= 2π
=
π
2
ρg SCL0
2g 2
g
(.)
puisque m/ρSCL = ½u02 /g . Ce résultat d’une grande simplicité, selon lequel la
période de la phugoïde ne dépend que de la vitesse de vol (et non des caractéristiques de l’avion ni de l’altitude) n’est pas seulement d’un intérêt historique,
il fournit une bonne approximation pour les avions rigides volant à des vitesses
en dessous de la limite à laquelle apparaissent les effets de compressibilité (de
nombre de Mach). Ainsi, pour l’exemple du Boeing (qu’on ne peut pourtant
pas considérer comme un avion insensible aux effets aéroélastiques ou de compressibilité), l’approximation de Lanchester fournit une période T = 107 s, pas
trop éloignée de la valeur exacte de s.
Deuxième approximation On peut obtenir une approximation meilleure encore en introduisant des simplifications appropriées dans les équations du mouvement. Comme la phugoïde s’effectue quasiment sans mouvement de tangage
(q ≈ 0), on peut en déduire que l’avion est en permanence en équilibre en tangage (équilibre quasi-statique). De plus, puisque q et les variations d’incidence
sont très faibles, on peut négliger leur influence sur le moment de tangage et la
force selon z, c’est-à-dire les dérivées Mq , Mẇ , Zq et Zẇ . Dans ces conditions, les
équations du mouvement se simplifient en
Xu
m
Z
u
m
=
Mu
Iy y
0
∆u̇
ẇ
0
∆θ̇
Xw
m
0
Zw
m
u0
Mw
Iy y
0
0
1
−g
0
0
0
∆u
w
q
∆θ
(.)
où l’on peut simplifier la troisième équation en la multipliant par I y y . On constate
que le système n’est pas sous forme canonique ẋ = Ax, mais plutôt sous la forme
M ẋ = Ax. On peut montrer aisément que dans ce cas, les modes propres sont
donnés par l’équation caractéristique
det(A − λM) = 0
(.)
En développant les calculs, on montre que cette équation se met sous la forme
Aλ2 + Bλ +C = 0
↔
λ2 + 2ζωn λ + ω2n = 0
(.)
Chapitre 5. Stabilité dynamique
avec
A = −u0 Mw
u0
B = g Mu + (X u Mw − Mu X w )
m
g
C = (Zu Mw − Mu Zw )
m
dont on déduit la pulsation non-amortie et le facteur d’amortissement
µ
¶
g
Mu Zw
ω2n = −
Zu −
mu0·
Mw µ
¶¸
g Mu
1
Mu
1
ζ= −
+
Xu −
Xw
2ωn u0 Mw m
Mw
(.)
(.)
Dans le cas particulier où Mu = 0 (ce qui est le cas pour les avions rigides en
l’absence d’effets de compressibilité), ces expressions se simplifient en
A = −u0 Mw
u0
B = X u Mw
m
g
C = Zu Mw
m
d’où
(.)
g Zu
mu0
s
1 Xu
Xu
u0
ζ= −
=−
2ωn m
2
−mg Zu
ω2n = −
(.)
En exprimant les dérivées aérodynamiques dimensionnelles en fonction des dérivées adimensionnelles et en supposant C zu = 0 (hypothèse vérifiée dans les
mêmes conditions que l’hypothèse Mu = 0) et que la poussée est indépendante
de la vitesse (∂T /∂u = 0 → CTu = −2CT0 = −2CD0 ), on obtient finalement
ω2n =
ρg SCL0
m
µ
=2
g
u0
¶2
1 CD0
ζ= p
2 C L0
(.)
On retrouve donc le résultat de Lanchester pour la pulsation non-amortie et
un facteur d’amortissement inversément proportionnel à la finesse. Alors que
l’approximation pour la période reste bonne même pour des C mu différentes de
zéro, l’approximation pour le facteur d’amortissement se détériore pour des valeurs positives élevées de C mu . Dans le cas de l’exemple, l’expression approchée
donne ζ = 0, 046, à comparer avec la valeur exacte ζ = 0, 049.
Oscillation d’incidence
Comme on l’a vu précédemment (figure .), l’oscillation d’incidence est essentiellement un mode à deux degrés de liberté, la vitesse restant pratiquement
5.2. Modes longitudinaux
constante alors que l’avion subit un mouvement de tangage assez rapide. On
obtient dès lors une approximation du mouvement en annulant ∆u et en éliminant l’équation selon x. En faisant en outre les approximations que Zẇ et Zq sont
faibles par rapport à m et mu0 respectivement (qui sont bien vérifiées dans le cas
de l’exemple), on obtient finalement (pour θ0 = 0) le système de deux équations
à deux inconnues
Zw
u
0
·
·
¸
¸
m
w
ẇ
=
(.)
·
¸
q̇
¤ q
Zw Mẇ
1 £
1
Mw +
Mq + u0 Mẇ
Iy y
m
Iy y
dont on tire directement l’équation caractéristique
µ
¶
¸
Mq Zw
1
1
Zw
u0 Mw −
+
(Mq + u0 Mẇ ) −
λ −λ
m Iy y
Iy y
m
2
·
(.)
En exprimant les dérivées aérodynamiques dimensionnelles en fonction des dérivées adimensionnelles, cette expression devient
"
#
¶
µ
C mq C zα
C
λ
1
1
z
α
2
λ − ∗
+
(C mq +C mα̇ ) −
C mα −
t
2µ Iˆy y
2µ
t ∗2 Iˆy y
(.)
En appliquant ces expressions au cas de l’exemple, on obtient
λ2 + 0, 714λ + 0, 9281 = 0
dont les racines sont λ = −0, 371±0, 889i , soit des valeurs pratiquement les mêmes
que celles obtenues à partir du système complet. L’approximation de l’oscillation d’incidence donne effectivement de très bons résultats pour une large
gamme de véhicules et de conditions de vol.
.. Stabilité statique longitudinale
Comme on l’a mentionné précédemment (section .), l’apparition d’une racine réelle positive (divergence) qui constitue le critère d’instabilité statique rigoureux s’accompagne du changement de signe du coefficient E de l’équation
caractéristique de positif à négatif.
Or, E = det A. Évaluant cette grandeur dans le cas θ0 = 0 en négligeant Zẇ et
Zq , on trouve
g
E=
(Zu Mw − Mu Zw )
(.)
mI y y
et comme g , m et I y y sont tous positifs, le critère rigoureux de stabilité statique
est donc
Zu Mw − Mu Zw > 0
(.)
Chapitre 5. Stabilité dynamique
ou encore, sous forme non-dimensionnelle
C mα (C zu − 2CP0 ) −C mu C zα > 0
(.)
En l’absence d’effets de vitesse (compressibilité et aéroélasticité), c’est-à-dire
pour C zu = C mu = 0, ce critère se réduit effectivement au critère simple C mα < 0.
On peut montrer [] que le critère général coïncide exactement avec le critère
d’une pente de la courbe de l’angle de gouverne en fonction de la vitesse positive
(voir section ..) lorsqu’on tient compte des effets de vitesse (compressibilité,
aéroélasticité) sur les coefficients aérodynamiques (CL , C m ).
.. Effet des conditions de vol sur les modes longitudinaux
Effet de la vitesse et de l’altitude
À titre d’illustration, on reprend l’exemple du Boeing pour lequel des
données sont disponibles [] à diverses altitudes et vitesses ( vitesses au niveau
de la mer, vitesses aux altitudes de et pieds) pour une géométrie et une marge statique fixes. Les périodes et amortissements modaux sont
représentés à la figure .. Compte tenu du très petit nombre de points, l’allure
des courbes est au mieux qualitative. Aucune tendance nette ne se dégage des
courbes. On remarque toutefois que la période de la phugoïde augmente avec
la vitesse comme prédit par la théorie de Lanchester, et diminue avec l’altitude
pour un nombre de Mach donné. La période de l’oscillation d’incidence varie en
sens inverse, diminuant avec la vitesse et augmentant avec l’altitude.
L’effet le plus frappant est l’augmentation importante et soudaine de la période de la phugoïde à grand nombre de Mach aux deux altitudes. Ce phénomène résulte de la perte de stabilité statique véritable due à la diminution jusqu’à une valeur négative de C mu en raison des effets de compressibilité et aéroélastiques, qui induit une diminution importante du coefficient E. Pour bien
montrer que c’est bien la variations de C mu qui est à l’origine de cet effet, on
a calculé les caractéristiques de la phugoïde en fonction de C mu pour le vol à
Mach , et une altitude de pieds (voir figure .). On constate effectivement une variation très rapide de la période lorsque C mu descend sous -,.
Au-delà de cette valeur, on constate également la bonne précision de l’approximation de Lanchester, la deuxième approximation de la phugoïde basée sur les
équations du mouvement simplifiées étant elle de bonne qualité sur l’ensemble
de la gamme de C mu . Par contre, l’estimation de l’amortissement est nettement
moins bonne, comme on l’avait annoncé à la section précédente.
Effet du centrage
Comme on l’a souligné à de nombreuses reprises depuis le chapitre , le paramètre le plus important pour la stabilité longitudinale est la raideur en tangage
C mα , qui est directement liée au centrage,
C mα = a(h − hn ),
5.2. Modes longitudinaux
Fig. . – Variations des modes longitudinaux en fonction de la vitesse et de l’altitude. (a) Phugoïde. (b) Oscillation d’inicidence.
Chapitre 5. Stabilité dynamique
Fig. . – Effet de C mu sur la phugoïde. (a) Période. (b) Amortissement.
5.2. Modes longitudinaux
où hn − h = K n est la marge statique. L’effet de ce dernier paramètre est effectivement très important comme le montrent les figures .–.. On constate que
Fig. . – Variation de la période et de l’amortissement de la phugoïde avec la
marge statique.
Fig. . – Variation de la période et de l’amortissement de l’oscillation d’incidence avec la marge statique.
la période et l’amortissement de la phugoïde varient rapidement avec la marge
statique lorsqu’elle est faible et que les expressions approchées ne sont fiables
que pour les marges statiques importantes. En ce qui concerne l’oscillation d’incidence, on voit que sa période varie peu avec la marge statique, sauf pour les
marges statiques faibles pour lesquelles l’oscillation d’incidence a tendance à
se séparer en deux modes réels, alors que son amortissement diminue lorsque
la marge statique augmente. On constate également que les expressions approchées sont excellentes sur toute la gamme des marges statiques.
Chapitre 5. Stabilité dynamique
Fig. . – (a) Lieu des racines de l’oscillation d’incidence. (b) Lieu des racines de
la phugoïde. (c) Lieu des racines de la phugoïde, C mu = 0.
5.3. Modes latéraux
Une autre manière de présenter ces résultats est de tracer le lieu des racines dans le plan complexe lorsque la marge statique varie. À la figure .a,
on constate que l’amortissement de l’oscillation d’incidence est pratiquement
indépendant de la marge statique et que l’oscillation d’incidence se sépare en
deux modes réels pour K n = 0, 0075. Le comportement de la phugoïde est bien
plus complexe. Partant de K n = 0, 3 et diminuant la marge statique, la phugoïde
devient instable pour K n = 0, 039 (point D). En continuant à réduire la marge statique, les racines de la phugoïde se séparent en deux racines réelles (instables)
pour K n légèrement sous -,, se recombinent en deux racines complexes conjuguées instables pour K n = −0, 074, qui deviennent à nouveau stables lorsque la
marge statique atteint la valeur (totalement irréaliste) K n = −0, 1.
L’importance de la dérivée C mu est une fois encore illustrée à la figure .c,
qui représente le lieu des racines de la phugoïde pour C mu = 0. Le comportement observé, qui est assez bien représentatif de celui d’un avion rigide à faible
nombre de Mach, fait apparaître la séparation de la phugoïde en deux modes
réels pour une marge statique très proche de zéro, une de ces deux racines devenant instable lorsque la marge statique s’annule, alors que l’autre racine interagit avec la branche AB de l’oscillation d’incidence (figure .a) pour produire
une nouvelle oscillation stable pour une marge statique légèrement négative.
. Modes latéraux
.. Cas illustratif
Dérivées aérodynamiques, matrice du système et équation caractéristique
Les dérivées de stabilités adimensionnelles et dimensionnelles sont présentées aux tableaux . et .. Avec ces valeurs, la matrice du système latéral est
Tab. . – Dérivées latérales non-dimensionnelles — Boeing
Cy
Cl
Cn
β −0,8771 −0,2797
0,1946
p̂
0
−0,3295 −0,04073
r̂
0
0,304
−0,2737
Tab. . – Dérivées latérales dimensionnelles — Boeing
Y (N)
L (N m)
N (N m)
v (m s−1 )
−1,610 104 −3,062 105
2,131 105
p (rad s−1 )
0
−1,076 107 −1,330 106
−1
r (rad s )
0
9,925 106 −8,934 106
Chapitre 5. Stabilité dynamique
A=
−0, 0558
0 −235, 91 9, 81
−0, 0127
−0, 4342
0, 4136
0
0, 003565 −0, 006112 −0, 1458
0
0
1
0
0
(.)
On en tire l’équation caractéristique
λ4 + 0, 6358 λ3 + 0, 9388 λ2 + 0, 5114 λ + 0, 003682 = 0
(.)
Les deux critères de stabilité de Routh
E = 0, 003682 > 0
et
R = 0, 04223 > 0
sont vérifiés. Il n’y a donc pas de mode instable.
Valeurs propres
Les racines de l’équation caractéristique . sont les deux racines réelles et
la paire de racines complexes conjuguées suivantes :
Mode (Spiral)
λ1 = −0, 0072973
Mode (Convergence en roulis) λ2 = −0, 56248
Mode (Oscillation latérale )
λ3,4 = −0, 033011 ± 0, 94655i
(.)
Les caractéristiques de ces modes sont rassemblées au tableau .. Une des deux
convergences est très lente et l’autre très rapide, et le mode oscillatoire est faiblement amorti, avec une période comparable à celle de l’oscillation d’incidence.
Tab. . – Paramètres des modes longitudinaux
Mode
Dénomination
T (s) T½ (s) Nmoitié (s)
Spiral
—
95
—
Convergence en roulis
—
,
—
Oscillation latérale
,
21
,
(roulis hollandais)
Vecteurs propres
Les vecteurs propres associés aux modes ci-dessus sont indiqués au tableau .
sous forme adimensionnelle, la phase correspondant à la racine σ+i ω. Outre les
variables d’état de base, on a ajouté les deux variables d’état ψ et y0 .
ou roulis hollandais.
5.3. Modes latéraux
β = v̂
p̂
r̂
φ
ψ
y0
u0 t ∗
Tab. . – Vecteurs propres latéraux
Spiral
Convergence en roulis Oscillation latérale
Module
Phase Module
Phase
Module
Phase
,
˚
,
˚
,
-,˚
−4
, 10
˚
,
˚
,
,˚
, 10−4
˚
,
˚
,
-,˚
,
˚
,
˚
,
˚
,
˚
,
˚
,
,˚
, 103
˚
,
˚
,
-,˚
Mode : mode spiral Du tableau ., on voit que l’amplitude relative des angles
dans le mode spiral est
β : φ : ψ = −0, 00119 : −0, 177 : 1
de sorte que le mouvement consiste principalement en un mouvement de lacet sans dérapage avec un peu de roulis. Or c’est précisément le mouvement
effectué lors d’un virage correct, de sorte qu’on peut considérer le mode spiral
comme un virage de rayon variable. Parmi les variables aérodynamiques (β, p̂
et r̂), β est la plus importante, mais on a vu qu’elle est elle-même très faible. Les
efforts aérodynamiques sont donc très faibles pour ce mode, et l’on peut donc le
qualifier de mode « faible ». Ceci est cohérent avec sa grande constante de temps.
On peut calculer aisément la trajectoire de vol associé au mode spiral à partir
du vecteur propre. Par exemple, pour une perturbation initiale en azimut (ψ) de
˚(, rad), on obtient
ψ = 0, 35e λ1 t
v = 235, 91(−0, 00119)0, 35e λ1 t
avec λ1 = −0, 0072973
En intégrant les équations de la trajectoire, il s’ensuit que (pour θ0 = 0), elle
s’écrit
y0 = 11 301 e −0,0072973 t m
x0 = 235, 91 t m
La trajectoire est représentée à la figure . On voit qu’il s’agit d’un lent retour
à l’état d’équilibre y0 = 0. Quand le mode spiral est instable, ce qui est fréquemment le cas, l’azimut et y0 augmentent au cours du temps comme indiqué sur la
figure.
Mode : convergence en roulis Dans ce mode, l’amplitude relative des angles
est
β : φ : ψ = −0, 0198 : 1 : −0, 0562
et l’on voit qu’il s’agit pratiquement d’un mouvement de rotation pure autour
de l’axe x, d’où son nom. L’amplitude relative des variables aérodynamiques est
β : p̂ : r̂ = −0, 278 : 1 : −0, 0561
Chapitre 5. Stabilité dynamique
Fig. . – Trajectoire correspondant au mode spiral
de sorte que le couple de roulis est principalement l’amortissement en roulis
C lp p̂.
Mode : oscillation latérale (roulis hollandais) Le diagramme vectoriel du
vecteur propre correspondant à ce mode est représenté à la figure . On constate
que les trois angles β, φ et ψ sont du même ordre de grandeur, que la vitesse
de rotation en lacet r̂ est un ordre de grandeur plus petite, et que β et ψ sont
presque opposés. Il s’ensuit des équations de la trajectoire de vol que y0 reste
pratiquement nul. Le centre de gravité de l’avion suit une trajectoire essentiellement droite et le mouvement se compose principalement de rotations en lacet
et en roulis, cette dernière étant en retard de phase d’environ ˚par rapport à
la première.
Effet de la vitesse et de l’altitude
Même pour le cas de l’avion rigide à faible nombre de Mach, l’évolution des
modes latéraux avec la vitesse et l’altitude ne sont généralement pas simples, en
raison du fait que les dérivées aérodynamiques latérales dépendent de manière
complexe du coefficient de portance. C’est particulièrement vrai pour les avions
à aile en flèche de faible allongement pour lesquels l’effet dièdre C lβ augmente
fortement avec CL . Ces effets sont d’autant plus marqués que le coefficient de
portance est élevé (et donc que la vitesse est faible et l’altitude élevée) — re-
5.3. Modes latéraux
Fig. . – Trajectoire correspondant au mode spiral
marque à ce propos que pour l’exemple du Boeing à Mach , à une altitude
de pieds, CL = 0, 654, ce qui est assez élevé pour un vol de croisière.
Pour un avion rigide avec ailes en flèche à faible nombre de Mach, la période du roulis hollandais doit normalement d’abord augmenter avec la vitesse,
avant d’ensuite diminuer. L’amortissement de ce mode, faible à basse vitesse,
augmente à mesure que la vitesse augmente. La convergence en roulis est fortement amortie dans toutes les conditions de vol, mais l’amortissement augmente
normalement avec la vitesse. Le mode spiral est fréquemment instable dans une
partie du domaine de vol, dépendamment du couplage entre les dérivées latérales. Les temps caractéristiques du mode spiral sont toutefois tellement grands
que l’instabilité n’affecte pas les qualités de pilotage de l’avion. L’effet d’une augmentation d’altitude à CL constant (et donc accompagnée d’une augmentation
de vitesse) est principalement une augmentation de l’amortissement de tous les
modes. La période du roulis hollandais y est assez insensible.
Quand se superposent à ces variations déjà complexes des modes latéraux
des effets aéroélastiques et de compressibilité substantiels, les variations deviennent encore plus irrégulières, comme l’illustre l’exemple du Boeing (voir
tableau .. Une valeur négative de T½ correspond à un mode instable). Aux deux
altitudes les plus basses, avec des valeurs de CL relativement faibles, les caractéristiques des modes varient de manière assez régulière. Au contraire, à
pieds, on constate des variations erratiques, en particulier celle de l’amortissement des modes avec le nombre de Mach, qui résulte principalement de la variation complexe de C lβ avec CL et M dans cette zone.
Chapitre 5. Stabilité dynamique
Tab. . – Variation des modes latéraux avec la vitesse et l’altitude
Altitude,
(pieds)
Nombre
de Mach
,
,
,
,
,
,
,
,
Mode
spiral
T½
(s)
,
,
,
,
,
-
,
-,
Convergence
en roulis
T½
(s)
,
,
,
,
,
,
,
,
Oscillation latérale
(roulis hollandais)
Période
Nmoitié
(s)
(cycles)
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.. Approximation des modes latéraux
On tentera dans cette section d’établir des expressions approchées pour les
modes latéraux comme on l’a fait précédemment pour les modes longitudinaux.
On montrera qu’il existe des approximations convenables pour chaque mode,
mais qui doivent être manipulées avec précaution car leur précision ne peut
réellement être vérifiée qu’a posteriori, par comparaison avec les solutions exactes.
On ne peut les employer avec confiance que dans des situations semblables à
celles pour lesquelles on a montré précédemment qu’elles donnaient de bons
résultats.
Mode spiral
La comparaison des valeurs propres exactes (section ..) montre que la valeur propre du mode spiral est deux ordres de grandeurs plus petite en module
que la valeur propre suivante. Ceci suggère que l’on puisse obtenir une bonne
approximation de ce mode en ne gardant que les deux termes d’ordre le plus
petit dans l’équation caractéristique, à savoir
Dλ + E = 0
→
λS ≈ −
E
D
(.)
où λS dénote la valeur propre réelle du mode spiral. Avant de développer les
expressions analytiques de D et E, réécrivons la matrice du système latérale de
manière plus compacte, en faisant l’approximation Yp = 0 (vérifiée dans le cas
de l’exemple) :
Yv
0
Yr
g cos θ0
L L
Lr
0
v
p
A=
(.)
Nv Np
Nr
0
0
1 tan θ0
0
5.3. Modes latéraux
où la signification des symboles composés en police calligraphique s’obtient par
comparaison avec le système ., par exemple
Yv =
Yv
m
0
0
Lv = Izz
L v − Ixz
Nv
Avec ces notations, le calcul de det(A − λI) donne
E=
D=
g [(Lv Nr − Lr Nv ) cos θ0 + (Lp Nv − Lv Np ) sin θ0 ] (a)
g (Lv cos θ0 + Nv sin θ0 ) + Yv (Lr Np − Lp Nr )
+Yr (Lp Nv − Lv Np )
(b)
(.)
Lorsqu’on compare l’ordre de grandeur des divers termes de D, on s’aperçoit
que le deuxième terme peut être complètement négligé et que Yr peut être négligé dans Yr (Yr ≈ −u0 ), de sorte que l’on a
D = g (Lv cos θ0 + Nv sin θ0 ) + u0 (Lv Np − Lp Nv )
(.)
En appliquant ce résultat au cas de l’exemple, on trouve λS = −0, 00725, un résultat qui diffère de moins d’% de la valeur exacte.
On a vu que le coefficient E revêt une signification particulière eu égard à la
stabilité statique. Le critère rigoureux de stabilité statique latérale est donc
(Lv Nr − Lr Nv ) cos θ0 + (Lp Nv − Lv Np ) sin θ0 > 0
(.)
En exprimant chacun des termes en fonction des dérivées aérodynamiques adimensionnelles, on obtient l’expression équivalente
(C lβ C nr −C lr C nβ ) cos θ0 + (C lp C nβ −C lβ C np ) sin θ0 > 0
(.)
Comme plusieurs dérivées latérales apparaissant dans cette dernière équation
dépendent de CL0 , la stabilité statique varie avec les conditions de vol et il n’est
pas rare que le mode spiral soit instable dans une partie de l’enveloppe de vol
ainsi qu’on l’a déjà souligné.
Convergence en roulis
On a remarqué à la section précédente que la convergence en roulis correspondait à très peu de choses près à un mouvement de pure rotation en roulis.
Ceci suggère que l’on puisse l’approximer en supposant le dérapage et la vitesse
de rotation de lacet nulles et en considérant uniquement l’équation du mouvement en roulis, à savoir
ṗ = Lp p
(.)
ce qui donne la valeur propre approchée
0
0
λR ≈ Lp = Izz
L p − Ixz
Np
(.)
Chapitre 5. Stabilité dynamique
En appliquant cette expression au cas du Boeing , on trouve λR = −0, 434,
une valeur % plus petite que la valeur exacte. L’approximation est donc assez
grossière.
Une approximation alternative a été établie par McRuer et al. []. Cette approximation conduit à un système du second ordre dont les deux racines sont
des approximations des valeurs propres des modes spiral et de convergence en
roulis. Dans certains cas, les racines peuvent être complexes, ce qui correspond
à une « phugoïde latérale », une oscillation latérale de grande période. L’approximation se base sur l’hypothèse physique que la force latérale due à la gravité
produit la même rotation de lacet qu’en l’absence de dérapage, ce qui se traduit
par le remplacement de l’équation selon y par l’équation quasi-statique
0 = Yr r + g cos θ0 φ
(.)
On suppose en outre que Yp et Yr sont négligeables. Sans faire d’approximation additionnelle sur les équations de rotation en roulis et en lacet, le système
d’équation devient par conséquent pour un vol de référence horizontal
0
ṗ
ṙ
φ̇
=
0
Lv
Nv
0
0
Lp
Np
1
−u0
Lr
Nr
0
g
0
0
0
v
p
r
φ
(.)
dont l’équation caractéristique s’obtient comme pour l’approximation de la phugoïde, à savoir
¯
¯
¯ 0
0
−u0
g ¯¯
¯
¯ L L −λ
Lr
0 ¯¯
¯ v
p
(.)
¯=0
¯
¯ Nv
Np
Nr − λ 0 ¯
¯
¯
¯ 0
1
0
−λ ¯
qui, tous calculs faits, donne
avec
C λ2 + Dλ + E = 0
(.)
C = u0 Nv
D = u0 (Lv Np − Lp Nv ) − g Lv
E = g (Lv Nr − Lr Nv )
(.)
En appliquant cette approximation à l’exemple du Boeing , on trouve
λS = −0, 00734
λR = −0, 597
soit des résultats à % et % des valeurs exactes respectivement. On constate
donc que l’approximation est assez bonne pour les deux modes, certainement
bien meilleure que l’approximation . pour la convergence en roulis.
5.3. Modes latéraux
Roulis hollandais
Un modèle physique de l’oscillation latérale est un mouvement de lacet/dérapage
« à plat » dans laquelle on néglige le roulis. Les équations correspondantes s’obtiennent à partir du système complet en annulant p et φ et en éliminant l’équation de rotation en roulis. On néglige également la dérivée Yr . Le système simplifié est donc
¸·
¸
·
¸ ·
v
v̇
Yv −u0
(.)
=
r
ṙ
Nv Nr
d’où l’on tire directement l’équation caractéristique
λ2 − (Yv + Nr )λ + (Yv Nr + u0 Nv ) = 0
(.)
Appliquant ce résultat à l’exemple du Boeing donne λDR = −0, 1008±0, 9157i ,
ou encore
T = 6, 86 s
Nmoitié = 1, 0
On voit que l’approximation de la période est assez précise (% d’erreur) mais
l’amortissement est très fortement surévalué.
On peut obtenir une meilleure approximation de l’amortissement de ce mode
en combinant l’équation exacte et l’approximation de McRuer pour les modes
spiral et de convergence en roulis. En effet, on sait que la somme des valeurs
propres est égale à la trace de la matrice (somme des éléments diagonaux), d’où
2σDR + λS + λR = Yv + Lp + Nr
→
1
σDR = [Yv + Lp + Nr − (λS + λR )] (.)
2
Mais l’approximation précédente pour les modes spiral et de roulis donne
λS + λR = −
D
Lv g
= Lp +
( − Np )
C
Nv u0
de sorte qu’on obtient finalement
µ
¶
Lv g
1
− Np ]
σDR = [Yv + Nr −
2
Nv u0
(.)
à comparer avec ½(Yv +Nr ) donnée par (.). L’amortissement donné par cette
dernière approximation vaut σDR = −0, 0159, mieux que l’approximation précédente mais encore assez loin de la valeur exacte σDR = −0, 0330.
Cet exemple de tentative d’obtenir une approximation de l’amortissement
du roulis hollandais illustre la difficulté de l’entreprise. Bien que l’approximation
tende à être meilleure pour de faibles valeurs de CL , il demeure néanmoins très
claire qu’elle doit être utilisée avec grande précaution, et que seule l’utilisation
du système complet permet d’obtenir un résultat fiable.
Chapitre 5. Stabilité dynamique
Chapitre
Réponse aux commandes
. Introduction
On étudiera dans ce chapitre la réponse de l’avion à l’actuation des principales commandes : gouvernes de profondeur et de direction, ailerons et manette
des gaz. Remarquons que ce ne sont pas les seules commandes qui peuvent
être employées. Ainsi on a parfois recours à l’orientation de la poussée (vectored thrust) ou encore à une commande directe de portance. Étroitement liés à
ces problèmes sont les réponses de l’avion à un changement de configuration
de vol : déflexion des volets hypersustentateurs, lâcher de masses (bombes ou
réservoirs), déploiement des aérofreins. . . .
.. Guidage longitudinal
Les deux grandeurs principales à contrôler en vol symétrique sont la vitesse
et la pente de la trajectoire. Pour ce faire, il faut bien entendu être capable d’appliquer des forces parallèlement et perpendiculairement à la trajectoire de vol.
On agit sur les premières au moyen de la commande de poussée (manette des
gaz) et en réglant la traînée (aérofreins), et sur les secondes en réglant la portance par l’entremise de la gouverne de profondeur ou de volets. Il est évident,
par simple raisonnement physique (ou en se fondant sur les équations du mouvement) que la réponse initiale à une augmentation dez gaz (et donc de poussée) est une accélération. De même, la principale réponse initiale à une déflexion de la gouverne est un mouvement de tangage, qui induit par la suite une
variation d’incidence et de portance, et donc un changement de direction de
vol.
Asymptotiquement, le nouvel état d’équilibre correspondant aux nouvelles
positions des commandes se détermine comme on l’a vu au chapitre . Ainsi,
un changement de la poussée à braquage de la gouverne (et donc à incidence)
donné produit un changement de pente de la trajectoire sans changement de
vitesse. Au contraire, une déflexion de la gouverne modifie l’incidence d’équilibre (cfr section .) et donc la vitesse, ce qui, à poussée constante, entraîne
Chapitre 6. Réponse aux commandes
secondairement un changement de pente de la trajectoire. On constate que les
effets initiaux et asymptotiques des commandes sont en quelque sorte inversés.
Il est donc nécessaire d’étudier les transitoires qui lient ces réponses initiales et
finales. Nous verrons par la suite que ceux-ci sont dominés par l’oscillation faiblement amortie et de longue période qu’est la phugoïde, et que l’état final n’est
obtenu que longtemps après l’actuation de la commande.
.. Guidage latéral
Les fonctions des commandes latérales sont triples :
– assurer l’équilibre en cas d’asymétrie de la poussée due à la défaillance
d’un moteur,
– corriger les mouvements indésirés induits par la turbulence atmosphérique, et
– permettre d’effectuer les manœuvres de virage.
Les deux premières fonctions s’obtiennent grâce aux couples de lacet et de roulis produits par les commandes. Pour la troisième, il faut appliquer une force
horizontale perpendiculaire à la vitesse de l’avion, ce qui s’obtient en inclinant
l’avion d’un angle de gîte φ. Les commandes latérales permettent donc de mettre
l’avion en virage comme sous-produit de leur faculté de contrôler l’angle de gîte.
D’ordinaire, les réponses au braquage des ailerons ou de la gouverne de direction sont très compliquées, tous les modes latéraux étant simultanément excités. Dans ce cas, seule la solution des équations non-linéaires du mouvement
permet de le décrire correctement.
.. Solution des problèmes de réponse aux commandes
De nos jours, l’intégration numérique des équations non-linéaires du mouvement se fait aisément à l’aide de logiciels mathématiques tels que MATLAB ou
encore par des programmes spécifiques qui utilisent le plus souvent la méthode
de Runge-Kutta. L’aspect le plus difficile du recours à l’intégration numérique
des équations du mouvement est d’élaborer le modèle aérodynamique général
fournissant les efforts aérodynamiques en fonction des paramètres de vol et du
braquage des commandes.
Aussi, bien que l’on soit alors limité à l’analyse de mouvements de faible
amplitude, l’usage du modèle linéaire des petites perturbations est néanmoins
très utile et instructif. Non seulement révèle-t-il les caractéristiques dynamiques
importantes mais de plus, il est tout-à-fait approprié pour la conception de systèmes de régulation destinés à maintenir les perturbations à un faible niveau.
Pour l’étude des réponses aux commandes, on est amené à introduire des dérivées aérodynamiques par rapport aux paramètres de commande définies selon
les conventions habituelles. Ainsi,
C mδe ≡
∂C m
∂δe
6.2. Réponse longitudinale
Les dérivées dimensionnelles s’obtiennent à partir des dérivées adimensionnelles selon les définitions habituelles des facteurs d’adimensionnalisation.
Les équations du mouvement du modèle linéaire s’écrivent
ẋ = Ax + Bc
où apparaissent les contributions des commandes représentées par leur vecteur
c. On obtient aisément la solution générale de ces équations par application de
la transformée de Laplace
sX(s) − x(0) = AX(s) + BC(s)
(.)
En supposant x(0) = 0 (état initial à l’équilibre), on trouve immédiatement
(sI − A)X(s) = BC(s)
X(s) = (sI − A)−1 B C(s)
|
{z
}
→
(.)
G(s)
où G(s) est la matrice des fonctions de transfert. Comme
(sI − A)−1 =
cof(sI − A)
det(sI − A)
(.)
où cof(sI − A) est la matrice des cofacteurs de la matrice sI − A, il est clair que les
pôles de G(s) sont les valeurs propres de A.
. Réponse longitudinale
Le vecteur de commande a été déterminé au chapitre (.).
∆X
c
m
∆Zc
m − Zẇ
Bc =
∆Zc Mẇ
∆Mc
+
Iy y
I y y (m − Zẇ )
0
En reliant les efforts aérodynamiques au braquage de la gouverne et au niveau
de poussée
¸
∆X c
X δe X Π ·
δe
∆Zc = Zδ
Z
(.)
Π
e
Π
∆Mc
Mδe MΠ
Noter que l’on peut employer cette même méthode pour l’analyse du mouvement libre. On a
dans ce cas x(0) 6= 0 et c = 0.
Et l’on retrouve évidemment la condition de stabilité, à savoir que les valeurs propres de A
doivent avoir une partie réelle négative.
Chapitre 6. Réponse aux commandes
on déduit l’expression de la matrice B
X δe
m
Zδe
B =
m
− Zẇ
Mδe
Zδe Mẇ
+
Iy y
I y y (m − Zẇ )
XΠ
m
ZΠ
m − Zẇ
MΠ
ZΠ Mẇ
+
I y y I y y (m − Zẇ )
(.)
L’utilisation de dérivées aérodynamiques constantes implique une réponse instantanée aux commandes, en particulier que la poussée réagisse instantanément à l’actionnement de la manette des gaz. Cette hypothèse est assez réaliste
pour les avions à hélice mais elle devient caduque pour les turboréacteurs, qui
possèdent un temps de réaction plus important. On peut prendre cet effet en
compte en remplaçant les dérivées aérodynamiques par rapport à la commande
de poussée par des fonctions de transfert, par exemple X Π par GxΠ (s), ce qui est
équivalent à modéliser la réponse des efforts aérodynamiques par rapport au
niveau de la manette des gaz par une équation différentielle additionnelle.
Pour illustrer les réponses aux commandes longitudinales, reprenons l’exemple
du Boeing . Les dérivées aérodynamiques par rapport à l’angle de gouverne
sont
C xδe = −3, 818 10−6
C zδe = −0, 3648
C mδe = −1, 444
auxquelles correspondent les dérivées dimensionnelles
X δe = −16, 53 N/rad Zδe = −1, 579 106 N/rad Mδe = −52, 04 106 Nm/rad
En ce qui concerne la commande de poussée, nous choisissons arbitrairement
une valeur de X Π /m = 0, 3g , c’est-à-dire que le moteur à fond (Π = 1) fournit une
accélération de 0, 3g à l’altitude considérée, et nous négligeons les effets de la
poussée sur la force selon z et le moment de tangage (ZΠ = MΠ = 0). Dans ces
conditions, la matrice B devient
−0, 0000573 2, 94
−5, 44
0
(.)
B =
−1, 158
0
0
0
.. Réponse à la gouverne de profondeur
Fonctions de transfert
À partir de la théorie générale, on obtient directement
b11
Guδe
b
G
21
wδe
X(s) = (sI − A)−1
∆δ (s)
∆δe (s) =
b31
Gqδe e
Gθδe
0
(.)
6.2. Réponse longitudinale
où les fonctions de transfert se calculent aisément à partir de la décomposition
´
³
en vecteurs propres de A. En effet, puisque A = RΛL, (sI − A)−1 = Rdiag
de sorte que la matrice des fonctions de transfert vaut
b11
Guδe
¶
µ
b
G
1
21
wδe
L
= Rdiag
Gqδe
s − λi b31
0
Gθδe
1
s−λi
L
(.)
Il est intéressant de calculer également la réponse de deux autres grandeurs, à
savoir la pente de la trajectoire et le facteur de charge n. En ce qui concerne la
pente, comme γ = θ − α, on a donc ∆γ = ∆θ − ∆α, de sorte que
Gγδe = Gθδe −Gαδe
(.)
et Gαδe = Gwδe /u0 . Quant au facteur de charge, pour rappel, on le définit par
n=−
Z
P
(.)
Par conséquent,
1
∆n = − (Zu ∆u + Zw ∆w + Zq ∆q + Zẇ ẇ + Zδe ∆δe )
P
(.)
d’où l’on tire la fonction de transfert en prenant la transformée de Laplace
1
Gnδe = − (Zu Guδe + (Zw + sZẇ )Gwδe + Zq Gqδe + Zδe )
P
(.)
On a représenté plusieurs de ces fonctions de transfert aux figures .–. sous
la forme de diagrammes de Bode, ainsi que leurs approximations phugoïde et
oscillation d’incidence (voir ci-dessous). On constate que les réponses des variables « de trajectoire » u et γ sont entièrement dominées par le pic à la fréquence du mode phugoïde. En raison du faible amortissement de ce mode, les
gains à la résonance sont très élevés. Le pic de |Guδe | ≈ 3 104 signifie qu’une oscillation de vitesse de pieds par seconde ( ms−1 ) serait produite par une
oscillation d’environ /( 104 ) rad, soit à peine ,˚, d’angle de gouverne. Semblablement, à la résonance, une oscillation de pente de ˚serait produite par
une oscillation d’angle de gouverne d’/˚. Pour ces deux variables, le gain diminue rapidement avec la fréquence et devient totalement négligeable au-delà de
la fréquence de l’oscillation d’incidence.
Au contraire, la fonction de transfert de la variable d’attitude w (∼ α) est
du même ordre de grandeur à basse et à haute fréquence, montrant des contributions de même importance de la phugoïde et de l’oscillation d’incidence. Le
comportement complexe au voisinage de la fréquence de la phugoïde illustre le
genre de phénomènes qui peuvent se présenter avec les systèmes d’ordre élevé.
Il résulte de la proximité d’un pôle et d’un zéro de la fonction de transfert.
Chapitre 6. Réponse aux commandes
Fig. . – Fonction de transfert de la vitesse par rapport à l’angle de gouverne. (a)
Module. (b) Phase.
6.2. Réponse longitudinale
Fig. . – Fonction de transfert de l’incidence par rapport à l’angle de gouverne.
(a) Module. (b) Phase.
Chapitre 6. Réponse aux commandes
Fig. . – Fonction de transfert de la pente par rapport à l’angle de gouverne. (a)
Module. (b) Phase.
6.2. Réponse longitudinale
Fig. . – Fonction de transfert du facteur de charge par rapport à l’angle de gouverne. (a) Module. (b) Phase.
Chapitre 6. Réponse aux commandes
L’amplitude de la fonction de transfert du facteur de charge comporte un pic
de résonance très intense à la fréquence de la phugoïde, de presque /rad. Une
très faible oscillation d’angle de gouverne à cette fréquence suffirait à provoquer
la défaillance structurale de l’aile !
Réponse à un échelon d’angle de gouverne
À partir des fonctions de transfert déterminées ci-dessus, on calcule aisément la réponse à un échelon d’angle de gouverne. On a représenté aux figures .–
. les évolutions de la vitesse, de l’incidence et de la pente de la trajectoire
consécutives à un échelon d’un degré d’angle de gouverne.
On observe à la figure . qui montre les premières secondes de la réponse,
que seul l’angle d’incidence répond rapidement au déplacement de la gouverne,
et que son évolution est dominée par le mode bien amorti d’oscillation d’incidence. Au contraire, les variables de trajectoire (vitesse et pente) répondent
beaucoup plus lentement. On observe à la figure . qui présente l’évolution
des variables sur une durée de minutes, que les transitoires persistent très
longtemps, et qu’après quelques secondes, c’est le mode phugoïde qui domine
l’évolution.
L’état de régime approché si lentement se caractérise par une vitesse plus
élevée, correspondant à la diminution d’incidence attendue comme suite au
braquage vers le bas de la gouverne. La pente de la trajectoire change à peine
(augmentation d’environ ,˚). L’augmentation s’explique par le fait que le vol
de départ est à une vitesse inférieure à la vitesse de traînée minimale.
Si l’objectif du braquage de la gouverne était de modifier les conditions de
vol, on ne peut pas dire que la manœuvre soit une réussite. Manifestement, un
guidage longitudinal satisfaisant exige une manœuvre un peu plus sophistiquée,
qu’elle soit effectuée par un pilote humain ou automatique.
Approximation phugoïde
On peut obtenir une approximation des fonctions de transfert grâce à l’approximation phugoïde élaborée à la section ... En ajoutant les contributions
des commandes, le système différentiel approché (.) — dans lequel on a multiplié l’équation du moment cinétique de tangage par I y y — devient
Xu
m
Zu
=
m
Mu
0
∆u̇
ẇ
0
∆θ̇
Xw
m
0
Zw
m
u0
Mw
0
0
1
−g
0
0
0
∆u
w
q
∆θ
X δe
m
Zδe
+
m
Mδe
0
δe
(.)
6.2. Réponse longitudinale
Fig. . – Réponse à un échelon d’angle de gouverne (∆δe = 1˚)
Chapitre 6. Réponse aux commandes
Fig. . – Réponse à un échelon d’angle de gouverne (∆δe = 1˚)
6.2. Réponse longitudinale
ou, de manière compacte M ẋ = Aphug x + bphug δe . En prenant la transformée de
Laplace, on obtient l’approximation phugoïde des fonctions de transfert
(Guδe ,Gwδe ,Gqδe ,Gθδe )t = (sM − Aphug )−1 bphug
(.)
Approximation d’oscillation d’incidence
Semblablement, on peut obtenir une approximation des fonctions de transfert pour les hautes fréquences en utilisant l’approximation d’oscillation d’incidence. En ajoutant les contributions des commandes, le système différentiel
approché (.) devient
Zw
u
0
·
·
¸
¸
m
w
ẇ
=
+
·
¸
q̇
¤ q
Zw Mẇ
1 £
1
Mw +
Mq + u0 Mẇ
Iy y
m
Iy y
Zδe
m
(.)
·
¸ δe
Zδe Mẇ
1
Mδe +
Iy y
m
ou, de manière compacte, ẋ = Ao.i. x+ bo.i. δe . De nouveau, on en tire les fonctions
de transfert approchées Gwδe et Gqδe en prenant la transformée de Laplace. La
fonction de transfert Gθδe s’obtient en remarquant que L (q) = sL (∆θ), de sorte
que Gθδe = Gqδe /s.
Les fonctions de transfert approchées calculées de la sorte ont été représentées sur les diagrammes de Bode .–.. On constate que l’approximation phugoïde est en bon accord avec les résultats exacts pour les basses fréquences alors
que l’approximation d’oscillation d’incidence est excellente pour les hautes fréquences.
.. Réponse à la commande de poussée
On a calculé la réponse du Boeing à un échelon de poussée ∆Π = 1/6. Les
résultats sont représentés à la figure .. Comme le modèle suppose une réponse
immédiate des moteurs, les résultats ne sont pas valides pour les premières secondes. De toute façon, cette phase ne présente pas beaucoup d’intérêt dans ce
cas car le mouvement est clairement dominé par la phugoïde faiblement amortie. La vitesse augmente immédiatement, avant que les autres variables aient le
temps de varier. Elle subit ensuite une oscillation faiblement amortie pour revenir asymptotiquement à sa valeur de départ. L’incidence varie peu, et la pente
approche sa valeur finale de manière oscillatoire, l’état final étant un vol en
montée avec ∆u = ∆α = 0. Lorsque l’axe de la poussée ne passe pas par le centre
de gravité et qu’il y a par conséquent une contribution de la poussée au moment
Chapitre 6. Réponse aux commandes
Fig. . – Réponse à un échelon d’angle de poussée (Π = 1/6)
6.3. Réponse latérale
de tangage, la réponse diffère par plusieurs détails. Principalement, le moment
de tangage dû à la poussée produit une variation rapide d’incidence, suivie par
une relaxation oscillatoire vers une nouvelle incidence, et la vitesse tend vers
une nouvelle valeur.
. Réponse latérale
.. Fonctions de transfert
Les fonctions de transfert latérales se calculent exactement de la même manière que les fonctions de transfert longitudinales, à savoir G = (sI −A)−1 B. En reliant les efforts aérodynamiques latéraux au braquage des ailerons et de la gouverne de direction,
∆Yc
Yδa
∆L c = Lδ
a
∆Nc
Nδa
·
¸
Yδr
δa
L δr
δr
Nδr
(.)
on déduit de l’expression du vecteur de commande établi au chapitre (.)
l’expression de la matrice B
Yδa
m
0
I Lδ − I 0 Nδ
zz a xz a
B =
0
0
L δa
Ixx Nδa − Ixz
0
Yδr
m
0
0
Izz
Lδr − Ixz
Nδr
0
0
Ixx
Nδr − Ixz
L δr
(.)
0
On illustre les réponses aux commandes latérales par l’exemple du Boeing
. Avec les valeurs des dérivées aérodynamiques par rapport aux commandes
latérales données au tableau ., les éléments de la matrice B sont les suivants :
B =
0
1, 720
−0, 1431
0, 1144
0, 003741 −0, 4859
0
0
(.)
Tab. . – Dérivées aérodynamiques par rapport aux commandes latérales
Cy
Cl
Cn
−2
δa
0
−1, 368 10
−1, 973 10−4
−3
δr 0, 1146
6, 976 10
−0, 1257
Chapitre 6. Réponse aux commandes
Fig. . – Fonctions de transfert par rapport au braquage de la gouverne de direction. (a) Dérapage, module. (b) Dérapage, phase. (c) Angle de gîte, module.
(d) Angle de gîte, phase. (e) Vitesse de lacet, module. (f) Vitesse de lacet, phase.
Les fonctions de transfert de v (β), de φ et de r par rapport aux braquages de
la gouverne de direction et des ailerons sont représentées sous forme de diagrammes de Bode aux figures .–., ainsi que leurs approximations basées sur
les approximations des modes latéraux présentées à la section ...
6.3. Réponse latérale
Fig. . – (suite)
Chapitre 6. Réponse aux commandes
Fig. . – (suite)
6.3. Réponse latérale
Fig. . – Fonctions de transfert par rapport au braquage des ailerons. (a) Dérapage, module. (b) Dérapage, phase. (c) Angle de gîte, module. (d) Angle de gîte,
phase. (e) Vitesse de lacet, module. (f) Vitesse de lacet, phase.
Chapitre 6. Réponse aux commandes
Fig. . – (suite)
6.3. Réponse latérale
Fig. . – (suite)
Chapitre 6. Réponse aux commandes
La principale caractéristique de l’ensemble de ces figures est la résonance
marquée à la fréquence de l’oscillation latérale et la diminution nette de phase
associée. À fréquence nulle, le gain de la vitesse de roulis est nul pour les deux
commandes (en effet, pour un vol de référence horizontal, p = φ̇, de sorte que
Gpδa,r = sGφδa,r ), alors que le gain de toutes les autres variables est fini. Mais les
gains statiques de β et φ sont si grands que l’hypothèse de linéarité n’est valide à l’état stationnaire que pour des braquages des commandes extrêmement
faibles.
On peut calculer des fonctions de transfert latérales approchées exactement
de la même manière que pour les fonctions de transfert longitudinales approchées, en se fondant sur les approximations des équations du mouvement élaborées à la section ... À l’examen des figures .–., on observe que l’approximation de roulis hollandais est très bonne pour les hautes fréquences alors que
l’approximation combinée spirale/convergence en roulis fournit de bons résultats pour les basses fréquences. Ce comportement est tout-à-fait analogue à celui observé pour la réponse longitudinale, la combinaison spirale/convergence
en roulis correspondant à la phugoïde et le roulis hollandais à l’oscillation d’incidence. On constate enfin qu’aucune des deux approximations n’est satisfaisante
dans une gamme de fréquences intermédiaire entre les deux limites. Il convient
de rappeler que les approximations des modes latéraux doivent être employées
avec précaution et que seules les équations exactes permettent d’obtenir des résultats fiables.
.. Réponse transitoire aux ailerons et à la gouverne de direction
Comme on l’a mentionné précédemment (section ..), l’action des commandes latérales produit rapidement des angles (notamment de gîte) importants, de sorte que les équations linéarisées perdent leur validité. Pour les avions
de ligne et d’aviation générale qui ne sont pas sujets à des manœuvre violentes,
un modèle intermédiaire entre le modèle linéarisé et le modèle non-linéaire général, dans lequel seuls certains effets non-linéaires sont pris en compte s’avère
utile. Il consiste à garder une représentation linéaire des effets aérodynamiques
et d’inertie, mais d’employer la formulation non-linéaire exacte des forces de
gravité. De la sorte, les angles φ, θ et ψ peuvent prendre des valeurs arbitraires.
Comme on le verra dans l’exemple suivant, la validité de la solution ainsi obtenue est limitée par l’augmentation de la vitesse de l’avion au-delà de la gamme
de validité de l’approximation linéaire, c’est-à-dire que la solution perd sa validité lorsque les non-linéarités aérodynamiques commencent à devenir importantes. Si, dans les équations générales du mouvement (.–.), on introduit
les approximations linéaires aérodynamiques et on néglige les termes d’inertie
quadratiques, on obtient, pour un vol initialement horizontal (θ0 = 0), le système
6.3. Réponse latérale
d’équations
u̇
ẇ
=
q̇
θ̇
v̇
ṗ
ṙ
φ̇
ψ̇
=
∆X
− g sin θ
m
∆Z
− g (1 − sin φ cos θ) + u0 q
m
∆M
Iy y
cos φ q − sin φ r
∆Y
+ g sin φ cos θ − u0 r
m
0
0
Izz
∆L − Ixz
∆N
0
0
Ixx
∆N − Ixz
∆L
p + tan θ(sin φ q + cos φ r)
sec θ(sin φ q + cos φ r)
(.)
(.)
Il est intéressant de remarquer que, bien que les efforts aérodynamiques longitudinaux ne dépendent toujours que des variables du mouvement longitudinal (pas de couplage aérodynamique), un couplage apparaît entre mouvements
longitudinal et latéral par l’entremise du terme − sin φr dans l’équation du moment de tangage, c’est-à-dire qu’un mouvement au départ uniquement latéral
induira des composantes longitudinales.
Ce système d’équations a été intégré numériquement dans le cas de l’application d’un échelon de braquage des ailerons de ˚au Boeing initialement
dans les conditions de vol horizontal considérées précédemment. Les résultats
sont représentés à la figure .. La caractéristique principale du mouvement est
l’acquisition rapide d’une vitesse de roulis et, partant, une croissance rapide de
l’angle de gîte (figure .c), qui atteint presque ˚en secondes. Dérapage,
vitesse de rotation de lacet et angle d’azimut restent faibles sur l’intervalle de
temps considéré. À mesure que l’avion roule, avec une portance restant approximativement égale à son poids, la composante verticale de la force aérodynamique diminue rapidement, et, en raison de la force nette dirigée vers le bas,
l’angle d’assiette θ devient négatif et la vitesse commence à augmenter. Après
secondes, la vitesse a augmenté d’environ %, et le modèle aérodynamique linéaire devient de plus en plus inexact. Par contre, la vitesse de rotation de roulis
ne dépasse pas , rad/s, ce qui correspond à p̂ = 0, 01. Ceci justifie pleinement
le fait de négliger les termes quadratiques d’inertie dans les équations du mouvement.
Chapitre 6. Réponse aux commandes
Fig. . – Réponse du Boeing à un échelon de braquage des ailerons ; δa =
−15˚. (a) Composantes de la vitesse. (b) Vitesses de rotation. (c) Angles d’Euler.
Bibliographie
[] E. L. Houghton and N. B. Carruthers. Aerodynamics for engineering students.
Arnold, third edition, .
[] John D. Anderson Jr. Introduction to flight. McGraw Hill, third edition, .
[] Francis J. Hale. Aircraft performance, selection and design. John Wiley, .
[] Barnes W. McCormick. Aerodynamics, aeronautics and flight mechanics.
John Wiley, .
[] Bernard Etkin and Lloyd Duff Reid. Dynamics of flight. Stability and control.
John Wiley, third edition, .
[] Daniel P. Raymer. Aircraft design : a conceptual approach. AIAA Education
series. American Institute of Aeronautics and Astronautics, .
BIBLIOGRAPHIE
Annexe A
L’atmosphère standard
Annexe A. L’atmosphère standard
Annexe B
Aspects physiologiques du vol
Annexe B. Aspects physiologiques du vol
Annexe B. Aspects physiologiques du vol
Annexe C
Forme adimensionnelle des
équations du mouvement
linéarisées
En appliquant l’adimensionnalisation définie à la section .., on peut établir une forme adimensionnelle des équations du mouvement linéarisées (.)
et (.). Les expressions obtenues sont données sous forme matricielle en (C.)
et (C.), où l’on a tennu compte du fait qu’à l’équilibre CP cos θ0 = CL0 .
Annexe C. Forme adimensionnelle des équations
û˙
α̇
q̂˙
∆θ̇
0
2C tan θ0 +C xu
L
0
2µ
C zu − 2CL0
2µ −C z
α̇
=
·
¸
(C zu − 2CL0 )C mα̇
1
C
mu +
2µ −C zα̇
Iˆ
yy
β̇
p̂˙
r̂˙
φ̇
C yβ
2µ
0
0
Iˆzz C lβ − Iˆxz C nβ
=
0
0
Iˆ C n − Iˆ C l
xx β xz β
0
C xα
Système longitudinal
2µ
C L0
−CL0 tan θ0
−
C zq + 2µ
2µ −C zα̇
0
C zα
2µ −C zα̇
2µ
2µ −C zα̇
û
α
q̂
∆θ
0
∆C yc
2µ
0
0
Iˆzz ∆C lc − Iˆxz ∆C nc
+
Iˆ0 ∆C − Iˆ0 ∆C
xx nc xz lc
0
−CL0 tan θ0C mα̇
Iˆy y (2µ −C zα̇ )
1
·
¸
(C zq + 2µ)C mα̇
1
C mq +
2µ −C zα̇
Iˆy y
−1
C L0
2µ
0
0
0
v
p
r
φ
·
¸
Cz Cm
1
C mα + α α̇
2µ −C zα̇
Iˆy y
0
C yr
Système latéral
2µ
C
yp
0
0
C nr
Iˆzz
C lr − Iˆxz
2µ
0
0
C np
C lp − Iˆxz
Iˆzz
0
0
C lr
Iˆxx
C nr − Iˆxz
tan θ0
0
0
C lp
Iˆxx
C np − Iˆxz
1
(C.)
0
∆C
xc
2µ
∆C zc
2µ −C zα̇
+
∆C zc C mα̇
∆C mc
+
ˆ
Iˆy y (2µ −C zα̇ )
Iy y
(C.)
