9. Diviser par un nombre entier

6ème
CHAPITRE 09
DIVISER PAR UN NOMBRE ENTIER
I. Vocabulaire
Vocabulaire Diviser une quantité en 4, c’est la partager en 4 parts égales. (On ne peut donc pas diviser par 0…)
Exemple
Pour partager 152 bonbons en 4 parts égales, je calcule :
Cela revient à chercher le nombre qui multiplié par 4 donne 152 :
Il doit y avoir 38 bonbons dans chaque part.
152 ÷ 4 = 38
4 × 38 = 152
Vocabulaire 152 ÷ 4 est appelé le quotient de 152 par 4.
II. Avec des nombres entiers : la division euclidienne…
Définition
Effectuer la division euclidienne d’un nombre entier (dividende)
par un autre nombre entier (diviseur), c’est trouver deux nombres entiers (quotient et reste)
tels que :
♦ Dividende = Diviseur × Quotient + Reste
♦
Exemple 1
Effectuons la division euclidienne de 754 par 8 :
Vérification : on a bien :
Exemple 2
Reste < Diviseur
2<8
et
Dividende
754 = 8 × 94 + 2
7 5 4
− 7 2
3 4
− 3 2
2
18 < 23 et
Diviseur
9 4
Quotient
Reste
7 5
− 6 9
6
− 4
1
Effectuons la division euclidienne de 754 par 23 :
Vérification : on a bien :
8
754 = 23× 32 + 18
4
2 3
4
6
8
3 2
III. Diviseurs et multiples
1- Vocabulaire
Définition
Si le reste de la division euclidienne d’un entier A par un entier B est 0, on dit alors que :
« A est divisible par B » ou « B est un diviseur de A » ou « A est un multiple de B ».
Exemple 3
Le reste de la division de 754 par 26 est 0.
On dit que : « 754 est divisible par 26 »
ou
« 26 est un diviseur de 754 »
ou
« 754 est un multiple de 26 ».
7
− 5
2
− 2
5 4
2
3 4
3 4
0
2 6
2 9
2- Critères de divisibilité
Règles (à connaître par cœur)
Un nombre entier est :
divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8 ;
divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5 ;
divisible par 3 si la somme de ces chiffres est divisible par 3 ;
divisible par 9 si la somme de ces chiffres est divisible par 9 ;
divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres
(à droite) est divisible par 4.
Exemples
Parmi les entiers suivants : 19 ; 25 ; 27 ; 40 ; 132 ; 133 ; 246 ; 2 385 ; 17 124
les entiers divisible par 2 sont : 40 ; 132 ; 246 ; 17 124
les entiers divisible par 5 sont : 25 ; 2 385
1+7+1+2+4 = 15
Et 15 est dans la table de 3…
les entiers divisible par 3 sont : 27 ; 246 ; 2 385 ; 17 124
les entiers divisible par 9 sont : 27 ; 2 385
les entiers divisible par 4 sont : 132 ; 17 124
2+3+8+5 = 18
Et 18 est dans la table de 9…
IV. Et avec des nombres décimaux…
Exemple 4
5 × ..?.. = 11,5
Le nombre caché est le quotient de 11,5 par 5.
Avec la calculatrice, on obtient : 11,5 ÷ 5 = 2,3
Méthode
Exemple 5
Exemple 6
Rappel
Pour les divisions décimales, on effectue les mêmes calculs que pour la division euclidienne,
mais on ajoute une virgule au quotient quand on abaisse le chiffre des dixièmes du dividende.
7 4, 0 0
7
2
−
2 0
− 1 6
4 0
− 4 0
0
7, 3 0 0
− 6
1 3
− 1 2
1 0
9
−
1 0
9
−
1
8
9, 2 5
Dans cet exemple, la division s’arrête.
9,25 est une valeur exacte du quotient.
On écrit : 74 ÷ 8 = 9,25.
3
2, 4 3 3…
Dans cet exemple, la division ne s’arrête jamais.
2,433 est une valeur approchée du quotient…
On écrit alors : 7,3 ÷ 3 ≈ 2,433
Pour les valeurs approchées, on peut utiliser les troncatures ou les valeurs arrondies à l’unité…
(revoir le chapitre n°3…)
V. Des exemples d’utilisations : convertir les unités de temps
Exemple 1
Convertir 345 minutes en heures et minutes :
1 h = 60 min
6 0
3 4 5
− 3 0 0
4 5
5
Conclusion : 345 min = 5 h 45 min
Exemple 2
Convertir 7 824 secondes en heures, minutes et secondes :
1 min = 60 s
7
− 6
1
− 1
8 2
0
8 2
8 0
2
−
2
Conclusion : 7 824 s = 130 min 24 s
1 h = 60 min
1 3 0
− 1 2 0
1 0
6 0
2
Conclusion : 7 824 s = 2 h 10 min 24 s
Exemple 3
Convertir 326 heures en jours et heures :
1 j = 24 h
3 2
− 2 4
8
− 7
1
6
2 4
6
2
4
1 3
Conclusion : 326 h = 13 j 14 h
4
6 0
1 3 0
4
0
4