Electronique Analogique (36ESEL36)

Université Paris 7
Licence L3 SPI
Electronique Analogique (36ESEL36)
Alain L’Hoir
(Janvier 2010)
ii
Table des matières
1
Introduction
1.1 L’Electronique Analogique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Contenu du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Exemple de système électronique : instrumentation en physique nucléaire. . . .
2 Circuits électriques
2.1 Circuits à constantes localisées . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Eléments passifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Résistance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1.1 Résistor (l’objet résistance) . . . . . . . . . . .
2.2.1.2 Loi d’Ohm. Mobilité, conductivité, résistivité.
2.2.2 Condensateurs, capacités. . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2.1 Capacité d’un condensateur plan. . . . . . . .
2.2.2.2 Condensateurs en Électronique. . . . . . . . .
2.2.3 Self . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3.1 Auto-induction . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3.2 Selfs en électronique. . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Impédances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Amplitude complexe, impédance complexe. . . . . . . .
2.4 Signaux, théorèmes pour les circuits linéaires. . . . . . . . . . .
2.4.1 Signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1.1 Impulsions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1.2 Signaux périodiques. . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Dipôles, quadripôles, fonction de transfert. . . . . . . . .
2.4.2.1 Dipôles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2.2 Quadripôles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2.3 Fonction de transfert. . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2.4 Fréquence de coupure. . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3 sources idéales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.4 Théorèmes pour les circuits . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.4.1 Lois générales . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.4.2 Théorèmes pour les circuits linéaires . . . . . .
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3 Les composants pour l’Électronique
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Semiconducteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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iv
TABLE DES MATIÈRES
3.2.2
3.2.3
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
Bandes d’énergie, gap. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Métal, isolant et semiconducteur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3.1 Métaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3.2 Isolants et semiconducteurs à température nulle. . . . . . . . .
3.2.3.3 Semiconducteurs ultra-pur à température non nulle. . . . . . .
3.2.3.4 Gap des semiconducteurs. Isolants et semiconducteurs. . . . .
3.2.3.5 Dopage de types N et P. Electrons et Trous. Conductivité par
électrons, par trous. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3.6 Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3.7 Interaction avec la lumière, durée de vie des porteurs. . . . . .
Jonction PN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Généralités. Niveau de Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 La jonction PN à l’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4 Jonction PN polarisée dans le sens direct . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.5 Jonction PN polarisée en sens inverse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.6 Capacité d’une jonction PN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.7 Claquage. Effet Zener, effet d’avalanche. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.8 Autres jonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Diodes PN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Définition, caractéristique I(V ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Modélisations de la diode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2.1 Modélisation en grands signaux . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2.2 Point de fonctionnement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2.3 Diode en petits signaux. Modélisation, point de repos, résistance
dynamique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Diode Zener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.0.4 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.0.5 Polarisation. Modélisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Exemples de diodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Diodes en optoélectronique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2 Photodiode, cellule solaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2.2 Principe de fonctionnement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2.3 Modélisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2.4 Point de fonctionnement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.3 Diode électroluminescente, diode laser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.3.1 Diode électroluminescente (DEL) . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.3.2 Diode Laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.4 Exemples de diodes optoélectroniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.5 Applications des diodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Transistors à effet de champ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.1 Histoire de transistors. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.2 Transistor NMOS à enrichissement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.2.1 Description qualitative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.2.2 Principe de fonctionnement du NMOS . . . . . . . . . . . . . .
3.7.3 Transistor PMOS, technologie CMOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.4 Modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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TABLE DES MATIÈRES
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4 Blocs fonctionnels linéaires : quadripôles
4.1 Introduction. Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Quadripôles linéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Paramètres hybrides h. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Schéma équivalent des transistors à basse fréquence. . . . . . . . . . . .
4.2.4 Autres représentations pour les quadipôles actifs. . . . . . . . . . . . . .
4.2.5 Quadripôles passifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.6 Quadripôle actif ou passif en charge. Impédances d’entrée, de sortie, amplification. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.6.1 Impédance d’entrée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.6.2 Impédance de sortie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.6.3 Amplification en tension et en courant. . . . . . . . . . . . . .
4.2.7 Une autre représentation des quadripôles actifs. . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Association de quadripôles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Structure en cascade. Adaptation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1.1 Représentation simplifiée des amplificateurs de tension. . . . .
4.3.1.2 Amplification. Adaptation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1.3 Méthode matricielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Association série ou parallèle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2.1 Mise en parallèle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2.2 Mise en série. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.8
3.7.4.1 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.5 Transistor à effet de champ à jonction (JFET) . . .
Transistor bipolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.1 Description du transistor bipolaire NPN. . . . . . .
3.8.2 Le transistor bipolaire en régime actif. . . . . . . . .
3.8.2.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.2.2 Les différents courants. . . . . . . . . . . .
3.8.3 Autres régimes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.4 Caractéristiques réelles des transistors bipolaires. . .
3.8.5 Modélisation, schéma équivalent. . . . . . . . . . . .
3.8.5.1 Résistance d’entrée, transconductance. . . .
3.8.5.2 Courant de sortie. . . . . . . . . . . . . . .
3.8.5.3 Schéma équivalent. . . . . . . . . . . . . . .
3.8.5.4 Puissance. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.5.5 Exemples de transistors bipolaires discrets
3.8.6 Applications, conclusions . . . . . . . . . . . . . . .
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5 Amplificateurs linéaires.
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5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.2 Montages de base en classe A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.2.1 Définition. Polarisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.2.2 Montage émetteur commun. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.2.2.1 Polarisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.2.2.2 Superposition des signaux continus et variables. Schéma équivalent 93
5.2.2.3 Amplification. Impédances d’entrée et de sortie. . . . . . . . . 94
5.2.2.4 Dynamique de sortie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
vi
TABLE DES MATIÈRES
5.2.3
5.3
5.2.4
5.2.5
Etage
5.3.1
5.3.2
5.3.3
5.3.4
5.3.5
5.3.6
5.4
Etage
5.4.1
5.4.2
5.4.3
5.4.4
5.4.5
5.4.6
5.2.2.5 Amplification en puissance. . . . . . . . . . . . . . . .
Montage collecteur commun (émetteur suiveur). . . . . . . . .
5.2.3.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.3.2 Amplification. Impédances d’entrée et de sortie. . . .
Montage base commune. Montage cascode. . . . . . . . . . . .
Montages source commune et drain commun. . . . . . . . . . .
de sortie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dispositifs composés : Darlington, transistors complémentaires.
5.3.2.1 Montage Darlington. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2.2 Configuration PNP-NPN. . . . . . . . . . . . . . . . .
Sources de courant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.3.1 Miroir de courant à transistors bipolaires. . . . . . . .
5.3.3.2 Miroir de courant à transistors MOS. . . . . . . . . .
5.3.3.3 Améliorations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Classification des étages de sortie. . . . . . . . . . . . . . . . .
Montage en classe A : collecteur commun : . . . . . . . . . . .
Montages en classe B : push-pull. . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.6.1 Description. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.6.2 Rendement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.6.3 Distorsion de croisement. . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.6.4 Impédance de sortie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.6.5 Impédance d’entrée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.6.6 Développements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.6.7 Transistors MOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
différentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Paire différentielle à transistors bipolaires. . . . . . . . . . . . .
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5.4.3.1 Description. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.3.2 Fonctionnement en mode commun. . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.3.3 Fonctionnement en mode différentiel. . . . . . . . . . . . . . .
Paire différentielle idéale : caractéristiques de transfert, amplifications. .
5.4.4.1 Caractéristiques de transfert (mode différentiel). . . . . . . . .
5.4.4.2 Amplifications de mode différentiel et de mode commun (cas
idéal). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.4.3 Résistance d’entrée en mode différentiel Red . . . . . . . . . . .
5.4.4.4 Résistance d’entrée de mode commun Remc . . . . . . . . . . .
5.4.4.5 Résistance de sortie Rs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Paire différentielle réelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.5.1 Taux de réjection de mode commun. . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.5.2 Influence de la résistance finie de la source de courant. . . . . .
5.4.5.3 Résistances de charge non appariées. . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.5.4 Résistances d’entrée et de sortie. . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.5.5 Rôle des imperfections sur le régime continu. . . . . . . . . . .
Paire différentielle avec une charge active. . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.6.1 Paire chargée par un miroir de courant. . . . . . . . . . . . . .
5.4.6.2 Etage différentiel cascode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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124
126
126
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TABLE DES MATIÈRES
vii
5.4.7
5.5
5.6
Etage différentiel à transistor MOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.7.1 Paire différentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.8 Technologie BiCMOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Réponse en fréquence des amplificateurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.2 Théorème de Miller. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.3 Montages source commune et émetteur commun. . . . . . . . . . . . .
5.5.4 Montages collecteur commun et drain commun. . . . . . . . . . . . . .
5.5.5 Montage cascode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.6 Paires différentielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.6.1 Fréquence de coupure pour AV . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.6.2 Fréquence de coupure du CMRR. . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.6.3 Amélioration des performances en fréquence. . . . . . . . . .
L’amplificateur opérationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.2 Description de l’AO 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.2.1
Circuit de polarisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.2.2 Etage d’entrée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.2.3 Etage de sortie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.2.4 Etage intermédiaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.2.5 Représentation par blocs fonctionnels. . . . . . . . . . . . . .
5.6.3 Propriétés électriques des amplificateurs opérationnels. . . . . . . . . .
5.6.3.1 Amplification dans la bande passante. Dynamique de sortie .
5.6.3.2 Impédance d’entrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.3.3 Impédance de sortie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.3.4 Courants de polarisation, courant de décalage. . . . . . . . .
5.6.3.5 Tension de décalage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.3.6 Taux de réjection de mode commun. Formulation générale de
5.6.3.7 Montage en boucle ouverte, montage bouclé. . . . . . . . . .
5.6.3.8 Comportement en fréquence. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.4 Amplificateur opérationnel idéal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 Systèmes bouclés
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Structure d’un système bouclé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Feedback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Propriétés et intérêt de la contre réaction . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1 Désensibilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.2 Elargissement de la bande passante . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.3 Amélioration de la linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.4 Réduction du bruit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Description formelle des différents types de réaction . . . . . . . . . .
6.5 Exemples simples de circuits à contre-réaction . . . . . . . . . . . . . .
6.5.1 Montage suiveur à AO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.2 Amplificateur à contre-réaction tension-tension (série-parallèle)
6.5.2.1 Situation idéale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.2.2 Situation réelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.3 Contre réaction courant-tension. Conversion courant-tension . .
6.5.3.1 Système idéal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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viii
TABLE DES MATIÈRES
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7 Fonctions linéaires à amplificateur opérationnel
7.1 Généralités, Rappels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.2 Paramètres définissant les AO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.3 Les différents régimes de fonctionnement des AO. . . . . . . . . . . . . .
7.2 Règles d’or d’utilisation de l’amplificateur opérationnel idéal. . . . . . . . . . .
7.2.1 Règles liées directement aux propriétés physiques de l’AO. . . . . . . . .
7.2.2 Règles d’utilisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.3 Entrées inverseuses et non inverseuses. Calcul des circuits à AO. . . . .
7.2.3.1 Non équivalence des entrées inverseuses et non inverseuses. . .
7.2.3.2 Analyse des circuits à amplificateurs opérationnels. . . . . . .
7.2.4 Alimentations continues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.4.1 Source double. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.4.2 Source unique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Circuits de base à AO en régime linéaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1 Montage suiveur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.2 Montage non inverseur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.2.1 Cas idéal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.2.2 Cas non idéal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.3 Montage inverseur à AO idéal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.4 Montage inverseur à AO réel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.4.1 Résolution directe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.4.2 L’inverseur vu comme une boucle de contre réaction couranttension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.5 Convertisseur courant-tension (ou à transimpédance). . . . . . . . . . .
7.4 Additionneurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.1 Additionneur inverseur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.2 Convertisseurs (DAC, ADC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.3 Additionneur non inverseur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5 Amplificateur de différence, amplificateur d’instrumentation. . . . . . . . . . .
7.6 Dérivateurs, intégrateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6.2 Intégrateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6.2.1 Intégrateur de Miller. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6.2.2 Régime harmonique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6.2.3 Problème lié au bouclage par une capacité. . . . . . . . . . . .
7.6.3 Dérivateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6.3.1 Régime harmonique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7 Générateurs de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6.6
6.5.3.2 Cas réel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6.1 Position du problème. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6.1.1 Représentations ”ω” et ”s” pour les systèmes linéaires.
6.6.1.2 Critère de Nyquist. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6.2 Etude de la stabilité à partir de la représentation de Bode. . . .
6.6.2.1 Amplificateurs à 1 ou 2 pôles. . . . . . . . . . . . . . .
6.6.2.2 Marges de gain et de phase. . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6.3 Compensation en fréquence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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TABLE DES MATIÈRES
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8 Filtrage
8.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.2 Fonction de transfert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.3 Les 4 types de filtres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.4 Filtres idéaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.5 Filtres réels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.6 Zéros, pôles et ordre des filtres. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.7 Stabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.8 Synthèse des filtres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Filtres du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.1 Fonction de transfert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.2 Filtre passe bas du premier ordre. . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.3 Filtre passe haut du premier ordre. . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.4 Filtre passe tout (déphaseur) du premier ordre. . . . . . . . . .
8.2.5 Synthèse des filtres du premier ordre. . . . . . . . . . . . . . .
8.2.6 Intégration, dérivation et filtres du premier ordre. . . . . . . . .
8.2.7 Régime transitoire et transformée de Laplace. . . . . . . . . . .
8.2.7.1 Réponse à un échelon. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.7.2 Réponse impulsionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.8 Filtres constitués de 2 filtres du premier ordre. . . . . . . . . .
8.3 Généralités sur les filtres d’ordre n ≥ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.1 Fonction de transfert des filtres d’ordre 2. . . . . . . . . . . . .
8.3.2 Filtres passe bas d’ordre 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.2.1 Filtre passe bas de Butterworth d’ordre 2 . . . . . . .
8.3.2.2 Filtres passe bas de Chebyshev et de Bessel d’ordre 2.
8.3.3 Filtres de Butterworth et de Chebyshev d’ordre quelconque. . .
8.3.3.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.3.2 Comportement du gain. . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.3.3 Lien entre la courbe de gain et les pôles. . . . . . . .
8.3.4 Phase des filtres du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.4.1 Comportement en fréquence. . . . . . . . . . . . . . .
8.3.4.2 Intérêt des phases à variation lente. . . . . . . . . . .
8.3.5 Autres filtres d’ordre 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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235
7.8
7.7.1 Générateurs de courant constant. . . . . . . . . . . . . . . .
7.7.2 Amplificateur opérationnel à transconductance (OTA). . . .
Amplificateurs opérationnels réels. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.8.1 Courant de polarisation d’entrée, courant de décalage. . . .
7.8.2 Tension de décalage en entrée. . . . . . . . . . . . . . . . .
7.8.3 Impédance d’entrée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.8.4 Amplitude d’entrée en mode commun, en mode différentiel.
7.8.5 Impédance de sortie, amplitude en sortie, courant de sortie.
7.8.6 Slew rate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.8.7 Gain en tension, déphasage. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.8.8 Taux de réjection de mode commun (CMRR). . . . . . . . .
7.8.9 Sensibilité vis à vis des sources. . . . . . . . . . . . . . . . .
7.8.10 Bruit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.8.11 Comportement en température. . . . . . . . . . . . . . . . .
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TABLE DES MATIÈRES
8.4
8.5
8.6
8.3.5.1 Filtres passe haut du second ordre. . . . . . . . . . . .
8.3.5.2 Filtre passe bande du second ordre. . . . . . . . . . . .
8.3.5.3 Filtre coupe bande d’ordre 2. . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.5.4 Filtre passe tout d’ordre 2. . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.6 Réponse des filtres du second ordre en régime transitoire . . . . .
8.3.6.1 Réponse d’un filtres passe bas à un échelon de tension.
8.3.6.2 Montage dérivateur à AO et signaux triangulaires . . .
Synthèse des filtres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.1 Position du problème. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.2 Filtres passifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.2.1 Passe bas RLC d’ordre 2. . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.2.2 Passe haut RLC d’ordre 2. . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.2.3 Passe bande, coupe bande RLC d’ordre 2. . . . . . . .
8.4.2.4 Filtre coupe bande RC d’ordre 2. . . . . . . . . . . . .
8.4.2.5 Exemple de filtre passif d’ordre élevé. . . . . . . . . . .
8.4.2.6 Avantages et inconvénients des filtres passifs. . . . . . .
8.4.3 Généralités sur les filtres actifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.4 Synthèse des filtres du second ordre. . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.4.1 Structure des filtres à une seul AO inverseur. . . . . . .
8.4.4.2 Structure de Sallen-Key (dite à ”source contrôlée”). . .
8.4.4.3 Structure à contre réaction multiple (filtre de Rauch). .
8.4.4.4 Réjecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.4.5 Convertisseur d’impédance négative, gyrateur. . . . . .
8.4.4.6 Structure à intégrateurs bouclés, filtre universel. . . . .
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8.4.5 Synthèse des filtres actifs d’ordre élevé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
Filtres à capacités commutées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
Amplificateurs accordés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
9 Génération et mise en forme des signaux
9.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Généralités sur les oscillateurs sinusoı̈daux. . . . . . .
9.2.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.2 Principe des oscillateurs sinusoı̈daux. . . . . . .
9.2.3 Contrôle de l’amplitude. . . . . . . . . . . . . .
9.2.4 Exemple illustrant le principe des oscillateurs
déphaseurs). . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3 Oscillateurs sinusoı̈daux BF. . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.1 Oscillateur à pont de Wien. . . . . . . . . . . .
9.3.2 Exemple d’oscillateur à déphasage. . . . . . . .
9.4 Oscillateurs HF (haute fréquence). . . . . . . . . . . .
9.4.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4.2 Circuits résonnants et élément non linéaire. . .
9.4.3 Oscillateurs de Colpitts et de Hartley. . . . . .
9.4.4 Oscillateurs à cristal piézoélectrique (quartz). .
9.4.4.1 Cristal piézoélectrique. . . . . . . . .
9.4.4.2 Exemples d’oscillateurs à quartz. . . .
9.5 Multivibrateurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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circuits
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269
TABLE DES MATIÈRES
9.5.2
9.5.3
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et rectangulaires
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10 Modulation, démodulation
10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1.1 Transmission sous forme analogique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1.2 Codage des signaux analogique sous forme numérique. . . . . . . . . .
10.1.3 Transmission des signaux numériques. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Modulation d’amplitude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.2 Spectre en fréquence du signal modulé. . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.3 Méthodes pour moduler en amplitude. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.3.1 Multiplication directe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.3.2 Modulation à l’aide d’un BJT. . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.4 Démodulation AM par détection d’enveloppe . . . . . . . . . . . . . .
10.2.5 Boucle à verrouillage de phase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.5.1 Oscillateur commandé par une tension (VCO). . . . . . . . .
10.2.5.2 Fréquence (pulsation) instantanée. . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.5.3 Comparateur de phase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.6 Démodulation synchrone. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.6.1 Rôle et fonctionnement de la boucle à verrouillage de phase.
10.2.6.2 Démodulation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3 Modulation de fréquence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3.2 Signal modulant sinusoı̈dal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3.3 Spectre en fréquence du signal modulé en fréquence. . . . . . . . . . .
10.3.4 Production d’un signal FM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3.5 Démodulation FM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3.5.1 Démodulateur à déphasage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3.5.2 Démodulation par PLL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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9.6
Comparateur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Comparateur à hystérésis (trigger de Schmitt) . . .
9.5.3.1 Système à 2 états stables . . . . . . . . . .
9.5.3.2 Montage non inverseur . . . . . . . . . . .
9.5.3.3 Montage inverseur. . . . . . . . . . . . . . .
9.5.3.4 Exemple d’application . . . . . . . . . . . .
9.5.4 Multivibrateur astable : génération de signaux carrés
9.5.4.1 Principe de l’astable à trigger de Schmitt. .
9.5.4.2 Astable à inverseurs CMOS. . . . . . . . .
9.5.5 Multivibrateur monostable. . . . . . . . . . . . . . .
9.5.5.1 Monostable à AO. . . . . . . . . . . . . . .
9.5.5.2 Monostable à portes logiques. . . . . . . . .
9.5.6 Timer intégré 555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5.6.1 Description du 555 . . . . . . . . . . . . .
9.5.6.2 Montage monostable avec un 555. . . . . .
9.5.6.3 Montage astable avec un 555. . . . . . . . .
9.5.7 Générateur de dents de scie. . . . . . . . . . . . . . .
Circuits technologiquement non linéaires. . . . . . . . . . .
9.6.1 Amplificateur logarithmique . . . . . . . . . . . . . .
9.6.2 Multiplicateur analogique . . . . . . . . . . . . . . .
9.6.3 Mise en forme non linéaire . . . . . . . . . . . . . . .
xi
xii
TABLE DES MATIÈRES
11 Bruit électronique.
11.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2 Les différents types de bruit électronique. . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.1 Bruit blanc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.2 Bruit thermique dans une résistance. . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.2.1 Fluctuations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.2.2 Théorème de Nyquist. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.2.3 Bruit thermique dans les circuits résistifs. . . . . . . . .
11.2.2.4 Association de résistances. . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.2.5 Association résistance-capacité. . . . . . . . . . . . . . .
11.2.3 Bruit de grenaille (shot noise). . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.3.1 Bruit de grenaille pour des porteurs indépendants. . .
11.2.3.2 Bruit de grenaille dans une diode. . . . . . . . . . . . .
11.2.4 Bruit en 1/f (flicker noise). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3 Bruit dans les amplificateurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.1 Généralités, définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.1.1 Bruit ramené à l’entrée. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.1.2 Densité spectrale de bruit. . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.1.3 Rapport signal sur bruit. . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.1.4 Couplage d’une source de Thévenin à un amplificateur.
11.3.1.5 Figure de mérite (noise figure) d’un amplificateur . . .
11.3.2 Amplificateurs à transistors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.2.1 Transistors bipolaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.2.2 Transistors à effet de champ. . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.3 Bruit dans les montages à amplificateurs opérationnels. . . . . .
11.3.3.1 Bruit propre des AO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.3.2 Amplificateur non inverseur. . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.3.3 Amplificateur inverseur. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.4 Choix des amplificateurs opérationnels. . . . . . . . . . . . . . .
11.4 Bruit dans les systèmes de communication. . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4.1 Position du problème. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4.2 Démodulation AM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4.3 Démodulation FM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.5 Bruit en détection de particules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.5.1 Détecteur et réponse impulsionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . .
11.5.2 Bruit et impulsion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.5.3 Bruit dans la chaı̂ne détecteur-préamplificateur de charge. . . . .
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330
Chapitre 1
Introduction
1.1
L’Electronique Analogique
L’Électronique est une science appliquée qui est née avec l’invention de dispositifs non
linéaires (diodes, triodes...) permettant de modifier les signaux électriques (courant, tension).
De nos jours, ces dispositifs sont soit des composants discrets, soit des circuits intégrés comportant un nombre plus ou moins grand de composants discrets. Ils sont en très grande partie
fabriqués à l’aide de matériaux semiconducteurs (silicium, composés III-V). Les briques de base
de ces dispositifs sont les jonctions (PN, Schottky), les capacités (par exemple capacité MOS)
et les transistors (bipolaire ou à effet de champ). A l’aide de ces briques, on peut fabriquer
sous forme de circuits intégrés des mémoires, des portes logiques, des microprocesseurs, des
amplificateurs, des filtres, des convertisseurs (ADC, DAC), des barrettes CCD, des lasers, etc...
Grâce à des logiciels de CAO (conception de circuits intégrés assistée par ordinateur) on peut
concevoir des circuits réalisant des tâches de plus en plus complexes et diversifiées . En particulier, les ASIC (Application Specified Integrated Circuits) sont des circuits conçus et fabriqués
(par un fondeur) pour réaliser des tâches spécifiques ”à la demande”.
Aujourd’hui, n’y a pas de frontière bien définie ni d’antagonisme entre Électronique analogique et Électronique numérique. On peut s’en convaincre en feuilletant par exemple les
ouvrages Anglo-Saxons sur l’Électronique (Sedra et Smith, Millman et Grabel, Horowitz &
Hill etc.., voir références bibliographiques). En particulier ces deux branches de l’Électronique
utilisent les mêmes composants, les transistors (les caractéristiques de ces transistors peuvent
cependant être différentes). La différence essentielle porte sur la forme des signaux véhiculés.
Alors que l’Électronique numérique traite des signaux électriques dont la mise en forme est
définie une fois pour toute (échelons, impulsion calibrées), cette forme est fondamentale en
Électronique analogique, qui a justement pour objectif majeur de mettre en forme les signaux
électriques : le terme ”signal analogique” est utilisé pour indiquer que l’information que nous
donne ce signal est contenue non seulement dans le fait qu’il existe mais surtout dans sa forme.
Afin de réaliser une fonction complexe en Électronique, il est souvent nécessaire d’utiliser dans
un même système des fonctions relevant de l’Analogique et du Numérique. De plus, il est possible de réaliser certaines fonctions relevant de l’Électronique analogique à l’aide de circuits
numériques. Une fonction Électronique ”exemplaire” faisant le lien entre ces deux aspects de
l’Électronique est la conversion analogique-numérique et numérique-analogique : on peut tout
aussi bien traiter les convertisseurs dans un cours sur le l’Électronique numérique ou analogique !
Pour terminer, faisons la remarque suivante : en travaux pratiques, pour des raisons pédagogiques et pratiques (robustesse !) on utilise encore beaucoup de composants discrets, en particulier
des transistors bipolaires, ou des circuits intégrés anciens comme l’amplificateur opérationnel
1
2
CHAPITRE 1.
INTRODUCTION
741, qui est entièrement construit à l’aide de transistors bipolaires (c’est encore un circuit
intégré très ”populaire” en Électronique analogique bien qu’inventé dans les années 60 par
Fairchild ). Ceci ne correspond plus tout à fait à l’Électronique d’aujourd’hui . Les transistors bipolaires, sur certains aspects plus performants que les transistors MOS (transconductance nettement plus élevée), sont plus chers, consomment plus d’énergie et prennent plus de
place. Ils sont quand cela est possible remplacés par des transistors MOS, y compris pour
les transistors de puissance. Ils restent irremplaçables dans certains applications spécifiques ;
c’est le cas par exemple des transistors bipolaires III-V à hétérojonction pour applications hyperfréquences. D’autre part depuis peu se développe une nouvelle technologie de fabrication
des circuits intégrés, la technologie BiCMOS, qui permet d’intégrer sur la même ”puce” des
transistors MOS et des transistors bipolaires.
1.2
Contenu du cours
Après un bref rappel sur la théorie des circuits (chapitre 2), nous abordons les composants
qui jouent un rôle fondamental en Électronique. Le chapitre 3 est consacré à leur description
et à leur modélisation. Il existe aujourd’hui des logiciels contenant des bibliothèques de composants. Il s’agit en fait de la modélisation électrique de ces composants à l’aide des éléments de
base des circuits électriques : sources (courant, tension) et impédances (résistance, capacité et
à très haute fréquence, self). Le logiciel le plus utilisé dans le domaine est SPICE (Simulation
Program with Integrated Circuit Emphasis), en particulier les versions PSpice et HSpice (ORCAD est un logiciel performant faisant appel à ce simulateur). Ce logiciel permet de simuler
le comportement électrique des composants de base (diodes, transistors), mais aussi de circuits intégrés réalisant des fonctions analogiques ou logiques. Sur un plan pragmatique, il n’est
donc pas nécessaire de connaı̂tre de manière très détaillée le fonctionnement des composants
pour ”faire” de l’Électronique : SPICE est là pour nous seconder. Sur le plan intellectuel il est
toutefois satisfaisant de connaı̂tre au moins le principe de fonctionnement des composants qui
sont à la base même de l’Électronique. De plus, ceci permet une lecture plus efficace des fiches
techniques des composants, une perception plus claire des raisons des qualités et des limites
des composants etc... Un fait très important à souligner est que les composants sont fondamentalement non linéaires. Par ailleurs, la modélisation des composants cherche le plus souvent
à représenter le fonctionnement des composants à l’aide d’éléments linéaires ! Cette démarche
qui consiste à linéariser leur comportement, peut apparaı̂tre contradictoire. Elle est en fait
fondamentale en Électronique analogique puisqu’un des objectifs est de réaliser des fonctions
linéaires. Les composants dont il est question ici sont les diodes et les transistors. Il existe un
très grand nombre de types de diodes et de transistors, d’où la nécessité de faire un choix.
D’autre part, ces composants peuvent être soit des composants discrets, soit des composants
impliqués dans des circuits intégrés.
Pour les diodes nous considérons uniquement le cas des composants discrets : diode de
redressement et diode Zener d’une part, et diodes en optoélectronique : photodiode, diode
électroluminescente, diode laser. Pour les transistors, nous considérons le cas des transistors
bipolaires (élément discret ou intégré) et des transistors MOS (essentiellement sous forme
intégré). Ces derniers sont de loin les composants les plus répandus. Ils sont utilisés en Électronique
numérique (technologie CMOS) mais aussi en Électronique analogique (des circuits intégrés
analogiques performants sont aujourd’hui fabriqués en technologie BiCMOS, qui permet de
réaliser dans le même cristal de silicium des transistors MOS et bipolaires). Nous mentionnons
également le transistor à effet de champ à jonction et quelques composants rapides à base de
composés III-V.
On peut en général décomposer un circuit analogique complexe sous forme d’un nombre
1.2. CONTENU DU COURS
3
limité de fonctions analogiques : amplification, filtrage, génération de signaux (oscillateurs),
modulation etc... L’objet principal de ce cours d’Électronique analogique est de les définir et de
montrer comment les réaliser et les utiliser. Sur le plan formel, ces fonctions sont représentées
sur les schémas électriques comme des ”boites noires”. Un cas particulier de fonction analogique
est celui des fonctions linéaires : le signal de sortie suit linéairement les variations du signal
d’entrée (la forme des signaux n’étant pas nécessairement la même). Les blocs fonctionnels
associés possèdent 2 bornes d’entrée et 2 bornes de sortie (quadripôles). Une telle situation
n’est pas usuelle en Électronique numérique : les signaux d’entrée et de sortie peuvent être
multiples (multiplexeurs, décodeurs...), on peut utiliser un signal d’horloge, une modification
des signaux d’entrée peut se traduire par aucune modification des signaux de sortie ou cette
modification peut être décalée dans le temps, l’amplitude des signaux n’est pas un paramètre
pertinent etc... Bien entendu, l’Électronique analogique ne se limite pas à réaliser des fonctions
linéaires et nous en donnerons des exemples (cas des oscillateurs par exemple).
Le chapitre 4 (Blocs fonctionnels) décrit de manière générale les quadripôles et comment
les assembler. La notion essentielle est ici celle d’impédance d’entrée et de sortie. Le chapitre 5
(amplificateurs linéaires à transistors) est très ”traditionnel”. La question est ancienne. Il s’agit
de réaliser une fonction linéaire (ici amplifier une tension ou un courant) avec des composants
non linéaires, les transistors. La première partie de ce chapitre montre comment y parvenir avec un seul transistor, en régime de petits signaux, nécessaire pour obtenir une réponse
linéaire. Nous passons ensuite au cas des amplificateurs linéaires intégrés, les amplificateurs
opérationnels (AO), en insistant sur leur étage d’entrée, qui est un étage différentiel et leur
étage de sortie (push-pull dans le cas du 741). Les AO sont des amplificateurs différentiels à
très grand gain (typiquement 105 ) ; de plus, ils sont linéaires même si l’amplitude des signaux
de sortie est grande. Enfin, pour réaliser une fonction linéaire, ils sont à peu près inutilisables
en boucle ouverte. Cette question introduit le chapitre 6, qui présente de manière générale les
systèmes bouclés, et plus particulièrement la contre-réaction qui consiste à ramener de la sortie
vers l’entrée un signal qui s’oppose aux variations du signal d’entrée. Les résultats de ce chapitre sont utilisés dans le chapitre 7 consacré aux différentes fonctions (”opérations” au sens
mathématique) que l’on peut réaliser à l’aide d’un amplificateur opérationnel. On considère
tout d’abord des fonctions linéaires : muni d’une contre-réaction, un AO permet de réaliser :
inversion, amplification, addition, soustraction, intégration, dérivation. D’autres applications,
cette fois non linéaires, seront présentées dans le chapitre 9 : multiplicateur, comparateur, en
particulier le comparateur à hystérésis (bascule (trigger) de Schmitt).
La dernière partie du cours est centrée sur la production et la mise en forme de signaux.
Nous considérons tout d’abord le filtrage (chapitre 8). Le filtrage est une opération indispensable dans de nombreux circuits électroniques (par exemple pour la démodulation d’un signal
FM). Un signal périodique quelconque est décomposable en série de Fourier. Le filtrage a pour
action de modifier le poids de ses harmoniques : la forme du signal est donc modifiée (sauf si il
est purement sinusoı̈dal). On insiste dans ce chapitre sur les filtres du second ordre que l’on peut
réaliser avec des circuits passifs (contenant des selfs) ou à l’aide d’amplificateurs opérationnels
(filtres actifs). Il existe des filtres dits à capacités commutées, constitués uniquement de transistors MOS et de capacités (il n’y a plus de résistances !). Le chapitre 9 est consacré à la
génération de signaux périodiques et à leur mise en forme (shaping). A l’aide d’un amplificateur
opérationnel bouclé par un circuits passif (résistances, capacités), avec une réaction positive,
on réalise des oscillateurs sinusoı̈daux. Il n’y a plus ici de signal d’entrée. La fréquence d’oscillation est imposée par la boucle de réaction (l’amplification de l’AO bouclé est infinie pour
cette fréquence) et un élément non linéaire permet de limiter l’amplitude des oscillations. On
peut aussi réaliser des oscillateurs sinusoı̈daux en utilisant un cristal piézoélectrique (oscillateur à quartz associé à un circuit passif contenant une self). Les multivibrateurs constituent
4
CHAPITRE 1.
INTRODUCTION
une autre famille de générateurs de signaux périodiques. Nous détaillons le fonctionnement du
multivibrateur astable et nous présentons le circuit temporisateur NE555 (timer) qui permet
de réaliser divers multivibrateurs (ce circuit intégré contient en particulier une bascule RS, une
preuve de l’imbrication du Numérique dans l’Analogique !).
Le chapitre 10 présente une application particulière de l’Électronique analogique qui
consiste à produire un signal modulé (en amplitude, en phase, en fréquence) et pour la réception,
à démoduler ce signal pour en extraire le signal utile. Ce chapitre permet de mettre en oeuvre les
différentes fonctions analogiques introduites dans le cours : oscillateurs, amplificateurs, filtres,
déphaseurs, multiplicateurs.
Dans tout ce qui précède, les signaux sont supposés parfaitement définis, c’est à dire non
bruités. En fait, les éléments d’un circuit (résistances, jonctions) génèrent du bruit. Dans le
chapitre 11 on définit et étudie le bruit électronique généré par les électrons, dans les circuits
électroniques (ceci ne doit pas être confondu avec le fait qu’un circuit électrique constitue une
antenne pouvant capter toute sorte d’ondes électromagnétiques, ce qui constitue une source
supplémentaire de bruit, mais de nature différente : on parle de parasite). Quand on choisit
un composant ou un circuit intégré, les performances du composant vis à vis du bruit (”noise
figure”) sont parfois déterminantes, d’où l’importance de ce chapitre.
1.3
Exemple de système électronique : instrumentation en physique nucléaire.
Pour illustrer ce qui précède, nous présentons un exemple particulier relevant de l’Électronique
analogique, qui ne prétend pas être totalement représentatif de cette discipline. L’exemple que
nous avons choisi est celui de la chaı̂ne d’analyse associée à la détection et l’analyse en énergie
des particules en physique nucléaire (particules chargées, photons de grande énergie). Nous
faisons ici une présentation relativement détaillée. Certains passages peuvent ne pas être parfaitement compréhensibles par un lecteur peu averti en électronique. Ceci n’est pas très grave
car le but est ici de montrer qu’avec un petit nombre de notions (amplification, filtrage, rudiments d’Électronique numérique) on peut réaliser des ensembles réalisant des tâches complexes
et spécifiques. Aujourd’hui on peut acheter les différents modules impliqués dans ces ensembles
(ORTEC, Canberra, Schlumberger, LeCroy etc...). Les entreprises qui les fabriquent ont souvent été fondées par des ingénieurs ayant travaillé dans le domaine de la physique nucléaire, à
une époque où tout était fabriqué dans les laboratoires de recherche !
a) DETECTION.
Pour convertir l’énergie d’une particule en signal électrique, il faut un capteur, ici un
détecteur de particule. On peut dans certains cas utiliser à cet effet un détecteur à semiconducteur. C’est une diode P+ N polarisée en sens inverse, analogue à une photodiode. Le
passage de la particule crée des paires électron-trou et se traduit par l’apparition d’un courant
transitoire
i(t) dans le circuit de la diode. On montre que dans le cas idéal, la charge électrique
R
Q = i(t)dt est proportionnelle à l’énergie E de la particule ayant pénétré dans le détecteur.
Exprimée en Joule, cette énergie est extrêmement petite (pour une particule d’énergie E = 100
M eV la valeur en Joule est E = 100 × 106 × 1.6 × 10−19 = 1.6 × 10−11 J). Il importe donc
de construire un chaı̂ne analogique permettant d’amplifier cette énergie et de produire une
impulsion de tension V (t) dont l’amplitude soit proportionnelle à E. Dans des expériences plus
compliquées, en plus de l’énergie on est amené à déterminer également la position du point
d’impact de la particule sur le détecteur (détecteur énergie-position) etc..
b) PREAMPLIFICATION.
1.3. EXEMPLE DE SYSTÈME ÉLECTRONIQUE : INSTRUMENTATION EN PHYSIQUE NUCLÉAIRE.5
Pour amplifier en énergie et intégrer dans le temps le signal fourni par le détecteur, on utilise
un préamplificateur de charge. En simplifiant, il s’agit d’un amplificateur opérationnel monté
en intégrateur de courant. Son impédance d’entrée doit être extrêmement grande, ce que l’on
peut réaliser avec des transistors à effet de champ. Le bruit électronique du préamplificateur
(”noise figure”) est un paramètre très important dans le choix du préamplificateur. Il dépend de
son impédance d’entrée mais aussi de la capacité du détecteur. A la sortie du préamplificateur,
l’arrivée d’une particule dans le détecteur se traduit par la production d’une impulsion ayant
un temps de montée tr inférieur ou de l’ordre de 10 ns et un temps de descente beaucoup
plus long, nettement supérieur à la micro-seconde. A peu de chose près il s’agit d’un échelon de
tension, dont l’amplitude VP A est proportionnelle à Q, donc à E. Clairement le préamplificateur
est linéaire en ce sens que VP A (E) est proportionnel à E (typiquement, VP A est inférieur ou
de l’ordre de 0.1 V ). Ce préamplificateur comporte des circuits de mise en forme (shaping)
puisque à l’entrée l’impulsion de courant i(t) est très brève (de l’ordre de quelques ns), ce qui
n’est pas le cas du signal de sortie. Notons que le préamplificateur fournit également un autre
signal de sortie, avec une mise en forme de très courte durée et dont la résolution en amplitude
(en énergie) est moins bonne que pour l’autre sortie. Ce signal de sortie permet de repérer avec
précision l’instant d’arrivée de la particule dans le détecteur.
Remarques : à l’échelle du temps de montée de l’impulsion de sortie on ne peut plus négliger
le temps de propagation des signaux dans les câbles (BNC...). La vitesse de propagation des
signaux est voisine de 2 × 108 ms−1 (environ 32 c) soit 20 cm par ns : le temps de montée tr
correspond au temps de propagation sur environ 1 m de câble. Un autre problème lié à ces
échelles de temps courtes est la réflexion des signaux sur les extrémités des câbles (comme la
réflexion des ondes sonores ou lumineuses sur un obstacle). Pour éviter ces réflexions il faut
que l’impédance de charge à l’extrémité du câble soit égale à l’impédance caractéristique du
câble (ici 50 Ω). Quand ceci est réalisé ont dit que l’on a ”adapté” la charge. De manière
générale, quand la vitesse de propagation des signaux ne peut plus être considérée comme
infinie, il est nécessaire d’utiliser une représentation (modélisation) particulière des circuits
électriques. On parle dans ce cas de circuits à ”constantes réparties”. Nous n’aborderons pas
cette question dans ce cours : les circuits sont dits à ”constantes localisées” quand on peut
supposer infinie la vitesse de la lumière, hypothèse que nous faisons. Cette question relative au
temps de propagation des ondes électromagnétiques ne doit pas être confondue avec le temps de
réponse d’un composant. Dans ce dernier cas, les retards sont dûs à des phénomènes physiques
liés au transport des charges dans le semiconducteur, tels que par exemple la diffusion ou la
recombinaison des porteurs.
c) AMPLIFICATION
Le signal en échelon fourni à la sortie du préamplificateur est envoyé à l’entrée d’un
amplificateur linéaire. Ici encore, il faut entendre par linéaire le fait que l’amplitude VAmax (E)
du signal de sortie est proportionnelle à l’amplitude VP A (E) du signal d’entrée. La forme du
signal de sortie VA (t) est très différente du quasi échelon appliqué à l’entrée. Elle est de type
gaussien (courbe en cloche) avec une largeur à mi-hauteur de l’ordre de 0.1 à quelques µs
suivant les amplificateurs. Elle est obtenue par amplification et filtrage. Le filtre est constitué
d’un dérivateur puis d’un intégrateur, les deux circuits étant séparés par un amplificateur
suiveur (adaptateur d’impédance). La dérivation introduit une longue queue négative que l’on
supprime en modifiant la structure du filtre dérivateur ( cette opération s’appelle ”suppression
de pôle zéro”, ou ”pole zero cancellation”).
Remarque : la mise en forme des signaux analogiques sous forme d’impulsions d’une durée
de l’ordre de la microseconde est pertinente quand la fréquence des événements ne dépasse pas
6
CHAPITRE 1.
INTRODUCTION
environ 10 kHz. En effet, les événements arrivent au hasard au cours du temps (processus de
Poisson) et la probabilité pour que 2 événements se produisent dans un intervalle de temps de
l’ordre de la µs devient non négligeable pour des taux de comptage plus élevés. Quand ceci
se produit il y a phénomène d’empilement (pile up) : l’amplitude de l’impulsion, somme de 2
impulsions, ne correspond plus à un phénomène physique (une énergie E). Il existe des amplificateurs muni d’un système permettant d’éviter en partie l’empilement (système de réjection
d’empilement).
d) CONVERSION.
Pour mesurer VAmax (E) donc E (via une calibration), on utilise un convertisseur analogique numérique (ADC, analog to digital converter). Les convertisseurs utilisés offrent de
nombreuses possibilités de fonctionnement ; en particulier, ils sont munis d’une entrée porte
(gate) sur laquelle un niveau logique (par exemple haut) autorise la conversion et le niveau
inverse inhibe cette conversion. Ils sont couplés à un ordinateur qui stocke les événements
et permet leur visualisation sous forme de spectres d’amplitudes (donc d’énergie). Le fonctionnement est le suivant : une impulsion VA (t) est convertie avec comme résultat l’entier N .
Dans le programme d’acquisition, N correspond en fait à une adresse dans un tableau S(i)
(typiquement, i = 1...1024). Le programme d’acquisition effectue simplement l’incrémentation
S(N ) = S(N ) + 1. A la fin de l’acquisition, le tableau constitue un spectre en amplitude, donc
en énergie, puisque VAmax est proportionnel à l’énergie E des particules détectées. Considérons
le cas particulier de particules possédant toutes la même énergie Eo . Ceci se traduit par des
amplitudes VAmax (Eo ) toutes identiques, auxquelles correspond un seul résultat pour la conversion, No . S(No ) est donc le nombre de particules détectées ayant l’énergie Eo . En fait, en raison
du bruit électronique et surtout du caractère non idéal de la réponse du détecteur, les amplitudes VAmax se présentant à l’entrée du convertisseur fluctuent. Il en résulte que le résultat de
la conversion est un entier voisin de No mais non nécessairement égal à No . La représentation
graphique du spectre S(i) présente donc non pas une raie fine mais un pic centré sur l’adresse
No , de forme approximativement gaussienne. Sa largeur donne ce que l’on appelle la résolution
de la chaı̂ne d’analyse, qui grâce à l’étalonnage de la chaı̂ne, peut s’exprimer en énergie (en
keV en général).
Remarques :
i) Dans les cas simples, le signal à convertir arrivant à l’entrée d’un ADC ne varie pas au
cours du temps pendant la conversion (par exemple il s’agit du résultat de l’échantillonnage d’un
signal relativement lent à l’échelle de la µs). Ce n’est pas toujours le cas en physique nucléaire
puisque les convertisseurs peuvent recevoir des impulsion assez brèves VA (t) et doivent donc être
conçu pour convertir numériquement leur amplitude VAmax (E) (il n’y a pas d’échantillonnage
dans ce mode de fonctionnement). Dans les convertisseurs acceptant des impulsions de forme
gaussienne, il faut donc repérer le passage du maximum de l’impulsion. Que ce soit des convertisseurs à rampe ou à approximations successives, dans une première étape on charge un condensateur jusqu’à ce que l’impulsion atteigne sa valeur maximum VAmax (E). Puis le signal d’entrée
est déconnecté et c’est la capacité chargée qui mémorise VAmax (E) pour la conversion proprement dite.
ii) Il faut un certain temps τc pour convertir une impulsion. Pour les meilleurs convertisseurs
à approximations successives, τc est de l’ordre de quelques µs (certains convertisseurs ont des
temps de conversion de l’ordre de 100 µs). En raison du caractère aléatoire de l’arrivée des
impulsions sur l’entrée, il se peut qu’une impulsion se présente avant la fin de la conversion de
l’impulsion précédente. Dans ce cas, il n’y a pas conversion et l’événement correspondant est
perdu. Cette perte d’information s’appelle le temps mort (dead time) ; il est bien sûr d’autant
plus important que le taux de comptage est élevé.
1.3. EXEMPLE DE SYSTÈME ÉLECTRONIQUE : INSTRUMENTATION EN PHYSIQUE NUCLÉAIRE.7
Figure 1.1 – Schéma simplifié d’une chaı̂ne d’analyse en physique nucléaire.
La structure Détecteur - Préamplificateur - Amplificateur - ADC - Ordinateur (voir figure
1.1) est ce qu’on peut envisager de plus simple. Dans une expérience de physique nucléaire, il
est rare de n’utiliser qu’un seul détecteur : l’arrivée d’une particule (par exemple fournie par un
accélérateur) sur le système étudié (par exemple des noyaux) peut donner lieu à l’émission de
plusieurs types de particules (neutrons, photons, particules chargées..). Il existe donc plusieurs
chaı̂nes de type Détecteur - Préamplificateur - Amplificateur - ADC travaillant simultanément.
La physique des interactions et le fait que les détecteurs aient une surface limitée, implique que
l’arrivée d’une particule incidente dans le système peut se traduire par aucune détection, la
détection d’une particule, ou la détection de plusieurs particules, simultanément sur des chaı̂nes
différentes. Sur le plan de l’Électronique, la question est non seulement de mesurer l’énergie
des particules, mais aussi de savoir si ces particules sont arrivées de manière simultanée dans
les détecteurs. De plus on peut être amené à éliminer certains événements (issus du bruit
électronique ou de phénomènes physiques parasites etc..). Pour répondre à toutes ces question,
il existe un grand nombre de fonctions électroniques disponibles sous forme de ”modules”.
Voici quelques modules utilisés pour la mise en forme et le traitement des signaux en physique
nucléaire.
e) MODULES DE MISE EN FORME ET DE TRAITEMENT DES SIGNAUX :
α) Amplificateur à seuil (biased amplifier) : la fonction est la même que pour un amplificateur linéaire simple, mais on amplifie non pas le signal d’entrée Ve (t) mais Ve (t) − Vth où
Vth est une tension seuil fixée à l’aide d’un potentiomètre : si Ve < Vth , il n’y a aucun signal
en sortie. Ceci permet le plus souvent d’éliminer le bruit électronique ou des événements de
basse énergie E correspondant à des événements physiques parasites que l’on ne souhaite pas
analyser.
β) Certains amplificateurs possèdent une entrée porte (gate). Quand une impulsion arrive
sur l’entrée linéaire à l’instant to , un signal amplifié est produit à la sortie si un niveau TTL
haut est présent sur la porte en to ; si non, aucune impulsion n’apparaı̂t en sortie
γ) Une autre solution permet d’éliminer des événements de faible amplitude VA < Vth (dans
le bruit). On prend un tout autre point de vue, en introduisant une composante de Numérique.
On utilise pour cela un discriminateur. Ce module reçoit le signal analogique VA (t) et en sortie
produit une impulsion logique (TTL ou standard NIM, qui correspond à une impulsion négative
très brève) quand VA > Vth (Vth est réglé à l’aide d’un potentiomètre) et aucune impulsion dans
8
CHAPITRE 1.
INTRODUCTION
le cas contraire. Ceci permet par exemple de compter les événements correspondant à VA > Vth
en envoyant les signaux de sortie dans une échelle de comptage. En envoyant les signaux de
sortie des discriminateurs de différentes voies d’acquisitions dans des unités de coı̈ncidence, on
peut repérer les événement simultanés. Le signal de sortie des discriminateurs peut également
être utilisé pour autoriser ou non la conversion analogique-numérique du signal analogique
VA (t) (il suffit de l’envoyer sur l’entrée ”gate” des convertisseurs).
δ) Pour repérer avec précision l’instant d’arrivée d’une particule dans un détecteur, on
utilise des discriminateurs spéciaux. Le signal d’entrée est un signal analogique par exemple
celui qui est émis à la sortie d’un préamplificateur (montée rapide, descente lente). On règle
sur le discriminateur un seuil de déclenchement Vth (trigger level). Quand le front de montée
atteint ce seuil, une impulsion logique est émise en sortie. Il s’agit d’une impulsion standard
NIM (impulsion négative d’amplitude voisine de 0.8 V et d’une durée réglable, typiquement 10
ns). L’opération correspondante porte le nom de ”time pick-off”. Une difficulté provient du fait
que le déclenchement de l’impulsion de sortie se fait avec un retard qui dépend de l’amplitude
de l’impulsion à l’entrée. Il existe des solutions pour minimiser cet effet (appelé ”jitter”) en
faisant en sorte que le déclenchement corresponde non à un seuil donné Vth mais à une fraction
constante (environ 15%) de l’amplitude de l’impulsion (le module correspondant porte le nom
de ”constant fraction discriminator ”).
ε) Les divers modules utilisés pour la mise en forme des signaux introduisent des retards.
Pour synchroniser dans le temps les signaux on peut être amené à utiliser des circuits retardateurs (delay) : V (t) est transformé en V (t − τ ) où τ est un retard réglable. Il existe des
convertisseurs (TAC ou convertisseurs temps-amplitude) permettant de convertir des retards
(donc des ns) sous forme d’une tension (donc des volts). Ces modules possèdent 2 entrées,
une entrée ”start” qui reçoit une première impulsion logique rapide signalant l’arrivée d’une
particule dans un détecteur, et une entrée ”stop” recevant l’impulsion logique rapide associée à
l’arrivée d’une particule dans un autre détecteur. Si cette dernière arrive avec un retard ∆t par
rapport à la première, en sortie, une impulsion analogique d’amplitude Vmax (∆t) proportionnelle à ∆t est produite. Un TAC permet de mesurer des spectres en temps (on envoie Vmax (∆t)
vers un ADC). On utilise également les TAC pour régler des problèmes de coı̈ncidence.
η) Il existe bien d’autres solutions pour mettre en évidence la coı̈ncidence de plusieurs
événements, soit de façon purement électronique, soit de manière logicielle. Dans ce dernier cas,
on enregistre tous les événements sous forme d’une matrice (tableau) contenant tous les paramètres mesurables, systématiquement à l’arrivée de chaque particule sur le systèmes étudié :
les événements coı̈ncidents sont mis en évidence par logiciel, après l’expérience.
1.3. EXEMPLE DE SYSTÈME ÉLECTRONIQUE : INSTRUMENTATION EN PHYSIQUE NUCLÉAIRE.9
Bibliographie.
A. S. Sedra and K.C Smith, Microelecronic Circuits, Oxford University Press, (1998). Complet. Un des meilleurs livres sur l’Électronique analogique. Une très large ouverture sur l’utilisation des transistors MOS. Donne de nombreux exemples d’utilisation du logiciel de simulation
SPICE.
A. P. Malvino, Principes d’Électronique, Edisciences International, Paris (1995). Ouvrage
très pédagogique pour aborder l’Électronique. Niveau Licence.
Thomas L. Floyd, Électronique, Composants et systèmes d’application, Dunod (2000). Assez élementaire. Intéressant car proche de l’expérimentation.
Donald A. Neaman, Electronic circuit analysis and design, IRWIN (1996). Complet. De
nombreux exemples de fichiers d’entrée et de sortie de SPICE.
Jacob Millman and Arwin Grabel, Microelectronics, McGraw Hill (1987). Date d’avant
SPICE. Bien fait. Un chapitre bien documenté sur la technologie de fabrication des composants.
Paul Horowitz and Winfield Hill, The Art of Electronics, Cambridge University Press (1989).
Très complet, ”pas scolaire”. S’adresse à un public déjà bien au fait de l’Électronique. Il existe
aussi un livre consacré aux Travaux Pratiques d’Électronique.
F. Manneville et J. Esquieu, Systèmes linéaires bouclés de communication et de filtrage,
Dunod (1990). Très clair, en particulier sur la modulation.
Lang Tran Tien, Circuits fondamentaux de l’Électronique analogique, Technique & Documentation, Paris, 1996. Traditionnel. Beaucoup de schémas équivalents de complexité croissante.
M. et F. Biquard, Signaux, systèmes linéaires et bruit en électronique. Ellipses, Paris, 1992.
Possède plusieurs chapitres sur le bruit. Très complet.
S. Clément, Initiation à l’Électronique Analogique, Dunod (1999). Une précédente édition
existe sous le titre ”Petit manuel d’Électronique”, Collection 128, Nathan. Petit livre concis
correspondant à un bon niveau DEUG. Ne contient que l’essentiel.
S. Clément, Exercices d’Électronique Analogique, Collection ”128, Nathan (1997). Illustre
et prolonge le précédent ouvrage (niveau DEUG-Licence).
I. Jelinski, Toute l’Électronique en exercices, Vuibert (2000). Exercices longs avec corrigé,
niveau licence EEA.
G. Chevalier, J.C. Chauveau, B. Chevalier, Mémotech Électronique composants, Collection
Educative, Editions Casteilla (1994). Donne un échantillon représentatif des fiches techniques
des composants analogiques et numériques, intégrés ou discrets.
A. Vapaille et R. Castagné, Dispositifs et circuits intégrés semiconducteurs, Dunod, Paris
1987. Niveau Deug-Licence. Synthétique et complet (en particulier description des CCD etc..).
Comporte des éléments de CAO.
M. Girard, Boucles à verrouillage de phase. McGraw-Hill, 1988, Paris. S’adresse aux BTS,
IUT (Génie Electrique), licences EEA etc..
Chapitre 2
Circuits électriques
2.1
Circuits à constantes localisées
Dans le cas général, les circuits électroniques sont parcourus par des signaux pouvant varier
plus ou moins rapidement dans le temps. Le domaine des basses fréquences correspond aux
signaux variant ”lentement” dans le temps, domaine qu’il importe bien entendu de préciser. Si
un signal électrique varie de manière significative dans l’intervalle de temps δt, il y correspond
un certaine fréquence ν ≈ 1/δt. Dans le cas particulier d’un signal périodique, δt représente
une fraction de période T et ν est supérieur ou de l’ordre de la fréquence f = 1/T . Soit d
une dimension typique du circuit considéré et v ≈ c la vitesse de propagation des signaux
électriques : cette vitesse est celle de l’onde électromagnétique associée au signal ; dans un
1/2
milieu homogène, v = c/n = c/εr où εr est la constante diélectrique relative. Le temps
caractéristique pour la propagation des signaux dans le circuit est donc δtp = d/v ≈ d/c. Si ce
temps est faible devant δt, on peut supposer que la propagation de l’information est instantanée.
Dans cette hypothèse, puisque les dimensions des objets n’interviennent pas dans le calcul du
comportement électrique du circuit, on peut représenter les divers constituants du circuit par
des objets ”localisés”. Dans les circuits passifs, ces objets sont les résistances, les capacités et
les selfs. Inversement, si δtp = d/c À δt, ce type de représentation n’est plus pertinent. Une
autre approche, conduisant à la même conclusion consiste à comparer d à la longueur d’onde
λ = v/ν ' vδt associée aux signaux : si d ¿ λ les dipôles constituants le circuit sont ”localisés”.
Afin de mieux cerner le régime des ”basses fréquences”, considérons le cas des dipôles
utilisés en Travaux Pratiques. Les dimensions sont de l’ordre du centimètre. On obtient δtp ≈
10−2 /(3 × 108 ) ' 3 × 10−11 s et donc une fréquence limite νlim ≈ 3 × 1010 Hz = 30 GHz.
Cette fréquence limite correspond au domaine des hyperfréquences. Si au lieu d’objets de taille
centimétrique (une résistance) on considère les fils conducteurs utilisés en TP, d est cette fois
de l’ordre de 30 cm voire de l’ordre du mètre. Les fréquences limites correspondantes sont
inférieures ou de l’ordre du GHz. Pour les fréquences & 1GHz, il n’est plus question de relier
les différents éléments d’un circuit par des fils conducteurs tels que ceux utilisés en TP. On
utilise des câbles coaxiaux et qui plus, des câbles spéciaux hyperfréquence (pour les fréquences
inférieures à 1 GHz on utilise des câble BNC, nettement moins coûteux). Pour des signaux de
fréquence 30 GHz, donc de longueur d’onde λ ≈ 1 cm, un câble de longueur grande devant 1
cm ne peut plus être représenté par une résistance usuelle puisque le champ électrique (donc
le courant électrique) n’est pas le même partout dans le câble à un instant donné (le câble est
un guide d’onde). Cette situation correspond au cas des circuits dits à ”constantes réparties”,
terme qui introduit l’idée d’une délocalisation du dipôle considéré.
Les circuits électroniques que nous considérons dans ce cours sont supposés fonctionner à
des fréquences inférieures à quelques centaines de M Hz, fréquences pour lesquelles les circuits
1
2
CHAPITRE 2. CIRCUITS ÉLECTRIQUES
sont à constantes localisées.
Remarque : la dimension d’un circuit intégré et a fortiori d’un composant est nettement
plus petite que 1 cm de sorte que la modélisation des composants à l’aide de dipôles localisés
est en général pertinente, même dans le domaine des hyperfréquences. Par contre, les effets de
couplage (en particulier inductifs) sont importants, ce qui complique la modélisation.
2.2
2.2.1
2.2.1.1
Eléments passifs
Résistance.
Résistor (l’objet résistance)
Une résistance est un dipôle constitué d’un matériau conducteur. La valeur (la résistance !)
d’un résistance s’exprime en Ohm (Ω). On notera l’ambiguı̈té entre l’objet résistance et sa
valeur en Ohm qu’on appelle aussi résistance. On rencontre dans les manuels des Lycées le mot
anglais résistor (par exemple dans la phrase : ... ”la résistance du résistor R1 est de 1.5 kΩ...”)
pour désigner l’objet résistance, ce qui lève l’ambiguı̈té. L’usage du mot résistor est cependant
peu répandu dans les laboratoires.
La valeur d’une résistance dépend de ses propriétés géométriques et d’une propriété intrinsèque du matériau appelée résistivité (notée ρ). La géométrie la plus simple est celle d’un
objet de forme cylindrique ( la section droite, constante, peut être un cercle mais aussi un
rectangle etc...). Si S est l’aire de la section droite et L est la longueur de la résistance, la
valeur de la résistance s’écrit (les unités sont indiquées entre parenthèse) :
R(Ω) = ρ(Ω m)
L(m)
S(m2 )
(2.1)
En Électronique les résistances sont utilisées sous forme d’éléments discrets, ou sous forme
intégrée.
a) Résistance métallique. On peut réaliser une résistance à l’aide d’un très bon conducteur
comme un métal. En électronique on utilise en fait les métaux non pour réaliser des résistances
mais pour réaliser des connexions, c’est à dire des résistances négligeables. Il s’agit essentiellement de l’aluminium en couche mince, pour réaliser les différents niveaux de métallisation des
circuits intégrés, et l’or pour connecter les circuits intégrés aux électrodes (pattes) du circuit
(on sait faire des fils d’or très fins et les souder par thermo-compression).
La résistivité d’un très bon conducteur est de l’ordre de 10−8 Ω m (pour le cuivre qui est
un excellent conducteur, ρ = 1.56 × 10−8 Ω m). Pour un film mince métallique (une piste) de
longueur L = 100 µm = 10−4 m, d’épaisseur e = 1 µm et de largeur l = 10 µm, la résistance
est de l’ordre de R = 10−8 × 10−4 /(10−6 × 10−5 ) = 0.1 Ω. Il s’agit d’une résistance faible devant
les résistances caractéristiques dans les circuits intégrés. Cet exemple nous montre aussi qu’il
est difficile de réaliser des résistances de l’ordre du kΩ à l’aide d’un métal. On sait cependant
réaliser des résistances en couches minces sous forme de pistes (épaisseur e . 1µm, largeur
W ) en NiCr ou Ta de valeurs assez élevées. Compte tenu de la géométrie, la section droite est
S = eW ; si la longueur de la résistance L est égale à sa largeur W la résistance, vue de dessus
est un carré dont la résistance est R¤ = ρ/e ; elle porte le nom de ”résistance par carré”.
b) Résistances au carbone. Les résistances avec code de couleurs utilisées en TP (puissance
maximale Pmax = 0.25 W ou 0.5 W ) sont des résistances au carbone. Le carbone est soit
un isolant (le diamant), soit un conducteur (le graphite). On sait aussi fabriquer du carbone
amorphe. Ce solide conduit moins bien le courant qu’un métal (plus grande résistivité) et peut
2.2. ELÉMENTS PASSIFS
3
être déposé sous forme de couches minces ayant des résistances dans la gamme correspondant
aux besoins usuels en TP (10 Ω à quelques MΩ). Cette couche de carbone est déposée sur un
bâtonnet de céramique isolante.
c) Résistances intégrées. Dans les circuits intégrés les résistances sont réalisées avec du
semiconducteur dopé (le dopage consiste à introduire des impuretés judicieusement choisies,
voir chapitre 3). En dopant plus ou moins le semiconducteur on peut faire varier sa résistivité et
donc réaliser des résistances de valeurs très différentes avec des géométries voisines. On utilise
aussi beaucoup le silicium polycristallin dopé (ou polysilicium) pour réaliser des résistances sur
circuit intégré (le polysilicium est utilisé aussi pour réaliser le contact avec l’oxyde de grille des
transistors MOS). La résistivité d’un semiconducteur fortement dopé est typiquement comprise
entre 0.01 Ω cm et 1 Ω cm ce qui permet sans difficulté de réaliser des résistances de l’ordre du
kΩ.
Remarque : dans les filtres intégrés à capacités commutées (voir §8.5) les résistance sont remplacées par des capacités ! Plus généralement, on limite au maximum la présence des résistances
dans les circuits intégrés.
2.2.1.2
Loi d’Ohm. Mobilité, conductivité, résistivité.
Une résistance est un dipôle qui transforme l’énergie électrique en chaleur (effet Joule) via
des phénomènes dissipatifs (collision des électrons de conduction sur les atomes qui vibrent,
les défauts, les impuretés). Elle joue un rôle analogue à celui des frottements dans les systèmes
mécaniques ; en particulier elle introduit de l’amortissement dans les circuits oscillants. Elle ne
peut pas avoir un rôle d’amplification ; pourtant ce dipôle est très utilisé en électronique comme
nous allons le voir dans tout ce qui suit. Pour des courants pas trop élevés, il existe une relation
linéaire entre le courant I circulant de la borne A vers la borne B dans une résistance (voir
figure 2.1) et la différence de potentiel V = VA − VB appliquée aux bornes de la résistance ;
cette relation s’appelle la loi d’Ohm. La loi d’Ohm traduit une propriété de volume du matériau
constituant la résistance. En un point donné du matériau, les porteurs de charge q (souvent des
électrons) sont soumis un force extérieure F~ext due à l’application de la différence de potentiel
V . Il s’agit de la force de Coulomb :
Figure 2.1 – Résistance en géométrie cylindrique. Le champ électrique est uniforme et les lignes de courant
sont parallèles : R = ρL/S. Les porteurs (concentration n) ont une vitesse moyenne non nulle proportionnelle
au champ électrique.
~
F~ext = q E
(2.2)
4
CHAPITRE 2. CIRCUITS ÉLECTRIQUES
~ est le champ électrique (unité : le Volt par mètre) créé par l’application de la tension V .
où E
Pour une géométrie simple (telle que le cylindre allongé invoquée à propos de l’équation 2.1),
on a simplement
E = V /L
où L est la longueur de la résistance. Sous l’effet de cette force extérieure, en plus de leur
mouvement désordonné (celui correspondant à l’équilibre thermodynamique) les porteurs sont
animés d’un mouvement d’ensemble avec une vitesse moyenne < ~v > proportionnelle à la force,
donc au champ électrique. Cette relation linéaire s’écrit :
~
< ~v >= µE
Le coefficient de proportionnalité µ s’appelle la mobilité (unité : V m2 s−1 ) : une grande
mobilité conduit, pour un champ donné, à une vitesse moyenne élevée. Le courant électrique
I est une conséquence directe de ce mouvement d’ensemble des porteurs de charge. En effet,
I représente le nombre de coulombs traversant une section droite du conducteur par seconde.
Considérons (voir figure 2.1) pendant un intervalle de temps δt des porteurs tous animés d’une
vitesse moyenne v̄ supposée positive et dirigée suivant l’axe Ox (parallèle au champ électrique).
Soit n le nombre de porteurs par unité de volume dans le conducteur et soit une section droite
S du conducteur en x = 0. Les porteurs qui vont traverser la section droite entre l’instant t = 0
et l’instant t = δt, sont ceux situés dans la région x < 0 à une distance ≤ v̄δt de l’origine. Le
nombre moyen d’électrons correspondant est donné par le produit du volume du cylindre de
longueur v̄δt et de section droite S par la concentration de porteurs n, soit v̄δtSn. La charge
électrique correspondante est obtenue en multipliant cette quantité par la charge électrique q
de chacun des porteurs, soit δQ = v̄δtSnq. δQ représente le nombre de coulombs traversant la
section droite pendant un temps δt. Le courant I est obtenu en divisant par δt :
I=
δQ
= v̄Snq = SnqµE
δt
Afin de s’affranchir de la géométrie de la résistance il suffit de diviser cette expression par
S. On obtient la densité de courant j = I/S (unité : Ampère par mètre carré) :
j=
I
= nqµE
S
(2.3)
Cette équation constitue véritablement la loi d’Ohm : la densité de courant j (ampère
par mètre carré) est proportionnelle au champ électrique dans un conducteur. Elle permet de
retrouver l’expression plus populaire ”V = RI” de la loi d’Ohm et l’expression R = ρL/S
de la valeur d’une résistance. Dans (2.3), le coefficient de proportionnalité nqµ s’appelle la
conductivité (unité : Ω−1 m−1 ) et se note σ :
conductivité :
σ = nqµ =⇒ j =
I
= σE
S
Par définition la conductivité est l’inverse de la résistivité intervenant dans le calcul d’une
résistance :
1
1
résistivité : ρ = =
σ
nqµ
Retrouvons la relation 2.1 et la loi d’Ohm usuelle. En multipliant 2.3 par L on fait apparaı̂tre
le produit EL = V , d’où IL/S = σEL = σV , soit encore V = I(1/σ)L/S. En utilisant ρ = 1/σ
on obtient comme il se doit :
L
V = ρ I = RI
S
2.2. ELÉMENTS PASSIFS
5
Cette relation est valable en régime continu mais aussi à basse fréquence. Pour des signaux
variables à basse fréquence, on peut par exemple écrire la loi d’Ohm sous la forme :
basse fréquence =⇒ v(t) = Ri(t)
(2.4)
Remarque : nous avons vu qu’en hyperfréquences, la notion de dipôle localisé peut être remise en question. Supposons qu’elle soit cependant pertinente (résistance de petite taille). Malheureusement, d’autres phénomènes physiques viennent compliquer encore la description ! En
effet, à ces fréquences, le champ électrique ne pénètre dans les conducteurs que sur une épaisseur
δ appelée épaisseur de peau, d’autant plus faible que la fréquence ν et que la conductivité σ sont
élevées : δ = (πµσν)−1/2 où µ est la perméabilité magnétique ( quand la fréquence augmente,
on passe progressivement du conducteur au guide d’onde). Il en résulte que la résistance R
dépend de la fréquence dans le cas général (elle n’est plus donnée par la relation 2.1).
2.2.2
2.2.2.1
Condensateurs, capacités.
Capacité d’un condensateur plan.
Un condensateur parfait (voir figure 2.2 pour le cas des condensateurs plans) est un élément
passif qui ne dissipe pas d’énergie. Il est basé sur le phénomène d’influence électrique. Il est
constitué de deux plateaux conducteurs séparé par un isolant. Sauf cas de claquage, aucun
courant électrique ne traverse l’isolant. En réalité, une petite quantité d’énergie se dissipe dans
l’isolant et pour modéliser cette dissipation on utilise une résistance équivalente.
Figure 2.2 – Condensateur plan. Le champ électrique est uniforme entre les plateaux et la charge globale
est nulle (QA + QB = 0). La différence de potentiel entre les plateaux est reliée à la charge des plateaux par
QA = C(VA − VB ) où C est la capacité du condensateur (en Farad).
Dans un condensateur parfait, quand on apporte des charges QA sur un des plateaux, l’autre
plateau se charge avec une quantité d’électricité QB = −QA : les charges QA créent un champ
éléctrique qui attirent les charges de signe contraire de l’autre plateau (force de Coulomb).
Nous considérons maintenant le cas important en Électronique des condensateurs plans (voir
figure 2.2). Le champ électrique E créé par les 2 plateaux plans chargés est uniforme entre les
plateaux (dans l’isolant). Si V = VA − VB est la différence de potentiel entre les plateau, et d la
distance entre les plateaux, on a donc E = V /d. Soit ε = εo εr la permittivité de l’isolant (εo est
la permittivité du vide en Farad par mètre, et εr > 1 est la permittivité relative du diélectrique,
sans dimension). Le champ électrique polarise le diélectrique (crée des dipôles électriques). On
montre que le champ éléctrique à la surface d’un conducteur chargé situé dans le vide est
E = σ/εo où σ est la densité surfacique de charge (unité : coulomb par mètre carré). Si on
remplace le vide par un diélectrique, la polarisation de ce dernier affaiblit le champ (le champ
induit s’oppose au champ créé par les plateaux), qui devient E = σ/ε. Si S est la surface d’un
6
CHAPITRE 2. CIRCUITS ÉLECTRIQUES
plateau (l’aire), σA = QA /S, ce qui donne E = QA /(εS), et aussi, VA − VB = Ed = QA d/(εS)
qui est la relation fondamentale pour les condensateurs plans. Elle s’écrit :
QA = C(VA − VB )
,
C=
εS
d
(2.5)
Dans cette expression, C est la capacité du condensateur (unité : le Farad) et ε = εo εr la
permittivité de l’isolant (εo = 8.85 × 10−12 F m−1 ). Contrairement au cas de l’Ohm, qui est
une unité plutôt petite, le Farad est une unité très grande, surtout si on considère les capacités
utilisées en Électronique analogique. On utilise donc les µF , nF , pF et même f F (femto
Farad). La relation 2.5 est démontrée en général dans les cours d’Electrostatique. On l’applique
en Électronique jusqu’à des fréquences élevées. Comme pour les résistances, la capacité d’un
condensateur dépend de la fréquence à haute fréquence, en particulier parce que la constante
diélectrique de l’isolant en dépend, et ceci peut se produire bien avant 1 GHz. A basse fréquence,
on peut par contre écrire :
basses fréquences =⇒ QA (t) = C (vA − vB )
⇔
Q(t) = Cv(t)
(2.6)
une relation très importante dans un cours d’Électronique analogique. Il s’agit d’une relation
algébrique dans laquelle si Q(t) représente la charge QA du plateau A, alors v(t) = vA − vB .
Remarque : On ne peut pas charger instantanément un condensateur car il faudrait pour
cela un courant de charge infini. Ceci n’est jamais le cas, en particulier quand il existe des
résistances dans le circuit de charge. Cette propriété est largement utilisée dans l’analyse des
circuits en régime transitoire. En particulier, si le potentiel (par rapport à un potentiel de
référence) d’un des plateaux varie brusquement d’une quantité ∆V , l’autre plateau voit son
potentiel varier instantanément de la même quantité.
2.2.2.2
Condensateurs en Électronique.
Comme pour les résistances, en Électronique les condensateurs apparaissent dans les circuits
sous forme discrète ou intégrée.
a) Condensateurs discrets. Les condensateurs discrets se distinguent essentiellement par la
nature de leur isolant qui peut être du papier, du mica, du plastique etc... Les condensateur
électrochimiques ou électrolytiques (l’isolant est un oxyde anodique d’aluminium ; il existe aussi
des isolants à base d’oxyde de tantale) permettent de réaliser de fortes capacités mais sont si
possible à éviter (pertes importantes ; ils peuvent être détruits par l’application d’une tension
continue de mauvaise polarité). On sait réaliser des condensateurs à faible perte et sur une large
gamme de valeurs de capacités grâce à des diélectriques à forte constante diélectrique comme
les céramiques. On peut obtenir des valeurs aussi élevées que εr = 104 avec des céramiques de
structure perovskite (celle de BaTiO3 ) et des condensateurs très stables avec des céramiques à
l’oxyde de titane.
b) Condensateurs intégrés. On peut réaliser un condensateur à partir de la capacité de
grille d’un transistor MOS. La capacité se compose de la grille, constituant l’un des plateaux
métallique, et de l’oxyde de grille (silice SiO2 ) ; l’autre plateau est constitué par le substrat
en semiconducteur. Toutefois, les capacités MOS dépendent de la tension continue appliquée
(comme une varicap) car cette tension peut faire évoluer la conductivité du substrat de silicium ;
elles dépendent aussi de la fréquence des signaux variables appliqués (voir chapitre 3). Pour
éviter ce comportement et se rapprocher d’une structure à 2 plateaux métalliques, on augmente
la conductivité du canal en le dopant par implantation (voir chapitre 3). Une autre solution
permettant de réaliser un condensateur en technologie CMOS (voir chapitre 3) est de rajouter
une étage de dépôt de polysilicium ce qui permet de réaliser deux plateaux conducteurs. Cette
2.2. ELÉMENTS PASSIFS
7
fois, l’isolant est constitué par ”l’oxyde de champ” (field oxide) situé en surface des circuits
intégrés. C’est ce procédé qui réalise les meilleurs condensateurs intégrés.
Remarque : un condensateur réel peut se représenter comme une capacité C idéale en
parallèle sur une résistance r traduisant les phénomènes dissipatifs.
2.2.3
2.2.3.1
Self
Auto-induction
Une self est un dipôle basé sur la loi de Lenz. Un circuit électrique parcouru par un courant
électrique variable i(t) crée un champ magnétique variable B(t) proportionnel à i(t) donc un flux
Φ(t) à travers une surface donnée proportionnel à i(t). Si cette surface s’appuie sur un circuit
électrique il en résulte une force électromotrice induite e dans le circuit proportionnelle à la
dérivée du flux magnétique par rapport au temps : e = −dΦ(t)/dt. Si le circuit créant le champ
et le circuit siège des variations de flux est le même, on parle de phénomène d’auto-induction.
D’après ce qui précède, e est donc proportionnel à di(t)/dt. Le coefficient de proportionnalité
s’appelle l’inductance (la self) du circuit L (unité : le Henri) :
e = −L
di
dt
Figure 2.3 – Schéma d’une self (bobine d’auto induction). Les variations de courant créent une variation de
flux qui crée une force électromotrice induite e = −Ldi/dt où L en Henri est l’inductance de la self.
Le signe négatif dans cette expression rappelle simplement que la force électromotrice induite s’oppose au phénomène qui lui donne naissance (comme nous n’avons pas défini les
conventions de signe ni pour le courant ni pour la f.e.m induite, ce signe n’a pas grande signification pour un circuit électrique !). Plus précisément, sur le plan des circuits électriques
(voir figure 2.3), on cherche la relation algébrique entre la tension v(t) aux bornes d’une self et
le courant i(t). Si un dipôle AB est une self pure, si le sens conventionnel du courant i(t) est
orienté de A vers B, et si v(t) = vA − vB , on a :
v=L
di
= −e
dt
(2.7)
Le schéma équivalent d’une self comporte toujours une résistance en série avec la self,
traduisant les pertes par effet joule. A très haute fréquence des couplages capacitifs peuvent
intervenir.
2.2.3.2
Selfs en électronique.
La représentation que l’on se fait d’une self est celle d’un solénoı̈de (bobine d’induction).
Cette structure se prête assez mal à l’électronique, particulièrement l’électronique intégrée.
8
CHAPITRE 2. CIRCUITS ÉLECTRIQUES
Aujourd’hui, on cherche donc plutôt à éviter d’utiliser les selfs en Électronique. Nous verrons
qu’à basse fréquence ceci est possible grâce à des montages tels que le convertisseur d’impédance
négative. A haute fréquence, les selfs peuvent devenir indispensables (nous présenterons par
exemple l’oscillateur à quartz dans le chapitre 9 qui utilise un cristal permettant de simuler
une self). On sait d’autre part fabriquer des selfs de très petites dimensions. De plus on sait
fabriquer des selfs dont la valeur est commandée par une action extérieure. Enfin, en raison
d’effets parasites, les selfs existent dans les schémas équivalents des circuits électroniques dans
le domaine microonde (f & 30 GHz).
2.2.4
Conclusion.
Pour des résistances, selfs et condensateurs idéaux, nous avons montré qu’il existe une
relation linéaire entre les courants et les tensions.
a) Pour les résistances, la relation vR (t) = Ri(t) est à l’évidence linéaire.
b) Pour les condensateurs, la relation Q(t) = CvC (t) est également linéaire. La relation
entre le courant et la tension s’obtient en écrivant
la charge d’un plateau est donnée par
R t 0 que
0
l’intégrale du courant dans le temps : Q(t) = i(t )dt (la borne d’intégration inférieure dépend
des conditions initiales). On obtient :
vC (t) =
1
C
Z
t
i(t0 )dt0
Cette relation est linéaire car la transformation i → λi conduit à vC → λvC . Réciproquement,
par dérivation par rapport au temps de la relation Q(t) = CvC (t) on obtient :
i(t) = C
dvC
dt
c) D’après ce qui précède, la relation liant le courant et la tension dans une self idéale est
linéaire :
di
vL (t) = L
dt
2.3
Impédances
2.3.1
Introduction.
Figure 2.4 –
Circuit série résonant. La résistance dissipe l’énergie électrique. La self et le condensateur
ne dissipent pas d’énergie mais s’échangent de l’énergie, formant un résonateur. En régime harmonique il y a
résonance quand la fréquence excitatrice est égale à la fréquence de résonance du système L − C.
2.3. IMPÉDANCES
9
Considérons (voir figure 2.4) un dipôle AB constitué par la mise en série d’une résistance
R, d’une self L et d’un condensateur C. Soit e(t) = vA − vB la tension aux bornes de ce dipôle.
D’après le paragraphe précédent,
e(t) = vR (t) + vC (t) + vL (t) = Ri(t) +
1
C
Z
t
i(t0 )dt0 + L
di
dt
(2.8)
Cette équation est une équation linéaire intégro-différentielle. Connaissant la fonction e(t),
on sait résoudre (au pire numériquement) une telle équation : le changement de variable i(t) =
dQ(t)/dt ramène l’équation à une équation linéaire du second ordre en Q(t) à coefficients
constants. On sait que la solution générale est obtenue en faisant la somme d’une solution
particulière de l’équation et de la solution générale de l’équation correspondant à e(t) = 0
(équation dite ”sans second membre”). Cette dernière solution correspond au comportement du
circuit série sans apport d’énergie (oscillations libres). En raison de la présence de la résistance,
qui dissipe de l’énergie par effet Joule, l’énergie tend nécessairement vers zéro quand le temps
s’écoule. Un ordre de grandeur du temps nécessaire pour dissiper une partie importante de
l’énergie est par exemple donné la constante de temps RC. Compte tenu des ordres de grandeur
en Électronique, cette constante de temps est en général petite à l’échelle de la seconde (par
exemple, R = 10 kΩ et C = 10 nF donne RC = 10−4 s). Aux temps longs devant RC, la solution
générale de l’équation sans second membre devient donc négligeable. Elle correspond à ce que
l’on appelle un régime transitoire. Ne subsiste donc que la solution particulière de l’équation
qui est dictée par l’excitation ”extérieure” e(t). Dans le cas particulier
P où e(t) est périodique, de
pulsation ω = 2π/T , on peut décomposer e(t) comme un somme ei (t) de signaux sinusoı̈daux
de pulsations ω, .. i × ω etc.. Comme l’équation est linéaire, on peut résoudre le problème en
cherchant la réponse du circuit, successivement pour chacune des sources sinusoı̈dales ei (t), puis
en faisant la somme des solutions trouvées. On se ramène donc à la recherche du comportement
du circuit en régime sinusoı̈dal (on dit aussi harmonique) :
e(t) = EM cos(ωt + ϕe )
On montre facilement que la solution particulière de l’équation (Q(t) ou i(t)) est également
sinusoı̈dale, avec la même pulsation ω ; seule change l’amplitude et la phase : la forme générale
des solutions est Acos(ωt + ϕ). Ainsi, chacune des tensions vR , vC et vL est sinusoı̈dale :

 vR (t) = VRM cos(ωt + ϕR )
v (t) = VCM cos(ωt + ϕC )
 C
vL (t) = VLM cos(ωt + ϕL )
On peut représenter ces tensions par des vecteurs du plan OxOy dont la longueur est égale à
l’amplitude et faisant avec l’axe Ox un angle θ = ωt + ϕ égal à l’argument du cosinus. Cette
représentation s’appelle la représentation de Fresnel. Dans cette représentation, la valeur des
tensions est donnée par la projection des vecteurs sur l’axe Ox. e(t) est représenté par un
vecteur égal à la somme des vecteurs associés aux tensions vR , vC et vL . Plutôt que d’utiliser
cette représentation purement géométrique, on peut utiliser les nombres complexes. Il s’agit
de refaire exactement la même chose que dans la représentation de Fresnel, mais avec un
formalisme purement algébrique. Cette approche conduit à la notion d’impédance complexe.
Remarque : on peut étendre la notion d’impédance au cas des régimes non harmoniques
grâce à la transformée de Laplace. Cet aspect est détaillé dans les cours de Théorie du Signal.
On note Z(p) ou Z(s) les impédances généralisées associées. Le lien avec les impédances en
régime harmonique est obtenu en posant p = jω (voir aussi 8.2.7.
10
CHAPITRE 2. CIRCUITS ÉLECTRIQUES
2.3.2
Amplitude complexe, impédance complexe.
En introduisant la notion d’impédance, le but est, une fois éteint le régime transitoire,
de remplacer l’équation intégro-différentielle 2.8 par une équation algébrique sur le corps de
complexes C. On définit l’amplitude complexe V associé à une tension sinusoı̈dale VM cos(ωt +
ϕV ) (ou I associé à un courant IM cos(ωt + ϕI )) de la manière suivante (Re signifie ”partie
réelle de”) :
V = VM ejϕV
(2.9)
Le lien entre V et v(t) est donné par :
£
¤
v(t) = Re V ejωt
Pour les courants :
½
I = I M ejϕ£I
¤
i(t) = Re Iejωt
(2.10)
(2.11)
La question est maintenant de savoir comment associer une amplitude complexe à une
dérivée ou une primitive. On peut s’y prendre de deux façons. En dérivant 2.10 par rapport au
temps on obtient :
"µ
#
¶
£
¤
dv(t)
dV
jωt
jωt
= Re jωV e
= Re
e
dt
dt
Il en résulte que dériver par rapport au temps revient à multiplier les amplitudes complexes
par jω :
d
=⇒ ×jω
(2.12)
dt
De façon analogue, intégrer par rapport au temps revient à diviser par jω :
Z
1
dt =⇒ ×
jω
(2.13)
On peut retrouver ce résultat en dérivant ou intégrant directement v(t) = VM cos(ωt + ϕV ).
dv(t)
π
En effet, dv(t)
dt = −ωVM sin(ωt + ϕV ) que l’on peut écrire dt = ωVM cos(ωt + ϕV + 2 ). Ainsi,
dériver v(t) par rapport au temps revient à multiplier son amplitude par ω et à rajouter π2 à
sa phase. Or d’après la définition 2.9, rajouter π/2 à la phase revient à multiplier l’amplitude
complexe par ejπ/2 qui est égal à j. La multiplication par jω prévue par 2.12 effectue bien ces
2 actions, de manière très compacte.
Ayant ces règles sur la dérivation et l’intégration, on peut maintenant remplacer l’équation
intégro-différentielle 2.8 par une équation sur les amplitudes complexes. On obtient l’équation
linéaire suivante reliant les amplitudes complexes associées au courant et à la tension excitatrice :
¶
µ
1
1
ĒM = V̄R + V̄C + V̄L = RI +
+ jLω I = Z(jω)I
I + jLωI = R +
jCω
jCω
Cette équation fait apparaı̂tre un nombre complexe Z homogène à une résistance (en Ω)
que l’on appelle l’impédance complexe du dipôle AB :
Z=
ĒM
1
=R+
+ jLω
jCω
I
2.4. SIGNAUX, THÉORÈMES POUR LES CIRCUITS LINÉAIRES.
11
Elle fait également apparaı̂tre les impédances de la résistance, self et capacité constituant le
dipôle série. Enfin elle fait apparaı̂tre la règle de composition des impédances pour un circuit
en série : les impédances s’ajoutent. En résumé :

 ZR = R
1
ZC = jCω
(2.14)

ZL = jLω
et :
Circuit série :
Z=
X
Zi
(2.15)
i
1
En particulier, l’expression des impédances ZC = jCω
et ZL = jLω nous enseigne que aux
bornes d’un condensateur (VC = ZC I), la tension vC (t) présente un retard de phase de π/2
par rapport au courant, et qu’au contraire, la tension est en avance de π/2 sur le courant dans
une self. D’autre part, pour les fréquences élevées, l’impédance d’une capacité tend vers zéro
(court circuit). A fréquence nulle, l’impédance est infinie traduisant le fait qu’on ne peut pas
faire passer de courant dans l’isolant. A fréquence non nulle, le courant i(t) correspond à un
courant de charge ou de décharge des plateaux (et non à un courant dans l’isolant !). Pour la
1
fréquence ωo telle que Cω
= Lωo , ZC + ZL = 0 et Z = R. Pour cette pulsation, le courant
o
et la tension sont donc en phase, et l’amplitude du courant est maximum : fo = ωo /2π est la
fréquence de résonance du dipôle AB.
Dans le cas général, on peut écrire :

jϕ

 V = VM e V
jϕ
I = IM e I

 V = ZI ⇔ Z = V = VM ej(ϕV −ϕI )
IM
I
L’impédance Z d’un dipôle renseigne donc à la fois sur le rapport des amplitudes de la
tension et du courant (via son module), mais aussi sur le déphasage entre la tension et le
courant (via son argument) :
½
M
|Z| = VIM
Arg(Z) = ϕV − ϕI
Connaissant l’amplitude et la phase de la tension appliquée, le calcul de l’impédance permet
de déterminer l’amplitude IM = VM / |Z| et la phase ϕI = ϕV − Arg(Z) du courant.
Pour les circuits présentant des branches en parallèle, il est intéressant de pouvoir sommer
les courants. On préfère donc utiliser le relation V = ZI sous la forme I = Z1 V et on définit :
admittance : Y =
1
I
=
Z
V
d’où la règle :
branches en parallèle : Y =
X
Yi
i
2.4
2.4.1
Signaux, théorèmes pour les circuits linéaires.
Signaux
En Électronique, la forme des signaux v(t) ou i(t) peut être très variée. Nous avons insisté
jusqu’ici sur le cas particulier des signaux constants et des signaux périodiques, plus particulièrement sinusoı̈daux, mais ceci est loin d’épuiser toutes les formes possibles. Citons par
12
CHAPITRE 2. CIRCUITS ÉLECTRIQUES
exemple les échelons : la grandeur est un niveau constant changeant brusquement de valeur à
un instant précis. Une autre forme possible est l’impulsion, de durée plus ou moins brève, et
de forme diverse (carrée, triangulaire, de type gaussien, exponentiel etc...). Il peut s’agir aussi
d’un signal de forme imprévisible (par exemple dans le domaine médical ou sismique) que l’on
se propose d’échantillonner et de convertir à l’aide d’un ADC. Citons pour terminer l’exemple
d’un signal audio modulé en fréquence.
2.4.1.1
Impulsions.
Figure 2.5 – Impulsion électrique : temps de montée, temps de descente.
Nous avons vu dans l’introduction que comme pour les circuits numériques, les circuits
analogiques peuvent véhiculer des impulsions. La figure 2.5 représente une impulsion typique.
L’amplitude de l’impulsion et sa durée sont des grandeurs intéressantes, mais aussi ses temps de
montée (rise time tr ) et de descente (fall time tf ). Ces fronts peuvent par exemple correspondre
à l’arrivée d’un signal sur un capteur : de faibles valeurs de tr ou tf confèrent une bonne
résolution en temps au système électronique.
2.4.1.2
Signaux périodiques.
Pour un signal périodique s(t), il existe une période T (donc une fréquence f = 1/T ) telle
que s(t + T ) = s(t). Par contre, la forme de s(t) sur une période peut être quelconque. Le
théorème de Fourier permet de décomposer s(t) périodique comme une somme de signaux
sinusoı̈daux. Dans le cas général :
s(t) = Ao +
∞
X
(An cos(nωt) + Bn sin(nωt))
(2.16)
n=1
où ω = 2π/T est une pulsation (en radian par seconde). L’indice n = 1 correspond au ”fondamental”, qui oscille à la même fréquence que le signal périodique, et n > 1 aux harmoniques.
Un son ”riche” comporte de nombreuses harmoniques (les amplitudes correspondantes An ou
Bn restent importantes pour des valeurs élevées de n).
Le signal périodique de forme carrée dont on dispose sur les générateurs basses fréquences,
comporte nécessairement des composantes à très haute fréquence : les flancs de montée et
de descente correspondent à des variations extrêmement rapides de la tension. La figure 2.6
représente des signaux carrés périodiques. Dans le cas général, la durée tH de la partie haute
2.4. SIGNAUX, THÉORÈMES POUR LES CIRCUITS LINÉAIRES.
13
Figure 2.6 – Signaux carrés avec divers raports cycliques.
n’est pas égale à la durée tL de la partie basse. On appelle rapport cyclique (duty cycle) la
quantité
tH
r=
tH + tL
Quand tL = tH , la décomposition de Fourier du signal carré périodique est particulièrement
simple. Pour un signal centré autour de l’origine (fonction impaire), de valeur moyenne nulle
et d’amplitude crête à crête 2VM (voir figure 2.6) la décomposition s’écrit :
·
¸
1
1
4VM
sin(ωt) + sin(3ωt) + ... +
sin((2n + 1)ωt) + ...
Signal carré : s(t) =
π
3
2n + 1
(2.17)
expression qui fait apparaı̂tre, comme annoncé, une décroissante très lente de l’amplitude des
harmoniques (décroissance en 1/n).
Suivant les cas il peut être intéressant de traiter les signaux carrés dans les circuits linéaires
comme le somme 2.17 (application du principe de superposition), ou par un calcul du régime
transitoire en résolvant directement les équations différentielles, ou par utilisation de la transformée de Laplace.
2.4.2
2.4.2.1
Dipôles, quadripôles, fonction de transfert.
Dipôles
Les objets élémentaires des circuits électriques sont les dipôles. Il s’agit de dispositifs comportant 2 bornes (électrodes) A et B. Il existe deux grandes catégories de dipôles : les dipôles
passifs, qui ne produisent pas d’énergie, et les dipôles actifs (les sources) qui apportent de
l’énergie au signal : ces dipôles sont des sources (voir ci-dessous).
Pour un dipôle on peut définir 2 grandeurs électriques : la différence de potentiel (tension)
entre ses bornes v = vA −vB et le courant électrique i qui le traverse. Les 2 grandeurs électriques
v et i sont algébriques et elles ne sont pas indépendantes. Si la tension est définie par v = vA −vB ,
il est en général plus simple de définir le sens conventionnel du courant de A vers B (si le courant
i(t) circule effectivement dans ce sens à l’instant t, i(t) est positif). Ayant choisi cette convention
(voir figure 2.7), l’écriture de la relation entre le courant et la tension dans les dipôles passifs
s’en trouve simplifiée : v = Ri (et non v = −Ri) pour une résistance, v = Ldi/dt pour une self,
ou V = ZI en représentation complexe (cas du régime harmonique) etc... Dans le cas particulier
des sources idéales (voir ci-dessous) le courant et la tension sont des grandeurs indépendantes.
14
CHAPITRE 2. CIRCUITS ÉLECTRIQUES
Figure 2.7 – Dipôle quelconque AB : convention de signes pour la tension et le courant.
2.4.2.2
Quadripôles
Figure 2.8 – Quadripôle : défintion des grandeurs d’entrée et de sortie (convention des électroniciens : les
courants rentrent dans le quadripôle)
Le quadripôle est un circuit électrique comportant 4 bornes (électrodes), voir figure 2.8. Assez souvent, 2 de ses bornes sont communes de sorte que le nombre effectif d’électrodes est réduit
à 3. Il est l’élément de base de l’Électronique : un amplificateur, un filtre, sont des quadripôles. Il
est constitué de dipôles en nombre plus ou moins grand qui peuvent éventuellement eux-même
être groupés sous forme de quadripôles. Dans un quadripôle, on regroupe les électrodes en 2
groupes de 2 que l’on appelle les bornes d’entrée et les bornes de sortie. Vis à vis de l’extérieur
du quadripôle, on peut définir 4 grandeurs électriques : les courants d’entrée et de sortie et les
tensions d’entrée et de sortie. Il existe plusieurs conventions pour définir ces grandeurs. Nous
adoptons celle des électronicien (voir figure 2.8). On définit tout d’abord les tension d’entrée et
de sortie, ve et vs . Ceci définit les bornes ”+” d’entrée et de sortie. Par convention le courant
d’entrée ie est le courant qui entre par la borne ”+” d’entrée et le courant de sortie is est
le courant qui entre par la borne ”+” de sortie (bien entendu, si à l’instant t le courant de
sortie sort par la borne sortie, alors is (t) < 0). Nous ne développerons pas plus la théorie des
quadripôles : elle fait l’objet du chapitre 4.
2.4.2.3
Fonction de transfert.
Pour un quadripôle linéaire fonctionnant en régime sinusoı̈dal on définit la fonction de
transfert T (ω) comme
T (ω) =
Vs
Ve
(2.18)
2.4. SIGNAUX, THÉORÈMES POUR LES CIRCUITS LINÉAIRES.
15
où Vs et Ve sont les amplitudes complexes associées aux tensions de sortie et d’entrée vs (t)
et ve (t). T (ω) est donc a priori un nombre complexe dont l’argument représente le déphasage
entre la sortie et l’entrée :
½
T (ω) = |T (ω)| exp(jφ)
φ = φs − φe
Le module de la fonction de transfert renseigne sur l’amplification en tension du quadripôle (au
sens large). Plutôt que de représenter les variations de ce module en fonction de la fréquence
f = 2π/ω on préfère souvent représenter le gain en décibel correspondant, construit à l’aide
des logarithmes décimaux :
GV dB = 20 log10 T (f )
(2.19)
2.4.2.4
Fréquence de coupure.
Figure 2.9 – Représentation de Bode des fonctions de transfert. A droite : gain en décibel. L’échelle des
fréquences est logarithmique. Les fréquences de coupure limitant un plateau correspondent à une variation de 3
dB du gain. Par extension, des fréquences de coupure peuvent aussi correspondre à des ruptures de pente de la
courbe de gain.
Dans le cas général, le gain GV dB associé à un quadripôle linéaire varie avec la fréquence.
Dans certains cas ses variations se présentent sous forme d’un ou plusieurs plateaux (correspondant à des variations très faibles) et de zones à variation plus rapide. Les transitions entre ces
régions définissent des fréquences de coupure. La représentation de Bode est largement utilisée
pour représenter l’évolution de la fonction de transfert (module et argument) en fonction de la
fréquence. L’échelle de fréquence (voir figure 2.9) est une échelle logarithmique (une succession
de décades). La courbe de gain GV dB fait apparaı̂tre les fréquences de coupure. Par définition
elles correspondent (voir figure 2.9) à une variation de 3 dB du gain par rapport au gain des
plateaux. On note que l’échelle verticale est une échelle linéaire représentant le logarithme de
|T (ω)| alors que l’échelle horizontale est une échelle logarithmique représentant la fréquence (ce
qui peut entraı̂ner quelques confusions !). On note également qu’une fréquence de coupure peut
marquer la fin d’un plateau (on parle dans ce cas de fréquence de coupure à −3 dB) ou par
extension, une rupture de pente. Souvent, la pente des régions à variation rapide correspond à
une dépendance polynomiale simple de T avec ω. C’est la cas par exemple des filtres du premier ordre où on observe des dépendances en 1/ω. Plus généralement, pour les filtres d’ordre
n (second, troisième ordre etc...) les pentes sont en ω ±n . Reprenant la définition 2.19 du gain
en décibel, on obtient un comportement en ±20 × n log10 f . Comme l’échelle des fréquences
est logarithmique en représentation de Bode, la courbe correspondante est une droite. Pour
16
CHAPITRE 2. CIRCUITS ÉLECTRIQUES
une décade, c’est à dire pour une fréquence passant de la valeur f à 10 × f , le terme log10 f
augmente de 1 et la variation correspondante du gain est ±20 × n dB. On résume ceci sous la
forme :
|T (ω)| ∝ ω ±n =⇒ pente = (±20 × n) dB/décade
Exemple : le gain d’un filtre passe bas du second ordre (n = −2) présente une asymptote
de pente -40 dB/décade au delà de sa fréquence de coupure haute (voir chapitre 8).
2.4.3
sources idéales
Les signaux électriques peuvent être créés de multiples manières : un oscillateur, une pile,
via une antenne, ou pour le bruit, via le comportement des porteurs à l’échelle microscopique.
Pour modéliser les dispositifs produisant des signaux électriques, on utilise la notion de source
de tension ou de courant et en particulier celle de source idéale.
Figure 2.10 – Source idéale de tension (diverses représentations symboliques).
a) Une source idéale de tension est un dipôle qui fournit une tension e (ou E) bien définie
(constante, sinusoı̈dale EM cos(ωt) etc..) indépendante du courant i qui la traverse et plus
généralement indépendante du comportement du circuit dans lequel elle est impliquée. Il existe
diverses représentations pour les sources idéales de tension (voir figure 2.10), suivant que la
tension délivrée est constante, sinusoı̈dale, quelconque. L’important dans ces représentation est
d’éviter des confusions avec les sources de courant et d’autre part de bien préciser la polarité
(par une flèche ou des signes + et -).
Dans les circuits électroniques on rencontre 2 types de sources idéales de tension : les sources
indépendantes et les sources liées. Les sources indépendantes correspondent physiquement à des
dispositifs électroniques ou non (générateurs BF, oscillateur, pile) sur lesquels il n’existe pas
d’action significative du circuit dans lequel ils sont impliqués. Pour les sources liées, la situation
est inverse. Ces sources ne correspondent pas à un dispositif physique bien identifié. Elles sont en
fait utilisées pour modéliser le comportement de certaines parties d’un dispositif électronique,
particulièrement celui des composants actifs (transistors). Ainsi, la tension e aux bornes d’une
source liée dépend du courant i ou d’une tension v dans certaines parties du circuit considéré
(dans la pratique e est simplement proportionnel à ce courant ou cette tension). L’utilisation
de sources liées est très utile pour étudier la réponse des circuits. Toutefois, leur présence dans
un circuit complique l’application des théorèmes généraux relatifs aux circuits linéaires (voir
plus loin).
Les dispositifs créant des tensions dans les circuits ne sont pas idéaux. Il est en général
possible de modéliser leur comportement électrique à l’aide d’une source de tension idéale
couplée en série avec une résistance (par exemple la résistance interne d’une pile électrique) ou
plus généralement une impédance (voir figure 2.11).
2.4. SIGNAUX, THÉORÈMES POUR LES CIRCUITS LINÉAIRES.
17
Figure 2.11 – Différents schémas équivalents d’une source réelle de tension (régime continu, harmonique...).
Figure 2.12 – Différentes représentations symboliques d’une source idéale de courant. Schéma équivalent
pour une source réelle de courant (cas purement résistif).
b) Une source idéale de courant est un dipôle qui fournit un courant i (ou I) bien défini
(continu, sinusoı̈dal IM cos(ωt) etc..) quelque soit la tension à ses bornes et plus généralement
indépendant du comportement du circuit dans lequel elle est impliquée. La figure 2.12 présente
différentes représentations des sources de courant dans les circuits électroniques. Il existe des
normes en Europe pour représenter les sources idéales. Notons toutefois qu’elles ne sont pas
toujours appliquées en Europe et que d’autre part ces normes sont méconnues dans les deux
plus grands pays producteurs de circuits électroniques, les Etats Unis et le Japon !
Contrairement aux sources de tension (piles, batteries de voiture, générateur BF...) il
n’existe pas de sources de courant dans la vie ”courante”. La notion de source de courant
est un pur produit de l’Électronique. On sait en effet réaliser de telles sources à l’aide de composants actifs (voir par exemples les sources à miroir de courant dans l’étage d’entrée différentiel
des amplificateurs opérationnels, chapitre 5 ). D’autre part, et plus encore que pour les sources
idéales de tension, on utilise les sources de courant pour modéliser les composants actifs.
Comme pour les sources de tension, on rencontre dans les circuits électroniques des sources
de courant indépendantes et des sources liées, c’est à dire dont le courant i dépend du courant
ou de la tension dans certaines parties du circuit dans lequel elles sont impliquées. Enfin, pour
représenter une source de courant non idéale on peut utiliser une source idéale de courant en
parallèle sur une impédance.
2.4.4
Théorèmes pour les circuits
Nous seront ici assez bref (ces théorèmes sont largement développés en premier cycle).
Commençons tout d’abord par rappeler la loi des noeuds et des branches, valables pour un
circuit quelconque.
18
2.4.4.1
CHAPITRE 2. CIRCUITS ÉLECTRIQUES
Lois générales
Figure 2.13 – Illustration de la loi d’additivité des tensions pour des dipôles en série.
a) Mise en série : Une branche est un dipôle constitué par la mise en série de plusieurs
dipôles. Soit une branche AB (voir figure 2.13). La différence de potentiel v = vA − vB aux
bornes du dipôle est obtenu en sommant les différences de potentiel aux bornes de chacun
des dipôles le constituant. Si le dipôle AB est constitué des dipôles AC, CD et DB, cette
propriété, appelée loi des branches, est une évidence mathématique (elle ne fait intervenir
aucune hypothèse sur les propriétés du circuit) :
vA − vB = (vA − vC ) + (vC − vD ) + (vD − vB )
b) Loi des noeuds : un noeud est une portion de circuit passif ayant une résistance, self,
capacité négligeable (typiquement un noeud est constitué par un bon conducteur métallique) et
réalisant la jonction entre plusieurs branches. Ayant une capacité négligeable, un noeud ne peut
pas accumuler de charges électriques ; les charges doivent donc s’évacuer dans les différentes
branches reliées au noeud : toute les charges qui arrivent doivent repartir. En considérant l’unité
de temps, on transforme ce bilan sur les charges en un bilan sur les courants : la somme des
courants qui arrivent est égale à la somme des courants qui partent. Les courants étant des
nombres algébriques dont on ne connaı̂t pas a priori le signe, les courants qui arrivent sont en
fait les courants dont on a défini le sens conventionnel de circulation convergeant vers le noeud
(un courant qui part a son sens conventionnel s’écartant du noeud) :
X
X
loi des noeud :
iarrive =
ipart
2.4.4.2
Théorèmes pour les circuits linéaires
a) Théorème de Millman
La résolution systématique des circuits à l’aide de la loi des noeuds et des branches est
rapidement fastidieuse et peu instructive. Il existe aujourd’hui des logiciels permettant de
résoudre les problèmes de circuits. Il est donc recommandé d’utiliser ces logiciels (le plus connu
est SPICE) dans les cas complexes. Dans les cas simples, il n’est pas très astucieux de multiplier
le nombre des variables. Ainsi, on peut écrire la loi des noeuds sans faire intervenir explicitement
les courants, c’est à dire en travaillant uniquement sur les tensions. Ce procédé s’appelle le
Théorème de Millman. Il est illustré sur la figure 2.14 représentant une portion de circuit
linéaire fonctionnant en régime harmonique. Sur cette figure, 3 branches sont reliées entre
elles au noeud N . On connaı̂t les impédances Z1 , Z2 , et Z3 de ces branches (ou dipôles).
Les amplitudes complexes associées aux tensions et aux courants sont reliées par les relations
linéaires Vi = Zi Ii (i = 1, 2, 3), donc également : Ii = Vi /Zi = Vi Yi . Compte tenu du sens
conventionnel choisi pour les courants (i1 et i3 arrivent et i2 part), la loi des noeuds s’écrit
2.4. SIGNAUX, THÉORÈMES POUR LES CIRCUITS LINÉAIRES.
19
Figure 2.14 – Illustration de la loi des noeuds pour un circuit linéaire. Théorème de Millman.
i1 − i2 + i3 = 0, soit pour les amplitudes complexes, I1 − I2 + I3 = 0 et donc, en exprimant les
courants à l’aide des tensions :
loi des noeuds =⇒
V1
V2
V3
−
+
=0
Z1 Z2 Z3
(2.20)
Il existe une manière plus simple et plus systématique d’écrire la loi des noeuds en N . Elle
consiste à considérer le potentiel en N comme un potentiel de référence, et donc à écrire toutes
les tensions sous la forme VA − VN , VB − VN etc.., de sorte que les courants correspondant
convergent tous vers N : leur somme est donc nulle. On obtient : (VA − VN )Y1 + (VB − VN )Y2 +
(VC − VN )Y3 = 0, soit après réarangement :
VN (Y1 + Y2 + Y3 ) = Y1 VA + Y2 VB + Y3 VC
(2.21)
La relation 2.21 constitue le théorème de Millman. Elle se généralise facilement au cas de
n branches. Elle apporte en général une grande simplification dans la résolution des problèmes
de circuits dont certains noeuds possèdent plus de 2 branches.
Remarque : Cette relation est difficilement utilisable dans l’hypothèse de signaux de forme
quelconque (via Z(p)), sauf dans l’hypothèse de résistances pures puisque la relation i(t) =
v(t)/R est valable dans tous les cas.
Figure 2.15 – Dipôle linéaire AB : application du Théorème de Thévenin.
20
CHAPITRE 2. CIRCUITS ÉLECTRIQUES
b) Théorèmes de Thévenin et de Norton.
On considère toujours des circuits linéaires. On prend comme ci-dessus l’exemple du régime
sinusoı̈dal (avec bien sûr comme cas particulier la fréquence nulle, donc le courant continu) pour
utiliser la notion d’impédance complexe. On considère un circuit linéaire complexe comportant
des éléments passifs et actifs. On isole 2 noeuds A et B et on enferme tout le reste du circuit
dans une ”boite noire” (voir figure 2.15). La question est de savoir quel est le comportement de
ce dipôle vu de l’extérieur. En particulier on cherche comment varie la tension VA − VB quand
on branche un circuit extérieur en parallèle sur AB en fonction du courant débité i dans ce
circuit. On montre que si le circuit dans la boite noire est linéaire, alors la relation cherchée est
linéaire : si i = 0 (circuit ouvert), la tension est (VA − VB )O ; si le courant débité est non nul,
la tension devient VA − VB = (VA − VB )O − ZT h I où ZT h est homogène à une impédance. On
peut donc modéliser ce comportement vis à vis de l’extérieur à l’aide d’une seule source idéale
de tension E T h = (VA − VB )O en série avec une impédance ZT h (voir figure 2.15). Ce résultat
constitue la première partie Théorème de Thévenin.
La question est maintenant de déterminer par le calcul les 2 éléments E T h et ZT h du
schéma équivalent. La détermination de E T h ne pose pas de problème (si ce n’est des calculs
compliqués) : par définition on calcule la différence de potentiel (VA − VB )O entre A et B sans
modifier le circuit (les 2 bornes de la boite noire sont au départ non connectées à un circuit
extérieur). La question se complique pour le calcul de ZT h quand dans la boite noire il existe
des sources liées. Supposons pour l’instant qu’il n’y ait que des sources indépendantes :
α) Si le dipôle AB ne possède que des sources indépendantes, pour calculer ZT h on calcule
l’impédance entre A et B après avoir éteint les sources. Pour éteindre une source de tension
on la court-circuite et pour éteindre une source de courant on ouvre le circuit dans la branche
concernée (les nouvelles représentations européennes normalisées rappellent symboliquement
ces actions).
β) Si le dipôle AB possède des sources liées, il ne faut pas éteindre ces sources pour calculer
ZT h . Sinon, la démarche est la même qu’en α).
Figure 2.16 – Dipôle linéaire AB : application du Théorème de Norton.
Remarque : considérons une boite noire (dipôle AB, voir figure 2.16) contenant une source
idéale de courant IN en parallèle sur une impédance ZN (une admittance YN = 1/ZN ). Ce
circuit modélise une source réelle de courant. Faisons débiter le dipôle dans un circuit extérieur.
Soit I le courant débité. Si V est la différence de potentiel aux bornes du dipôle (amplitude
complexe associée à vA − vB ), le courant débité par le dipôle est I = IN − YN V . Appliquons
le Théorème de Thévenin. En circuit ouvert, un courant I N circule dans l’admittance YN et
donc E T h = ZN I N . Le calcul de ZT h est aussi simple : la source de courant étant éteinte, il
ne reste plus dans le circuit que l’admittance YN = 1/ZN et donc : ZT h = ZN = 1/YN . Pour
2.4. SIGNAUX, THÉORÈMES POUR LES CIRCUITS LINÉAIRES.
21
les dipôles complexes linéaires on peut donc très simplement passer d’une représentation de
type source de tension réelle à une représentation de type source de courant réelle, constituée
d’une source idéale de courant I N en parallèle sur une admittance Y N . Cette formulation du
Théorème de Thévenin porte le nom de Théorème de Norton. D’après ce qui précède, l’énoncé
de ce théorème est le suivant :
- On peut remplacer un circuit linéaire complexe par une source idéale de courant I N en
parallèle sur un admittance YN .
- l’admittance Y N se calcule comme dans le Théorème de Thévenin : YN = 1/ZT h .
- le courant I N dans la source idéale est égal au courant qui circulerait si on établissait
un court circuit à l’extérieur du dipôle, entre A et B. En effet, en représentation Thévenin, ce
courant de court circuit est égal à E T h /Zth qui est égal à IN d’après ce qui précède.
c) Théorème de superposition pour les circuits linéaires.
Dans les circuits électroniques, on a affaire dans le cas général à un mélange de composants
linéaires (résistances, condensateurs) et non linéaires (diodes, transistors).
Considérons tout d’abord le cas des circuits purement linéaires dans lesquels agissent un
certain nombre de sources indépendantes Sk . La résolution du circuit consiste à déterminer les
différents courants in et tensions vn dans les différentes branches (indicées par n) du circuit, en
fonction des sources excitatrices Sk (sources idéales de tension et sources idéales de courant).
En raison de la linéarité des équations associées aux circuits linéaires, les courants et tensions
dans les branches sont la somme des tensions vnk et courants ink provoqués par chacune des
sources Sk , les autres étant éteintes :
½
P
Sk → vnk =⇒ vn = P k vnk
Sk → ink =⇒ in = k ink
Ce résultat est général, quelque soit la forme des signaux produits par les sources. Si on
prend le cas particulier d’une résistance R, si la source S1 seule produit une tension v1 et donc
un courant i1 = v1 /R et la source S2 seule une tension v2 et un courant i2 = v2 /R, les deux
sources agissant ensemble produisent une tension v1 + v2 et un courant i1 + i2 = (v1 + v2 )/R.
Considérons maintenant le cas des composants non linéaires comme les transistors ou les
diodes. Le principe de superposition ne s’applique plus. Considérons cependant un composant
non linéaire soumis à l’action de deux sources, So et S. La première, So = E est une source de
tension continue. Elle permet quand elle fonctionne seule d’imposer au composant un certain
point de fonctionnement (ou de repos). Dans les branches indicées par n les courants et tensions
sont Von et Ion . La seconde source est une source S(t) dont l’action sur le composant est de
faible amplitude par rapport à celle correspondant à So . Au lieu d’éteindre So pour déterminer
l’action de S seule, on conserve au contraire So allumée et on lui superpose l’action de S, ce
qui a pour effet de faire fluctuer les courants in et les tensions vn autour de Ion et Von . Si ces
fluctuations sont faibles, il est possible de linéariser le comportement du composant non linéaire
autour du point de repos. Cette démarche est analogue à celle qui consiste à développer au
0
premier ordre une fonction non linéaire f (x) au voisinage de xo : f (x) ' f (xo ) + (x − xo )f (xo ).
Les tensions et courants en présence des deux sources prennent la forme Von + vn et Ion + in ,
expressions dans lesquelles la somme ne correspond pas à une propriété linéaire. Par contre, si
on modifie l’amplitude des signaux fournis par S, les fluctuations vn et in suivent linéairement
ces modifications. Nous reviendrons sur cette importante question dans les chapitres 3 et 5.
22
CHAPITRE 2. CIRCUITS ÉLECTRIQUES