Chapitre 4. Indices simples et synthétiques [email protected] Indices simples Indices synthétiques Exemple introductif et problématique On considère une série statistique faisant intervenir divers prix ou diverses quantités sur plusieurs périodes. Par exemple : I phone 5 (par unité) I pad air (par unité) octobre 419 500 novembre 426 428 décembre 385 415 Table: Evolutions des prix (en euros et en France) des I phones et I pads d’octobre à décembre 2015 Deux questions se posent : 1 Comment peut-on comparer l’évolution des prix ou des quantités évoluant au cours du temps ? 2 Comment peut-on résumer la série en une seule grandeur synthétique ? 2 / 25 Indices simples Indices synthétiques Sommaire 1 Indices simples Présentation des indices simples Propriétés 2 Indices synthétiques Présentation des indices synthétiques Indices de Laspeyres, Paasche et Fisher Propriétés 3 / 25 Indices simples Indices synthétiques Présentation des indices simples Indice simple : définition et exemple Définition Désignons par V une grandeur numérique évoluant au cours du temps et par t un instant. On appelle indice simple (ou indice élémentaire) de V à l’instant t en base 100 par rapport à l’instant t0 le nombre positif défini par : Vt V × 100, It|t0 = It|t = 0 Vt0 où Vt0 est la valeur au temps t0 et Vt la valeur au temps t. Exemple : on considère l’évolution des prix des I phones (exemple introductif). Ici V = P désigne le prix. Les indices simples en novembre par rapport à octobre et décembre par rapport à novembre sont : P Inov |oct = 426 385 P × 100 = 101.7 et Idéc|nov × 100 = 90.4. = 419 426 4 / 25 Indices simples Indices synthétiques Présentation des indices simples Interprétation de l’indice simple Remarque Soit V une grandeur numérique et It|t0 l’indice simple de V à l’instant t par rapport à l’instant t0 . Posons ∆Vt|t0 = It|t0 − 100. I Si ∆Vt|t0 ≥ 0, la grandeur a augmenté de ∆Vt|t0 % entre t0 et t. I Si ∆Vt|t0 < 0, la grandeur a diminué de |∆Vt|t0 |% entre t0 et t. Exemple : Reprenons l’exemple des I phones. I On a ∆Pnov |oct = +1.7 : donc le prix (moyen) d’un I phone a augmenté de 1.7% entre octobre et novembre. I On a ∆Pdéc|nov = −9.6 : donc le prix (moyen) d’un I phone a diminué de 9.6% entre novembre et décembre. 5 / 25 Indices simples Indices synthétiques Propriétés Circularité Proposition Soit V une grandeur numérique ayant pour valeurs Vt0 , Vt et Vt 0 aux instants t0 , t et t 0 . Alors V × ItV0 |t0 = ItV0 |t × It|t 0 I I 1 . 100 On dit que l’indice simple vérifie la propriété de circularité. L’intérêt d’une telle formule est qu’on peut connaître l’évolution de t0 à t 0 en connaissant seulement les évolutions de t0 à t et de t à t 0 (sans nécessairement connaître les valeurs Vt0 , Vt et Vt 0 ). Exemple : on a vu que le prix des I phones a augmenté de 1.7% entre octobre et novembre et diminué de 9.6% entre novembre et décembre. P I On a donc I P nov |oct = 101.7 et Idéc|nov = 90.4. 1 I On en déduit que I P déc|oct = 101.7 × 90.4 × 100 = 91.9 et donc que ∆Pdéc|oct = −8.1. 6 / 25 Indices simples Indices synthétiques Propriétés Réversibilité Proposition Soit V une grandeur numérique ayant pour valeurs Vt0 et Vt aux instants t0 et t. Alors 1 ItV0 |t = V × 1002 . It|t0 I I On dit que l’indice simple est réversible. L’intérêt de cette formule est qu’il suffit de connaître l’évolution de t0 à t pour connaître celle de t à t0 (sans nécessairement connaître les valeurs Vt0 et Vt ). Exemple : on a vu que le prix d’un I phone a diminué de 8.1% entre octobre et décembre. I On a donc Idéc|oct = 91.9. I On en déduit que l’évolution de décembre à octobre est donnée par 1 Ioct|déc = 91.9 × 1002 = 108.8 et donc que ∆Poct|déc = 8.8. 7 / 25 Indices simples Indices synthétiques Propriétés Produit et rapport de grandeurs Proposition Soit V une grandeur numérique telle que, à tout instant : 1 V est égale au produit de grandeurs b et c, i.e. V = a × b. Alors V a b It|t = It|t × It|t × 0 0 0 2 1 . 100 V est égale au rapport de grandeurs b et c, i.e. V = a/b. Alors V It|t = 0 a It|t 0 b It|t 0 × 100. 8 / 25 Indices simples Indices synthétiques Propriétés Exemple de produit de grandeurs Exemple : une entreprise vend 130 I phones à 419 euros (par pièce) en octobre et 220 I phones à 385 euros (par pièce) en décembre. Ici, V = R est la recette, a = P est le prix et b = Q est la quantité. I P On a donc Idéc|oct = Q Idéc|oct I = 220 130 385 419 × 100 = 91.9 et × 100 = 169.2. On en déduit que l’évolution des recettes de octobre à décembre est 1 R = 155.5 et donc que donnée par Idéc|oct = 91.9 × 169.2 × 100 R ∆déc|oct = 55.5. Remarque : pour les trois propriétés énoncées ci-dessus (circularité, réversibilité et produit/rapport de grandeurs), on remarque que les pourcentages ∆Vt|t0 des augmentations/diminutions ne s’additionnent pas. 9 / 25 Indices simples 1 Indices simples 2 Indices synthétiques Présentation des indices synthétiques Indices de Laspeyres, Paasche et Fisher Propriétés Indices synthétiques 10 / 25 Indices simples Indices synthétiques Présentation des indices synthétiques Motivation I En pratique, les données que l’on considère sont des paniers c’est-à-dire des ensembles de grandeurs numériques caractérisés par leurs indices simples. Dans l’exemple introductif, les grandeurs numériques sont les prix des I phones et I pads. Au restaurant, le prix d’un plat dépend de plusieurs grandeurs telles que les prix et les quantités de diverses matières premières (par ex : sel, blé, viande). Au cinéma, le nombre d’entrées dépend du nombre de films et du nombre moyen d’entrées par film. Plus généralement, une production économique est composée de plusieurs biens. I Une question naturelle est la suivante : comment peut-on résumer la série en une seule grandeur synthétique c’est-à-dire une grandeur composite qui résume un ensemble d’indices simples ? 11 / 25 Indices simples Indices synthétiques Présentation des indices synthétiques Notations Considérons un ensemble de k produits. Pour tout 1 ≤ i ≤ k, on note : I Pt;i , le prix du i-ième produit à l’instant t ; I Qt;i , la quantité de i-ième produit. Définition On appelle : I valeur globale du i-ième produit à l’instant t le nombre Vt;i = Pt;i × Qt;i ; I valeurP globale de l’ensemble des produits à l’instant t le nombre k Vt = i=1 Vt;i ; I indice global de l’instant t par rapport à l’instant t0 le nombre V It|t = VVtt × 100. 0 0 12 / 25 Indices simples Indices synthétiques Présentation des indices synthétiques Exemple d’indice global et problématique Exemple : l’entreprise Apple vend à une sous-population (non précisée ici), en octobre et décembre 2015, les produits suivants : Produit I phones 5 I pads Prix 419 500 octobre Quantités 25 17 décembre Prix Quantités 385 21 415 18 L’évolution de la recette d’Apple pour cette sous-population est donnée par : 385 × 21 + 415 × 18 V Idéc|oct = × 100 = 82.0. 419 × 25 + 500 × 17 En particulier, les recettes ont diminué de 18%. Question : cette diminution est-elle davantage due à la baisse des prix ou à la baisse du nombres de produits vendus ? 13 / 25 Indices simples Indices synthétiques Présentation des indices synthétiques Principe des indices synthétiques I Pour pouvoir déterminer l’influence des prix et des quantités sur les recettes, il convient de fournir d’autres types d’indices permettant d’isoler soit les prix soit les quantités. I Les indices que nous allons considérer sont au nombre de trois (Laspeyres, Paasche et Fisher). I On dit que ces trois indices indices sont synthétiques au sens où ils permettent de mesurer l’évolution d’un ensemble de produits ou de données. I Pour chacun de ces trois indices, nous considérerons deux sous-cas : celui où les quantités sont fixées et celui où les prix sont fixés. 14 / 25 Indices simples Indices synthétiques Indices de Laspeyres, Paasche et Fisher Indice de Laspeyres Définition Considérons un panier de k produits. On appelle indice de Laspeyres des prix et des quantités les nombres réels positifs suivants : Pk Pk Pt;i Qt0 ;i i=1 Pt0 ;i Qt;i × 100 et LQ = × 100. LPt|t0 = Pki=1 Pk t|t0 P Q i=1 t0 ;i t0 ;i i=1 Pt0 ;i Qt0 ;i I I Pour l’indice des prix, ce sont les quantités qui sont fixées et pour l’indice des quantités, ce sont les prix qui sont fixés. Les termes fixés sont fixés à l’instant t0 . Exemple : reprenons l’exemple des ventes d’I phones et I pads. On a : 385 × 25 + 415 × 17 × 100 = 87.9; 419 × 25 + 500 × 17 419 × 21 + 500 × 18 = × 100 = 93.8. 419 × 25 + 500 × 17 LPdéc|oct = LQ déc|oct 15 / 25 Indices simples Indices synthétiques Indices de Laspeyres, Paasche et Fisher Indice de Paasche Définition Considérons un panier de k produits. On appelle indice de Paasche des prix et des quantités les nombres réels positifs suivants : Pk Pk Q P i=1 Pt;i Qt;i i=1 Pt;i Qt;i × 100 et P = × 100. Pt|t = Pk Pk t|t0 0 P Q i=1 t0 ;i t;i i=1 Pt;i Qt0 ;i I I Pour l’indice des prix, ce sont les quantités qui sont fixées et pour l’indice des quantités, ce sont les prix qui sont fixés. Les termes fixés sont fixés à l’instant t. Exemple : reprenons l’exemple des ventes d’I phones et I pads. On a : 385 × 21 + 415 × 18 × 100 = 87.4; 419 × 21 + 500 × 18 385 × 21 + 415 × 18 = × 100 = 93.3. 385 × 25 + 415 × 17 P Pdéc|oct = Q Pdéc|oct 16 / 25 Indices simples Indices synthétiques Indices de Laspeyres, Paasche et Fisher Expressions sous forme de moyennes des indices de Laspeyres et de Paasche Considérons un panier constitué de k produits. I Les indices de Laspeyres et de Paasche pour le prix peuvent s’écrire respectivement comme des moyennes arithmétique ou harmonique pondérés des indices simples des prix. Plus précisément, on a : Pk LPt|t0 I = P i=1 Vt;i It|t0 ;i Pk i=1 Vt0 ;i et P Pt|t 0 Pk Vt;i −1 . P × It|t 0 ;i i=1 = Pk i=1 Vt;i On obtient des expressions analogues pour les indices des quantités. 17 / 25 Indices simples Indices synthétiques Indices de Laspeyres, Paasche et Fisher Comparaison des indices de Laspeyres et de Paasche I Chacun des deux indices présente un avantage et un inconvénient par rapport à l’autre : l’indice de Laspeyres a l’avantage d’être plus économe que celui de Paasche car seuls les poids à la date de référence sont demandés ; l’indice de Laspeyres a l’inconvénient d’être moins représentatif dans le temps que celui de Paasche car les poids à la date de référence deviennent obsolètes. I A pondérations égales, l’indice de Laspeyres a tendance à sur-estimer (en tant que moyenne arithmétique) et celui de Paasche a tendance à sous-estimer (en tant que moyenne harmonique). I Pour remédier au fait que chacun des deux indices présente un avantage/inconvénient par rapport et l’autre et au fait que les indices ont des tendances opposées, on introduit un troisième indice (plus précis mais plus compliqué) qui s’écrit comme une combinaison des deux autres. 18 / 25 Indices simples Indices synthétiques Indices de Laspeyres, Paasche et Fisher Indice de Fisher Définition Considérons un panier de k produits. On appelle indice de Fisher des prix et des quantités les nombres réels positifs suivants : q q Q P P × P P et F Q = Ft|t L LQ = t|t0 t|t0 t|t0 t|t0 × Pt|t0 . 0 I I Pour l’indice des prix, ce sont les quantités qui sont fixées et pour l’indice des quantités, ce sont les prix qui sont fixés. L’indice de Fisher est la moyenne géométrique des indices de Laspeyres et de Paasche. Exemple : reprenons l’exemple des ventes d’I phones et I pads. On a : √ P Fdéc|oct = 87.9 × 87.4 = 87.6; √ Q Fdéc|oct = 93.8 × 93.3 = 93.5. 19 / 25 Indices simples Indices synthétiques Indices de Laspeyres, Paasche et Fisher Utilisations des indices synthétiques I Les indices synthétiques sont utilisés pour réguler ou encadrer diverses grandeurs économiques. Citons, par exemple : l’indice l’indice l’indice l’indice des prix à la consommation ; de la production industrielle ; du commerce extérieur ; des salaires. I La plupart des gouvernements européens préfèrent l’indice de Laspeyres en raison de la simplicité de son utilisation et de sa stabilité. I A contrario, l’agence du gouvernement fédéral canadien (StatCan) utilise depuis 2001 l’indice de Fisher au lieu de celui de Laspeyres pour calculer l’estimation du PIB réel en termes de dépenses. 20 / 25 Indices simples Indices synthétiques Propriétés Relations entre les indices Proposition Considérons un panier de k produits. Alors 1 100 1 P = Pt|t × LQ t|t0 × 100 0 1 Q P = Ft|t × Ft|t × . 0 0 100 Q V It|t = LPt|t0 × Pt|t × 0 0 Remarque : considérons le cas particulier où il n’y a que k = 1 produit. I Q Q Q P P P D’une part, It|t = LPt|t0 = Pt|t = Ft|t et It|t = LQ t|t0 = Pt|t0 = Ft|t0 . 0 0 0 0 I Q V P D’autre part, It|t = It|t × It|t × 0 0 0 I En particulier, on retrouve bien la proposition dans le cas où k = 1. 1 100 . 21 / 25 Indices simples Indices synthétiques Propriétés Exemple de relations entre les indices Exemple : reprenons l’exemple des I phones et I pads. I On a obtenu les résultats suivants : V Idéc|oct 82.0 I LPdéc|oct 87.9 P Pdéc|oct 87.4 P Fdéc|oct 87.6 LQ déc|oct 93.8 Q Pdéc|oct 93.3 Q Fdéc|oct 93.5 En particulier, on retrouve bien que : 1 100 1 = 87.4 × 93.8 × 100 1 = 87.6 × 93.5 × 100 82.0 = 87.9 × 93.3 × 22 / 25 Indices simples Indices synthétiques Propriétés Réversibilité Proposition Considérons un panier constitué de k produits et désignons le prix ou la quantité par un •. Alors 1 2 V l’indice global est réversible c’est-à-dire It|t = 0 1 ItV |t × 1002 ; 0 • l’indice de Fisher est réversible c’est-à-dire Ft|t = 0 1 Ft• |t × 1002 . 0 Remarques : I les indices de Laspeyres et de Paasche ne sont pas réversibles ; I en revanche, on a la relation suivante : L•t|t0 = 1 Pt• |t × 1002 . 0 23 / 25 Indices simples Indices synthétiques Propriétés Circularité Proposition V Considérons un panier constitué de k produits. Alors, l’indice global It|t 0 V V V vérifie la propriété de circularité c’est-à-dire It 0 |t0 = It 0 |t × It|t0 pour tous instants t0 , t et t 0 . Remarques : I les indices de Laspeyres, de Paasche et de Fisher ne vérifient pas la propriété de circularité ; I pour y remédier, on peut considérer d’autres types d’indices (plus compliqués), construits à partir des indices précédents et vérifiant, cette fois-ci, la propriété de circularité. 24 / 25 Indices simples Indices synthétiques Propriétés L’essentiel I Calculer l’indice simple d’une valeur numérique. I Calculer les indices synthétiques de Laspeyres, Paasche et Fisher : directement, à partir des données sur les prix et les quantités ; en utilisant les relations entre les indices synthétiques. 25 / 25