Démonstration

LES SIMILITUDES PLANES
L’idée de figures semblables est très ancienne et les critères qui permettent de reconnaître
que des triangles, par exemple, sont semblables constituent l’un des outils essentiels de la
géométrie grecque.
Le terme « similitude » vient de deux mots grecs : « homo » qui signifie semblable, et
« thesis » qui signifie position.
On s’est récemment intéressé à l’étude d’objets géométriques qui ont la propriété de pouvoir
être décomposés en parties de telle façon que chaque partie soit une image réduite du tout.
Cette étude, initiée par Mandelbrot, a conduit au concept de « self similarité » (1975) et au
développement d’une nouvelle branche des mathématiques : la géométrie fractale. Celle-ci
a déjà de nombreuses applications en physique et en informatique pour la création d’images
virtuelles et la compression des images numériques.
On se place dans un plan P.
Une transformation f du plan P est une bijection du plan P sur lui-même c’est-à-dire que,
pour tout point N du plan, il existe un unique point M tel que f(M) = N (N est appelé
l’antécédent de M par f).
Conséquence : Deux points distincts ont des images distinctes car, T désignant une
transformation du plan et A et B deux points distincts du plan, d’images respectives A’ et B’
par T, si A’ = B’, A’ (de même B’) admettrait deux antécédents distincts A et B ce qui
contredit le fait que T est une transformation.
Remarque : une projection orthogonale p sur une droite D du plan P, n’est pas une
transformation du plan car tout point de D admet une infinité d’antécédents par p et tout
point du plan non situé sur D n’admet aucun antécédent )par p.
I. Similitudes : généralités
A. Définition : On appelle similitude du plan toute transformation du plan qui conserve
les rapports de distances.
Ceci signifie qu’une transformation f du plan est une similitude si, et seulement si, quels que
soient les points M, N, Q, R, avec Q  R, d’images respectives M’, N’, Q’, R’ par f
MN M' N'
.

QR Q' R'
B. Théorème : Soit f une transformation du plan.
f est une similitude si, et seulement si, il existe un réel k strictement
positif tel que, pour tout bipoint (M, N) d’image (M’, N’) par f,
M’N’ = kMN.
Démonstration
 Soit f une similitude du plan et A et B deux points distincts du plan, d’images respectives
A’ et B’ par f. Quels que soient les points distincts M et N d’images respectives M’ et N’ par
A' B'
M 'N'
A' B'
MN
M'N'
f, on sait que :
ce qui équivaut à
. En posant

 k , il

AB
MN
AB
AB
A'B'
résulte que M’N’ = kMN. Cette égalité est encore vraie lorsque M = N car alors M’ = N’.
En conclusion, si f est une similitude du plan il existe un réel strictement positif k tel que,
pour tout bipoint (M, N) d’image (M’, N’) par f, M’N’ = kMN.
 Réciproquement, soit f une transformation du plan et k un réel strictement positif tel que f
multiplie les distances par k. Alors, quels que soient les points M, N, Q, R, avec M  N et
Q  R, d’images respectives M’, N’, Q’, R’, on a les relations :
M ' N ' Q' R '
MN M ' N '
M’N’ = kMN et Q’R’ = kQR donc
soit
.


MN
QR
QR Q' R'
Si M = N alors M’ = N’ et donc cette dernière égalité de rapports est encore vraie.
On dit que k est le rapport de la similitude f.
Une similitude de rapport 1 est une isométrie : elle conserve les distances.
Exemples : Les translations, les symétries axiales, les rotations, l’application identité sont
des similitudes de rapport 1, donc des isométries.
Une homothétie de rapport k est une similitude de rapport k.
C. Propriétés : 1. La composée de deux similitudes de rapports respectifs k1 et k2 est une
similitude de rapport k1k2.
2. La bijection réciproque d’une similitude de rapport k est une similitude
1
de rapport .
k
Démonstration
1. Soit s1 et s2 deux similitudes de rapports respectifs k1 et k2.
Tout bipoint (M, N) a pour image le bipoint (M’, N’) par s1 tel que : M’N’ = k1MN.
Le bipoint (M’, N’) a pour image le bipoint (M’’, N’’) par s2 tel que : M’’N’’ = k2M’N’.
Par conséquent, tout bipoint (M, N) a pour image, par la composée s2  s1 un bipoint
(M’’, N’’) tel que : M’’N’’ = k2 k1MN.
On en déduit que s2  s1 est une similitude plane de rapport k2 k1.
2. Soit s une similitude de rapport k, (M, N) un bipoint d’image (M’, N’) par s. La bijection
réciproque de s, notée s –1, est telle qu’au bipoint (M’, N’) elle associe le bipoint (M, N) et
1
M’N’ = kMN  MN = M ' N ' .
k
1
On en déduit que s –1 est une similitude plane de rapport .
k
Remarque : La composition de deux similitudes n’est pas commutative.
Exemple : Dans le plan complexe, h est l’homothétie de centre A d’affixe 1 et r est la
rotation de centre B d’affixe 2 et d’angle

. Donner l’écriture complexe de h  r et de r  h.
2
D. Théorème : Toute similitude envoie tout triangle sur un triangle semblable et elle
conserve les angles.
Rappel : Deux triangles sont dits semblables (ou de même forme) lorsque leurs angles sont
deux à deux de même mesure.
De plus une propriété, vue en classe de seconde, énonce que deux triangles sont semblables
si, et seulement si, leurs côtés sont de longueurs deux à deux proportionnelles.
Démonstration
 Soit ABC un triangle (donc AB, AC et BC sont des longueurs non nulles) et s une
similitude de rapport k. Soit A’, B’, C’ les images respectives de A, B et C par s. Donc A’B’
= kAB, B’C’ = kBC et A’C’ = kAC.
A' B' A' C ' B' C '
L’égalité entre les rapports de longueurs
est immédiate.
,
et
AB AC
BC
Par conséquent A’B’C’ est encore un triangle car A’B’, A’C’ et B’C’ sont des longueurs non
nulles. Les longueurs de ses côtés sont proportionnelles à celles du triangle ABC donc les
triangles ABC et A’B’C’ sont semblables.
 Soit deux triangles semblables ABC et A’B’C’. Ces deux triangles ont donc leurs côtés de
A' B'
longueurs deux à deux proportionnelles. Si on note k le rapport de longueur
par
AB
exemple, et si on note s la similitude de rapport k, alors A’= s(A), B’= s’B) et C’= s(C).
II. Les similitudes directes
A. Définition : Une similitude est directe est une similitude qui conserve les angles
orientés, c’est-à-dire que, pour tous points A, B, C, D tels que A  B et
C  D, d’images respectives A’, B’, C’ et D’ par une similitude directe,
AB , CD  A' B' , C' D'  2k où k   .

 

Exemples : L’application identité, les translations, les homothéties, les rotations sont des
similitudes directes.
B. Propriétés : 1) La composée de deux similitudes directes est une similitude directe.
2) La réciproque d’une similitude directe est une similitude directe.
La démonstration de ces deux propriétés est immédiate.
Exemples : Réciproques de la translation t de vecteur u , de l’homothétie h de centre  et de
rapport k, k  0, de la rotation r de centre  et d’angle de mesure  dans le plan orienté, de
r h ?
C. Définition : Deux triangle semblables sont directement semblables lorsque les angles
orientés correspondants sont égaux deux à deux.
Propriété : Une similitude directe transforme un triangle en un triangle directement
semblable.
Démonstration
On déjà démontré dans le paragraphe précédent que toute similitude « envoie » un triangle
sur un triangle semblable. De plus une similitude directe conserve les angles orientés. Donc
l’image d’un triangle ABC est un triangle qui lui est directement semblable.
D. Forme complexe des similitudes directes
Théorème :  a et b sont deux nombres complexes avec a  0.
Si une transformation S du plan complexe a pour écriture complexe
z’ = az + b, alors S est une similitude directe.
 Toute similitude directe du plan complexe a une écriture complexe de la
forme z’ = az + b où a et b sont des nombres complexes avec a  0.
Démonstration
 Les points M, N, P, Q ont pour affixes respectives z, z1, z2 et z3. Soit M’, N’, P’ et Q’ leurs
images respectives par une transformation S, d’affixes respectives z’, z’1, z’2 et z’3 telles que
z’1 = az + b, z’1 = a z1 + b, z’2 = a z2 + b et z’3 = a z3 + b.
Alors M’N’ =  z’1 – z’ = ( a z1 + b ) – (az + b ) =a z1 - z = aMN donc S est
une similitude de rapport a.
Si M  N et P  Q alors
z '  z '2
M ' N ' , P' Q'  arg 3
 2k
z '1  z '


 arg

z3  z 2
 2k où k  
z1  z

 MN , PQ  2k
Donc S conserve les angles orientés : c’est une similitude directe.
 O est l’origine du repère d’affixe 0, I est le point d’affixe 1 et M est un point d’affixe z
distinct de O. Soit O’, I’ et M’ leurs images respectives par une similitude directe S, p’, q’ et
z’ leurs affixes respectives. S étant une similitude directe,
O' M ' OM
z '  p'

donc
z
O' I '
OI
q'  p'

 

 z '  p' 
  arg z  2k
et O' I ' , O' M '  OI , OM  2k donc arg
 q'  p' 
où k  
On en déduit que z’ – p’ = (q’ – p’)z soit z’ = (q’ – p’)z + p’ de la forme z’ = az + b,
avec a = q’ – p’ donc a  0, car O  I entraîne O’  I’. Et b = p’.
E. Angle et centre
Théorème :  Soit S une similitude directe, d’écriture complexe z  az + b, a  0.
L’angle AB , A' B' où A, B sont deux points distincts du plan ayant pour
images respectives A’ et B’ par S, ne dépend pas des points distincts A et B
Il est égal à arg a.
Cet angle, qui ne dépend que de S, est appelé angle de la similitude.
 Soit S1 et S2 deux similitudes d’angles respectifs 1 et 2 alors 1 + 2 est
l’angle de S2  S1.
 Une similitude directe qui n’est pas une translation admet un unique point
fixe, qu’on appelle le centre de la similitude.


Démonstration
 Soit z  az + b une écriture complexe de la similitude S. Soit A et B deux points d’affixes
respectives  et , et leurs images A’ = S(A), B’ = S(B) d’affixes repectives ’ et ’. Alors :
’ = a + b et ’ = a + b, donc ’ - ’ = a( - ).
On en déduit que
arg(’ - ’) = arg a + arg( - ) >+2k ou encore AB , A' B'  arg a  2k où k  




On en déduit que l’angle AB , A' B' est indépendant des points A et B.
L’angle de S est égal à arg a, à 2k près.
 Soit z  a1z + b1 l’écriture de S1 et z  a2z + b2 celle de S2 donc arg a1 est une mesure de
l’angle de S1 et arg a2 une mesure de l’angle de S2 . Alors S2  S1 a pour écriture complexe :
z  a2(a1z + b1 ) + b2 soit z  a2a1z + a2b1 + b2 .
Donc une mesure de l’angle de S2  S1 est donnée par arg a2a1 encore égale à la somme
arg a1 + arg a2, d’où le résultat.
 Soit S une similitude directe d’écriture complexe z  az + b, S n’étant pas une translation
a est un nombre complexe non nul et différent de 1. Un point M du plan, d’affixe z, est
invariant par s si, et seulement si,
S(M) = M  z = az + b
 z(1 – a) = b
b
z=
.
1 a
Donc S admet un seul point fixe appelé le centre de la similitude.
Propriété : Soit  le centre d’une similitude directe S.
Soit A et B deux points quelconques du plan tels que , A et B ne soient pas
alignés. Soit A’ et B’ les images respectives de A et B par S.
Alors les triangles AA’ et BB’ sont directement semblables.
Démonstration
On note , p et q les affixes respectives de , A et B, p’ et q’ celles de A’ et B’, images de A
et B par la similitude directe S. Donc :
 = a + b, p’ = ap + b et q’ = aq + b,
z  az + b désignant l’écriture complexe de la similitude S. Alors
p  p' ( p   )  ( p'   )
p'  p ( p'   )  ( p   )


  p'
a (  p )
p
p
( p   )  a( p   )
a( p   )  ( p   )


a(  p)
p
(a  1)(  p)
(a  1)( p   )


a (  p)
p
a 1

 1 a
a
On en déduit que :
A'  , A' A   arg a a 1  2k et A , AA'   arg (1  a)  2k
A , A'  arg a  2k où k  .
De même, on trouve :
B'  , B' B   arg a a 1  2k et B , BB'   arg (1  a)  2k
B , B'  arg a  2k .
Ainsi les triangles OAA’ et OBB’ ayant leurs angles orientés correspondants égaux, sont
directement semblables.
F. Description géométrique complète d’une similitude directe
Théorème : Soit S une similitude directe de rapport k et d’angle .
Deux cas sont alors possibles :
 S est une translation (k = 1 et  = 0 + 2k où k  
 si S n’est pas une translation, elle possède un unique point fixe  et est la
composée h  r de l’homothétie h de centre  et de rapport k et de la
rotation r de centre  et d’angle .
De plus, h  r = r  h.
Démonstration
Soit S une similitude directe de rapport k et d’angle de mesure , et z  az + b une écriture
complexe de S.
 Si a = 1, S est une translation de vecteur w d’affixe b et, dans ce cas, 1 = a = k et
 = arg a + 2k   = 0 + 2k où k  .
b
.
1 a
Soit M un point quelconque d’affixe z et son image M’ = S(M) d’affixe z’ = az + b. Alors,
z’ -  = a(z - ) = kei où k = a est le rapport de la similitude et  = arg a + 2k est une
mesure de l’angle de la similitude.
 Soit h l’homothétie de centre  et de rapport k et r la rotation de centre  et d’angle de
mesure . Alors, une écriture complexe de h est z’ -  = k(z - ) et une écriture complexe de
r est z’ -  = ei (z - ). L’écriture complexe de h  r donne alors z’ -  = kei (z - )
autrement dit S = h  r.
 Toujours grâce aux écritures complexes on démontre que h  r = r  h.
 Si a  1, S admet un unique point fixe  d’affixe  
Remarque : , k et  sont appelés les éléments géométriques caractéristiques de la
similitude directe S.
G. Similitude directe et couples de points
Théorème : Soit A, B, A’ et B’ quatre points du plan tels que A  B et A’  B’.
Alors il existe une unique similitude directe S transformant A en A’ et B en
B’.
Démonstration
Elle se fait en démontrant l’existence et l’unicité d’un couple (a, b) de nombres complexes, a
étant non nul, tel que z’ = az + b, cette égalité caractérisant la similitude directe S.
En effet, soit p et q les affixes respectives des points A et B, p’ et q’ celles des points A’ et B’.
Il s’agit donc de prouver l’existence et l’unicité du couple (a, b) tel que :
 p'  ap  b  a( p  q )  p'  q '
q'  aq  b
b  p '  ap


p'  q'

a


pq

p'  q'
b  p '  a 

pq
Comme A  B, p  q donc p – q  0. Donc a existe et il est unique. Comme A’  B’, p’  q’
donc p’ – q’  0. Donc a est non nul. Le nombre complexe b est ensuite entièrement
déterminé et cela de manière unique.
Corollaire : Soit ABC et A’B’C’ deux triangles directement semblables avec
AB , AC  A' B' , A' C' [2 ] .
Alors il existe une unique similitude directe S telle que S(A) = A’, S(B) = B’
et S(C) = C’.

Démonstration
 

Le point C’ est déterminé de manière unique à partir des relations :
A' C ' A' B'

et A' B' , A' C '  AB , AC [2 ] .
AC
AB
z  z A'
On en déduit que : zC '  z A'  B '
zC  z A  . Donc C’ est l’image de C par la similitude
zB  z A
directe qui transforme A en A’ et B en B’ dont l’écriture complexe est z’ = az + b où :
z  z A'
z  z A'
a = B'
et b = z A'  B '
zA.
zB  z A
zB  z A
On reconnaît en effet l’écriture complexe de la similitude directe unique transformant A en
A’ et B en B’.

 

H. Déplacements
Définition : Un déplacement est une similitude directe de rapport 1 c’est-à-dire une
isométrie qui conserve les angles orientés.
Propriété : Tout déplacement est soit une translation soit une rotation.
Démonstration
Soit S une similitude directe de rapport 1. D’après le théorème du paragraphe F. S est soit
une translation, soit la composée commutative d’une homothétie et d’une rotation. Or, une
homothétie de rapport 1 est l’application identité, donc dans ce cas la similitude est réduite
à une rotation. D’où la propriété.
Corollaire : Tout déplacement d admet une écriture complexe z  az + b avec a = 1.
 Si a = 1, d est une translation,
 si a  1, d est une rotation d’angle de mesure arg a.
Démonstration
D’après le théorème du paragraphe F. S a pour écriture complexe z  az + b avec a =
1, S étant une translation si a = 1 et une rotation d’angle de mesure arg a si a  1.
III. Etude générale des similitudes planes
A. Caractérisation à l’aide des points fixes
Théorème :  Une similitude qui admet trois points fixes non alignés est l’identité.
 Une similitude qui admet deux points fixes distincts A et B est
l’application identité ou la symétrie axiale d’axe (AB).
Démonstration
 Si S est une similitude qui admet trois points fixes non alignés A, B et C alors S est une
similitude de rapport 1 donc une isométrie.
Si S n’est pas l’application identité, il existe au moins un point M du plan distinct de son
image M’ par S. Comme S est une isométrie : AM = AM’, BM = BM’ et CM = CM’. Ainsi
les trois points A, B et C doivent tous les trois appartenir à la médiatrice du segment [MM’]
ce qui contredit le fait qu’ils ne sont pas alignés par hypothèse.
Donc S est l’application identité.
AB
 Soit S une similitude fixant deux points distincts A et B. Donc S est de rapport
= 1. S
AB
est donc une isométrie. Soit C un point du plan n’appartenant pas à (AB) et C’ = S(C).
Si C’ = C alors S fixe trois points non alignés donc, d’après la démonstration précédente, S
est l’application identité.
Si C’  C alors AC = AC’ et BC = BC’ donc la droite (AB) est la médiatrice de (CC’).
On désigne alors par  la symétrie axiale d’axe (AB).
S   est une similitude fixant les trois points non alignés A, B et C. On en déduit que S   est
l’application identité et donc que S = .
B. Forme géométrique des similitudes indirectes
Définition : Une similitude indirecte est une similitude qui transforme tout angle orienté
en son opposé.
Théorème : Toute similitude indirecte S peut s’écrire sous la forme s   où  est une
symétrie axiale et s une similitude directe.
Démonstration
Soit S une similitude non directe, A et B deux points distincts du plan d’images respectives
A’ et B’ par S. Donc il existe une unique similitude directe s telle que s(A) = A’ et s(B) = B’.
Alors l’application composée s  1  S est encore une similitude. Comme S est une similitude
indirecte et s une similitude directe, s  1  S est une similitude indirecte.
De plus, s  1  S (A) = A et s  1  S (B) = B . Ainsi s  1  S est une similitude qui admet deux
points fixes distincts A et B. Comme s  1  S n’est pas une similitude directe, s  1  S ne peut
être l’identité. Donc c’est une symétrie axiale d’axe (AB).
On note  cette symétrie axiale. Alors S = s   d’où le résultat.
Corollaire : Toute similitude du plan est soit directe soit indirecte.
C. Forme complexe des similitudes
Théorème : Toute similitude du plan complexe est définie par z  az + b ou z  a z + b
où a est un nombre complexe non nul et b un nombre complexe quelconque.
Démonstration
Soit S une similitude.
 Si S est une similitude directe alors, d’après le théorème du paragraphe D. l’écriture
complexe de S est z  az + b où a est un nombre complexe non nul et b un nombre
complexe quelconque. Et réciproquement, z  az + b où a est un nombre complexe non nul
et b un nombre complexe quelconque est l’écriture complexe d’une similitude directe.
 Si S est une similitude indirecte, on considère les points O et A d’affixes respectives 0 et 1.
D’après le théorème précédent, S = s   où s est une similitude directe et  la symétrie
axiale d’axe (OA). L’axe (OA) étant l’axe réel dans le plan complexe, la symétrie axiale  a
pour écriture complexe z  z . Donc S a pour écriture complexe z  a z + b.
Réciproquement, l’écriture complexe z  a z + b est celle de la composée s   où  a pour
écriture complexe z  z et s a pour écriture complexe z  az + b, donc il s’agit d’une
similitude directe et  est la symétrie axiale d’axe l’axe réel. On en déduit que z  a z + b
est l’écriture complexe d’une similitude indirecte.
Corollaire : Soit  un nombre réel. La similitude d’écriture complexe z  ei z est une
symétrie axiale d’axe passant par l’origine O du repère.
Démonstration
D’après le théorème qui précède, l’écriture z  ei z est celle d’une similitude indirecte S.
i
2
Les points O, origine du repère et A d’affixe e sont des points fixes de S. Comme S ne peut
être l’application identité car il s’agit d’une similitude indirecte, d’après le théorème du
paragraphe A. S est la symétrie axiale d’axe (OA).
D. Effet des similitudes sur certaines configurations
Théorème : Toute similitude S conserve l’orthogonalité, le parallélisme et les
barycentres.
Toute similitude transforme une droite en une droite, un segment de droite en
un segment de droite, un cercle de centre  et de rayon r en le cercle de
centre S() et de rayon kr, k désignant le rapport de S.
S multiplie les distances par k (k > 0) et les aires par k2.