Pendule de Foucault

: Pendule de Foucault.
On considère un pendule simple constitué d'une masselotte A de masse m = 30 kg suspendue à l'extrémité
inférieure d'un filin de longueur l = 67 m. L'autre extrémité est fixée en un point O1 placé à une hauteur égale à l
sur la verticale du lieu de latitude l.
1) Expliquer, à partir de l'équation vectorielle du mouvement, pourquoi un pendule de Foucault
situé à l'équateur ne détecte pas la rotation de la Terre. Dans la suite on se placera en un point
quelconque de la surface de la Terre.
2) Expliciter l'équation du mouvement dans la base du référentiel terrestre locale R = Osiez, Oz
étant la verticale ascendante et Ox l'axe local orienté vers l'est. On notera la tension du fil sous la forme
T = - TO1A/l.
3) En déduire que les équations différentielles du mouvement dans le plan horizontal s'écrivent, en
négligeant les mouvements verticaux:
~twodot(x) - 2W~onedot(y)cosQ + ~raise(w,2)x = 0
~twodot(y) - 2W~onedot(x)cosQ + ~raise(w,2)y = 0
W étant la vitesse de rotation de la Terre autour de l'axe des pôles, Q la colatitude du lieu et w2
= g/l.
4) Résoudre le système d'équations différentielles précédent par la méthode complexe en posant
~ontop(x,~~) = x + iy, sachant qu'initialement x = xm, y = 0,~onedot(x) = 0 et ~onedot(y) = 0.
5) Quelle est la forme de la solution dans le système d'axes tournant autour de la verticale avec la
vitesse angulaire WcosQ dans le sens nord-est-sud-ouest ? En déduire la durée d'un tour complet de
ce système d'axes tournant.
Application numérique pour l = 0°, l = 43°35' et l = 90 °.
Pendule simple dans différents référentiels.
Un pendule simple est formé d'un fil inextensible, de longueur l, dont une extrémité porte une
masselotte A de masse m et l'autre H est fixée au bâti lié à un référentiel R. Ce référentiel est rapporté
à une origine O et à une base orthonormée directe (i,j,k), k étant vertical ascendant.
Dans le plan vertical du mouvement Oyz, la position A est caractérisée par le paramètre angulaire
Q = ( - k, HA). On note g = - gk avec g le champ de pesanteur terrestre.
A) Pendule simple dans un référentiel terrestre R= R1.
1) Exprimer en fonction de Q et de ses dérivées, l'énergie cinétique de A.
2) Trouver, en fonction de Q, l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur Ep. On prendra
comme origine sa valeur à Q = 0.
3) En déduuire l'équation différentielle du mouvement en Q.
4) Discuter, à partir du graphe Ep(Q), la valeur du mouvement suivant les valeurs de l'énergie
mécanique Em.
5) Etudier le cas des petits mouvements. Quelle est leur période T1? A.N. l=1,0m.
B) Pendule simple dans R2.
Le référentiel R= R2 par rapport auquel on étudie le mouvement du pendule à un mouvement de
translation d'accélération a par rapport à R1.
1) Etablir le bilan des forces qui s'exercent sur A dans R2. En déduire que, dans ce référentiel,
tout se passe comme si l'on pouvait remplacer le champ de pesanteur g par un champ de pesanteur
apparent ga que l'on exprimera en fonction de g et a.
2) Que se passe-t-il pour a = g? Ce cas présente un intérêt en astronautique. Savez-vous lequel
et comment on le réalise dans un avion?
3) L'accélération a est dirigée suivant l'axe horizontal Oy et sa norme est g/2: a = (g/2) j.
Montrer que l'énergie potentielle apparente s'écrit, en adoptant comme origine sa valeur à Q =
0:
~raise(~lower(E,p),a) = C( 1 - cosQ + ~over(1,2)sinQ)
C étant une constante dont on
donnera la dimension physique et que l'on déterminera en fonction de m, g et l.
Trouver, à partir de la fonction Epa(Q), la position d'équilibre stable Qe du pendule.
A.N: calculer Qe.
4) En développant l'énergie potentielle autour de la position d'équilibre stable Q = Qe, établir
l'expression de la période T2 des petites oscillations en fonction de l, g et cosQe.
Ce résultat peut être obtenu rapidement à partir de la norme du champ de pesanteur apparent.
Comment?
A.N: calculer T2.