I.3 Equations de la dynamique des fluides parfaits

Mécanique des fluides
Dynamique des fluides parfaits
17/04/2017
2B
Dynamique des Fluides
Parfaits
I Equations générales de la dynamique des fluides parfaits :................................................. 2
I.1 Equations d’Euler ....................................................................................................... 2
I.2 Autre forme des équations d’Euler ............................................................................. 2
I.3 Equations de la dynamique des fluides parfaits ......................................................... 4
I.4 Conditions aux limites ................................................................................................ 4
II Relation de Bernoulli :........................................................................................................ 6
II.2 Etablissement de l’équation de Bernoulli. ................................................................ 6
II.3 Interprétation énergétique : ....................................................................................... 6
III Application du théorème de Bernoulli .............................................................................. 9
III.1 Vase de Manotte: ..................................................................................................... 9
III.2 Torpille : .................................................................................................................. 9
III.3 Ventilation d’un tunnel : ........................................................................................ 10
III.4 Formule de Torricelli : ........................................................................................... 10
III.5 Pression dans une conduite : .................................................................................. 12
III.6 Pression en un point d'arrêt, tube de Pilot : ........................................................... 13
III.7 Tube de Ventury : .................................................................................................. 13
III.8 Etude simplifiée du réservoir : ............................................................................... 15
III.9 Oscillations dans un tube an U .............................................................................. 15
IV Théorème d'Euler ............................................................................................................ 17
IV.1 Théorème de la quantité de mouvement ................................................................ 17
IV.2 Cas particulier du régime permanent: .................................................................... 18
IV.3 Exemple d’applications ......................................................................................... 19
Ecrit par :
Chaplier Baptiste
De Larocque Antoine
Dedieu guillaume
Macé Amélie
Séguy Frédéric
Travers Nicolas
- Page 1 sur 27 -
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I Equations générales de la dynamique des
fluides parfaits :
Dans ce chapitre, nous nous limiterons aux mouvements
parfaits, c'est-à-dire sans frottement (fluides non visqueux).
Nous étudierons tout particulièrement le cas des fluides
incompressibles.
I.1 Equations d’Euler
Lorsque l’on étudie les forces qui agissent sur un élément
de volume, on distingue :
 les forces de volume
 les forces de pression
 les forces d’inertie proportionnelles à l’accélération 
Ces forces satisfont l’équation :
 F  m
d’où
 
dV
1
 F  grad ( p )
dt

1 p
 x
1 p
y Y 
 y
1 p
z  Z 
 z
x  X 
(1)
I.2 Autre forme des équations d’Euler
Les équations de la dynamique des fluides sont souvent
utilisées sous une autre forme. On considère la trajectoire
d’une particule se déplaçant à une vitesse V, de composantes
u, v, w à l’instant t, ces composantes sont fonction de x, y,
z et t.
u  f1 ( xyzt)
A l’instant t+dt, on a :
V+dV
V
M
- Page 2 sur 27 -
M’
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u  du  f1 ( x  udt , y  vdt, z  wdt, t  dt )
 f1 ( x, y, z, t )  (u
u u u u
v v v v
w w w w
 v w  )dt  (u  v  w  )dt  (u  v  w  )dt
x y z t
x y z t
x y
z t
d’où
d ² x u
u
u
u

u
v
w
dt ² t
x
y
z
d ² y v
v
v
v
y 

u v w
dt ² t
x
y
z
d ² z w
w
w
w
z 

w
w
w
dt ²
t
x
y
z
x 
Les
expressions
de
l’expression vectorielle :
(2)
sont
(2)
les
projections
de
V ² 
V
1
V
  grad    rotV  V 
 F  grad ( p) 
 V grad (V )
 2 

t


t
 
En reliant les égalités (1) et (2), on obtient :
u
u
u
u
1 p
u
v
w
X
t
x
y
z
 x
v
v
v
v
1 p
u v w Y 
t
x
y
z
 y
w
w
w
w
1 p
w
w
w
Z
t
x
y
z
 z
On suppose
potentiel :
que
les
forces
U
x
Y 
X 
de
U
y
volume
Z 
dérivent
d’un
U
z
En général, on se trouve dans le champ de pesanteur, on
a : U=gh
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X Y 0
Z  g
I.3 Equations
parfaits
de
la
h
 g
z
dynamique
des
fluides
I.3.a Condition de continuité
Conservation de la masse :
  cste  div ( V )  0 

 div ( V )  0
t
.div (V )  0  div (V )  0
I.3.b Equation caractéristique du fluide
A chaque fluide peut-être associé une équation de la forme
f ( p,  , T )  0 .
L’équation
suivantes :
se
traduit
en
général
aux
trois
formes
   f (T )
pour un fluide incompressible
    0 (T )1  Kp
pour un fluide légèrement incompressible

p

 rT
pour un gaz parfait
I.3.c Equation complémentaire
 Pour une transformation isotherme :
Si on suppose qu’on a un fluide incompressible, on a :
  cste
p
Si on a un gaz parfait, on a :
 cste

 Pour une transformation adiabatique :
Si on suppose qu’on a un fluide incompressible, on a :
  cste
p
Si on a un gaz parfait, on a :
 cste
k
I.4 Conditions aux limites
L’équation d’Euler associée à l’équation de continuité
forme un système de quatre équations à quatre inconnues. Nous
nous intéressons dans ce paragraphe aux conditions aux limites
qui peuvent être associées à ces équations.
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I.4.a Paroi
Considérons une
u
vitesse
doit
Vv
paroi
être
fixe
d’équation
parallèle
à
la
P(x,y,z)=0.
paroi
et
La
donc
w
perpendiculaire à la normale à la paroi. Cette normale étant
F F F
définie par les composantes
,
,
. D’où la condition aux
x y z
limites s’écrit :
u
F
F
F
v
w
0
x
y
z
Considérons une paroi mobile d’équation P(x,y,z,t)=0 à
l’instant t. La condition aux limites se traduit alors par
l’équation.
F
F
F F
v
w

0
x
y
z t
p
 V p  grad ( p)  0
t
u
ou
I.4.b Surface libre
On appelle surface libre l’interface entre deux fluides.
Le long de cette surface la pression est constante et la
composante normale de la vitesse doit être continue.
p ( x, y , z , t )  0
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II Relation de Bernoulli :
Les hypothèses de calculs sont les suivantes :
 fluide parfait en écoulement permanent : rotationnel ou non
 forces de volume dérivant d’un potentiel U : F gradU
  n’est fonction que de p, ou bien  est constant
II.2 Etablissement
Bernoulli.
de
l’équation
de
Si nous restons le long d’une ligne de courant, confondue
avec la trajectoire, la première des équations, nous donne :
dp
V dV  dU  1
ds
ds  ds
Qu’on peut intégrer sous la forme :
V2
dp
U  cte (1)
2

Le long d’une ligne de courant, l’expression précédent est
donc constante, l’intégrale pouvant se calculer si on connaît
la relation liant  et p.
Entre deux points 1 et 2 de la ligne de courant on peut
écrire :
2 dp
V22 V12
 U 2 U1
0
1 
2 2
Si les forces de volume se réduisent aux seules forces de
gravité, on remplacera U par gh. Si, en outre,  est constant
(fluide incompressible), le calcul de l’intégrale est immédiat
et on trouve soit :
V2
p
 gh cte (2)
2

soit :
p1 V 2
p2
V12
 gh1  2  gh2 
2
 2

Telles sont les diverses expressions de l’équation dite de
Daniel Bernoulli (1738) et dont l’importance est fondamentale
en mécanique des fluides.
II.3 Interprétation énergétique :
Pour un écoulement incompressible, écrivons l’équation (2)
sous la forme :

V2
 p ghcte
2
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ou :

V2 
 p cte
2
V2
est l’énergie cinétique de l’unité de volume du
2
fluide. Alors que p représente l’énergie potentielle de
l’unité de volume de fluide dans le champ de pesanteur et sous
la pression p.
V2
La somme   p correspond donc à l’énergie mécanique
2
totale de l’unité de volume de fluide et l’équation de
Bernoulli traduit la conservation de cette énergie mécanique
totale au cours du mouvement (permanent). Pour un tel
écoulement, le principe de la conservation de l’énergie se
confond avec l’intégrale des équations dynamiques. On doit
donc
pouvoir
retrouver
le
même
résultat
en
étudiant
directement les échanges énergétiques d’une particule avec
l’extérieur.
Considérons en effet, en régime permanent, un filet de
courant infiniment étroit ABCD (voir figure). Les quantités p,
 et V sont constantes dans une même section d’aire S situé à
la hauteur h. pendant le temps dt la masse de fluide contenue
dans ABCD passe en A’B’C’D’, mais l’énergie mécanique contenue
dans la partie commune A’B’CD n’a pas changé. Du point de vue
énergétique tout se passe comme si, pendant le temps dt, la
masse contenue dans ABB’A’ passait directement en DCC’D’.
Nous avons donc à exprimer :

 La conservation de la masse :
S1V1dt S2V2dt dm
 La conservation de l’énergie :
L’augmentation d’énergie cinétique de
égale au travail des forces extérieures.
Ces dernières sont constituées par :
la
masse
dm
est
 le travail des forces de pression
 p1S1V1dt
 p2S2V2dt
 le travail de la pesanteur :
en AB
en CD
(h1h2)gdm
Nous avons donc :
Compte
résulte :
1 dm(V 2 V 2)(p1S1V1 p2S 2V2)dt (h1h2)gdm
2
1
2
tenu de la conservation de la
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masse,
il
en
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1 (V 2 V 2)(p1 p2)g(h1h2)
2 2 1
donc :
p1 V12
p2 V 2
  gh1  2  gh2
 2
 2
Remarque :
V2 
 p représente l’énergie mécanique totale
2
contenue dans l’unité de volume de fluide, c’est donc le
travail mécanique total que la particule est susceptible de
fournir. D’une manière générale l’énergie peut se présenter
sous différents aspects : mécanique, calorifique, électrique,
chimique, etc…, mais en ce qui concerne l’énergie mécanique,
elle se présente ici sous trois formes : énergie de position,
énergie de pression et énergie cinétique. Les deux premières
formes constituant l’énergie potentielle.
L’expression 
Dans le cas d’un fluide pesant incompressible nous avons
pour la masse m de volume  :
 Comme énergie de position (énergie d’altitude) :
mghh
 Comme énergie de pression :
p
p
p    mg


est égale au produit du poids du
p
hauteur
représentative de la pression,

cinétique :
Elle
fluide
par
la
comme
énergie
V2
2
On doit tenir compte des énergies cinétiques de rotation
et de translation. Si cette dernière existe seule, on peut
l’écrire sous la forme :
dm
V2
2  1 mV 2 mg
dmV

2
2g
où V représente la vitesse du centre de gravité de la
particule.
Dans le cas d’un fluide
pression serait égale à :
m
dp

mg
compressible,
dp

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l’énergie
de
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III Application du théorème de Bernoulli
Afin d'appliquer le théorème de Bernoulli (à un écoulement
permanant incompressible), il est nécessaire d'avoir des
informations sur la forme de l’écoulement.
III.1
Vase de Manotte:
III.1.a Présentation :
Z=h
O
M
T
M
L
A
V(t)
0
III.1.b Calcul de V(t) :
Bernoulli :
Po + ρgho + (1/2).ρ.Vo2 = Pa + ρgha + (1/2).ρ.Va2
V = Va = (2.g.(L+0,5))1/2
On note que la vitesse du fluide est constante et ne
dépens que de la distance L et de la distance T. Ce-ci est
vrais tan que M est supérieur à 0.
III.2 Torpille :
III.2.a Présentation :
H
V
A
P
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III.2.b Problématique et résolution :
Recherche de la pression au nez de la torpille.
PA + ρghA + (1/2).ρ.VA2 = PP + ρghP + (1/2).ρ.VP2
Pour résoudre le problème, on considère la torpille à
l’arrêt et l’eau défilant à la vitesse V.
On note que le point P est un point d’arrêt, ce qui
signifie que la vitesse y est nulle.
On a donc :
PP = ρgH + (1/2).ρ.VA2 + Pat
III.3 Ventilation d’un tunnel :
III.3.a Présentation :
σ
V
α
A
Σ
V1
1
2
V2
B
III.3.b Problématique et résolution :
Calculer la différence de pression entre les sections 1 et
2 en fonction de ρ et de V1.
Bernoulli :
VB.Σ = V2.Σ et PB + ρghB + (1/2).ρ.VB2 = P2 + ρgh2 + (1/2).ρ.V22
On a donc : VB = V2 et P2 = PB = Pat
P1 + ρgh1 + (1/2).ρ.V12 = P2 + ρgh2 + (1/2).ρ.V22
P1 - P2 = (1/2).ρ.V12
III.4 Formule de Torricelli :
III.4.a Ecoulement au travers d'un orifice non
noyé
Un orifice non noyé est un orifice par lequel un fluide
sort d'un récipient à l'air libre. Ainsi, la pression est à la
sortie de l'orifice est la pression atmosphérique.
Considérons
un
réservoir
contenant
un
liquide
incompressible; celui-ci sort du réservoir par un petit
- Page 10 sur 27 -
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orifice, non noyé. On observe, à la sortie de l’orifice, que
le jet présente une section contractée S'=αS plus faible que
la section S de l’orifice, où les lignes de courants sont
parallèles et pratiquement rectilignes. Pendant un instant Δt
court, on peut négliger la variation de niveau de la surface
libre. On peut donc affirmer que l'écoulement pendant cet
intervalle est permanent.
On applique Bernoulli entre un point A
de la surface libre et un point B dans la
partie rectiligne du jet à la sortie de
l’orifice, afin de connaître la vitesse
dans ce jet :
PA + w.ZA + ρ.VA2/2 = PB + w.ZB + ρ.VB2/2
Or PA = PB = Pa et VA = 0
On en déduit donc :
VB = (2gh) 1/2 (Formule de Torricelli)
où h= ZA - ZB
Où h est la hauteur d'eau entre la surface libre et
l’orifice. Dans la réalité, la vitesse dans ce jet V' est
inférieure à celle calculée ci-dessus à cause des frottements
inévitables.
V' = βVB avec P ≤ 1
Β : coefficient de ralentissement de vitesse
 Calcul du débit:
Si on appelle S la section de l’orifice, le théorème de
Torricelli nous donne directement
qV.= VB.S
En fait, le débit réel est plus faible et est égal à
qV.= α.VB.S
III.4.b Ecoulement au travers d'un orifice
noyé :
Un orifice noyé est un orifice «sous l’eau » par lequel un
fluide s'écoule d'un réservoir 1 dans un réservoir 2. La
pression dans le jet à la sortie de l’orifice est alors la
pression hydrostatique dans le second réservoir Considérons un
point A à la surface du réservoir 1, un point C à la surface
du réservoir 2 et un point B dans le jet fluide passant du
réservoir 1 au réservoir 2 On peut tout d’abord écrire.
Za
Zc
Zb
- Page 11 sur 27 1
2
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PA = Pa
PB = Pa – ρ.g(ZB – ZC)
Ainsi, VB = (2gh)1/2
Où h est la
réservoirs 1 et 2.
hauteur
d'eau
entre
les
surfaces
des
 Cas particulier :
Gaz dans une enceinte close à la pression Pa s'écoulant
vers l'extérieur (patm) par un orifice On néglige les forces
de pesanteur et on suppose le gaz incompressible. L’équation
de Bernoulli amène à une vitesse V dans l'orifice :
V= ( 2.(PA - Pa)/ρ ) 1/2
III.5 Pression dans une conduite :
Considérons un fluide parfait se déplaçant le long d'une
paroi munie d'une petite cavité ne modifiant pas l'écoulement.
Dans cette cavité, le fluide est par hypothèse au repos.
Pression statique
A l’interface entre cette cavité et l’écoulement, il y a
du fait de cette hypothèse, une brusque variation de vitesse
mais on admet qu'il n'y a pas de discontinuité de pression.
Ainsi, une prise de pression dans cette cavité permet de
mesurer la pression du fluide au repos. C'est donc la pression
statique du fluide.
Considérons une conduite dans laquelle circule un fluide
parfait Supposons que l'écoulement dans ce tube est tel que
les lignes de courant sont des droites parallèles aux
génératrices de la conduite. On rappelle que (3.1., cas
particuliers) dans une section droite perpendiculaire aux
lignes de courant, la pression suit les lois de la statique
Ainsi, dans une section on a
P +P.g.Z= Cste
Z
ZN
Z1
Z2
Z3
II est possible de mesurer cette
constante
à
l’aide
d'un
tube
piézométrique. C'est un tube ouvert
aux
deux
extrémités
et
dont
l’ouverture qui débouche dans la
conduite s'appelle «prise de pression
statique» Quel que soit le point P
(de cote Zp) de prise de pression
- Page 12 sur 27 -
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statique dans une même section droite, le liquide présent dans
la conduite va monter dans le tube au même niveau Z=ZN. En
effet, l’équation de la statique est valable dans la section
droite considérée et dans le tube piézométrique.
VP, PP – PN = ρ.g( ZN - ZP )
Ce qui permet, si l’extrémité du tube piézométrique est à
l’air libre, de connaître la pression motrice en N (puisque Pp
= Pa)
VP, ZN=(PP + ρ.g.ZP + Pa)/(ρ.g) = Cste
III.6 Pression en un point d'arrêt, tube de
Pilot :
Considérons l’écoulement d'un fluide parfait dans une
conduite et, un obstacle solide dans cet écoulement. On
appelle point d'arrêt le point à l’interface solide-fluide où
la vitesse du fluide est nulle.
Considérons une ligne de courant aboutissent à ce point
d'arrêt noté A et, un point M sur cette ligne de courant en
amont de A. Bernoulli permet d'écrire :
PA + ρ.g.ZA = PM + ρ.g.ZM + ρ.VM2/2
VM = ρ/2 ((PA + ρ.g.ZA) – (PM + ρ.g.ZM ))1/2
Ainsi à l’aide de deux
tubes piézométriques, on peut
remonter à la vitesse sur la
ZM
ligne de courant considérée.
En conclusion, on retiendra
ZA
que le tube de Pitot est un
appareil qui permet, à l’aide
VM
d'une
prise
de
pression
motrice et d'une prise de
pression à un point d'arrêt
d'obtenir
la
vitesse
de
l’écoulement
au
niveau
de
cette prise de pression statique.
Z
III.7 Tube de Ventury :
Considérons une conduite rectiligne
de
section
variable
dans
laquelle
circule un fluide parfait. Le théorème
de Bernoulli permet d'écrire :
V1
S1
V2
S2
P1 + ρ.g.Z1 + ρ.V12/2 = P2 + ρ.g.Z2 + ρ.V22/2
Dans les sections où les lignes de
courants
sont
parallèles
la
conservation
des
débits
permet
d'écrire :
qV = V1.S1 = V2.S2 = Cste
- Page 13 sur 27 -
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Les
Si,
sont
les
surfaces
des
sections
droites
perpendiculaires aux lignes de courant Vi les vitesses dans
ces sections. Ainsi on a :
qV = [S2.(2/ρ)1/2.( P1 + ρ.g.Z1 - P2 - ρ.g.Z2)1/2] / [1 – (S2/S1)2]1/2
- Page 14 sur 27 -
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III.8 Etude simplifiée du réservoir :
Z
h
h'
Un déversoir est un
moyen commode pour mesurer
le débit d'une rivière En
appliquant Bernoulli entre
un point A en amont du
déversoir
(de
vitesse
quasi nulle) et un point B
w dessus du seuil, ces
dents points étant à la
surface libre,
on peut
courant, la vitesse au
niveau du seuil :
Pa + ρ.g.h = Pa + ρ.g.h’ + ρ.V2/2
(L'origine de l’axe des z a été choisi ici au niveau du
seuil).
Si on fait, l’hypothèse que la vitesse est horizontale et
uniforme au dessus du seuil le débit de volume s’écrit :
qV = b.h’.[2.g.(h - h’)]1/2
A ce niveau, h' est une inconnue. Elle peut être mesurée,
mais cette mesure est moins aisée celle de h. Elle peut être
calculée en remarquant que pour une hauteur h d'eau donnée, la
hauteur h' inconnue doit maximiser le débit passant an dessus
du seuil (le système cherche à atteindre une position
d'équilibre le plus vite possible). Recherchons pour quelle
valeur de h' le débit est maximum.
dqV/dh’ = 0 d’où h’ = 2.h/3
qV = 0.385 b.h.[2.g.h]1/2
Ce résultat est correctement vérifié en pratique.
III.9 Oscillations dans un tube an U
z
B
O
A
A
- Page 15 sur 27 -
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Soit un tube an U de section constante contenant un
liquide
incompressible,
A
la
suite
d'une
perturbation
extérieure (on a incliné le tube puis on l’a remis en position
verticale), le liquide se met è osciller
En remarquant que
║VA║ = ║VB║ = V
PA = PB =Pa
ZA = -ZB = -Z
Bernoulli permet d'écrire
δV/δt.L = 2.g.Z où V = dZ/dt et δV/δt = dV/dt
et ainsi
d2Z/dt2 – 2.g/L = 0
C'est l'équation classique du mouvement pendulaire dont la
solution est
Z = A.Sin[(2.g/L)1/2 + φ]
Dans la réalité, le fluide est réel, c'est à\dire
visqueux, et les forcements font que le mouvement oscillatoire
est amorti.
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Dynamique des fluides parfaits
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IV Théorème d'Euler
Du théorème des quantités de mouvement au théorème d'Euler
Les équations d'Euler, découlant du mouvement d'un fluide
parfait, on été utilisées dans certains cas particulier, pour
par exemple, aboutir au théorème de Bernoulli.
La détermination de la résultante des forces de pression
d'un
fluide
en
écoulement
sur
une
paroi
peut
être
intéressante. En théorie, il est possible d'en avoir une
expression
par
l'intégration
des
forces
de
pression.
Toutefois, il est souvent beaucoup plus simple d'appliquer le
théorème de la quantité de mouvement ou le théorème d'Euler.
Il est important de noter que l'application de ce théorème
n'implique pas la conservation de l'énergie. Il est donc
applicable aux fluides réels de la même façon qu'aux fluides
parfaits.
IV.1 Théorème de la quantité de mouvement
On peut énoncer ce théorème de la façon suivante : la
dérivée particulaire du torseur des quantités de mouvement
d'un système matériel dont on étudie le mouvement, est égale
au torseur des actions extérieures agissant sur ce système.
d
On a donc Q   Fext  . Il faut noter qu'il s'agit d'une
dt
relation vectorielle.
Si il n'y a pas de déformation du domaine fluide fermé
(volume de contrôle) lors du déplacement de ce dernier, le
domaine de validité de l'équation de conservation de la
quantité de mouvement s'étend aussi bien dans le repère absolu
que dans un repère lié au domaine fluide.
On peut écrire le torseur des quantités de mouvement
agissant
sur
un
volume
V
comme
suit:


Q   V v dV où v dV représente le torseur élémentaire des
quantités de mouvement attaché à l'élément de volume dV et

constitué par le vecteur v dV appliqué au centre M de cet
élément.
De ce fait, ce théorème est très utile pour la
détermination des forces agissant sur un fluide lorsqu'on ne
connaît que les vitesses au niveau des surfaces frontières du
volume de contrôle.
De
l'expression
du
torseur
des
actions
mécaniques
extérieures au système découle deux équations, une pour la
résultante et l'autre pour les moments.
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 Equation de la résultante :
 Equation du moment :

d
V v dV   Fext

dt

d
V OM  v dV  M ext

dt
En utilisant les formules de Reynolds pour les intégrales,
et en rappelant les expressions des forces volumiques
( P   g dv ) et surfaciques ( R    dS ), on obtient :
 Equation de la résultante :

d
V v dV    .v.(v.n) dS   gdv   dS

dt
 Equation du moment :

d
V (OM  v ) dV   (OM   v ).(v.n) dS   V (OM   g ) dV   (OM   ) dS

dt
 Remarque :
 .v.(v.n)dS représente le débit élémentaire de la quantité de
mouvement à travers dS.
IV.2 Cas particulier du régime permanent:
Si on considère un tube de courant dans un écoulement
fluide soumis à un champ de pesanteur, entrant à une section S1
et sortant à une section S2, on peut écrire, conformément aux
précédentes constatations, avec P la composante issue du poids
du fluide en mouvement et R la résultante des actions
extérieures au tube de courant :


 Fext  R  P  1v1S1v1  2v2 S2v2


soit  Fext  R  P  qm (v2  v1 )
On peut établir cette équation, connue sous le nom de
théorème d'Euler, bien plus simplement. Pendant un temps dt,
une
portion
de
fluide
d'épaisseur
entrée
s'est
v1dt en
transformée en une portion d'épaisseur v2 dt en sortie. De ce
fait la variation de quantité de mouvement de ce tube suivit
 
qm (v2  v1 )dt
dans son mouvement s'écrit
d'où le théorème
précédent.
En toute rigueur, ce théorème n'est valable que pour un
tube de courant. On peut en pratique l'appliquer à toute
conduite en considérant la vitesse moyenne des sections
considérées. De ce fait, on fait l'hypothèse d'une répartition
transverse des vitesses uniforme.
On énonce habituellement le théorème d'Euler comme suit :
La quantité de mouvement sortant d'un volume fluide est égale
à la somme des forces extérieures appliquées à ce volume.
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IV.3 Exemple d’applications
IV.3.a Réaction d’une lance à incendie
Une lance à incendie est constituée d’un tube de section
S1 sur lequel est vissé un embout de section de sortie S2. On
se place en régime permanent avec un débit volumique qv connu.
On désire calculer la composante horizontale de la force
exercée par l’embout sur le tube.
On considère le système {embout + fluide dans l’embout}
On applique sur ce système le théorème d’Euler (régime
permanent) que l’on projette sur l’axe x .
 p
at

.dS .x  p1S1  p 2S 2  Ftube / embout  q m (v 2  v1)
Or  p at .dS = 0.
De plus, p2.S 2  pat .S1 donc  p1  pat S1  Ftube / embout  qm (v2  v1)
On cherche à déterminer p1 – pat :
On applique Bernoulli entre les deux sections droites de
l’embout en deux points d’une même ligne de courant :
p1 
1
1
1
 .v12  p at   .v 2 2  p1  p at   .(v 2 2  v12 )
2
2
2
1
2
D'où Ftube / embout   .(v 2 2  v12 )  q m (v 2  v1)
Enfin qv  v 2.S 2  v1.S1 
qm

Après résolution, on peut déterminer la composante
horizontale de la force exercée par l'embout sur le tube :
1
S1 
1
Ftube / embout   .q v 2  S1  S 2 

2
2.S 2 2 
2
IV.3.b Jet d'eau sur une paroi plane
On s’intéresse à la force exercée par un jet d’eau sur une
paroi. On étudiera l’influence de la forme de la paroi et de
la vitesse de déplacement de celle-ci.
On fera dans tout ce qui suit les hypothèses suivantes sur
l’écoulement :
 Stationnaire (la roue tourne à vitesse constante).
 Incompressible.
 Effets de viscosité négligés.
 Distribution de vitesse uniforme dans la section initiale
du jet.
 Fluide non pesant.
X
Y
Y
X
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A1
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On adopte les notations suivantes :
 , angle entre la plaque et l'axe initial de l'écoulement.
 A0, section d’entrée du jet.
 A1 et A2, sections du jet normales à la plaque.
 S1 et S2, sections latérales du jet.
On
considère
un
jet
plan,
évoluant
à
pression
atmosphérique. Les sections seront donc définies par unité de
largeur. On prend pour domaine de contrôle la surface bleue du
schéma ci-dessus.
 Calcul des forces de pression exercées par le jet sur la plaque.
 Distribution de pression.
On applique le théorème de quantité de mouvement sous sa
forme différentielle en A0 (repère O,x,y) et sur A1 et A2
(repère O,X,Y).
Il s’écrit dans O,x,y :
Or on considère les lignes de courant parallèles donc p=pa
dans A0, A1, et A2.
 Vitesse dans les sections.
On utilise le théorème de Bernoulli. Le fluide étant non
pesant, et les pressions dans les sections A0, A1, et A2 étant
les mêmes, on a dans les sections A1 et A2 une vitesse de même
module que dans A0  V1=V2=V0.
 Conservation de la masse.
La conservation de la masse donne : V0A0=V1 A1+V2 A2.
Et puisque V1=V2=V0, A0=A1+A2.
 Théorème
d’Euler .
On fait le bilan des flux sur la surface ∑ = A1 U A2 U A0 U
S1 U S2 U S


 

V (V .n)ds   pnds

Les flux sur S1 et S2 sont nuls car le vecteur vitesse est
parallèle à la surface. Le flux à travers la paroi S0 est nul
Concernant l’intégrale du deuxième terme, on la décompose
en deux surfaces :
- l’une où la pression est connue (pression atmosphérique)
- l’autre où on cherche la force de pression exercée (S0)

A0
 
 A1 A2
V (V .n)ds  
 S 0
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

pa nds   pnds
S0
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
A0
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 
 A1 A2


V (V .n)ds   pa nds   ( pa  p)nds

S0
où la première intégrale du terme de gauche est nulle
puisque :


Les forces
s’écrivent :

pa nds   grad pa dv  0
V
exercées
par
la


 F   ( p  pa )nds
S0
plaque
sur
le
fluide
(Équation 2)
La force sera perpendiculaire à la plaque.
Après projection des vecteurs normaux du premier terme de
 
1/ dans le repère (o, i , j ) lié a la plaque, et après utilisation
de 2/, on obtient :
A0 cos -A1+A2 = 0

2
F A0sin V0 j
On peut observer qu’on obtient une force maximale pour
=π/2 ce qui paraît cohérent.
On voit déjà que lors de l’application au moulin va se
poser le problème du nombre de pâle. En effet, la force
exercée est maximale si la plaque est perpendiculaire au jet.
Or ce ne peut être toujours le cas. Il va donc falloir adapter
le nombre d’augets ou de pâle afin de toujours les utiliser
avec un angle d’attaque pour lequel le rendement est correct.
 Sections de sortie
En
utilisant
la
relation
A0=A1+A2.donnée
par
la
conservation de la masse et la relation S0 cos -S1+S2 = 0
donnée par le théorème d’Euler, on obtient :
A1=A0 cos²(/2)
A2=A0 sin²(/2)
On remarque qu’on obtient S1=S2 pour =π/2.
Le problème traité en 3 dimensions nous donne les mêmes
résultats en ce qui concerne la force appliquée sur la plaque.
 Détermination du point d’application de la force
On utilise le théorème des moments pour déterminer le
point d’application de la force qui sera noté O’. On définira
également la longueur h telle que h=OO’.
 

O
'
M

(

P
)
n
d


O
'
M


V
(V.n)d




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On décompose alors  en deux surfaces, dont l’une où la
pression est la pression atmosphérique:



O
'
M

(

P
)
n
d



P
a O'M nd  O'M Pnd




S0
S0



O
'
M

(

P
)
n
d



P
a O'M nd 
O
'
M

(
P
a P)nd





S0
La formule de Green nous montre que le premier terme du
membre de gauche est nul puisque le rotationnel de O’M est
nul.
Pour calculer le flux de quantité de mouvement, on
décompose ∑ = A1 U A2 U A0 U S1 U S2 U S, le flux étant nul sur
les trois dernières. La vitesse est constante dans chacune des
trois premières sections :
 
O
'
M


V
(V.n)d 



O'M (V ²)nd
A0 A1 A2
 
O
'
M


V
(V.n)d V0 ²A0hsin V0 ²A1²/2V0 ²A2²/2


Le moment de la force est nul en son point d’application,
ce qui nous donne :
V0 ²A0hsin   V0 ²A1²/ 2V0 ²A2²/ 20
En utilisant les relations entre surfaces du paragraphe
« sections de sortie », on obtient :
h=(A0 /2)cotg
On connaît ainsi la position du point d’application de la
force.
IV.3.c Application du théorème d’Euler sur les
propulseurs
Notion de poussée
Ar
Ae
As
Us
U0
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
x
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La force propulsive (ou poussée) est égale et opposée à la
force d’éjection des gaz (principe d’action réaction.
 Application du théorème de quantité de mouvement :

 
 
 
 
ΣFext   ρu(u.n)ds   ρu(u.n)ds   ρu(u.n)ds   ρu(u.n)ds
s
Ae
Ar
As
Dans Ae : ρ  cte  ρ 0 , u  cte  u 0
Dans As : ρ  cte  ρ s , u  cte  u s



2
2
Donc F  ρ 0 .u 0 A 0 n 0  ρ s .u s A s n s

2
2
En projection suivant x : F  ρ s .u s A s - ρ 0 .u 0 A 0
  cte  ρ.u.A :
Si nous prenons comme hypothèse la conservati on de la masse : m
 (u s  u o )
Fm
Poussée théorique simplifiée
De ce fait la poussée (F) est nulle lorsque la vitesse
d’éjection des gaz est égale à celle d’entrée (réacteur
éteint), et F est maxi lorsque la vitesse à l’entrée du
réacteur est nulle (au décollage).
Cependant la poussée réelle d’un réacteur n’est pas égale
à la poussée théorique simplifiée : car les hypothèses prises
précédemment ne sont pas exactes.
 Conservation de la masse : il faut ajouter la part de la
poussée liée au débit de carburant
 Poussée de culot : lorsque la tuyère n’est pas adaptée (Ps
 Po) la « poussée de culot » s’ajoute
 (u s  u o )  m
 ' u s  A s (Ps  P0 )
Fm
Expression générale de la poussée
 ' = débit masse de carburant
m
 Puissance et rendements :
La puissance crée par un propulseur se décompose en :
 puissance calorifique, dû à la combustion du kérosène dans
la chambre de combustion), qui caractérise la consommation
(dans la chambre de combustion)
 puissance thermique, dû à la variation d’énergie cinétique
dans le moteur, qui caractérise le moteur (tuyère)
 puissance propulsive, ou puissance utile, qui caractérise
l’ensemble moteur + avion
Puissance
calorifique
Pertes A
 m
 c p ΔT
Q
c
Puissance
thermique
- Page 23 sur 27   1m
 (u s2  u 02 )
W
th
2
Puissance
propulsive
Pertes B
  Fu
W
p
0

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Les pertes
essentiellement
compte tenu que
Les pertes
dans le moteur.
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A sont de deux natures : les pertes internes,
dues aux frottements, et les pertes externes
les gaz éjectés sont encore chauds.
B sont liées à l’écoulement turbulent présent
Le rendement global se décompose en deux : le rendement
thermique et celui de propulsion, ce dernier étant le plus
important pour le dimensionnement d’un propulseur.
 (u s  u 0 )
Fm
 us 
F
 u0

m
ηp 

W
2u 0
2
p



W th u s  u 0 1  u s u 0
ηp 
1
 .u 0 )
1  F (2.m
De ce fait, à une poussée donnée, le rendement de
propulsion sera d’autant plus grand que le produit débit masse
 .u 0 sera grand.
du fluide par sa vitesse initiale m
 Description de différents propulseurs
 Le turboréacteur
Injecteurs de
kérosène
U0
Us
Chambre de
combustion
Compresseur
Tuyère
Turbine
 faible mais u 0 importante
Caractéristiques : m
 Le turbopropulseur
Boîtier de
réduction
U0
Us
Chambre de
combustion
- Page 24 sur 27 Compresseur
Turbine
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 importante
Caractéristiques : u 0 faible mais m
 Le statoréacteur
Tuyère
Convergente - divergente
U0
M>1
Us
M=1
Caractéristiques : Pour que le statoréacteur fonctionne,
il faut une vitesse initiale. Le rendement devient intéressant
pour un nombre de mach compris entre 2,5 et 5.
Voici les rendements de propulsion des propulseurs
présentés ci dessus. Nous pouvons observer que chacun possède
son domaine d’application, en fonction du nombre de Mach
souhaité en sortie.
ηp
Hélice
Turboréact
Statoréacte
e
u
r
u
Fuséer
0,5
1
2
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M (Nombre de Mach)
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 Améliorations apportées pour augmenter la poussée
 Augmentation du débit masse
Utilisation d’un réacteur double corps : un ensemble
compresseur + turbine s’occupe du fluide haute pression et un
autre
de
la
basse
pression.
Ainsi
la
géométrie
des
compresseurs et turbines s’adapte mieux au changement de
régime. (Analogie avec une boîte de vitesses).
HP
U0
HP
Us
Tuyère
BP
BP
Injection d’eau dans l’entrée d’air :
comme nous l’avons vu :
  ρ.u 0 .A 0
m
 il faut augmenter ρ 
Pour augmenter m
P
, donc diminuer T, la températu re du fluide
rT
Une solution est donc d’injecter de l’eau dans l’entrée
d’air, pour diminuer la masse volumique du fluide
et donc
augmenter le débit masse.
 Le Double-Flux
 th  1 m
 (us2 u02) 1 F(us u0)
W
2
2
 th
2W
Donc F us u
0
 th , c’est à dire une même consommation de
Pour un même W
 cte ), la poussée augmente si la vitesse en sortie
kérosène ( m
diminue. On obtient cela en créant un flux secondaire : on
prélève une partie de la poussée qui servait à accélérer les
gaz pour créer un flux secondaire. Donc la vitesse en sortie
diminue et la poussée devient la somme de deux poussées.
Flux secondaire (froid)
U0
Flux primaire (chaud)
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 ",us"
m
 ',us'
m
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 (us'u0)m
 "(us"u0)
Fm
 La Post Combustion
 (us u0) De ce fait et contrairement au double flux
Fm
(consommation non constante), la poussée augmente avec la
vitesse de sortie. Pour augmenter us il faut donc augmenter la
température à l’entrée de la tuyère ; on ajoute ainsi une
seconde chambre de combustion.
Tuyère ConvergenteDivergente (réglable)
Chambre de
Post-combustion
Chambre de
combustion
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