247 - Les cours de Patrick HOFFMANN

Mécanique des Fluides - fluides parfaits
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Mécanique des fluides parfaits
1. Pression:
La pression est le rapport d’une force sur une surface. Si on
appuie avec la force F sur un piston enfermant du gaz, on
exerce sur la système constitué par le gaz une pression:
P= F/
où
 est l’aire de la surface du cylindre:
F
V
section

Cette pression extérieure a pour effet une diminution du
volume du gaz jusqu’à un équilibre. Cela signifie que le gaz
développe lui aussi une pression équilibrant la pression
externe.
L’origine de cette pression est à chercher dans l’agitation
moléculaire. Un capteur interne ou la paroi du cylindre sont
soumis à une pluie incessante de chocs moléculaires.
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paroi ou surface du capteur
zone d'interaction moléculaire
Pour une surface élémentaire la pression est le rapport de la
force exercée sur l'aire de la surface subissant la force:
La force de pression statique est toujours normale à la
surface.
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Le vecteur normal n est unitaire:
n 1 

P
dF
dS
d F   P n dS
;
P
Pa  N.m  2
Les pressions exercées sur une surface solide permettront de
définir la résultante des forces subit par ce solide:
F    P n dS

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2. Equations gouvernant un fluide parfait:
En effectuant le bilan des flux à travers un volume infiniment
petit dV:
la
conservation
de
la
masse
conduit
à
l'équation
de
continuité:

 v  0
t
où
 est la masse volumique:

dm
dV
En cartésien, il vient:


      v i   0
 xi
t
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En effectuant le bilan des forces s'exerçant sur une particule
fluide, on obtient pour un fluide parfait (sans frottement
interne ou viscosité) l'équation d'Euler:
v
 v  
t

 v  1
P  g  0
En cartésien, il vient:
 vk
v
 v i k  1  P  gk  0
 xi   xk
t
3. Statique des fluides:
Pour un fluide au repos l'équation de continuité donne zéro et
l'équation d'Euler se simplifie sous la forme:
1
P  g  0

ou
1
grad P  g  0



grad P   g
Cette équation gouverne un fluide (liquide ou gaz) au repos.
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4. Théorème d'Archimède:
Un corps plongé dans un fluide subit une force qui est la résultante
des
forces
de
pression.
Pour
évaluer
cette
force,
utilisons
l'équation de la statique et la définition de la résultante:
F    P n dS

d'après la formule du gradient:

P n dS 

 grad P
dV

 est la surface fermée bordant le domaine  
3

F 
 grad P
dV

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Avec l'équation de la statique:
grad P   g

F 
  g
dV

F g
 
dV   g

m fluide
La résultante ou poussée d'Archimède est une force opposée
au poids du fluide déplacé:
F  FA   g
m flu.dep  poids flu.dep.
F  poids flu.dep.
A
5. Statique des liquides:
Un liquide est un fluide considéré comme incompressible
(eau:
 = 4.8 . 10 -10 m2 / N). Dans un zone où le champ de
pesanteur peut être considéré comme uniforme, l'intégration
de l'équation de la statique des fluides:
grad P   g
donne:
P   g z  cst
ou :
P2  P1   g  z 1  z 2 


z étant l'altitude.
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6. Théorème de Bernoulli
Le mouvement d'une particule fluide suit une ligne de courant.
En régime permanent, l'équation de continuité conduit à la
conservation de la masse sous la forme:
v S  cst
Lorsque le fluide est parfait (sans viscosité), en régime
permanent, l'intégration de l'équation d'Euler sur une ligne de
courant fournit l'équation de Bernoulli:
P   g z  1  v 2  cst
2
Cette relation exprime la conservation de l'énergie mécanique.
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7.
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Conséquences du théorème de Bernoulli

Théorème de Torricelli:
Soit un réservoir muni d'un orifice de petite section à sa base, on
montre que:
v  2 gh

Tube de Pitot :
v  2 gh
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
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Phénomène de Venturi :
P2  P1
 S2

1
 2
2
  v  2  1 
2
 S

 1

Applications : la trompe à eau, le pulvérisateur...

Effet Magnus
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
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Phénomène de cavitation
Dans un écoulement de liquide si la vitesse augmente la pression
diminue. Si cette dernière passe en dessous du seuil de vapeur
saturante, il y a changement de phase avec formation de bulles de
gaz.
Les bulles formées par cavitation se déplacent. Arrivées dans
des zones où la pression est plus forte, les bulles éclatent. Les
chocs mécaniques qui suivent, consomment de l'énergie et
détériorent les pièces solides (hélice…).
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