nombres parfaits - Colegio Francia

MULTIPLES ET DIVISEURS
FICHE 2
Définition
Soit a et b deux entiers relatifs.
S'il existe un entier relatif k tel que a  kb , on dit que a est un multiple de b ou que b est un
diviseur de a.
On dit encore que a est divisible par b ou que b divise a.
On note : b a .
Exemples : Les multiples de 6 sont les entiers de la forme 6k , c'est-à-dire 0, 6, 12, 18, 24,
30... mais aussi - 6, - 12, - 18, - 24... Il y en a une infinité.
Les multiples de - 6 sont ces mêmes nombres.
0 n'a qu'un multiple : 0 lui-même.
Les diviseurs de 6 sont : 1, - 1, 2, - 2, 3, - 3, 6, - 6.
Les diviseurs de - 6 sont ces mêmes nombres.
a
Remarque : Si b a et b  0 , le quotient existe et est un entier relatif.
b
Propriétés :
P1 Pour tout entier relatif a : a a , a 0 et 1 a .
Quels que soient les entiers a et b :
P2 Si b a , alors  b a , b  a et  b  a .
P3 Si b a et a  0 , alors b  a . Un entier non nul n'a donc qu'un nombre fini de
diviseurs.
P4 Si b a et a b , alors a  b ou a  b .
Quels que soient les entiers a, b et c :
P5 Si c b et b a , alors c a .
P6 Si c a et c b , alors c a  b , c a  b et plus généralement c au  bv pour tous les
entiers u et v.
P7 Si c b , alors ca ba .
Ex 2.1 Démontrer les propriétés ci-dessus.
Ex 2.2 Déterminer la liste des diviseurs positifs des entiers :
72 ; 75 ; 80 ; 120 ; 144 ; 200.
Ex 2.3 Déterminer la liste des diviseurs des entiers :
50 ; - 56 ; - 8 ; 63.
Ex 2.4 Montrer qu'un entier n  1 a un nombre pair de diviseurs positifs, sauf s'il est un carré
parfait. (c'est-à-dire le carré d'un autre entier).
Ex 2.5 Combien y a-t-il exactement de multiples de 17 compris entre - 2 000 et 2 000 ?
Combien y a-t-il exactement de multiples de 29 compris entre - 500 et 500 ?
Ex 2.6 Prouver que la somme de :
 deux nombres impairs consécutifs est un multiple de 4 ;
 trois entiers consécutifs est un multiple de 3 ;
 cinq entiers consécutifs est un multiple de 5 ;
 quatre entiers consécutifs n'est pas un multiple de 4.
Ex 2.7 Un nombre diminué de 4 est un multiple de 5.
Démontrer que le carré de ce nombre diminué de 1 est aussi un multiple de 5.
Ex 2.8 Un nombre diminué de 2 est un multiple de 7.
Démontrer que le cube de ce nombre diminué de 1 est aussi un multiple de 7.
Ex 2.9 Soit a, b et d trois nombres entiers naturels.
Démontrer que si 7a  5b et 4a  3b sont deux multiples de d alors les nombres a et b sont des
multiples de d.
Ex 2.10 Avec deux nombres entiers naturels non nuls, on effectue les quatre opérations
suivantes :
 on les additionne ;
 on les multiplie ;
 on retranche le plus petit du plus grand ;
 on divise le plus grand par le plus petit.
La somme de ces différents résultats est 243.
Quels sont ces deux nombres ?
Ex 2.11 Déterminer les nombres relatifs tels que : x  3 divise x 2  3 .
Indication : Penser à écrire x 2  3 sous la forme : ( x  3)( x  3)  12 .
Ex 2.12 Déterminer les nombres relatifs tels que :
1. x  2 divise x  5 ;
2. x  7 divise 2 x  15 ;
3. 2x  1 divise 2 x  12 ;
4. x  1 divise x 2 ;
5. x  1 divise x 2  2 ;
6. x  1 divise x 3  2 .
a
q n 1  1
dans la formule 1  q  q 2  q 3  ...  q n 
,
b
q 1
montrer que, quels que soient les réels a et b :
Ex 2.13 1) En remplaçant q par
a n 1  b n 1  (a  b)(a n  a n 1b  a n  2b 2    ab n 1  b n ) ou, en remplaçant n par
n  1 : a n  b n  (a  b)(a n 1  a n  2b  a n  3b 2    ab n  2  b n 1 ) .
2) En déduire que si a et b sont des entiers et n un entier naturel non nul a  b divise
a n  b n . En remplaçant b par  b dans l'égalité précédemment trouvée, montrer de même
que si n est impair a  b divise a n  b n et si n est pair a  b divise a n  b n .
Quelles identités remarquables retrouve-t-on si n  2 ou n  3 ?