Méthode des mailles

ESSI1 – Fiche électronique : Méthode des mailles - Explication et justification du dipôle de
Thévenin pour les circuits linéaires
(Jean-Paul Stromboni, 1999)
Méthode des mailles pour la mise en équation des circuits linéaires. Vérification du théorème de Thévenin
Introduction
Dans une branche linéaire d’un circuit électronique, la relation entre courant i et tension
v est donnée par : v  e  r  i .
Pour un réseau électronique linéaire constitué de B branches et N noeuds organisés en
M mailles dépendantes, la relation courant tension dans une branche quelconque du
réseau est linéaire également, qu’elle soit exprimée avec les composants eL , rL de la
v  eL  rL  i ou qu’elle soit exprimée à partir de toutes les autres branches du
réseau soit v  eTh  rTh  i avec les éléments du dipôle équivalent de Thévenin eTh , rTh .
branche
Ce résultat découle de la mise en équation des réseaux électroniques linéaires par la
méthode « des mailles » présentée ci-dessous, et illustrée dans un cas particulier.
eTh  rTh  i  eL  rL i
i
eTh  eL
rTh  rL
v
eTh rL  eL r
rTh  rL
Réseau linéaire
B-1 branches
N noeuds
 rTh , eTh
N1
i
r
v
e
N2
Méthode des mailles
On se trouve devant un réseau de composants linéaires, résistances, condensateurs,
inductances, sources de tension et de courant, on procède méthodiquement comme suit :
1. comptabiliser les B branches B1 , B2 ,... BB , et les N noeuds N1 , N 2 , ... N N à la
jonction des branches. Il faudra écrire M  B  ( N  1) équations indépendantes
sur M mailles indépendantes.
2. choisir un arbre, sous-graphe de N  1 branches reliant les N noeuds. Les M
branches non utilisées dans l’arbre (ou liens) permettent de définir M mailles ou
boucles indépendantes contenant chacune un lien et un seul. Par ce procédé,
on obtient M équations indépendantes définissant l’état électrique du réseau.
3. écrire donc M fois la loi des mailles, on a choisi comme inconnues M courants, un
par maille, les équations du réseau prennent alors la forme linéaire V  R  I où
V et I sont des vecteurs de M composantes et R est une matrice M  M . La
1
solution s’obtient en inversant la matrice R , soit I  R V .
4. Une conséquence de la linéarité de cette formulation est la suivante : la relation
entre courant et tension dans une branche quelconque du réseau peut être calculée à partir des B  1 autres branches sous la forme linéaire v   r  i  e , c’est
le dipôle équivalent de Thévenin. On vérifie et on illustre sur l’exemple suivant.
Illustration
Le réseau suivant comptabilise 5 branches, 3 noeuds, et donc 3 liens ou mailles. L’arbre choisi
utilise les branches deux et quatre. La branche i est constituée d’un générateur de tension ei
ESSI1 – Fiche électronique : Méthode des mailles - Explication et justification du dipôle de
Thévenin pour les circuits linéaires
(Jean-Paul Stromboni, 1999)
et d’une résistance
ri . On choisit les trois mailles constituées de B1 et B2 pour la première,
B3 , B2 , B4 pour la seconde, et B5 , B4 pour la troisième. Les variables définissant l’état
électrique du réseau sont alors les trois courants i1 , i3 , i5 . On écrit donc trois fois la loi des
mailles, ce dont on tire les équations du réseau, sous forme matricielle.
M  B  N 1  3
(1) e1  e2  ( r1  r2 )i1  r2i3
( 2) e4  e3  e2  ( r3  r2  r4 )i3  r2i1  r4i5
(3) e5  e4  ( r4  r5 )i5  r4i3
D’où la forme matricielle V  RI :
r2
 e1  e2   r1  r2

 
r2  r3  r4
 e3  e4  e2    r2
 e e   0
r4
 5 4  
r3
0  i1 
 
 r4  i3 
r4  r5  i5 
R  (r1  r2 ) R11  r2 R12 le déterminant de R :
 R21 R31 

R22  R32  ,
 R23 R33 
r1
e1
r2
N2
e2
e3
Pour inverser et résoudre ce système, notons
 R11
1
1 
1
R  adj( R)    R12
R
R
 R13
i1
N1
e5
r4
i3
e4
i5
N3
en notant Rij le sous déterminant obtenu en supprimant la ligne i et la colonne
r5
j de la
1
R11 (e1  e2 )  R21 (e3  e4  e2 )  R31 (e5  e4 ) .
R
R
R
R
On en tire : i1 ( r1  r2 (1  12 ))  e1  e2  21 ( e3  e4  e2 )  31 ( e5  e4 ) qui peut être noté
R11
R11
R11
sous la forme suivante : i1 ( r1  rTh )  e1  eTh où l’on peut vérifier que rTH est indépendant de
r1 et eTh de e1 . Cela signifie donc que le reste du réseau, les quatre branches
B2, B3, B4, B5 peuvent être réduites au dipôle de Thévenin, eTh en série avec rTh . On
vérifiera à la fois : v1  i1r1  e1  eTh  rTh i1 .
matrice
R . Ainsi, i1 par exemple vaut i1 
Application numérique : ri  1, ei  1V , i  1,2,3,4,5
Ce calcul est réalisé dans le script Maple maille.mws, on trouve
R  8 et
R11  5, R22  4, R33  5, R12  R21  2, R32  R23  2 , d’où
 5  2  1


1
R 1    2 4
2  et on en déduit i1  0.5 A, i3  1A, i5  0.5 A
8
5 
 1 2
Quant au dipôle de Thévenin équivalent aux branches 2, 3, 4, et 5 entre les bornes
il vient en appliquant les résultats précédents :
rTh 
3
2.8  2
0.8
 et eTh  2.8V . Vérification : i1  

 0.5 A
5
1  0.6
1.6
N1 et N 2 ,