Exercices de Résolution des réseaux électriques 1 - Applications des théorèmes de Thévenin et de Norton a) Potentiomètre à vide et en charge. R(1-x) A E Rx B Eléments de Thévenin : A et B ne sont pas reliés : On reconnaît un diviseur de tension. Rx U0 E xE Rx R (1 x ) Rx .R (1 x ) r Rx (1 x ) Rx R (1 x ) Eléments de Norton : A et B sont reliés par un fil sans résistance. On calcule alors le courant de courtcircuit. R(1-x) A E Rx B E R (1 x ) La résistance du modèle équivalent de Norton est la même que celle du modèle de Thévenin. I0 Potentiomètre en charge Le potentiomètre débite sur une charge résistve Ru . On remplace le potentionmètre par son modèle équivalent de Thévenin, afin de déterminer le courant I, par la simple loi de Pouillet. Loi de Pouillet Cliquer sur « affichage » puis « plein écran » 1 Dans un circuit à une maille, le courant est le quotient de la somme algébrique des f..e.m. et de la somme des résistances r Rx (1 x ) R(1-x) E Charge Ru Rx E.x Ru I Ex Rx(1 x ) Ru Si R est faible devant Ru. La simple variation de x, règle la valeur de I. Il faut alors remarquer que le potentiomètre a une forte consommation “interne”. b) Passage du modèle de Thévenin au modèle de Norton – Adaptation de puissance Le modèle équivalent de Thévenin d’un générateur est donné par une tension à vide ou f.e.m. E=20V et une résistance r=10. a) Obtenir par calcul, le courant de court-circuit I0 b) E 20 2A r 10 En déduire le modèle de Norton associé Un générateur de courant parfait de courant 2A en parallèle avec une résistance de 10Ω, ou une conductance de 0,1S. c) On branche une résistance R de valeur inconnue sur le générateur. Exprimer littéralement la puissance dissipée dans R en fonction de E,r et R. Pour quelle valeur de R, la puissance est-elle maximale ? Soit U, la tension aux bornes de la résistance R. U R E Rr La puissance consommée par R est donnée par : P U2 R 2 E2 RE 2 [ ] R R r R (r R) 2 Cliquer sur « affichage » puis « plein écran » 2 La dérivée de la fonction P(R ) par rapport à R a pour 0, la valeur R=r. Dans ces conditions la puissance est maximale, la charge R est adaptée à la source de résistance interne r. 2 – Applications du théorème de Millman G est un générateur dont la f.e.m. E décroît avec le temps de 6,4V à 5,5V en 24h selon une loi linéaire. Sa résistance interne est constante et vaut r=5. La charge du montage est S=10. En tampon, on place une batterie B de fem constante e=4V et de résistance interne r’= 0,1. a) Exprimer la loi de variation de l’intensité dans la charge à l’instant initial et au bout de 24h. b) Quelle serait la valeur du courant dans la charge au bout de 24h sans la batterie ? c) Quel est le rôle de la batterie E I r Générateur u S Batterie e i r’ E varie selon la loi E 6,4 0,9t ; t en jours . E e r r' u 1 1 1 r S r' E e u 1 r r' i S S1 1 1 r S r' i 0,4 0,002t La variation relative de i sur 1 jour est de 0,5% i 0,43t 0,06t Sans batterie, la loi de variation de i est La variation relative de i sur 1 jour est de 14% Cliquer sur « affichage » puis « plein écran » 3 Le rôle de la batterie est de suppléer au déficit de courant du à l’affaiblissement de E. D’où le nom de batterie tampon. 3 – Applications des méthodes de Kirchoff On désire trouver les intensités des courants dans toutes les résistances du circuit suivant. Il s’agit d’un exemple à caractère didactique seulement. A R2=10 R1=5 E1=10V E2= 40V R=10 B a) Préliminaire Combien le réseau a-t-il de nœuds de courant, de branches et de mailles? 2 nœuds A et B ainsi que 3 mailles E1,R1,R – E2,R2,R – E1,R1,R2,E2. 3 branches E1,R1 – R - R2,E2 Il y a trois intensités à trouver donc 3 équations indépendantes. On prend deux équations de mailles et une de nœud. Représenter par une flèche la tension UAB () Représenter par une flèche les courants dans les résistances () en représentant les deux générateurs en convention générateur et R en récepteur Au vu de ces données, il n’y a aucune ambiguïté sur les sens des courants et leur signe. On peut aussi représenter les tensions aux bornes des résistances. (). A I1 I2 R1 E1 R2 I R E2 B On désire calculer les trois courants de branches et la tension UAB . b) Calculer par les lois de Kirchoff Cliquer sur « affichage » puis « plein écran » 4 Loi de nœud : I I1 I 2 Lois de mailles : On doit écrire deux équations indépendantes, choisir deux mailles et écrire l’équation en suivant la maille dans un sens choisi. R1I1 A I1 E1 R2I2 I2 RI I E2 B E1 RI R1I1 0 E 2 RI R 2I2 0 Soit à résoudre le système linéaire : I1 I2 I 0 R1I1 0 RI E1 0 R I RI E 22 2 0 1 1 E1 0 R E2 R2 R E1(R R 2 ) E 2R I1 1 1 1 (RR 2 RR1 R1R 2 ) R1 0 R 0 R2 R 1 I2 0 1 R1 E1 0 E2 R R 1 1 R1 0 0 R2 1 R R 1 0 1 R(E1 E 2 ) R1E 2 (RR 2 RR1 R1R 2 ) R1 0 E1 0 R2 E2 E1R 2 E 2R1 I 1 1 1 (RR 2 RR1 R1R 2 ) R1 0 R 0 R2 R Cliquer sur « affichage » puis « plein écran » 5 4 – Problème de synthèse Un tramway roule sur une voie dont on néglige la résistance. Le courant dans le moteur est pris sur une ligne dont la résistance vaut =0,3 par km . La longueur de cette ligne est L=10km. On appelle x, l’abscisse du tram sur sa voie. Automatiquement ou manuellement, on maintient le courant constant à une valeur I=50A (Afin d’avoir un effort de traction constant). A l’entrée de la ligne une station d’alimentation délivre une tension E=600V continue. On appelle V(x), la tension aux bornes du moteur, qui se comporte ici comme une source de courant parfaite. La figure 1 illustre le principe du système et la figure 2 donne le schéma équivalent de l’installation. x x E E I V(x) L Figure 1 a) b) Figure 2 Exprimer V en fonction de x et calculer les valeurs extrêmes de V Définir le rendement de puissance du système et calculer ses valeurs extrêmes. E xI V( x ) V.I V E.I E A.N. V max 600V ( x 0) V min 450V ( x 10km) 75% 100% 2 – Afin de limiter cette variation de la tension V lorsque le tramway progresse sur sa voie, on complique le système de distribution. Une deuxième tension continue E’ est appliquée à une deuxième ligne appelée « feeder » de résistance R=0,8. (figure 3). Le schéma équivalent de l’installation est donnée sur la figure 4. E’ x E E’ R i x ( L x ) E I-i Figure 3 Cliquer sur « affichage » puis « plein écran » I V(x) Figure 4 6 On considère deux mailles, la première construite avec E’, R, x, (L-x) et la seconde construite avec E, x et le générateur de courant représentant le moteur. E’ R i x ( L x ) E I-i a) I V(x) E’ R i x ( L x ) E I-i I V(x) Ecrire les deux équations de mailles (en tension). E' (Ri) (L x )i x(I i) E x(I i) V Exprimer i en fonction de E’, , x, L, R et I. (équation 1) b) E'xI R L i équation 1 Exprimer V en fonction de E, I, i, , x. (équation 2) c) V a bx cx 2 aE b I c d) E' R L équation 2 2 .I R L On obtient une équation du second degré en x. L’étude de la fonction V(x) montrerait que V présente un minimum. Afin que ce minimum soit obtenu pour x=L/2, on introduit une condition de plus V(0)=V(L)=E. On montre qu’alors E’=RI= 40V. Calculer les coefficients a, b et c. a=600V ; b=11,8V/km ; c=1,18V/km². V( x) 600 11,8x 1,18x 2 R x De plus i .I R L e) Définir un rendement de puissance de l’installation sans oublier la deuxième alimentation. Cliquer sur « affichage » puis « plein écran » 7 f) VI V 600 11,8x 1,18x 2 R x R x 600 3,94(0,8 0,3x ) EI RI. I E RI. R L R L Pour x=L/2, calculer ce rendement. VI EI E' i ( x 0) 100% E ( x 10) .100 94% E RI Pour x=5, V=570V ; i=30A ; 570.50 .100 91% 600.50 40.30 Cliquer sur « affichage » puis « plein écran » 8