La Dérivation

Chapitre 5
La Dérivation
Exercices 1, 2, 3p222.
Activité d’Olive.
I Le taux de variation
Dans cette partie, f est une fonction définie au moins sur un intervalle I de IR, a et x = a + h
sont deux points distincts de I (h  0).
A] Définition
Définition :
Le taux de variation de la fonction f entre a et x est le quotient :
Error!
Avec x = a + h, ce quotient s’écrit aussi Error!.
Exemple :
Pour la fonction f définie par f(x) = x², le taux de variation entre a et a+h est :
Error! = 2a + h
Applications :
Le faire pour les fonctions cube et inverse.
B] Interprétation graphique
Notons A le point de coordonnées ( a ; f(a) ) et B le point de coordonnées ( a+h ; f(a+h) ).
Nous savons que le coefficient directeur de la sécante (AB) est égal à Error!, c’est à dire à :
Error!
Faire un beau graphique.
Remarque :
Le taux de variation de f entre a et a + h est donc égal au coefficient directeur de la sécante
(AB).
II Nombre dérivé et tangente
A] Nombre dérivé
f est une fonction définie au moins sur un intervalle I. Notons t(h) le taux de variation de f
entre a et a+h : t(h) = Error!.
Définition :
Supposons que pour les valeurs de h de plus en plus proche de zéro, les nombres t(h)
deviennent de plus en plus proches d’un nombre fixe l. Nous dirons alors que f est dérivable
en a et l est le nombre dérivée de f en a. Ce nombre dérivée est notée f ’ (a) :
f ‘ (a) = lim;
Error!
h0
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Chapitre 5 :1ère ES
B] Interprétation graphique
Faire un graphique.
Lorsque h tend vers zéro, B se rapproche de A et les coefficients directeurs des sécantes (AB)
tendent vers l.
Nous dirons alors que :
La droite  qui passe par A et dont le coefficient directeur est l = f ‘ (a) est la tangente en A à
la courbe représentative de f.
Propriété :
La tangente à la courbe au point A ( a ; f(a) ) est la droite passant par A et ayant pour
coefficient directeur f ‘ (a).
Son équation est donc y = f ‘(a) ( x – a ) + f(a).
Exemples :
Le faire pour f(x) = x² +1 au point d’abscisse 2.
g(x) = –2x + 6 au point d’abscisse –2.
Exercices 5, 4p222.
C] Vocabulaire économique : Coût moyen et coût marginal
On note C(q) le coût total de fabrication d’une quantité q d’un produit.
1)
Coût moyen : CM
C’est le coût pour une unité quand on en produit q. CM(q) = Error!.
2)
Coût marginal : Cm
C’est l’accroissement du coût total du à la fabrication d’une unité supplémentaire.
Cm(q) = C(q+1) – C(q)
En pratique Cm(q) = C ‘ (q).
III Fonction dérivée et dérivées usuelles
A] Fonction dérivée
Définition :
On dit que f est dérivable sur un intervalle I de IR, si pour tout point a de I le nombre dérivé
de f en a existe.
Notation :
Si f est dérivable sur I un intervalle de IR, la fonction
f ‘ : x Error! f ‘ (x) notée f ‘ est appelée fonction dérivée de f sur I.
Propriété :
 Les fonctions polynômes sont dérivables sur IR.
 Les fonctions rationnelles sont dérivables sur leur ensemble de définition.
B] Dérivées usuelles
1)
Dérivée d’une fonction constante
Propriété :
Si f une fonction constante, alors elle est dérivable sur IR et sa dérivée est nulle.
Démonstration :
Soit f(x) = k.
Soit a IR et h IR.
f(a+h) – f(a) = 0, donc le taux de variation est nulle donc f ‘ (x) = 0 pour tout xIR.
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Chapitre 5 :1ère ES
2)
Dérivée d’une fonction du type : f : x Error! xn
Théorème :
Si n est un entier positif non nul et si f : x Error! xn alors f ‘ (x) = n xn-1 pour tout x de IR.
Si n est un entier négatif non nul et si f : x Error! xn alors f ‘ (x) = n xn-1
pour tout x  ] –  ; 0 [  ] 0 ; +  [.
Démonstration :
Le faire pour n = 2 pour n = –1.
Exemples :
Le faire pour n = 1 ; n = 2 et n = –3.
Application :
g(x) = Error! calculer la dérivée de g sur IR*.
3)
Dérivée de f :x Error! Error!
Propriété :
f est définie sur IR+ mais elle est dérivable sur IR+*et f ‘(x) = Error! .
Exercices 12, 13, 14, 15, 16p224.
Exercices 51, 52, 53p227 sans les tableaux de variations.
IV Opérations sur les fonctions dérivées
A] Dérivée de u + v
Propriété :
Soient u et v deux fonctions dérivables sur I un intervalle de IR, alors u + v est dérivable sur I
et ( u + v ) ‘ = u’ + v’.
Exemple :
f(x) = x² + x5
Dériver f sur IR.
B] Dérivée de uv
Propriété :
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I de IR. Alors le produit uv est
dérivable sur I et (uv)’ = u’v + v’u.
Exemples :
g(x) = x² x
h(x) = ( x + 1 ) x²
Dériver g et h sur leur ensemble de définition.
C] Dérivée de Error!
Propriété :
Soient u et v deux fonctions dérivables sur I intervalle de IR tel que Error! soit définie sur I.
Alors Error! est dérivable sur I et (Error!)’ = Error!
Exemple :
l(x) = Error! .
Dériver l sur son ensemble de définition.
Cas particulier :
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Chapitre 5 :1ère ES
Soit v une fonction dérivable sur I un intervalle de tel que v(x)  0 sur I, alors Error! est
dérivable sur I et (Error!) ‘ = Error! .
Exemple :
k(x) = Error! .
Dériver k sur son ensemble de définition.
Exercices 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 30p224.
Exercice 37p225.
Exercices 44, 45p226.
V Sens de variations et signe de la dérivée
Théorème :
Soit f une fonction dérivable sur I un intervalle de IR.
 Si f ’ est positive sur I, alors f est croissante sur I.
 Si f ’ est négative sur I, alors f est décroissante sur I.
 Si f’ est nulle sur I, alors f est constante.
Exemple :
f(x) = x².
Etudier les variations de f.
Méthode :
 Domaine de définition de f.
 Ensemble de dérivation de f.
 Dériver f.
 Chercher le signe de f ‘ sur les différents intervalles.
 Dresser le tableau de variations de f.
Théorème :
Soit f une fonction dérivable sur I un intervalle de IR.
 Si f est croissante sur I, alors f ’ est positive.
 Si f est décroissante sur I, alors f ’ est négative.
 Si f est constante, alors f ’ est nulle.
Exercices 51, 52p227.
VI Extréma
On rencontre deux cas :
x
a
f ’(x)
+
0
f
f(a)
x
f ’(x)
f
–
–
a
0
+
f(a)
Le tableau de gauche présente un maximum et le tableau de droite un minimum.
Exercices 55, 60, 64, 66p227.
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Chapitre 5 :1ère ES