1ES-1Loption DERIVATION I-Les pré-requis page 114 : A- B

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DERIVATION
I-Les pré-requis page 114 :
A-
B-QCM : Utiliser le calcul algébrique : f(x) =x2+3x+2 et g(x)=
Pour tout h, calculer f(2+h) ; f(-3+h) ; f(1+h)-f(1) ; h≠-2
C-Tableaux de signes
g(1+h) ; h≠-4
g(3+h)-g(3)
II-Nombre dérivé et tangente
1)Activité page 116
b.Que devient m lorsque h tend vers 0,c-à-d h devient pratiquement nul ?
c.Tracer la droite T, passant par A et ayant pour coefficient directeur le nombre trouvé au 2b.
La droite coupe-t-elle la courbe P ?
2)Taux de variation d’accroissement de f entre a et b : (page 118)
f est une fonction définie sur un intervalle I ; a et b sont deux réels distincts de I (h ≠ 0).
Définition : On a appelle taux d’accroissement de f entre a et b le nombre
1
=
C’est le coefficient directeur de la sécante (AB)
=
=
C’est le coefficient directeur de la sécante (AM)
3)Nombre dérivé de f en a :
f est une fonction et a un point de son intervalle de définition. Dire que la fonction f est dérivable au point a signifie
que le taux de variation
admet une limite finie 𝓁 quand h tend vers zéro.
Cette limite 𝓁 est appelée le nombre dérivé de f au point a. On le note f ' (a).
f'’ ( a ) =
exemple : la fonction f définie sur ℝ par f(x)=x2 et a = 3
Le taux de variation entre 3 et 3 + h est :
= 6 + h. Or
.C'est à dire que l'on peut rendre 6 + h
aussi près de 6 à condition de prendre h suffisamment proche de 0 . Donc le nombre dérivé f'’(3) = 6
4)Tangente en un point A(a ;f(a)) à
:
Si f est une fonction continue en a, quand le
point M (a+h ; f(a+h))est proche de A(a ;f(a)), la
sécante (AM) est "proche" de la tangente T à la
courbe au point A.
Le taux de variation de la fonction f entre a et a
+ h (avec h proche de 0) est une approximation
du coefficient directeur de cette tangente.
L’équation de T est
y = f ’(a).(x-a) + f (a)
III-Fonction dérivée et sens de variation : (page 120)
1)Fonction dérivée : Si la fonction f définie sur un intervalle I est dérivable en tout point a de I, en associant à tout réel
a de I le nombre dérivé f '(a) , on obtient une nouvelle fonction notée f ' qui est la dérivée de la fonction f.
2
Définition : f est une fonction dérivable en tout point x d'un intervalle I inclus dans son domaine de définition. La
fonction qui à tout réel x de I associe f '(x), le nombre dérivé de f en x, est la fonction dérivée de f sur I. On la note f ' :
x→f '(x)
A la calculatrice, on obtient la fonction dérivée point par point :
Mettre dans Y1=la fonction f(x) à étudier : exemple Y1=X^2 ; dans Y2 = nbreDerivé(Y1,X,X)
Remarques : pour obtenir nDeriv(Y1,X,X), vous devez taper Taper MATH 8-nbreDerivé (VAR
VARS-Y Y1,X ,X) Entrer
2)Sens de variation :
Étudier les variations d'une fonction c'est partager si possible le domaine de définition en intervalles partiels sur
lesquels elle est monotone.
Rappel : Dire qu'une fonction f est strictement croissante sur un intervalle, signifie que quels que soient les réels
distincts a et b de cet intervalle
a étant fixé, il existe un réel h tel que b=a+h.
Par conséquent, si f est une fonction strictement croissante sur un intervalle I, alors quels que soient les réels a et a+h
, h≠0, de cet intervalle,
Si en outre la fonction f est dérivable en a, l'inégalité précédente implique que le nombre dérivé f '(a) soit positif ou
égal à 0.
Ainsi :Si une fonction f est dérivable sur un intervalle I et croissante sur cet intervalle, alors pour tout réel x de I , f '(x)
≥0.
De même : Si une fonction f est décroissante et dérivable sur un intervalle I, alors pour tout réel x de I f '(x) ≤0
Le lien réciproque entre le signe de la dérivée d'une fonction et son sens de variation est démontré dans des
classes supérieures.
IV-Calcul des dérivées (page 122)
1) Fonctions dérivées des fonctions usuelles. (Admis)
3
Exemples
2) Opérations sur les fonctions dérivables.
Dérivée d’une somme :
Si u et v sont deux fonctions dérivables sur I alors u+v est dérivable sur I et pour tout x de I,
u v' ( x ) u' ( x ) v' ( x )
R , f ( x ) x3 x2
Alors f ( x ) u( x ) v( x )avec u( x ) x3 et v( x ) x2
Et par conséquent f ' ( x ) u' ( x ) v' ( x ) 3x2 2x
Exemple si pour tout xI
Dérivée du produit d’une fonction par un réel:
Si u est une fonction dérivable sur I et si k est un réel quelconque alors pour tout x de I ,
ku' ( x ) ku' ( x )
R , f ( x ) 4x3 alors f ( x ) ku( x ) avec u( x ) x3 et k 4
Et par conséquent f ' ( x ) ku' ( x ) 4 3x2 12x2
Exemple si pour tout xI
Dérivée du produit de deux fonctions:
Si u et v sont deux fonctions dérivables sur I alors uv est dérivable sur I et pour tout x de I ,
uv' ( x ) u' ( x )v( x ) u( x )v' ( x )
R , f ( x ) ( 2x 5 )( x² 3 ). Alors f ( x ) u( x )v( x ) avec u( x ) 2x
5et v( x ) x 3 et par conséquent f ' ( x ) u' ( x )v( x ) u( x )v' ( x ) 6x2 10x 6
Exemple si pour tout xI
2
Dérivée de l’inverse d’une fonction:
Si v est une fonction dérivable sur I et si pour tout x de I , v(
4
x ) 0 alors pour tout x de I,
Dérivée du quotient de deux fonctions:
1.
5
EXERCICES DU CHAPITRE 5:
n°99 :Attaque de pucerons
1 f (0) = 2,1. Au moment de l’introduction des coccinelles,
il y a 2,1 milliers de pucerons.
2 a. La vitesse de proliferation a l’instant t est :
f’ (t) = 0,009t2 – 0,24t + 1,1.
b. D = 0,018 ; t1 ≈ 5,88 et t2 ≈ 20,79.
D’ou le tableau de variations sur [ 0 ; 20 ] :
N n°42 Équation de tangente
1)La tangente a la courbe Cf au point
d’abscisse a admet pour équation
reduite :y = f’ (a) (x – a) + f (a).
En developpant, on obtient :
y = f’ (a) × x + (f (a) – a × f’ (a)).
Le coefficient directeur est m = f’ (a).
L’ordonnee a l’origine est :
p = f (a) – a × f’ (a).
Avec f (t1) ≈ 5,03.
Le nombre de pucerons commence a diminuer entre le
5e jour et le 6e jour.On souhaite resoudre f (x) = 1.
On utilise la calculatrice. Le seuil de 1 millier sera atteint entre le
16e et le17e jour.
n n°45 page 129°
n°113 p.142 :Vitesse de propagation d’une maladie
Partie A : ÉTUDE GRAPHI QUE
1 La situation est grave au bout de 4 jours et jusqu’a
10 jours : cela fait 6 jours complets.
2 f’ (0) est le coefficient directeur de la droite (OA),
Ainsi, f’ (0) = 11,25.
.
b. L’épidémie progresse le plus lorsque la tangente est
la plus pentue, soit environ au bout de 4 jours.
6