C A L C U L D A N S IR

C A L C U L D A N S IR
I-LES ENSEMBLES DE NOMBRES SOUS-ENSEMBLES DE IR :
1) L’ensemble des entiers naturels :
L’ensemble des entiers naturels noté IN est :
IN =


IN est muni de deux opérations qui sont l’addition et la multiplication.
L’équation x+n =o n’a pas de solution dans IN, d’où la nécessité d’un
autre ensemble plus vaste que IN.
2) L’ensemble des entiers relatifs :
L’ensemble des entiers relatifs noté Z est :
Z
=




Z est muni de deux opérations : l’addition et la multiplication.
Pour un entier relatif a et un entier naturel b, il existe un entier
relatif q et un entier naturel unique r tels que :a =b.q + r.
Un nombre est premier s’il admet exactement deux diviseurs :1 et luimême.
L’équation 3x + 2=0 n’a pas de solution dans Z. D’où la nécessité d’un
ensemble plus vaste.
3) L’ensemble des nombres décimaux :
est l’ensemble des nombres décimaux.
D=
Tout entier relatif p est un nombre décimal.
En effet p =
=
4) L’ensemble des nombres rationnels :
L’ensemble des nombres rationnels est :
Q ={
/p
Z et q
Z* }
Tout nombre décimal est un quotient de deux entiers, donc c’est un
nombre rationnel.
Mais Q est insuffisant pour mesurer toutes les grandeurs physiques.
D’où l’existence des nombres dits nombres irrationnels.
Ainsi :
.
,
,
sont des nombres irrationnels
5) L’ensemble des nombres réels :
La réunion de l’ensemble des nombres rationnels et des
nombres irrationnels constitue l’ensemble des nombres réels
noté IR.
Ainsi
II-CALCUL DANS IR
:
1) Règle de signe :
b:
Pour tout réel a et
(a +b) = a b
(-a)(-b) = ab
(ab) = ( a)b =
a( b)
Si b  0
a a

b b
a
= a =
b
b
-
a
b
EXEMPLES :
-
(x+2) =-x -2,
(-3)(-x) = 3x ;
= ;
2) 0pposé :
Deux nombres réels opposés sont deux nombres dont la somme
est nulle.
2 et -2 sont opposé
s
Si a est négatif, -a
positif ;
Si a est positif, -a
négatif.
est
est
3) Produits :
Pour tous réels a, b, c :
a(bc) = (ab)c = abc
a(b+c) = ab + bc
a(b –c) = ab – ac
(a+b(c+d) = ac + ad + bc + bd.


EXEMPLES:
4(3x²) = 12x²
-2(x+1) = -2x -2



3(4x -2) = 12x – 6
‘x + 1 )((x + 2 ) = x² + 2x +x + 2 = x² + 3x + 2
4) Quotients:
On suppose dans
nuls.

ce paragraphe
tous les dénominateurs non
Simplification :
=
=

=
0pérations :
a c ac
 
b b
b
a c ad  bc
 
b d
bd
a c ac
. 
b d bd
a
b  a d  ad
c b c bc
d
1 b

a a
b
EXEMPLES :

= + = +1
=


=
5
Puissances :
=
=
=…
Soit a un réel .Rappelons que an=a.a.a.a….a (n facteurs).0n convient
-1
aussi que pour a 0, a0 =1, a
= ,a-2= ,…., a-n =
.
Pour tous réels a et b non nuls, pour tous entiers relatifs n et p :
anap = an+p,
6)
=
,
,
=
(ab)n =anbn,
=
Racine carrée:
Pour tout réel a positif,
²=a
est l’unique réel positif vérifiant (
)
Pour tous réels a et b strictement positifs :
=
.
,
,
=
=
III-LES ECRITURES D’UN NOMBRE REEL
:
1) Ecriture décimale illimitée d’un nombre réel :
Tout nombre qui admet une écriture décimale est un nombre
décimal.

est un décimal car

= 2.5. 2.5 est l’écriture décimale de
n’est pas un nombre décimal car elle admet une écriture décimale
Illimitée périodique.
écrivant 2,
=2,2727272……. :ce que l’on indique en
…
On admet que, tout nombre
rationnel admet une écriture
décimale illimitée périodique. Tout nombre qui admet une
écriture décimale illimitée périodique est un nombre rationnel.

Posons x= 1,414 alors 1000x – x =1414,414-1,414
999x =1413
x=
La méthode consiste à déduire x du résultat du calcul de 10nx –x; n
étant le nombre de chiffres dans la période.

Ecriture décimales illimitées de
= 3,141592653589…. Et
et
.
=1,41421356…
2) Notation scientifique :
Tout nombre décimal peut s’écrire sous la forme du produit d’un
nombre décimal ayant un seul chiffre non nul avant la virgule par une
puissance de dix.

Ainsi 8410000=8,41.106 et -0,00000017 = - 1,7.10-7
IV-La représentation graphique de IR :
0n représente IR par une droite graduée avec les conventions :
-tout réel est représenté par un point de cette droite.
-tout point de cette droite représente un réel.
V-Intervalles de IR :
L’intervalle fermé (a, b) noté [a ; b] est :
[a ; b] ={x  IR/ a≤ x  b}.
L’intervalle ouvert (a, b) noté] a ; b [est :
]a ; b[ ={x  IR / a< x < b}
]a, b] ={x .IR/ a x b}
[a, b[ ={ x .IR/ a x b}
]a, +∞[ ={x IR/ x a}
[a, +∞[ ={x IR/x
a}
]-∞, b]={ x IR/x b }
]-∞, b[={x IR/x
b}
VI-VALEUR ABSOLUE :
1) Distance de deux nombres réels :
Soient a un nombre réel positif, x et y deux nombres quelconques.0ndit
que y est à une distance a de x si, et seulement si x-a=y ou x+a =y.
1er cas :
x
y
dans ce cas x –a =y
2ième cas :
x
y
dans ce cas x + a = y
Dans les deux cas, a est appelé distance de y à x et noté d(y, x)
 x  y _ si _ x  y
 y  x _ si _ x  y
d(y,x) = 



d(y,x) =d(x,y)
d(x,y) =0 si et seulement si, x =0.
D(z,x)  d(z,y) + d(y,x).
2) Valeur absolue d’un nombre réel :
La distance de 0 à x est appelée valeur absolue de x et notée :
=
d(y, x) = x  y
x = 0si, et seulement si x =0
Quel que soit le réel x , x  0
x = x
x x
2
x =x
x y x  y +
x
3) Inéquation
a si et seulement si
-a
x
a.
b:
Soient a et b deux nombres réels donnés, b 0 et x un réel quelconque
.
0n sait que
b si et seulement si –b x – a b.


Donc a-b x a + b. L’ensemble des solutions est :S =[a – b ; a + b].
S est l’intervalle fermé de centre a
.
Résolvons dans IR l’inéquation :
2.
L’inéquation est équivalente à -2 x -3 2. C’est-à-dire
3 -2 x 3+2. S =[1, 5].
Résolvons dans IR :
.
0n a : -6 -2 2x -6+2,c’est à dire que ;-8 2x -4
Donc :-4 x -2. S = [-4, -2].
VII-CALCUL APPROCHE :
1) Approximation d’ordre n :
Soit x un réel. Les nombres décimaux consécutifs
et
sont
appelés approximations décimales d’ordre n de
respectivement par défaut et par excès si, et seulement si,
x
x

Ainsi 3,1
3,2
3,1 est l’approximation décimale d’ordre 1 par défaut de

3,2 est l’approximation décimale d’ordre 1 par excès de
1,41
1,42.
1,41 est l’approximation décimale d’ordre 2 par défaut de
1,42 est l’approximation décimale d’ordre 2 par excès de
.
.
.
.
2) Arrondis d’ordre n :
Soit x un réel. 0n appelle arrondi d’ordre n de x l’approximation décimale d’ordre n qui
est à la plus petite distance de x.
Soient a et b les approximations décimales d’ordre n de x avec
a b.
si x  [a,
si x  ]
ab
[ alors a est l’arrondi d’ordre n de x.
2
ab
, b] alors b est l’arrondi d’ordre n de x.
2
si x =
ab
alors 0n convient de prendre pour arrondi
2
d’ordre n de x l’approximation décimale
valeur absolue
.
3) Encadrement d’un nombre réel :
qui a la plus grande
0n appelle encadrement d’un nombre réel x tout intervalle
borné contenant x. l’amplitude de l’encadrement est la distance
des extrémités de cet encadrement.

[3,1 ; 3,2] est un encadrement de
En effet, 3,1    3,2 et 3,2 -3,1 = 0,1
 d’ amplitude 0,1.