à une inconnue I Genéralités 1. Définition Exemple : Une équation à une inconnue est une égalité dans laquelle un nombre est désigné par une lettre. 2x + 2 = 3(x – 1) +1 est une équation à une inconnue x second membre premier membre Si on teste la valeur 1 pour x, on obtient : 2 x 1 + 2 = 3(1 – 1) + 1 soit Si on teste la valeur x = 4 2 x 4 + 2 = 3(4 – 1) + 1 soit 4 = 1 , cette égalité est fausse 10 = 10 cette égalité est vraie et le nombre 4 s’appelle une solution de l’équation. Résoudre une équation à une inconnue x, c’est trouver toutes les solutions possibles (les valeurs de x pour que l’égalité soit vraie). Le degré d’une équation à une inconnue x, est l’exposant le plus élevé de x (après développement et réduction) Exemples : 2. L’exemple précédent est du 1er degré (degré1) car x = x1 2x² - x = 12 est du second degré (degré 2) car il y a x² (2x + 3)(5x – 1) = 12 est aussi du second degré car après développement on obtient 10x² + 13x – 3 = 12 (3x -2)² = 9x² est du 1er degré malgré les apparences ……(à développer et réduire) Propriétés On peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres sans changer une égalité. On peut multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul sans changer une égalité. a, b et c étant 3 nombres relatifs, si a = b alors a + c = b + c et a – c = b – c a, b et c étant 3 nombres relatifs, et c ≠ 0 si a = b alors a x c = b x c et Error! = Error! Applications immédiates: Si x + a = b alors x=b-a avec des opérateurs +a Propriété 1 X b -a Si alors ax = b x = Error! Propriété 2 X a X b :a II Résoudre une équation à une inconnue Résoudre l’équation 4(2x – 5) = 2 + 10(x – 2) : la méthode 1. On peut développer et réduire chaque membre 4(2x – 5) = 2 +10(x – 2) 8x – 20 = 2 + 10x – 20 8x – 20 = -18 + 10x 2. On peut regrouper les termes en x dans un membre et les nombres connus dans l’autre 8x – 10x = -18 + 20 -2x = 2 3. Il reste à diviser les 2 membres par un même nombre (ici -2) Error! = Error! 4. Il faut vérifier dans l’équation de départ 4(2 x (-1) – 5) = 2 + 10(-1 – 2) 4(-7) = 2 +10(-3) -28 = -28 5. Pour terminer il faut conclure La solution est -1 x = -1 On peut remarquer dans la 2ème étape de la méthode que Dans une équation, on peut changer un terme de membre en changeant son signe. III Equation produit nul 1. Une propriété bien connue de la multiplication Dans un produit, si un facteur est nul alors ce produit est nul Exemple : 3 x (-4)² x 2009 x (2 – x) x 0 x 10-12 = 0 Réciproquement : Si un produit est nul, alors l’un au moins des facteurs est nul. 2. Exemple : A, B, C et D étant 4 nombres relatifs si A x B x C x D = 0 alors A = 0 ou B = 0 ou C = 0 ou D = 0 Définition Une équation produit nul est une équation dont le 1er membre est un produit et dont le 2ème membre est 0 Exemples : x(2x + 3)(x – 1) = 0 (x – 1)(x + 2) = 0 produit de 3 facteurs (x – 3) – (3x + 4) = 0 (x - 1)(5x -3) = 3 3. produit de 2 facteurs ne sont pas des équations produit nul Résolution : Résoudre l’équation x(2x + 3)(x – 1) = 0 On a un produit (de 3 facteurs) nul donc l’un des facteurs est nul. x = 0 ou 2x + 3 = 0 ou x – 1 = 0 2x = -3 x=1 Error! Il y a 3 solutions 0, Error! et 1 facilement vérifiables dans l’équation de départ. x= 4. Certaines équations peuvent se ramener à une équation produit nul 4x² = 5x 4x² - 5x = 0 On a mis tous les termes dans le 1er membre x(4x - 5) = 0 On a factorisé le 1er membre, On a un produit (de 2 facteurs) nul donc l’un des facteurs est nul. Soit x = 0 soit 4x – 5 = 0 D’où les 2 solutions x = 0 et x = Error! (x + 6)(3x + 5) + (x + 6) = 0 Le développement du 1er membre aboutirait à une équation du 2ème degré que nous ne savons pas résoudre. Nous allons comme précédemment factoriser le 1 er membre : facteur commun (x + 6) d’où (x + 6)(3x + 5 + 1) = 0 (x + 6)(3x + 6) = 0 On a un produit (de 2 facteurs) nul donc l’un des facteurs est nul. Soit x + 6 = 0 soit 3x + 6 = 0. On aboutit aux 2 solutions x = -6 et x= Error! ou -2 25 + 4x² = 20x On procède comme dans le 1er exemple : 25 + 4x² - 20x = 0 et on factorise le 1er membre comme a² - 2ab + b² (5 - 2x)² = 0 On a encore un produit de facteurs nul avec ici 2 fois le même facteur (5 - 2x) Donc 5 - 2x = 0 et une seule solution x = 5. Error! Un cas particulier : l’équation x² = a Trois exemples pour illustrer les cas qui peuvent se présenter : x² = 9. On procède comme dans les exemples du 4. pour se ramener à une équation produit nul. x² - 9 = 0 (x + 3)(x – 3) = 0 en factorisant sur le modèle a² - b² = (a + b)(a – b) Ce produit étant nul, l’un de ses deux facteurs est nul donc Soit x + 3 = 0 soit x – 3 = 0 D’où les solutions x = -3 et x = 3 x² = -9. On peut se dire que comme un nombre au carré est toujours positif, on n’a aucune chance d’en trouver un qui vaut -9 donc cette équation n’a aucune solution.(parmi tous les nombres que l’on connaît en 3ème) x² = 0 Il n’y a que le nombre zéro qui vérifie cette équation. Donc x = 0 1. Si a > 0 l’équation x² = a admet 2 solutions a et - a. 2. Si a < 0 l’équation x² = a n’a aucune solution. 3. L’équation x² = 0 admet une solution, 0 Exemples : x² = 11 admet 2 solutions x = 11 et x = - 11 Vérifications ( 11)² = 11 et (- 11)² = 11 x² + 16 = 0 se ramène à x² = -16 et n’a aucune solution. III Résoudre un problème par une équation Problème : Pour fêter la fin de l’année scolaire, Ambre, Caroline et Maxime préparent un cocktail de jus de fruits. Ambre boit le quart de la préparation, Caroline en boit les Error! et Maxime Error! . Il leur reste encore 1 litre de boisson. Quelle quantité de cocktail a été préparée ? la méthode : 1. 2. Choix de l’inconnue Mise en équation du problème Soit x la quantité de cocktail préparée On peut exprimer que 1L est la différence entre la quantité initiale et ce qui a été bu. D’où l’équation x – (Error! x + Error! x + Error! x) = 1 3. Résolution de l’équation x – (Error! x + Error! x + Error! x) = 1 Error!x = 1 Error! x - Error!x =1 Error! x = 1 ou Error! x = 1 d’où x = 4 Ambre :Error! de 4L = 1L Caroline : Error! de 4L = 1,2L Maxime : Error! de 4L = 0,8L x– 4. 5. Vérification du résultat Réponse au problème posé Ils ont bu à trois 1 + 1,2 + 0,8 = 3L et il reste bien 1L Ils ont préparé 4L de cocktail.