Fiche méthode : Calculs ALGEBRIQUES

FICHE METHODE sur le
CALCUL ALGEBRIQUE
I) A quoi le calcul algébrique ?
a) Exemples :
 . Si on ajoute trois entiers consécutifs alors on obtient un multiple de trois !
Preuve : n + ( n+1) + ( n + 2 ) = 3n + 3 = 3( n + 1 ).
 Augmenter un nombre de t% revient à multiplier ce nombre par ( 1 + Error!)
Preuve : x + Error! x = x  1 + x  Error! = x ( 1 + Error! )
 Pour trouver le résultat de la somme des n premiers nombres entiers naturels non nuls
S=1+2+3+…+n=?
Il suffit de calculer Error!
Preuve : S = 1 + 2 + 3 + … + n
S = n +( n –1) + ( n – 2 ) + …
+1
2S = ( n +1) + ( n +1) + (n +1) + … + ( n +1) = n ( n +1)
S = Error!
 Choisissez un nombre, multilpiez le par 2, ajoutez 3, multilpiez par 4 , retirez 4,
divisez par 8 ! Le nombre que vous obtenez est égal au nombre du départ plus un !
Preuve : Error! = Error! = Error!= Error! = Error! = n + 1 .
b) Remarques :
Certains problèmes consistent en le fait de démontrer q’une chose qui semble fonctionner pour
quelques nombres fonctionne pour tous les nombres possibles ! On ne peut vérifier que cette
chose fonctionne pour tous les nombres car il y en a une infinité ! On utilise alors le calcul
avec une lettre ( ou des lettres ) où cette lettre est supposée être un nombre quelconque !
Le calcul algébrique permet alors de simplifier des formules ( exemples  ,  ), de faire des
démonstrations (  et  ), …
Il est nécessaire de connaître et de savoir appliquer quelques règles de calcul algébrique qui
sont données dans ce qui suit.
II) Propriétés du calcul algébrique
■ Propriété 1: ( Propriétés de l’addition )
Quels que soient a, b et c des nombres réels .
a+b=b+a
a+(b+c)=(a+b)+c =a+b+c
a+0=0+a=a
a + ( -a) = ( -a) + a = 0
Preuve: ( admis )
■ Propriété 2: ( Propriétés de la multiplication )
Quels que soient a, b et c des nombres réels .
ab=ba
a(bc)=(ab)c =abc
a1=1a=a
Error! ( a  0 )
Preuve: ( admis )
■ Propriété 3 : ( Propriétés de DISTRIBUTIVITE )
Quels que soient a, b et c des nombres réels .
a  ( b + c ) = ab + ac
a  ( b – c ) = ab – ac
( a + b )  ( c + d ) = ac + ad + bc + bd
Preuve: ( admis )
■ Propriété 4 : ( Produits remarquables )
Quels que soient a et b des nombres réels .
(a + b)² = a² + b² + 2ab
(a – b)² = a² + b² – 2ab
(a + b)(a – b) = a² – b²
Preuve: ( admis )