Trigonométrie

Académie de Rouen
Académie de Rouen - Document pédagogique
ETABLISSEMENT
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
SITUATION Formation
DOMAINE Maths
NIVEAU : Cycle d’orientation
TITRE : TRIGONOMETRIE
Compétences mises en œuvre
Code de la
compétence
T2 E1
Objectifs
atteints
Intitulé exact de la compétence
Donner une valeur numérique du sinus, du cosinus ou de la tangente d'un angle donné.
T2 E2
Donner l'angle à partir de son sinus, de son cosinus ou de sa tangente.
T2 T11
Calculer, dans un triangle rectangle, la mesure d'un angle.
T2 T12
Calculer, dans un triangle rectangle, la mesure d'un côté de l'angle droit.
T2 T13
Calculer, dans un triangle rectangle, la mesure de l'hypoténuse..
T2 CH1
Ecrire la formule trigonométrique appropriée.
Critères de réussite
Exercice
Compétence
Critères
Situation d’évaluation : Consignes de passation
Situation de formation :
Compétences visées
En situation de synthèse
En situation de recherche
En grand groupe
En petits groupes
Activités des élèves
En travail individuel
Nombre de séquences et durée :
5 séquences de 1 heure 30 à 1 heure 45.
Durée : 2 semaines.
Déroulement proposé et documents utilisés :
Séquence 1 :
Il s'agit de découvrir, à travers les exercices du Document n°1, les notions de

sinus, cosinus et tangente.
La Fiche 1 est élaborée avec les élèves.
Durée : 1 heure 45.
Séquence 2 :
Il s'agit, à travers les exercices du Document n°2, de vérifier si les élèves
ont bien compris les notions abordées précédemment ( calculs du sinus, du

cosinus et de la tangente, utilisation correcte de la table de trigonométrie ).
Durée : 1 heure 30.
Séquence 3 :
Les élèves effectuent la Fiche 2 et peuvent s'aider de la Fiche 1.
-reconnaître, dans un triangle rectangle, l'hypoténuse, le côté opposé et le
côté adjacent à l'angle considéré et calculer le sinus, le cosinus et la
tangente.
-nommer, d'après un schéma, les éléments connus, indiquer la formule utilisée
( Pythagore ou la trigonométrie )et effectuer le calcul demandé.
Durée : 1 heure 30.
Séquence 4 :
Les élèves effectuent la Fiche 3 et peuvent s'aider de leurs documents.
Il s'agit d'appliquer la méthode utilisée lors de la fiche précédente (
recherche des éléments connus, de la bonne formule et calcul ) à travers
deux situations concrètes.
Durée : 1 heure 45.
Séquence 5 :
Les élèves effectuent la Fiche 4, sans aide.
-utilisation de la table de trigonométrie pour donner l'angle ou son sinus…….
-calcul d'un angle connaissant deux côtés du triangle rectangle

-calcul d'un côté connaissant un autre côté et un angle du triangle rectangle
Durée : 1 heure 30.
T2
T2
T2
T2
T2
T2







E1
E2
T11
T11
T13
CH1
pour
tous les
exercices
Document n°1
1- a ) Construis un angle  = 30° ( lettre grecque
qu'on lit "alpha" ).
Place des points A, B, C, D comme le montre la
figure ci-contre.
Mesure les longueurs des segments obtenus.
Calcule les rapports :
A
C

O
B
D
AB =
OA
CD =
OC
Que remarques-tu?
……………………………………………………………………………………………………………………………………
b )Recommence les mêmes calculs avec un angle  = 45°.
Quelle règle peut-on écrire?
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
2- Reprends la construction de l'exercice 1 avec un angle  = 30°, puis avec un
angle  = 60°.
Calcule les rapports :
OB =
OA
OB =
OA
OD =
OD =
OC
OC
Quelle règle peut-on écrire?
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
3- Reprends à nouveau la construction de l'exercice 1 avec un angle  = 30°,
puis avec un angle  = 45°.
Calcule les rapports :
AB =
AB =
CD =
CD =
OB
OD
OB
OD
Quelle règle peut-on écrire?
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
Dans tous les exercices, les figures sur lesquelles tu as effectué les calculs
étaient les mêmes.
De quelle figure s'agit-il?
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
Les règles que tu as trouvées ne sont valables que dans cette figure
géométrique.
Fiche 1 : Trigonométrie
Sinus d'un angle
Dans l'exercice 1 a), on a AB = CD = 0,5 quelle que soit la position des points.
OA OC
De même dans l'exercice 1 b), on a
AB = CD = 0,7 quelle que soit la position.
OA OC
Dans le triangle OAB, [AB] est le côté opposé à l'angle  et [OA] l'hypoténuse.
Dans le triangle OCD, [CD] est le côté opposé à l'angle  et [OC] l'hypoténuse.
Le rapport mesure du côté opposé à l'angle  est constant.
mesure de l'hypoténuse
On appelle ce rapport sinus de l'angle .
On écrit sinus  = AB ou sin  = AB 
OA
OA
sin  = côté opposé
hypoténuse
Cosinus d'un angle
Dans l'exercice 2 pour  = 30°, on a OB = OD = 0,86 quelle que soit la position
des points.
OA OC
De même pour  = 60°, on a
OB = OD = 0,5 quelle que soit la position.
OA OC
Dans le triangle OAB, [OB] est le côté adjacent à l'angle  et [OA]
l'hypoténuse.
Dans le triangle OCD, [OD] est le côté adjacent à l'angle  et [OC]
l'hypoténuse.
Le rapport mesure du côté adjacent à l'angle  est constant.
mesure de l'hypoténuse
On appelle ce rapport cosinus de l'angle .
On écrit cosinus  = OB ou
OA
cos  = AB 
OA
cos  = côté adjacent
hypoténuse
Tangente d'un angle
Dans l'exercice 3 pour  = 30°, on a AB = CD = 0,57 quelle que soit la position
des points.
OB OD
De même pour  = 45°, on a
AB = CD = 1 quelle que soit la position.
OB OD
Dans le triangle OAB, [AB] est le côté opposé à l'angle  et [OB] le côté
adjacent.
Dans le triangle OCD, [AD] est le côté opposé à l'angle  et [OD] le côté
adjacent.
Le rapport mesure du côté opposé à l'angle 
mesure du côté adjacent à l'angle 
est constant.
On appelle ce rapport tangente de l'angle .
On écrit tangente  = AB ou tg  = AB 
OB
OB
tg  = côté opposé
côté adjacent
côté opposé
hypoténuse

côté adjacent
angle considéré
Pour faciliter la recherche :
-d'un angle connaissant son sinus, son cosinus ou sa tangente
-du sinus, du cosinus ou de la tangente d'un angle donné
on utilise une table trigonométrique. ( voir document annexe )
Pour utiliser la table de trigonométrie, il faut bien faire attention :
au sens de lecture (
ou
).
TABLE TRIGONOMETRIQUE
Degrés
Cosinus
Sinus
Tangente
0
1
2
3
4
5
1,000
1,000
0,999
0,999
0,998
0,996
0,000
0,017
0,035
0,052
0,070
0,087
0,000
0,017
0,035
0,052
0,070
0,087
57,29
28,63
19,08
14,30
11,43
90
89
88
87
86
85
6
7
8
9
10
0,995
0,993
0,990
0,988
0,985
0,105
0,122
0,139
0,156
0,174
0,105
0,123
0,141
0,158
0,176
9,514
8,144
7,115
6,314
5,671
84
83
82
81
80
11
12
13
14
15
0,982
0,978
0,974
0,970
0,966
0,191
0,208
0,225
0,242
0,259
0,194
0,213
0,231
0,249
0,268
5,145
4,705
4,331
4,011
3,732
79
78
77
76
75
16
17
18
19
20
0,961
0,956
0,951
0,946
0,940
0,276
0,292
0,309
0,326
0,342
0,287
0,306
0,325
0,344
0,364
3,487
3,271
3,078
2,904
2,747
74
73
72
71
70
21
22
23
24
25
0,934
0,927
0,921
0,914
0,906
0,358
0,375
0,391
0,407
0,423
0,384
0,404
0,424
0,445
0,466
2,605
2,475
2,356
2,246
2,145
69
68
67
66
65
26
27
28
29
30
0,899
0,891
0,883
0,875
0,866
0,438
0,454
0,469
0,485
0,500
0,488
0,510
0,532
0,554
0,577
2,050
1,963
1,881
1,804
1,732
64
63
62
61
60
31
32
33
34
35
0,857
0,848
0,839
0,829
0,819
0,515
0,530
0,545
0,559
0,574
0,601
0,625
0,649
0,675
0,700
1,664
1,600
1,540
1,483
1,428
59
58
57
56
55
36
37
38
39
40
0,809
0,799
0,788
0,777
0,766
0,588
0,602
0,616
0,629
0,643
0,727
0,754
0,781
0,810
0,839
1,376
1,327
1,280
1,235
1,192
54
53
52
51
50
41
42
43
44
45
0,755
0,743
0,731
0,719
0,707
0,656
0,669
0,682
0,695
0,707
0,869
0,900
0,933
0,966
1,000
1,150
1,111
1,072
1,036
1,000
49
48
47
46
45
Sinus
Cosinus
Tangente
Degrés
Document n°2
1- a)Soit le triangle ABC rectangle en A.
On donne [AB] = 6 cm, [AC] = 8 cm et [BC] = 10 cm.
B
Calcule sin B et sin C.
En déduire les angles B et C ( à 1° près )
en s'aidant de la table trigonométrique.
A
C
b)Soit un triangle DEF rectangle en D.
On donne [DE] = 50 mm, [DF] = 120 mm, [EF] = 130 mm.
Calcule sin E et sin F.
En déduire les angles E et F ( à 1°près ).
2- a)Soit le triangle ABC rectangle en A.
On donne
B
[AB] = 780 mm
[AC] = 270 mm
[BC] = 825 mm.
Calcule cos B et cos C.
En déduire les angles B et C ( à 1° près ).
b) Soit un triangle DEF rectangle en D.
On donne [DE] = 15 cm, [DF] = 26 cm et [EF] = 30 cm.
Calcule cos E et cos F.
En déduire la valeur des angles E et F ( à 1° près ).
A
C
3- Complète les tableaux suivants ( précision à 1° près ) en utilisant la table
trigonométrique :
a)
sin  0,643 0,966

cos  0,961 0,629

tg  0,268 1,111

b)

12°
87°
sin 

25°
72°
cos 

84°
38°
tg 
c)
 = 32°  = 49°  = 14°

sin  = 0,927
tg  = 1,482
cos  = 0,927
=
=
=
Tout au long de ces 3 exercices , tu as utilisé la table trigonométrique.
Explique comment il faut faire pour lire la bonne réponse dans cette table :
………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
Fiche 2
1-
B
F
D
A
E
C
Pour ABC triangle rectangle :
Pour DEF triangle rectangle :
*l'hypoténuse est : …………………
*l'hypoténuse est : …………………
*le côté opposé à A est : …………………
*le côté opposé à D est : …………………
*le côté adjacent à A est : …………………
*le côté adjacent à D est : …………………
donc :
donc :
cos A = …………………………………………………….. sin D = ……………………………………………………..
sin A = ……………………………………………………..
tg D = ……………………………………………………..
2-
a)nomme les éléments connus :
…………………………………………………………………….
R
b)précise si on utilise Pythagore ou la
trigonométrie :
4 cm
A
…………………………………………………………………….
6 cm
K c)détermine la longueur du segment RK
…………………………………………………………………….
…………………………………………………………………….
…………………………………………………………………….
3-
a)nomme les éléments connus :
…………………………………………………………………….
40°
I
b)précise si on utilise Pythagore ou la
trigonométrie :
K
5 cm
…………………………………………………………………….
R
c)détermine la longueur du segment RK
…………………………………………………………………….
…………………………………………………………………….
…………………………………………………………………….
4-
B
A
D
Complète le tableau suivant après avoir pris les mesures :
[AB]
Calcule le rapport
[AD]
[BD]
D
AD :
BD
Que représente ce rapport?…………………………………………………………………………………………….
Que représente [BD] pour le triangle ABD?…………………………………………………………………
Que représente [AD] pour l'angle D?…………………………………………………………………………….
Fiche 3
1- Le dessin représente une échelle appuyée contre un mur.
La longueur de l'échelle est de 6 m.
L'écartement entre le pied de l'échelle et le mur est de 2,25 m.
Pour une bonne sécurité, l'angle  doit avoir une valeur d'au moins 20°.
Est ce que cette échelle correspond à cette norme de sécurité?
Pour répondre, travaille avec méthode.
Dans le triangle ABC formé :
-nomme les éléments connus.
-considère les positions des côtés par
rapport à l'angle .
-recherche parmi le sinus, le cosinus, la
tangente, le rapport qui convient.
-écris ce rapport avec les côtés.
-remplace par les valeurs données : il
doit rester une donnée inconnue.
-effectue le calcul pour la retrouver.
B

A
C
2- On veut déterminer la hauteur du clocher d'une église.
L'appareil de visée est placé à 42 m de l'axe du clocher.
Il indique un angle  de 40°.
a) Calcule la hauteur du clocher, en considérant
le triangle rectangle formé et en utilisant la
même méthode que dans l'exercice 1.
b) A quelle distance du sommet du clocher se
trouve l'appareil de visée?
 = 40°
D
42 m
F
Fiche 4
1- En utilisant la table trigonométrique, trouve :
-les valeurs suivantes :
sin 38°; cos 57°; tg 83°; cos 11°; sin 67°
-les angles  correspondant aux valeurs suivantes :
sin  = 0,292; tg  = 0,445; cos  = 0,990; tg = 1,540; sin  = 0,809
2- Soit le triangle ABC rectangle en A.
B
On donne [AB] = 25 mm et [AC] = 35 mm.
Calcule l'angle C ( à 1° près ).
3- Soit le triangle ABC rectangle en A.
A
C
B
On donne B = 65° et [BC] = 75 mm.
Calcule la longueur de [AB] ( à 1 mm près ).
4- Le triangle RST est rectangle en R.
A
C
[ST] = 48 mm et l'angle TSR est 31°.
T
R
S
Calcule [RS] au centième de mm près.
Calcule [RT] au centième de mm près.
5- Le triangle MNP est rectangle en M.
[MN] = 59 mm et l'angle PNM mesure 38°.
P
M
Calcule [MP] au centième de mm près.
N