Série 11

1ère HEC
Statistique
Groupe 9
Série 11
Matière abordée :
Espérance, Variance, Loi jointe
Exercice 1 :
La variable aléatoire discrète X suit la loi de probabilité suivante :
X
-4
P(X) 0.2
a)
b)
c)
d)
-2
0.15
0
i
2
0.15
Déterminer la valeur de i = P(X = 0)
Déterminer l’espérance de la variable aléatoire X
Déterminer la variance de la variable aléatoire X
Ecrire et représenter graphiquement la fonction de répartition de la variable aléatoire X
Admettons maintenant de disposer aussi du tableau suivant:
Y/X
-3
0
6
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
-4
0.1
0.05
0.05
-2
0.075
0.06
0.015
0
0.3
0.1
0.1
2
0.025
0.025
0.1
Déterminer l’espérance de la variable aléatoire Y
Déterminer la variance de la variable aléatoire Y
Déterminer la variable aléatoire X+Y
Calculer la covariance cov(X,Y)
Déterminer l’espérance de la variable aléatoire X+Y
Déterminer la variance de la variable aléatoire X+Y
Ecrire et représenter graphiquement la fonction de répartition de la variable aléatoire X+Y
Déteminer l'espérance de la variable aléatoire (3X+4Y)
Déterminer la variance de la variable aléatoire (3X+4Y)
Exercice 2 :
Selon les statistiques d’une compagnie d’assurances, les 40% des incendies de voitures causent des
dommages de 5000 Fr, le 30% des dommages de 10000 Fr, le 20% des dommages de 15000 Fr et le
10% des dommages de 20000 Fr. Si la probabilité d’un incendie d’une voiture est de 2%, quelle est
la valeur espérée de la somme que la compagnie d’assurances doit payer ?
Exercice 3 :
Le coût d’un billet de loterie est de 2 Fr. La société organisatrice tire au sort 5 billets. Chaque
numéro sorti gagne 50000 Fr. 250000 billets ont été vendus. Calculer le gain espéré d’une personne
qui achète un billet.
Exercice 4 :
On lance une pièce de monnaie 10 fois. Quelle est l’espérance de la variable aléatoire X « nombre
de faces obtenues » ? Quelle est la variance de X ?
Exercice 5 :
Soit (X,Y) un couple de variables aléatoires. Les probabilités du couple sont indiquées au tableau
suivant :
X/Y
1
2
3
a)
b)
c)
d)
e)
f)
1
0.08
0.04
0.08
2
0.04
0.02
0.04
3
0.16
0.08
0.16
4
0.12
0.06
0.12
Ecrire la loi marginale de la variable aléatoire X, puis celle de Y
Calculer l’espérance des variables aléatoires X et Y
Calculer la variance des variables aléatoires X et Y
Calculer la covariance de (X,Y)
Calculer le coefficient de corrélation (X,Y)
Statuer sur l’indépendance des aléas X et Y
Exercice 6 :
Un institut effectue une enquête auprès de 1000 ménages choisis au hasard. Voici les résultats
obtenus en ce qui concerne les nombres d’appareil de télévision (X) et de radio (Y) possédés par les
ménages :
X/Y
0
1
2
3
a)
b)
c)
d)
1
125
0
0
125
2
0
250
250
0
3
0
125
125
0
Calculer le nombre espéré de radios possédées par un ménage
Calculer P(X = 1,Y = 2), P(X = 1) et P(Y = 2)
Calculer le coefficient de corrélation (X,Y)
Les variables X et Y sont-elles indépendantes ?