8 chapitre 3

Chapitre III
Calcule thermodynamique
III.1. Etude thermodynamique de la compression du gaz:
D'après la thermodynamique [3], la quantité d'énergie fournie au gaz à savoir le travail dW
et la quantité de chaleur dQ peuvent être exprimées par la variation de l'enthalpie dH et
celle de l'énergie cinétique d (
2
) pour l'unité de masse m  1 Kg .
2
2
dW  dQ  dH  d ( )
2
(III.1)
 : Vitesse d’angulaire du gaz en [rad/s].
Cette équation représente une des formes de l'équation du premier principe de la
thermodynamique relatif à l'écoulement du gaz.
La chaleur est toujours négative pour les compresseurs et la vitesse (d  0) car les
vitesses du gaz à l'entrée et la sortie d'un compresseur sont approximativement égales et le
travail nécessaire à la compression du gaz peut être calculé de la forme suivante:
On a:
d(
et donc :
2
)0
2
(III.2)
dH  dW  dQ
(III.3)
dW  dH  dQ
(III.4)
L’étude thermodynamique de la compression effectuée souvent à l’aide des diagrammes
(H, S) permet de déterminer la variation de l'enthalpie ( H  H 2  H1 ) dans le compresseur
figure. III.1
H
3
∆HP
2
4
∆H
∆Hr
5
1
S
Figure III.1 Variation de l’enthalpie H en fonction de l’entropie S
Mémoire fin d’étude
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Chapitre III
Calcule thermodynamique
 la compression adiabatique réversible dans un compresseur idéal sans perte d'énergie est
représentée par la droite (1-2) parce que dans ce cas (Q  0) et la variation de
l’entropie (S 2  S1  0) .
dH  W
(III.5)
 la compression réelle sans refroidissement à lieu suivant la courbe (1-3) et elle est
toujours accompagnée des pertes H p ainsi que l'augmentation de l’entropie dS  0 .
 la compression avec refroidissement (1-4) pour laquelle d'après l'équation ( III.3) est :
H  W  Q
(III.6)
Pour les gaz parfaits H se calcule à partir de la chaleur spécifique à pression constante
W  H  C p (T2  T1 )
(III.7)
Où:
T1 - température d'aspiration;
T 2 - température de refoulement;
C p - chaleur spécifique.
Il est plus commandé parfois d'analyser le fonctionnement des compresseurs à l'aide d'un
diagramme (P, V) parce que l'aire dans ce diagramme correspond à la valeur du travail voir
figure. III.2
P
4
5
4'
2
3
P2
T = Cte
γ = Cte
n = Cte
P1
6
1
Figure III.2 Variation de la pression P en fonction du volume
Mémoire fin d’étude
V
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Chapitre III
Calcule thermodynamique
Afin d'exprimer le travail W en fonction de la pression P et du volume spécifique du gaz
V on doit utiliser la relation pour l'enthalpie.
D'où
H  U  PV
(III.8)
Le différentiel total exact de l’enthalpie est :
dH  dU  PdV  VdP
(III.9)
D'après l'équation du premier principe de la thermodynamique pour un système à volume
variable telle que
; pression constante.
On a:
dH  dU  PdV
(III.10)
En rapportant l’équation (III.9) et (III.10) dans l’équation (III.7) on obtient :
dW  VdP
(III.11)
En intégrant l’équation (III. 11) on trouve :
W   VdP
(III.12)
Et donc le travail est représenté dans le diagramme (P, V) par l'aire qui est limitée par la
courbe de transformation thermodynamique.
 pour la compression adiabatique (1-2) le travail W correspond à l'aire (1-2-5-6-1) qui se
trouve entre l'adiabatique (1-2) avec l'exposant adiabatique (  cst )
et les deux droites
(1-6) et (2-5).
La compression réelle accompagnée des pertes interne est effectuée avec l'exposant
polytropique.
 la compression isothermique est représentée par l'isotherme (1-4).
III.1.1 Travail de compression des gaz
Dans les turbocompresseurs, on utilise généralement la compression adiabatique sans
refroidissement du corps de la machine, le travail adiabatique peut être calculé à partir de
l'expression ( III.7) pour les gaz parfaits.
Mémoire fin d’étude
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Chapitre III
Calcule thermodynamique
Mais il est plus commandé parfois d'exprimer la valeur de W en fonction de taux de
compression qui est habituellement connu.

P2
P1
(III.13)
Dans le cas de la transformation adiabatique on a:
T2
P (
( 2)
T1
P1
 1
)

(III.14)
En remplaçant les expressions (III.13) et (III.14) dans l'expression (III.7), on trouve :
Wad  Z .C p .T1 (
(
 1
)

 1)
(III.15)
Z - coefficient de compressibilité ;
C p - peut être calculé à partir de l'équation de Mayer ;
La relation de Mayer est :
C p  Cv  R
(III.16)
R - constante de gaz parfaits.
et

Cp
(III.17)
Cv
Cp  (

)R
 1
(III.18)
En remplaçant l’équation (IV.18) dans l’équation (IV.15) on trouve :
 1
(
)

Wad  (
).R.Z .T1 (   1)
 1
(III.19)
Cette équation permet de calculer le travail adiabatique de la transformation réversible et
sans pertes internes dit: " Travail isentropique ".
En remplaçant l'exposant adiabatique  par l'exposant polytropique n on peut utiliser
toutes les équations adiabatiques pour calculer les transformations polytropiques. Il en ressort
que le travail polytropique d'une transformation réversible sans pertes d'énergie avec
(n  var iable ) se calcule à partir de l'équation suivante:
Mémoire fin d’étude
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Chapitre III
Calcule thermodynamique
(
n
Wp  (
).R.Z .T1 (
n 1
n 1
)
n
 1)
(III.20)
Le travail adiabatique réel Wr d'une transformation irréversible avec (n  var iable )
suivant l'expression ( III.7) est égal à:
Wr  C p (T2 r  T1 )
(III.21)
Où:
: Température réelle de gaz au refoulement.
Si l'on sait que l'exposant n  C te du polytropique (1-3) figure (III.2), qui passe par le
point 3 correspond à la compression réelle nous pouvons écrire:
(
T2 r
 (
T1
n 1
)
n
)
(III.22)
En rapportant les équations ( III.18) et ( III.22) à l'équation ( III .21) on obtient la formule finale
du travail réel:
(

Wr  (
).R.Z .T1 (
 1
n 1
)
n
 1)
(III.23)
III.1.2. Rendement thermodynamique d'un compresseur
Afin de calculer le travail réel Wr nécessaire à comprimer 1 Kg de gaz, on utilise un des
rendements thermodynamiques du compresseur:
 th 
Wth
Wr
(III.24)
Où :
Wth - Travail thermodynamique du compresseur.
Il doit être adapté selon les particularités de la compression réelle. Pour les
turbocompresseurs qui sont souvent dépourvus de refroidissement du corps, on emploie
généralement le travail adiabatique Wad et rendement adiabatique ad .
Mémoire fin d’étude
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Chapitre III
Calcule thermodynamique
Le rendement adiabatique est donné par la formule suivante :
Wad
Wr
 ad 
(III.25)
Le rendement isotherme est donné par l’expression suivante:
 iso 
Wiso
Wr
(III.26)
Et finalement le rendement polytropique s’écrit sous la forme suivante.
 pol 
W pol
Wr
(III.27)
Ce rendement polytropique ne tient pas compte exactement des pertes réelles mais il
caractérise seulement la différence entre le travail réel et le travail thermodynamique avec
n  C te .
Les relations (III.19), (III.21) et (III.25) pour les compresseurs sans refroidissement, on a le
rendement adiabatique s’écrit :
 ad 
(
(
n 1
)
n
 1)
T
( 2 r  1)
T1
(III.28)
D'après les équations (III.20), ( III.23) et ( III.27) on trouve la nouvelle expression du
rendement polytropique :
p  (
n 1

) /(
)
n
 1
(III.29)
Dans la pratique l'exposant polytropique n'est pas connu et il doit être remplacé par le taux de
compression et la température réelle de refoulement
, à l’aide de la relation (III.22) on peut
trouver une relation de l’exposant polytropique :
Mémoire fin d’étude
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Chapitre III
Calcule thermodynamique
(
n
log 
)
T
n 1
log 2 r
T1
(III. 30)
Finalement le rendement polytropique est :
p  (
  1 log 
)
T

log 2 r .
T1
(III.31)
III.2. Application thermodynamique:
Le calcul thermodynamique a pour but la détermination des performances du
compresseur ; pour obtenir des résultats réalistes nous avons utilisé les paramètres de
fonctionnement relevés sur site et qui sont résumés dans les tableaux ci-dessous :
- Paramètres de fonctionnement
Tableau III.1 paramètres du donnée fixe.
Donnée fixe
Pression d’aspiration ; en [bars]
Température d’aspiration ; en [K]
Nombre de roues
Coefficient de compressibilité
Coefficient adiabatique
Vitesse de rotation ; en [tr/min]
Poids moléculaire : g/mole
Mémoire fin d’étude
Pa =22.98+1.013= 23.99
Ta = 55.60+273.15=328.75
N = 6
Z = 0,963
 =1.287
N =9030
M =17.84
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Chapitre III
Calcule thermodynamique
Tableau III.2 paramètres du donnée courbe.
Donnée courbe
Pression de refoulement ; en [bars]
Température de refoulement ; en [K]
Débit volumique ; en [m3/h]
Puissance absorbe : en [kw]
Taux de compression
Rendement polytropique
Hauteur polytropique : en [m]
Pr =87
Tr = 449.15
Qv = 16800
P =20000
  3.60
Rp = 0.840
Hp = 23000
- Caractéristiques du gaz :
Le tableau III.3 montre les caractéristique du gaz aspirer et refouler de Ouhanet vers
Tiguentourine.
Tableau III.3 caractéristiques du gaz
Composantes
Concentration
moléculaire
Y%
N2
0.51
28,02
1,621
126,2
33,92
CO2
1.69
44,01
1,031
304,1
73,84
CH4
88.32
16,04
2,204
190,56
45,96
C2H6
8.65
30,07
1,714
305,33
48,72
C3H8
isoC4H10
0.80
0,01
44,09
58,12
1,624
1,678
369,85
407,85
42,48
36,41
normoC4H10
0.01
58,12
1,620
425,16
37,97
Mémoire fin d’étude
Masse
molaire
(M)
[kg/K°.mol]
Chaleur
spécifique à
pression
constant
Cp [kJ/kg.K°]
Température
pseudocritique
[K°] cri
Pression
pseudocritique
[bars] cri
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Chapitre III
Calcule thermodynamique
III.2.1 Calcul des caractéristiques thermodynamiques :
III.2.1.1 Détermination de la constante spécifique du gaz :
r  R / M =8.314*10-3/17.84*10-3=0.466 kJ/kg.K
avec : M= 17.84 g/mole= 17.84 *10-3 kg/mole
et R  8.314 * 10 kj / mole.K
3
III.2.1.2 Coefficient adiabatique :
  1.287
III.2.1.3 Taux de compression :

Pr
87

 3,626
Pa 23.99
III.2.1.4 Coefficient polytropique :
n
log 
log   log
Tr
Ta

log 3,626
 1,319
449.15
log 3,626  log
328.75
III.2.3 Calcul des travaux :
III.2.3.1 Travail adiabatique :
  1

Z .r.Ta     1


 1


1, 2871


 1,287 

Wad  
  0,963  0,466  328.75  3,626 1, 287  1  220.143 kJ / kg


 1,287  1 


Wad 

III.2.3.2 Travail polytropique :
Wp 
Wp 
 n 1

n
.Z .r.Ta .  n  1
n 1


1, 3191


1,319
 0,963  0,466  328.75   3,626 1,319  1  222.967kJ / kg


1,319  1


Mémoire fin d’étude
Page 47
Chapitre III
Calcule thermodynamique
III.2.3.3 Travail réel :
 nn1


Wr 
.Z .r.Ta .


1


 1


1, 3191


1,287
Wr 
 0,963  0,466  328.75   3,626 1,319  1  241.815 kJ / kg


1,287  1



III.2.4 Calcul les hauteur :
III.2.4.1 Hauteur adiabatique :
H ad

R.Z .T1 (
(
).
(
  1 M .g
 1
)

 1)
 1.287  8.314  0.963  328.75
H ad  
  3.626
.
3
 1.287  1  17.84 *10  9.81
1.2871
1.287
 1   22442.2314m
R  8.314 j / mole.K , g =9.81 m/s2
III.2.4.2 Hauteur polytropique :
Hp  (
Hp
(
n
R.Z .T1
)
(
n  1 M .g
n 1
)
n
 1)
1.319 1

 1.319  8.314  0.963  328.75 
1.319

  22730.1102m


3
.
626

1



17.84 * 10 3  9.81
 1.319  1 


R  8.314 j / mole.K , g =9.81 m/s2
III.2.5 Calcul des rendements :
III.2.5.1 rendement adiabatique :
 ad 
Wad 220.143

 0,91037   ad  91.037 0 0
Wr
241.815
III.2.5.2 rendement polytropique :
Mémoire fin d’étude
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Chapitre III
Calcule thermodynamique
p 
Wp
Wr
222.967
 0,92205   p  92.205 0 0
241.815

III.2.6 Calcul de puissance :
III.2.6.1 La masse volumique du mélange au condition normale :
(PN= Patm =1.01325bar
et temp=0°C)
ρ = D. ρair avec : d= Mg/Mair =Mg/28.964
= 17.84 /28.964=0.615
avec ρ air : masse volumique de l’air =
d : densité réelle du gaz = 0.615
ρ N = 0,615.1,29 kg/m3 = 0,794 kg/m3
III.2.6.2 La masse volumique du gaz aux conditions d’aspiration :
 asp 
P1. N .TN
23,99.0,794.273

 15.618kg / m 3
PN .T1
1,013.328,75
III.2.6.3 Puissance adiabatique :
Qv =16800 et 1h=3600s

Qv=16800/3600= 4,666 m3 / s

Qm= Qv. ρasp = 4,666 .15,618 = 72,884 kg / s


Qv: débit volumique m3 / h , voir tableau III.2.
pad  Qm .Wad
Où :
III.2.6.4 Puissance polytropique:
p p  Qm .W p
p p  72.884  222.967  16250.73kw
III.2.6.5 Puissance réel :
pr  Qm .Wr
pr  72.884  241.815  17624,44 kw
III.2.7.1Calcul rendement mécanique:
Mémoire fin d’étude
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Chapitre III
Calcule thermodynamique
ηmec = Pr/ Pab
ηme = 17624.44/ 20000 = 0.881222
ηme = 88.1222 %
avec : Pab la puissance absorbée du compresseur
et Pr: puissance réel .
III.2.8 Calcul des pressions intermédiaires :
Connaissant le taux de compression, on pourra calculer facilement les pressions
intermédiaires par la formule suivante :
Pi+1= ξ Pi
I : numéro de l’étage ;
Pi : pression de l’étage i ;
Pi+1 : pression dans l’étage i+1.
Les résultats de calcul sont portés sur le tableau ci-dessous :
III.2.8.1 Taux de compression de chaque étage :
 n 
 
6
3.626  1.239
avec  = P2 / P1
Les résultats de calcul sont portés sur le tableau ci-dessous
Pressions en bar
Pasp
P1
23.993 29.727
P2
P3
36.832 45.635
P4
P5
Pref
56.54
70.055
86.798
Tableau III.4 les pressions intermédiaires
Mémoire fin d’étude
Page 50
Chapitre III
Calcule thermodynamique
III.2.9 : Calcul des températures intermédiaires :
 Pi  1
Ti  1

 P
Ti
i





n 1
n
Ti+1 : température dans l’étage i+1 ;
Ti : température de l’étage i.
Les résultats de calcule sont portés sur le tableau ci-dessous :
Tasp
T1
328.750
346.237
Températures en °k
T2
T3
T4
364.656
384.054
404.481
T5
Tref
426
448.661
Tableau III.5 les températures intermédiaires
III.2. Validation des résultats :
Afin de permettre de valider nos calculs thermodynamiques précédents, on a comparé les
résultats tels que : pression et température de refoulement, puissance absorbée, hauteur et
rendement poly tropiques avec celles du constructeur du compresseur (Nouvo Pignon
compagnie) tirés des courbes dans les figure III.3, III.4, III.5, avec débit volumique de
16800 m3/h . On constate que nos résultats sont en bonne concordance avec celles du
constructeur comme l'indique le tableau .
Pression de refoulement
Température de refoulement
Taux de compression
puissance absorbée
Hauteur polytropiques
Rendement polytropiques
Calculs thermodynamique
86.798 bar
448.661 K
3,626
17624.44 kW
22730.11 m
0.92
Données du constructeur
87 bar
449 k
3.60
20000 kW
23000 m
0.84
Tableau III.6 . comparaison des résultats thermodynamiques avec ceux du constructeur
Mémoire fin d’étude
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Chapitre III
Calcule thermodynamique
Figure III.3 : courbes de la pression de refoulement et de la puissance absorbée.
Mémoire fin d’étude
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Chapitre III
Calcule thermodynamique
Figure III.4 : courbe du taux de compression et de la température de refoulement.
Mémoire fin d’étude
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Chapitre III
Calcule thermodynamique
Figure III.5 : courbe de la hauteur et rendement polytropiques.
Mémoire fin d’étude
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