Espaces vectoriels

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Définition – Sous-espaces vectoriels
Définition – Espace vectoriel
Soit (𝕂, +, 𝗑) un corps (qui sera dans la pratique ℚ, ℝ ou ℂ), et E un ensemble fini non vide.
On dit que E est un espace vectoriel sur le corps 𝕂 (ou plus rapidement un 𝕂-espace vectoriel) si les conditions suivantes
sont réalisées :
1. E est muni d’une loi de composition interne, notée +, telle que (E,+) est un groupe commutatif
2. On dispose d’une multiplication externe à opérateur dans 𝕂, notée •, c’est-à-dire d’une application de 𝕂 𝗑 E dans E définie
par :
𝕂𝗑E→E
(λ,u)↦ λ•u
et vérifiant les 4 propriétés suivantes :
P1
∀u ∈ E,
1𝕂•u = u
P2
∀λ ∈ 𝕂, ∀u, v ∈ E,
λ•(u+v) = λ•u + λ•v
P3
∀λ, 𝜇 ∈ 𝕂, ∀u ∈ E,
(λ + 𝜇)•u = λ•u + 𝜇•u
P4
∀λ, 𝜇 ∈ 𝕂, ∀u ∈ E
λ•(𝜇•u) = (λ 𝗑 𝜇)•u
* Les éléments de E sont appelés des vecteurs, ceux de 𝕂 des scalaires
Définition – Combinaison linéaire
Soit n scalaires α1, α2, …, αn et n vecteurs u1, u2, …, un de l’espace vectoriel E.
Le vecteur u = α1u1+α2u2+…+αnun est appelé combinaison linéaire des n vecteurs u1, u2, …un avec les coefficients α1, α2, …αn.
Définition – Espace-vectoriel produit
Etant donné deux 𝕂-espaces vectoriels E et F, l’ensemble E 𝗑 F muni des lois produit :
l’addition définie par (x’, y’) + (x’’, y’’) = (x’ + x’’, y’ + y’’)
la loi externe définie par λ•(x, y) = (λ•x, λ•y)
est un espace vectoriel sur 𝕂 appelé espace vectoriel produit
Définition – Sous-espace vectoriel
Soit E un espace vectoriel sur 𝕂 et F une partie non vide de E. On dit que F est un sous-espace vectoriel de E si la restriction à
F 𝗑 F de la loi +, et la restriction à 𝕂 𝗑 F de la multiplication externe, munissent F d’une structure d’espace vectoriel.
* c’est une sous-groupe de (E,+) stable par la multiplication par un scalaire
* L’intersection de deux sous-espaces vectoriels de E est un sous-espace vectoriel de E
Théorème – Caractérisation d’un sous-espace vectoriel
F est un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel E ssi
F est un sous-ensemble non vide de E, stable par combinaison linéaire.
ou encore F est un sous-espace vectoriel de E ssi
F ≠ ∅, F ⊂ E
∀ u,v ∈ F, ∀ α ∈ 𝕂, αu+v ∈ F
ou encore ssi
F ≠ ∅, F ⊂ E
∀ u,v ∈ F, ∀ α ∈ 𝕂, u+v ∈ F et αu ∈ F
Définition – Sous-espace vectoriel engendré
Soit A une partie (pas nécessairement finie) d'un K-espace vectoriel E. Le sous-espace vectoriel engendré par A peut être
défini comme :
- le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant A
- le sous-ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs de A
Le sous espace vectoriel engendré par la famille (vi)1≤i≤n de vecteurs de E est notée Vect((vi)1≤i≤n).
* Si A est finie, le sous-espace vectoriel engendré par A est l’ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs de A
19/04/2017
Algèbre – Espaces vectoriels | 1
Homomorphismes d’espaces vectoriels
Définition – Homomorphismes d’espaces vectoriels
Soient E et F deux 𝕂-espaces vectoriels et u une application de E dans F. On dit que u est un homomorphisme de E dans F si
∀ λ, μ ∈ 𝕂, ∀ x,y ∈ E,
u(λx + μy) = λ u(x) + μ u(y)
* La composée de deux homomorphismes est un homomorphisme
* homomorphisme = application linéaire
Définition – Forme linéaire
On appelle forme linéaire sur E une application linéaire de E dans 𝕂
Définition – Noyau et image
On appelle noyau de u, noté Ker(u) le sous-ensemble de E ainsi défini :
Ker u = {x ∈ E, u(x) = 0}
On appelle image de u, noté Im(u) le sous-ensemble de F ainsi défini :
Im u = {y ∈ F, ∃ x ∈ E, u(x) = y}
* Ker(u) est un sous-espace vectoriel de E
* u est injectif ssi Ker(u) = {0} ssi ∀ x ∈ E, u(x) = 0 ⇒ x = 0
* Im(u) est un sous-espace vectoriel de F
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Indépendance linéaire – Familles génératrices – Bases
Définition – Famille libre
Soient E un 𝕂-ev, et (vi)1≤i≤n une famille de vecteurs de E. On dit qu’une famille de vecteurs est libre ou constituée de vecteurs
p
linéairement indépendants si toute combinaison linéaire nulle ∑i=1 λi vi = 0 de ces vecteurs implique λi = 0 pour tout
1 ≤ i ≤ p.
* Toute sous-famille d’une famille libre est libre
Définition – Famille liée
Une famille de vecteurs qui n’est pas libre est liée. Les vecteurs sont linéairement dépendants. C’est-à-dire qu’il existe
p
(λ1, …, λn) ∈ 𝕂n différent de (0, …, 0) et tel que ∑i=1 λi vi = 0
* Tout sur-famille d’une famille liée est liée
Définition – Famille génératrice
Soient E un 𝕂-ev, et (vi)1≤i≤n une famille de vecteurs de E. (vi)1≤i≤n est dite génératrice si le sous-espace qu'elle engendre est
l'espace entier E.
* Toute sur-famille d’une famille génératrice est génératrice
Définition – Base
On dit que la famille de vecteurs de E (vi)1≤i≤n est une base de E si elle est à la fois génératrice et libre.
Pour qu’une famille de n vecteurs d’un espace vectoriel E soit une base de E, il faut et il suffit que tout vecteur de E admette
une décomposition unique suivant cette famille, de la forme u = ∑ni=1 λi vi
* Dans un espace vectoriel il existe toujours au moins une base
Proposition
Soit u une application linéaire de E dans F. Etant donné une base (e i) 1≤i≤n de E :
la famille (u(ei)) 1≤i≤n est génératrice de Im u
u est surjective ssi (u(ei)) 1≤i≤n est une famille génératrice de F
u est injective ssi (u(ei)) 1≤i≤n est une famille libre de F
u est bijective ssi (u(ei)) 1≤i≤n est une base de F
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Somme de sous-espaces vectoriels
Somme de n sous-espaces vectoriels
Soient E un K-ev, n un entier naturel non nul, F1, F2, …, Fn des sous-espaces vectoriels de E.
On définit la somme des n sous-espaces vectoriels
n
∑ Fi = F1 + F2 + ⋯ + Fn = {v ∈ E, ∃(v1 , v2 , … , vn ) ∈ F1 𝗑 F2 𝗑 … 𝗑 Fn , v = v1 + v2 + ⋯ + vn }
i=1
* L’union d’espace vectoriel n’est pas en général un espace vectoriel
* ∑ni=1 Fi est le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant F1 ∪ F2 ∪ … ∪ Fn
Somme directe de n sous-espaces vectoriels
Soient E un K-ev, n un entier naturel non nul, F1, F2, …, Fn des sous-espaces vectoriels de E. On dit que F1, F2, …, Fn sont en
somme directe ssi :
∀(v1, v2, …, vn) ∈ F1 𝗑 F2 𝗑 … 𝗑 Fn
v1 + v2 + …+ vn = 0 ⟹ v1 = v2 = …= vn = 0
On note F1 ⨁ F2 ⨁ … ⨁ Fn
* v1 + v2 + …+ vn = 0 ⟹ v1 = v2 = …= vn = 0
(peut se formuler : l’application f : (v1, v2, …, vn) ⟼ v1 + v2 + …+ vn est injective)
* Les espaces vectoriels de la somme directe sont linéairement indépendants.
Théorème – Propriétes des sommes directes
Soient E un K-ev, n un entier naturel non nul, F1, F2, …, Fn des sous-espaces vectoriels de E. Les propositions suivantes sont
équivalentes :
- F1, F2, …, Fn sont en somme directe
- Tout élément de ∑ni=1 Fi se décompose de façon unique en une somme d’éléments de F1, F2, …, Fn
- ∀i ∈ {1, …, n} Fi ∩ ∑1≤j≤n Fj = 0
j ≠i
- ∀(v1, v2, …, vn) de F1 𝗑 F2 𝗑 … 𝗑 Fn avec tous les vi non nuls, (v1, v2, …, vn) est libre
Définition – Espaces vectoriels supplémentaires
Soient E un K-ev, n un entier naturel non nul, F1, F2, …, Fn des sous-espaces vectoriels de E.
Si E = F1 ⨁ F2 ⨁… ⨁Fn les sous-espaces vectoriels F1, F2, …, Fn sont supplémentaires.
* Tout sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel admet au moins un supplémentaire
* Tous les sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel, supplémentaire d’un même espace vectoriel sont isomorphes
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Algèbre – Espaces vectoriels | 4
Projection et symétrie
Définition – Projecteurs
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E. L’application p de E dans E qui à tout élément x de E associe
l’unique y de F tel que x = y + z avec z ∈ G est appelée projection sur F parallèlement à G.
Une telle application est aussi appelée un projecteur.
Proposition
Etant donné 2 sous-espaces vectoriels supplémentaires F et G de E, la projection sur F parallèlement à G est linéaire.
Son noyau est G
Son image qui est aussi l’ensemble des vecteurs invariants est égale à F
Proposition
p est un projecteur ssi p o p = p
Définition
On dit que p et q sont deux projecteurs associés s’il existe F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E tels que
p soit la projection sur F parallèlement à G et p soit la projection sur G parallèlement à F
Proposition
Si p et q sont deux projecteurs associés alors p + q = IdE et p o q = q o p = 0
Définition – Symétrie
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E. On appelle symétrie par rapport à F parallèlement à G,
l’application s de E dans E telle que si x = y + z avec y ∈ F et z ∈ G on ait s(x) = y – z
Propositions
* Une symétrie est un automorphisme (bijectif de E dans E) involutif (s o s = IdE)
* Tout endomorphisme involutif de E est une symétrie
Plus précisément si s (de E dans E) est involutif c’est la symétrie par rapport à Ker(s - IdE), parallèlement à Ker(s + IdE).
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Algèbre – Espaces vectoriels | 5
Dimension finie
Définition – Dimension finie
On dit que E est de dimension finie, s’il admet une famille génératrice finie (sinon E est de dimension infinie).
Théorème
Tout 𝕂-ev de dimension finie admet une base finie. Cette base peut être extraite de toute famille génératrice finie.
Théorème
Si E est un espace vectoriel de dimension finie, toutes les bases de E ont le même nombre n d’éléments. L’entier n est appelé
dimension de E sur 𝕂, ou plus simplement dimension de E
Théorème de la base incomplète
Toute famille libre d’un espace vectoriel E de dimension finie peut être complétée en une base de E
Théorème
Soit ℬ une famille d’éléments d’un espace vectoriel E de dimension n. Les propositions suivantes sont équivalentes :
ℬ est une base
ℬ est une famille libre à n éléments
ℬ est une famille génératrice à n éléments
Définition – Rang d’un système de vecteurs
Le rang d’une famille finie 𝒳 de vecteurs de E, noté rg 𝒳 est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par 𝒳.
Définition – Rang d’une application linéaire
Soient E et F deux 𝕂-ev et u une application linéaire de E dans F. On appelle rang de u que l’on note rg u la dimension de Im u
lorsqu’elle est finie.
Théorème du rang
Etant donné un espace vectoriel E de dimension finie et une application linéaire u de E dans un espace vectoriel F, on a :
dim E = rg u + dim(ker u) = dim(Im u) + dim(ker u)
Théorème
Etant donné deux 𝕂-ev E et F de même dimension finie n et u une application linéaire de E dans F, les propositions suivantes
sont équivalentes :
u est injective
u est surjective
u est bijective
Proposition
dim (F + G) = dim F + dim G – dim (F ∩ G)
dim
(F⨁G)
=
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dim
F
+
dim
G
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