Leçon 06

Leçon 6
Théorie cinétique du gaz parfait : définition cinétique de la température, de
la pression. Relation entre pression & vitesse quadratique moyenne.
Equation d’état, énergie interne (PCSI)
Bibliographie : la leçon est courte, il faut meubler.
 Ellipses : Thermodynamique : chapitre 3. Convenable.
 Hachette : Thermodynamique 1ère année. Chapitre 2. Eliminer les calculs hors programme.
 Tec & Doc : Thermodynamique 1ère & 2ème année : chapitre 1. La partie gaz réels est hors sujet.
 Dunod : Thermodynamique : chapitre 2. Un peu léger.
 Ellipses : la physique en prépa : chapitre 23. Pour démontrer le théorème d’équipartition de
l’énergie (ou Feynman Méca 2 chapitre 39).
I. LE MODELE. DEFINITIONS :
1. Gaz parfait : constitué de particules ponctuelles sans interaction, ne subissant que des collisions
élastiques (entre particules ou sur les parois), chocs aléatoires qui font que la distribution des vitesses est
uniforme & isotrope, & donc ne dépend que de la norme de la vitesse : f v 2 .
 
1
, où  est la section
no 
efficace de choc & no la densité particulaire. Un gaz peut être considéré comme parfait si   D , où D
est une dimension caractéristique du récipient qui contient le gaz.
2. Libre parcours moyen : distance moyenne entre deux chocs :  
3. Grandeurs statistiques : à l'échelon d'une particule, la physique classique est réversible
(équations différentielles du second ordre, invariantes par t  t , mais pas celle de Schrödinger !). Les
1
fluctuations statistiques étant en
sont négligeables pour le nombre d'Avogadro & donc toute
N
grandeur est égale à sa valeur moyenne (équilibre statistique).
dFx
d 2 px
, où P
, dFx 
dS
dt
est la pression, Fx & px les composantes respectives de la force & de la quantité de mouvement. Le gaz
étant en équilibre ne peut ni gagner ni perdre de l’énergie donc les chocs sont élastiques : la variation de
vitesse est donc égale au double de la composante normale. Pour une paroi orthogonale à Ox, on a, les
trois directions étant équivalentes par isotropie :
2
d 2 p x   2no m.v x2 f ( v 2 )dS .dt.d 3v  no m.dS .dt  v 2  . La définition de la pression cinétique est
3
4. Pression cinétique : faire une figure. Pression sur la paroi Oyz : P 
d 2 px
. Le lien avec l’énergie cinétique moyenne <> permet d’introduire la vitesse quadratique
P
dSdt
2
1
moyenne v *   v 2  suivant : P  no   , &    m  v 2  . L’emploi des méthodes
3
2
statistiques est justifié par la grande valeur de la densité particulaire : un volume d’un litre comprend
N  noV  1022 particules.
II. EQUATION D'ETAT :
1. Aspect énergétique : c'est le théorème de l'équipartition de l'énergie. A démontrer pour montrer
que l’énergie cinétique moyenne des particules ne dépend que d’un seul paramètre. Pour un mélange de
gaz (m1, v1 & m2, v2), on écrit la conservation de la quantité de mouvement & de l’énergie cinétique :




 


m1v1  m2 v2  m1v '1 m2 v ' 2  m1 v '1 v1   m1 v2  v ' 2 




1
1
1
1
m1v12  m2 v22  m1v'12  m2 v' 22  m1 v'12 v12  m2 v22  v' 22
2
2
2
2
 


Le rapport de ces équations conduit à : v1  v '1  v2  v '2 & on reporte dans la première :




m1  m2 v1  2m2 v2
v '1 
. On en déduit la variation d’énergie cinétique des paricules m1 :
m1  m2
2
m1  2  2  m1  m2  m1v12
2m1m22 v22
2m m m  m2   
m v2 

1 
v '1 v1  

 1 2 1
v1.v2  1 1  .
2
2
2 
 m1  m2 
m1  m2 2
m1  m2 2


4m1m2 
  1   m1  m2  v1.v2  puis en valeur moyenne :
réduction : 1 
2  2
2

m1  m2 


 1 
4m1m2
m1  m2 
2
m1  m2   v .v

1 2
  2  1   
2
Après
 

 .  v1.v2  0 par isotropie,  1  0 car

le gaz m1 ne peut ni gagner ni perdre systématiquement de l’énergie lors des chocs donc <1> = <2>
donc un seul paramètre servant à mesurer la température.
2. Température cinétique : définie par :
  
3
k BT , ou mieux : énergie moyenne
2
1
k B T par degré de liberté. k B  1,38.1023 JK 1 est la constante de Boltzmann. Placer
2
en remarque que la température cinétique s’identifie avec la température thermodynamique (échelle
Kelvin).
microscopique
3. Equation d'état : combiner P & T : P  no kT 
N R
N
T  PV  nRT , où n 
est un
V NA
NA
nombre de moles. N A  6,023.1023 mol 1 est le nombre d’Avogadro, R  k B N A  8,314 JK 1mol 1
est la constante molaire des gaz parfaits.
4. Vitesse quadratique moyenne : il résulte des paragraphes précédents que :
3k BT
1
3
3RT
où M est la masse molaire du gaz. Pour l’air, à la
   m  v 2  k BT  v* 

2
2
m
M
3RT
3.8,314.298

 500 m/s , de l’ordre de grandeur de la vitesse du
température To = 298 K : v * 
M
29.10  3
son qui vaut dans les mêmes conditions : vson  
RT
.
M
5. Energie interne & capacités thermiques molaires : d’après la définition du gaz parfait,
l'énergie interne est purement cinétique. Avec H  U  PV , il en résulte qu’il en est de même pour
l’enthalpie. En raisonnant sur une mole de gaz :
 Pour un GP monoatomique (alors la molécule est un atome, point matériel à 3 degrés de liberté) :
3
5
3R
5R
5
 U 
 H 
U  N A    RT , H  U  PV  RT  CVM  
, C PM  
,  ;
 
 
2
2
2
2
3
 T V
 T  P
 Pour un GP diatomique (alors la molécule est une petite haltère, solide à 5 degrés de liberté, la
rotation autour de l’axe étant inefficace) :
U  N A   
5
7
5R
7R
7
 U 
 H 
RT , H  U  PV  RT  CVM  
, C PM  
,  ;
 
 
2
2
2
2
5
 T V
 T  P
III. APPLICATIONS : pas vraiment demandé. Pour meubler.
1. Facteur de Boltzmann : vu dans le cours de statique des fluides à propos de l’atmosphère
 mgz 
 , on déduit celle de la densité
isotherme. De l’expression de la pression : P( z )  Po exp  
k
T
 B 
 mgz 
 , d’où, avec W  mgz , l’expression du facteur de Boltzmann :
particulaire : n  no exp  
 k BT 
 W 
 qui se démontre en physique statistique. Dans le cas du gaz parfait : l’énergie
n(W )  no exp  
k
T
 B 
est purement cinétique, W 
 mv 2 
1 2
.
mv , & le facteur de Boltzmann s’écrit : n(v )  no exp  
 2k B T 
2


2. Loi de Maxwell : elle donne la probabilité qu’une particule ait la vitesse v à dv près, soit en
 mv 2 
.4v 2 dv . En la normalisant à 1, on détermine la
coordonnées sphériques : f (v )dv  K . exp  
 2k B T 




 mv 2  2
.v dv. On utilise l’intégrale de Gauss (en la dérivant
constante K : 1   f (v )dv  4K  exp  
 2k BT 


0
0

par rapport à a) :


2

exp  ax dx 

 m 


d’où : f (v )dv  
a
 2k BT 
3/ 2
 mv 2 
.4v 2 dv .
exp  
 2k B T 



3. Vitesse quadratique moyenne : elle est alors définie par :  v 2   v 2 f (v )dv , soit aussi :
0
 m 

 v  4
2

k
T
B 

2
3/ 2 
 mv 2  4
 exp   2k BT .v dv . Il faut alors dériver l’intégrale de Gauss deux fois par


0
 m 

rapport à a, ce qui donne :  v  4
 2k BT 
définition de la température cinétique.
2
3/ 2
 1 3  2k B T 


2 2 2 m 
5/ 2

3k BT
, cohérent avec la
m