geometrie plane
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GEOMETRIE PLANE I Configurations usuelles du plan 1) Triangles : droites et points remarquables Les médiatrices d’un triangle ABC sont concourantes en O, centre du cercle circonscrit au triangle : OA = OB = OC. Les hauteurs d’un triangle ABC sont concourantes en H, orthocentre du triangle. Les médianes d’un triangle ABC sont concourantes en G, centre de gravité du triangle et l’on a : AG = 2 AA’ , BG = 2 BB’ , CG = 2 CC’ 3 3 3 Les bissectrices d’un triangle ABC sont concourantes en I, centre du cercle inscrit dans le triangle. Ce cercle est tangent au cotés du triangle. Remarque :Un triangle équilatéral a trois axes de symétrie. Un triangle isocèle a un axe de symétrie issue du sommet principal. 2) Triangle rectangle Propriétés du triangle rectangle Angles Si le triangle ABC est rectangle en A alors : A = 90° et B + C = 90° Reconnaître un triangle rectangle Avec les angles Si dans un triangle ABC, A = 90° alors ABC est rectangle en A. Si dans un triangle ABC, B + C = 90°, alors ABC est rectangle en A. Théorème de Pythagore Avec la réciproque du théorème de Pythagore Si ABC est un triangle rectangle en A alors : Si ABC est un triangle tel que : BC2 = AB2 + AC2 BC2 = AB2 + AC2 alors ABC est rectangle en A Cercle circonscrit Avec un cercle Si le triangle ABC est rectangle en A alors Si le triangle ABC est inscrit dans le cercle de l’hypoténuse [BC] est un diamètre du cercle diamètre [BC], alors il est rectangle en A. circonscrit. Médiane Avec une médiane Si le triangle ABC est rectangle en A et si Si A’ est le milieu du côté [BC] du triangle ABC A’ est le milieu de [BC] alors : et si AA’ = BC alors ABC est rectangle en A. 2 AA’ = BC 2 Exemples : Exercice 1 :Démontrer que des points sont alignés ABCD est un parallélogramme de centre O. Les points E et I sont les milieux des segments [AD] et [AB]. Les droites (AC) et (BE) se coupent en L. Démontrer que D, L et I sont alignés. Solution :Les diagonales [AC] et [BD] du parallélogramme ABCD se coupent en leur milieu O. Ainsi (AO) est une médiane du triangle ABD. (BE) est également une médiane du triangle ABD. La troisième médiane du triangle ABD, (DI), passe par le point L. Les points D, L, et I sont donc alignés. Exercice 2 :Reconnaître un triangle rectangle I est le milieu du côté [BC] du triangle ABC. BC = 10cm ; AI = 5cm ; AB = 7,1cm. a- le triangle ABI est-il rectangle ? b- Quelle est la nature du triangle ABC ? Solution :a- [AB] est le plus grand des côtés du triangle ABI. Si le triangle ABI est rectangle, cela ne peut être qu’en I. AB2 = 50,41 et AI2 + BI2 = 25 + 25 = 50. AB2 AI2 + BI2 donc le triangle ABI n’est pas rectangle en I. b- I est le milieu de [BC] et AI = BC donc le triangle ABC est rectangle en A. 2 3) Théorème de Thalès Théorème :Soient d et d’ deux droites sécantes en A ;soient B et M deux points de d, distincts de A ;soient C et N deux points de d’, distinct de A. Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors AM AN MN AB AC BC Réciproque :Soient d et d’ deux droites sécantes en A ;soient B et M deux points de d, distincts de A ;soient C et N deux points de d’ distincts de A. Si AM AN et si les points A, AB AC B, M et les points A, C, N sont dans le même ordre, alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles. (Cas particulier :Théorème de la droite des milieux dans un triangle :Une droite passant par le milieu de deux côtés d’un triangle est parallèle au troisième. Réciproque :Une droite parallèle au côté d’un triangle et passant par le milieu d’un côté passe par le milieu du troisième côté) 4) Les quadrilatères Définitions : Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles deux à deux. Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits. Un losange est un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur. Un carré est un quadrilatère qui a quatre angles droits et quatre côtés de même longueur. Propriétés : Un parallélogramme a ses diagonales qui ont même milieu. Un rectangle a ses diagonales qui ont même milieu et même longueur. Un losange a ses diagonales qui ont même milieu et qui sont perpendiculaires. Un carré a ses diagonales qui ont même milieu, la même longueur et qui sont perpendiculaires. Les rectangles et les losanges on un centre de symétrie qui est le milieu des diagonales. II Les angles Théorème 5 :La somme des trois angles d’un triangle est égale à 180°. Définition 7 :ABC est un triangle rectangle en A. cos ;B = BA , sin ;B = CA , tan ;B = AC AB BC CB C B A Théorème 6 :Si x désigne la mesure d’un angle aigu : cos2x + sin2x = 1 et tanx = sinx cosx Valeurs remarquables : x 30° 45° 60° cos x 1 3 2 2 2 2 sin x 1 3 2 2 2 2 tan x 1 3 3 3 Parallèles et angles : Définition :Soient d1 et d2 deux droites et D coupant d1 et d2 en respectivement A et B. Les angles a et b sont correspondants Les angles b et c sont alternes internes Les angles b et c sont alternes externes Théorème :Si les droites d1 et d2 sont parallèles, alors les angles correspondants (etc…) sont égaux. Réciproquement, si les angles correspondants sont égaux, alors d1 et d2 sont parallèles. Cercles et angles : Théorème :Un angle inscrit dans un cercle mesure la moitié de l’angle au centre qui intercepte le même arc de cercle : ;AMB = Error!Error!. Propriété :Deux angles inscrits dans un même cercle, et qui intercepte le même arc, ont la même mesure. Pour tous les points M et N du même arc AB, ;AMB = ;ANB. III Repère du plan et coordonnées d’un point Définition :Un repère orthonormé du plan est défini par trois points (O ;I,J) formant un triangle rectangle isocèle de sommet O.(Il est orthogonal si le triangle est seulement rectangle) Propriété :Dans un repère orthonormé, tout point M du plan est repéré par un unique couple (xM,yM) de réels appelé couple de coordonnées de M. xM est appelée l’abscisse de M et yM est appelée l’ordonnée de M. Propriété :Soit (O, i, j) un repère orthonormé du plan, A et B deux points de coordonnées respectives (xA, yA) et (xB, yB) dans le repère. Le milieu de [AB] a pour coordonnées (Error! , Error! ) dans le repère. Remarque :cette propriété reste valable dans un repère quelconque. Distance entre deux points du plan : Propriété : Soit (O, i, j) un repère orthonormé du plan, A et B deux points de coordonnées respectives (xA, yA) et (xB, yB) dans le repère. La distance entre les points A et B est : AB = (xB – xA)2 + (yB – yA)2 . Remarque :cette propriété n’est pas valable dans un repère quelconque. Exemple :Le plan est muni d’un repère orthonormé (O ;I,J). Soit les points A(2 ;-3) et B(3 ;-4). Déterminer le milieu de [AB] et la longueur AB. Propriétés du triangle rectangle Reconnaître un triangle rectangle Angles Avec les angles Si le triangle ABC est rectangle en A Si dans un triangle ABC, A = 90° alors ABC alors : est rectangle en A. A = 90° et B + C = 90° Si dans un triangle ABC, B + C = 90°, alors ABC est rectangle en A. Théorème de Pythagore Avec la réciproque du théorème de Si ABC est un triangle rectangle en A Pythagore alors : Si ABC est un triangle tel que : 2 2 2 BC = AB + AC BC2 = AB2 + AC2 alors ABC est rectangle en A Cercle circonscrit Avec un cercle Si le triangle ABC est rectangle en A Si le triangle ABC est inscrit dans le alors l’hypoténuse [BC] est un cercle de diamètre [BC], alors il est diamètre du cercle circonscrit. rectangle en A. Médiane Avec une médiane Si le triangle ABC est rectangle en A Si A’ est le milieu du côté [BC] du triangle et si A’ est le milieu de [BC] alors : ABC et si AA’ = BC alors ABC est 2 AA’ = BC rectangle en A. 2 3) Théorème de Thalès Théorème :Soient d et d’ deux droites sécantes en A ;soient B et M deux points de d, distincts de A ;soient C et N deux points de d’, distinct de A. Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors AM AN MN AB AC BC Réciproque :Soient d et d’ deux droites sécantes en A ;soient B et M deux points de d, distincts de A ;soient C et N deux points de d’ distincts de A. Si AM AN AB AC et si les points A, B, M et les points A, C, N sont dans le même ordre, alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles. (Cas particulier :Théorème de la droite des milieux dans un triangle :Une droite passant par le milieu de deux côtés d’un triangle est parallèle au troisième. Réciproque :Une droite parallèle au côté d’un triangle et passant par le milieu d’un côté passe par le milieu du troisième côté)
