Leçon 4

Leçon 4
TRAVAUX GEOMETRIQUES
TRIANGLES ET PARALLELES
Séquence 1 :
Dans cette séquence, on admet la propriété suivante
Si un quadrilatère non croisé a deux côtés opposés parallèles et de même longueur, alors ce quadrilatère
est un parallélogramme
Compétence
Connaître et utiliser le théorème suivant : dans un triangle, si une droite passe par
les milieux de deux côtés, elle est parallèle au troisième côté
 Effectue le tracé suivant : trace un triangle ABC. Place le milieu I du segment [AB] et J le milieu du
segment. [AC]. Trace la droite IJ.
En observant ta figure et celles du tableau, que remarques-tu pour les droites (IJ) et (BC) ?
Elles semblent être parallèles
Cette remarque faite sur quelque chose qui n’est pas prouvé s’appelle une conjecture. Le verbe
correspondant est conjecturer (Ces mots sont à connaître)
Démontrons cette conjecture
Données : ABC triangle. I milieu du segment [AB] et J le milieu du segment. [AC]
Figure :
QUATRIEME
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Rédaction :
a)
Construis le symétrique K de I par rapport à I. Que représente J pour le segment [IK] ?
K représente le milieu de [IK]
b) Montrons que IAKC est un parallélogramme. [IK] et [AC] sont les diagonales de IAKC
c)
i)
On sait que J est le milieu de [IK] On sait que J est le milieu de [AC]
ii)
Rédaction : Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu alors
ce quadrilatère est un parallélogramme
iii)
Conclusion : IAKC est un parallélogramme
Montrons que (IA) est parallèle à (KC)
i)
On sait que IAKC est un parallélogramme
ii)
Rédaction : un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés parallèles.
iii)
Conclusion : (IA) est parallèle à (KC) donc (IB) est parallèle à (KC)
d) Montrons que IA = KC
e)
f)
i)
On sait que IAKC est un parallélogramme
ii)
Rédaction : dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur
iv)
Conclusion : AI = KC donc IB = KC
Montrons que IBCK est un parallélogramme
i)
On sait que (voir conclusion du c) (IB) est parallèle à (KC) et on sait que (voir
conclusion du d) IB = KC
ii)
Rédaction : Si un quadrilatère non croisé a deux côtés opposés parallèles et de
même longueur alors ce quadrilatère est un parallélogramme
iii)
Conclusion : IBCK est un parallélogramme
Montrons que (IJ) est parallèle à (BC)
i)
On sait que (voir conclusion du e) IBCK est un parallélogramme
ii)
Rédaction : un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés parallèles
iii)
Conclusion : (IK) est parallèle à (BC) donc (IJ) est parallèle à (BC)
Récapitulation
Données : ABC triangle. I milieu du segment [AB] et J le milieu du segment. [AC]
Conclusion : (IJ) est parallèle à (BC)
Cette propriété est connue sous la forme suivante :
PROPRIETE
Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés alors elle est parallèle au troisième côté
QUATRIEME
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Comment utiliser cette propriété ?
Si je sais que MNP est un triangle, que K est le milieu de [MN] est que L est le milieu de [MP] alors je peux dire
que les droites (KL) et (NP) sont parallèles.
Séquence 2 :
Compétence
Connaître et utiliser le théorème suivant : dans un triangle la longueur du segment
joignant les milieux de deux côtés est égale à la moitié de celle du troisième côté
 Sur l’une des figures de la séquence 1, mesure IJ et BC. En comparant tes deux résultats et en
comparant ceux qui sont au tableau, complète : BC = 2 x IJ soit IJ = Error!BC
Démontrons cette conjecture :
Données : ABC triangle. I milieu du segment [AB] et J le milieu du segment. [AC]. K symétrique de
I par rapport à J
Figure
Rédaction : On veut démontrer que IJ =Error!BC
Dans la séquence 1, on a démontré que IBCK est un parallélogramme
IK = BC car dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur
IK = IJ x 2 car J est le milieu de [IK]
Conclusion : BC = IK = 2 x IJ ou IJ = Error!
Cette propriété est connue sous la forme suivante :
PROPRIETE
Dans un triangle, la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés est égale à la moitié de celle du
troisième côté.
Comment utiliser cette propriété ?
QUATRIEME
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Si je sais que MNP est un triangle, que K est le milieu de [MN] est que L est le milieu de [MP] alors
je peux dire que KL = Error!NP
Séquence 3 :
Compétence
Connaître et utiliser le théorème suivant : dans un triangle, si une droite passe par le
milieu d'un côté et est parallèle à un second côté, elle coupe le troisième en son milieu
 On trace un triangle ABC et on construit le point I milieu de [AB]. On construit ensuite la droite (d)
passant par I et parallèle à la droite (BC). On appelle J le point d’intersection de (d) et de (AC).
Conjecture : Sur la figure, il semble que J soit le milieu de [AC]
Démonstration :
Données : ABC triangle, I milieu de [AB], (d) droite passant par I et parallèle à (BC)
Rédaction : On construit le milieu K de [BC]. Pourquoi les droites (IK) et (AC) sont-elles parallèles ?
Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés alors elle est parallèle au troisième
côté
Ici le triangle est BAC, la droite (IK) passe par les milieux I et K des côtés (AB) et (BC) donc elle est
parallèle au troisième côté ((AC)
Pourquoi IKCJ est-il un parallélogramme ? IKCJ est un parallélogramme car les droites (IK) et(JC)
sont parallèles d’une part et d’autre part les droites (IJ) et (BC) sont aussi parallèles
...................................................................................................................................................................
Que peut-on alors dire de IK et de JC ? IK = CJ car dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la
même longueur.
Pourquoi IK =Error!AC ? IK =Error!AC car dans un triangle, la longueur du segment joignant les
milieux de deux côtés est égale à la moitié de celle du troisième côté.
Conclusion : On a donc IK = JC = AJ donc J est le milieu de[AC]
QUATRIEME
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PROPRIETE
Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle au troisième côté, alors elle
coupe le troisième côté en son milieu
Comment utiliser cette propriété ?
Si je sais que MNP est un triangle, que S est le milieu de [MN] et que la droite parallèle à ((NP) coupe
la droite ((MP) en L, je peux dire que L est le milieu de [(MP]
Séquence 4 :
Connaître et utiliser la proportionnalité des longueurs pour les côtés des deux
triangles déterminés par deux droites parallèles coupant deux sécantes : dans un
triangle ABC, si M est un point du côté [AB], N un point du côté [AC] et si [MN] est
parallèle à [BC], alors Error!= Error! = Error!
Compétence
 On trace un triangle ABC. On appelle M un point de [AB]. On trace la parallèle à (BC) passant par
M. Celle-ci coupe la droite (AC) en N. Complète en utilisant la figure du tableau.
Figure 1
Figure 2
Figure 3
Figure 4
Figure 5
Figure 6
Error! = .......
Error! = .......
Error! = .......
Error! = .......
Error! = .......
Error! = .......
Error! = .......
Error! = .......
Error! = .......
Error! = .......
Error! = .......
Error! = .......
Error! = .......
Error! = .......
Error! = .......
Error! = .......
Error! = .......
Error! = .......
Que remarques-tu ? Pour chaque figure, les quotients sont égaux
Quelle conjecture peux-tu faire ? il semble que Error! = Error! = Error!
QUATRIEME
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Démontrons cette conjecture dans un cas particulier
Données :
i. ABC triangle quelconque.
ii. AI = IK = KB
iii. (IJ) // (BC) et (KL) // (BC)
iv. (JR) // (AB) et (LS) // (AB)
On veut démontrer que Error! = Error! = Error!
Rédaction :
a) Montrons que IK = JQ et IJ = KQ
i)
Données : (IJ) // (BC), ( KL) // (BC), (JR) // (AB)
ii)
Rédaction : Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles alors ce quadrilatère est
un parallélogramme
(IJ) // (BC) et (KL) // (BC) donc (IJ) // (KL)
(JR) // (AB) et (JQ) // (IK)
Un parallélogramme a ses côtés opposés de même longueur
iii) Conclusion : IK = JQ et IJ = KQ
b) Montrons que KB = QR et KQ = BR
i)
QUATRIEME
Données : (JR) // (AB) et (LS) // (AB), (KL) // (BC)
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ii)
Rédaction : Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles alors ce quadrilatère est
un parallélogramme
Un parallélogramme a ses côtés opposés de même longueur
iii) Conclusion : KB = QR et KQ = BR
c) Montrons que JQ = QR
i)
Données : IK = KB, IK = JQ et KB = QR
ii)
Rédaction : JQ = IK = KB = QR
iii) Conclusion : JQ = QR
d) Montrons que IJ = BR
i)
Données : IJ = KQ, KQ = BR
ii)
Rédaction : IJ = KQ = BR
iii) Conclusion : IJ = BR
e) Montrons que J est le milieu de [AL]. Considérons le triangle AKL
i)
Données : (IJ) // (KL) et I milieu de [AK]
ii)
Rédaction : dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle
au troisième côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu
iii) Conclusion : J est le milieu de [AL]
f) Montrons que Q est le milieu de [KL]. Considérons le triangle AKL
i)
Données : (JQ) // (AK) et J milieu de [AL]
ii)
Rédaction : dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle
au troisième côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu
iii) Conclusion : Q est le milieu de [KL].
g) Montrons que L est le milieu de [JC]. Considérons le triangle JRC
i)
Données : JQ = QR (voir c) ) et (LS)//(JR) car (LS)//(AB) et (JR)// AB)
ii)
Rédaction : JQ = QR (voir c) ) donc Q est le milieu de [JR]
Dans un triangle si une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle au troisième
côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu
iii) Conclusion : L est le milieu de [JC]
h) Montrons que AJ = JL = LC
i)
Données : J milieu de [AL] L milieu de [JC]
ii)
Rédaction : J milieu de [AL] donc AJ = JL, L milieu de [JC] donc JL = JC
AJ = JL = JC
iii) Conclusion : AJ = JL = LC
QUATRIEME
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IJ/3 IJ
i)
Complète : Error! = Error! = Error! = Error!
j)
On peut faire le même raisonnement avec les points S et R. On a alors : BR = RS = SC
k) Complète : Error! = Error! = Error! =Error!
l)
AI = IK = KB donc Error! = Error! = Error! = Error!
Conclusion : Error! = Error! = Error!
PROPRIETE de THALES
Dans un triangle ABC, si M est un point du côté [AB], N un point du côté [AC] et si [MN] est parallèle à
[BC], alors Error! = Error! = Error!
Figure possible
Comment utiliser cette propriété ?
Si je sais que ABC est un triangle, que M est un point de (AB) et que N est un point de (AC) et (MN) //
(BC) alors
Error! = Error! = Error!
Séquence 5 :
Compétence
Agrandir ou réduire une figure en utilisant la propriété de conservation des angles et
la proportionnalité entre les longueurs de la figure initiale et celles de la figure à
obtenir
 Rappelle la définition de l’échelle : L'échelle d'une carte est le quotient entre la dimension sur
la carte et la dimension réelle (les deux dimensions doivent être exprimées dans la même unité)
 Remplis le tableau ci-dessous correspondant aux deux figures
AB
BC
AC
DE
EF
Figure d’origine
16
23
25
16
23
Figure réduite
8
11,5
12,5
8
11,5
Quotient
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
QUATRIEME
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Figure d’origine
Réduction
Que remarques-tu pour les quotients : ils sont égaux
Ce quotient s’appelle aussi l’échelle
Remplis le tableau ci-dessous correspondant aux deux figures
;ABC
;BCA
;BAC
;DEF
;EFF
Figure d’origine
80°
41°
59°
90°
90°
Figure réduite
80°
41°
59°
90°
90°
Que remarques-tu ? Les angles sur la figure d’origine et sur la figure réduite ont la même mesure
Quelle conjecture peux-tu faire ? il semble que la réduction conserve les angles
Démontrons cette conjecture dans un cas particulier
Données : ABC triangle, I un point de [AB] tel que AI = 2 cm, La parallèle à (BC) passant par I
coupe (AC) en J
On veut démontrer qu’un agrandissement ou une réduction conserve les angles
i.
Construire un triangle ABC tel que AB = 5 cm. Construire le point I du segment [AB] tel que
AI = 2 cm puis tracer la parallèle à la droite (BC) passant par I. Elle coupe (CA) en J.
ii.
Utilise la propriété de Thalès dans le triangle ABC et complète :
Error! = Error! = Error!
iii.
Complète : le triangle AIJ est une réduction du triangle ABC. Le coefficient de
proportionnalité est Error!
iv.
Complète : le triangle ABC est un agrandissement du triangle AIJ. Le coefficient de
proportionnalité est Error!
QUATRIEME
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v.
Montrons que les angles
;AIJ et
;ABC sont de même mesure.
Les droites (IJ) et (BC) sont parallèles Les angles
;AIJ et
;ABC sont correspondants
Si deux droites sont parallèles alors les angles correspondants déterminés par une sécante
sont de même mesure
Donc les angles
vi.
;AIJ et
Montre de même que
;ABC sont de même mesure
;AJI et
;ACB ont la même mesure
Les droites (IJ) et (BC) sont parallèles Les angles
donc même mesure
Donc les angles
vii.
Les angles
;AJI et
;IAJ et
;AJI et
;ACB sont correspondants
;ACB sont de même mesure
;BAC sont de même mesure
Définition
Une figure F’ est une réduction (ou un agrandissement) d’une figure F à l’échelle k si
 Toutes les longueurs de la figure F’ sont proportionnelles aux longueurs de la figure F et k est le
coefficient de proportionnalité
 Tous les angles de la figure F’ ont la même mesure que les angles de la figure F
Remarque : si k > 1, on obtient un agrandissement ; si k < 1, on obtient une réduction
Exemple :
Figure 1
Figure 2
La figure 2 est un agrandissement de la figure 1
La figure 1 est une réduction de la figure 2
Complète
QUATRIEME
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x 0,3125
AB
BC
CD
DA
Longueurs sur la figure 1 en mm
19
28
30
15
Longueurs sur la figure 2 en mm
60,8
89,6
96
48
Propriétés
Une réduction ou un agrandissement conserve la perpendicularité et le parallélisme
Exemples
La réduction conserve le parallélisme
QUATRIEME
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x…