Lancement d'un satellite A) Champ de gravitation terrestre On assimile la Terre à une répartition de masse à symétrie sphérique de centre O, de rayon R = 6,4.103 km. À la distance R de O, le champ de gravitation G créé par cette répartition de masse a pour module G0 = 9,8 m.s–2. La constante de l'attraction universelle est G = 6,7.10–11 SI. 1) a) Rappeler le théorème de Gauss pour le champ électrostatique E . b) Exprimer le champ de gravitation G créé en un point M tel que OM = r e r ( e r étant le vecteur unitaire orienté de O vers M) par une masse ponctuelle m placée en O. c) Exprimer de même le champ électrostatique E créé en un point M par une charge ponctuelle q placée en O. d) En déduire l'expression du théorème de Gauss pour le champ de gravitation. e) Appliquer le théorème de Gauss à la Terre pour établir l'expression de la masse de la Terre avec G0, R et G . Calculer numériquement . f) En déduire l'expression de la masse volumique moyenne m de la Terre avec les mêmes constantes et calculer numériquement m. 2) Soit la répartition de masse à symétrie sphérique de centre O. En M, tel que OM = r e r , la masse volumique est = f(r). La masse englobée par la surface sphérique de centre O et de rayon r est notée int. Le champ de gravitation en M est donc G G int e r . La masse volumique moyenne à l'intérieur de r2 est notée m. dG a) Exprimer la dérivée logarithmique du module de G avec les différentielles logarithmiques de G int et de r. b) dint représente la masse de la coquille sphérique de centre O comprise entre les sphères de rayons d int dr r et r + dr. Exprimer la dérivée logarithmique avec , et m. En déduire que pour une petite r int variation r de la distance OM, la petite variation G correspondante est donnée par la relation r G 3 2 . G m r c) On définit l'altitude par z = r – R. Appliquer la relation précédente à la Terre, en considérant que la masse volumique de l'atmosphère est négligeable, pour calculer l'altitude z1 (z1 << R) pour laquelle le module du champ de gravitation terrestre est diminué relativement de 10–3 par rapport à sa valeur G0 à l'altitude z = 0. d) Calculer de même l'altitude z2 (z2 < 0 et z 2 R ) pour laquelle le module du champ de gravitation terrestre est augmenté relativement de 10–3 par rapport à sa valeur G0 à l'altitude z = 0, en m considérant que la masse volumique de la croûte terrestre à faible profondeur est de l'ordre . 2 B) Trajectoire d'un satellite artificiel On considère un satellite, assimilé à un point matériel M, de masse m. On étudie le mouvement de M dans le référentiel géocentrique défini par le centre O de la Terre, les axes OX, OY et OZ sont orientés vers des étoiles lointaines. Ce référentiel sera considéré comme galiléen. On notera OM r e r On néglige toute autre force agissant sur le satellite devant la force de gravitation exercée par la Terre. a) Exprimer l'accélération a du satellite avec , G , r et e r , puis avec G0, R, r et e r . 1) b) Démontrer que C OM v est constant et que le mouvement est plan. 2) On choisit les axes OX et OY dans le plan du mouvement de M, et OZ dans le sens de C . Le satellite M est repéré par ses coordonnées cylindriques d'axe OZ : r, et Z = 0. Les vecteurs unitaires correspondant à ce système de coordonnées sont notés e r , e et e Z . Y e .e M er Z r v0 . M0 OZ X dr d 2 r d a) Exprimer la vitesse v , l'accélération a et la constante C avec r, , r , r 2 , , dt dt dt d 2 2 et les vecteurs unitaires e r , e et e Z . dt b) Démontrer que le mobile suit la loi des aires, (on précisera la relation entre la vitesse aréolaire dS et la constante C ). dt 1 du d2u c) On note u , u' et u" 2 . r d d Démontrer les formules de Binet : v2 = C2 (u2 + u'2) et a = – C2u2 (u" + u) e r . d) Démontrer que la trajectoire de M est une conique dont on mettra l'équation en coordonnées p polaires sous la forme r , (avec p, paramètre et e > 0, excentricité de la conique). 1 e cos( ) Exprimer le paramètre p avec C, G0 et R. 3) = Le largage du satellite par la fusée a lieu à la date t = 0, on a alors = 0, r = r0 et v v 0 e . On pose r0 v 0 2 . G0R2 a) Exprimer la constante C exprimée avec r0 et v0? Exprimer le paramètre p avec et r0. b) Quelle est la valeur u'0 de u' à t = 0 ? (On utilisera la première formule de Binet). c) Utiliser les conditions initiales sur u et u' pour établir la relation entre e et . Préciser les valeurs de suivant la nature de la conique : cercle, ellipse, parabole, hyperbole. d) Dans le cas où > 1, quelle est la valeur de ? quelle est celle de l'excentricité e ? Quelle est la valeur ra de r à l'apogée de la trajectoire (c'est-à-dire la valeur maximale de r) ? Quelle est la valeur rp de r au périgée (c'est-à dire la valeur minimale de r) ? e) Répondre aux mêmes questions dans le cas où < 1. Écrire une expression de r avec , r0 et valable quel que soit . f) Pour des trajectoires elliptiques, exprimer le demi grand axe a, c = ae et le demi petit axe b avec r 0 et . p a b c g) préciser les valeurs numériques de e, , , et pour les valeurs suivantes de : 0,5 ; 1 et r0 r0 r0 r0 1,5. Tracer les trajectoires correspondantes sur un même dessin où seront représentés les axes OX et OY et le point de largage M0, avec r0 représenté par 4 cm. 4) On considère un satellite d'orbite elliptique, toujours lancé dans les conditions du 3). a) En utilisant les résultats précédents et la définition de , exprimer C2 avec , G0, R et a. b) Compte tenu de l'expression S = ab de la surface de l'ellipse et de la loi des aires donner une autre expression de C2, avec , a et la période T de révolution du satellite et retrouver la troisième loi de Kepler. c) La période de révolution de la Terre dans le référentiel considéré est T0 = 86 164 s. Quel doit être le plan XOY et quelle doit être la valeur R0 de r0 exprimée avec T0, R et G0 pour que le satellite soit géostationnaire ? Calculer numériquement l'altitude d'un tel satellite. d) Quelle doit être la valeur V0 de la vitesse initiale v0 d'un tel satellite, exprimée avec T0, R et G0 ? Calculer numériquement cette valeur. e) Exprimer la période de révolution T du satellite avec R, r0, G0 et . f) On largue un satellite avec la valeur r0 = R0 nécessaire et dans le plan XOY convenable pour qu'il soit géostationnaire, avec une vitesse initiale de direction convenable, mais de module v 0 = V0 + v0 avec v0 << V0. Sa période de révolution est alors T0 + T. v 0 T 3 En utilisant les différentielles logarithmiques de T et de , démontrer que . T0 V0 g) Calculer numériquement v0 si l'on veut que le satellite tourne d'un tour par an par rapport à la Terre. 5) Le satellite est maintenant largué à t = 0, avec = 0, r = r0 et une vitesse de module v0 faisant un angle ]0; [ avec OX : v 0 v 0 (cos e r sin e ) , alors que cet angle était précédemment de 90°. On notera comme précédemment = r0 v 0 2 G0R2 a) Exprimer C avec r0 , v0 et , puis le paramètre p avec r0, et . b) Exprimer la valeur initiale u'02 de u'2 avec r0 et (on pourra utiliser la première formule de Binet) puis celle de u'0, après avoir précisé son signe suivant la valeur de . c) En déduire le système de deux équations d'inconnues e et écrites avec les seuls paramètres et , dont on déduira la relation : e2 = 1 + ( – 2) sin2 . d) Montrer que la nature de la conique, ellipse, parabole ou hyperbole, ne dépend que de , mais que le cas particulier où l'ellipse devient un cercle n'est possible que si = 90°. e) Dans le cas d'une trajectoire elliptique, montrer que le demi grand axe a ne dépend que de r0 et de v0, mais pas de la valeur de l'angle . f) Pour = 60° et = 1, calculer e et , puis a, c, b, p, ra et rp en fonction de r0. g) Dans les conditions du f), tracer la trajectoire du satellite, avec r0 représenté par 4 cm, en montrant clairement la signification de l'angle . C) Énergie du satellite et orbite de transfert 1) Le satellite est largué avec r = r0 , = 0 et v = v0. L'orientation de v 0 étant quelconque. L'énergie potentielle d'interaction entre le satellite et la Terre est choisie nulle pour r tendant vers l'infini. a) Exprimer l'énergie mécanique E du satellite avec m, r0, v0, G0 et R, puis avec m, r0, G0, R et . b) Compte tenu de la relation établie au B) 5) c), en déduire une expression de E mettant en évidence le lien entre la nature de la conique et le signe de E. c) Dans le cas d'une orbite elliptique, montrer que E ne dépend que du demi grand axe a, puis exprimer v2 avec R, G0, r et a. d) Dans le cas d'une orbite circulaire de rayon r0, exprimer v2 avec R, G0 et r0. 2) Le satellite se trouve sur une orbite circulaire basse, de rayon r1. On veut le faire passer sur une orbite circulaire haute, de rayon r2. Pour ce faire, au point P de son orbite basse, on accroît son énergie mécanique de E1 pour le faire passer sur une orbite elliptique dont P soit le périgée et dont l'apogée A se trouve sur l'orbite haute. En A, on accroît à nouveau son énergie mécanique, de E2 pour lui faire adopter sa nouvelle trajectoire circulaire. A r2 r1 O P a) Exprimer E1 puis E2, avec m, G0, R, r1 et r2. b) Calculer numériquement E1 et E2 pour r1 = R0 (rayon de l'orbite géostationnaire calculée au B) 4) c)) et r2 = 1,1 R0, si la masse du satellite est m = 103 kg. c) D'où peut provenir l'énergie mécanique nécessaire pour ces changements d'orbite ?