Présentation de la méthode d`euler

TD Physique
première approche de la méthode d'euler…
Le premier modèle simple de chute libre donné en cours donnait une équation horaire
1
(expression en fonction du temps)de la forme: x(t)  gt²
2
Comme nous l'avons vu en TP puis en cours, ce modèle ne "colle" pas toujours à la
réalité. Il faut prendre en compte les forces de frottement…
Supposons qu'en plus du poids, notre balle de tennis soit soumise à une force de
frottement verticale, s'opposant au mouvement et de la forme f=-k
 Montrer, en appliquant la deuxième loi de Newton, et en projetant cette relation
vectorielle dans le repère ci-contre, que l'équation du mouvement peut se mettre sous
la forme:
……………………………………………………………………………………………………………………………………
dv
k
……………………………………………………………………………………………………………………………………
g v
dt
m
……………………………………………………………………………………………………………………………………
 Nous allons .essayer de résoudre cette équation différentielle par une méthode
numérique, et non par une méthode analytique. Pour cela nous allons devoir faire des
approximations.
 Sachant que la masse de la balle est 0,2 kg et que k=0,2 kg.s -1, réécrire l'équation
différentielle précédente avec des coefficients numériques.
à t=0, v=0 et x=0


…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………….
La méthode d'Euler consiste à résoudre cette équation différentielle en calculant pas à pas les valeurs de la
vitesse:
Etape 1 t=0s (remplissage de la première ligne du tableau)
dv
2
D'après les conditions initiales, v=0. Si on introduit ce résultat dans l'équation différentielle on trouve  10  0.  10m.s
dt
Ces deux résultats permettent de remplir les deux premières cases du tableau de valeur.
dv
))dt
La méthode d'Euler consiste à approximer, à chaque pas, la fonction v(t) par une droite de pente .
On a donc, d'après cette approximation v(t)=10t (droite de pente 10 passant par le point de coordonnées (0s;0ms -1
Etape 2 t=0,5s (remplissage de la deuxième ligne du tableau)
 On calcule la valeur de v(t) pour t=0,5s grâce à l'approximation de l'étape 1: v(0,5)=10x0,5=5m.s-1
dv
 10  5  5m.s2
 On introduit ce résultat dans l'équation différentielle et on trouve:
dt
 D'après l'approximation de la méthode d'Euler, on a v(t)= v(t)=5(t-0,5)+5 (droite de pente 5 passant par le point
de coordonnées (0,5s;5m.s-1))
Etape 3 t=1s (remplissage de la troisième ligne du tableau)
On calcule la valeur de v(t) pour t=1s grâce à l'approximation de l'étape 2: v(1)=5(1-0,5)+5=7,5m.s-1
dv
 10  7,5  2,5m.s2
On introduit ce résultat dans l'équation différentielle et on trouve:
dt
 D'après l'approximation de la méthode d'Euler, on a v(t)= v(t)=2,5(t-0,5)+7,5 (droite de pente 2,5 passant par le
point de coordonnées (1s;7,5m.s-1))
t(s) v(m.s-1)
approximation de v
Et ainsi de suite…. A vous de remplir le tableau ci-contre en
0
0
10
v(t)=10t
suivant le modèle donné, puis de tracer la courbe
0,5
5
5
v(t)=5(t-0,5)+5
représentant v en fonction de t pour t variant entre 0
1
7,5
2,5
v(t)=2,5(t-1)+7,5
et7,5s. Puis répondez aux questions suivantes:
1,5
1°) Quelle semble être la valeur vers laquelle tend la vitesse?
2
2°) On nomme cette valeur la vitesse limite. Essayons de
2,5
retrouver cette valeur à partir de l'équation différentielle
3
de départ, pour cela suivez les étapes suivantes:
3,5
a) Lorsque la vitesse limite est atteinte, quelle est la valeur
4
de dv/dt ?
4,5
b) Introduire cette valeur de dv/dt dans l'équation
5
différentielle précédente.
5,5
c) Calculer la valeur de v correspondante, c'est la vitesse
6
limite.
6,5
7
7,5