Variables aléatoires

IREM DE STRASBOURG
GROUPE STATISTIQUES
VARIABLES ALEATOIRES
Définition :
Une variable aléatoire X est une application X :  
intervalle de
est un événement de A .
telle que l’image réciproque de tout
X1  I    , X    I  A
Loi de probabilité d’une variable aléatoire
Etant donnée une variable aléatoire X définie sur  , A , P  , on appelle loi de probabilité de
X et on note PX , la probabilité définie sur


par :

PX  a, b   P X 1  a, b   P  , a  X    b

que l’on écrit plus brièvement P  a  X  b  .
On notera L  X  la loi de la variable aléatoire X
Dans la pratique il est évidemment difficile de donner les valeurs de PX pour tous les
intervalles.
Si X est une variable aléatoire discrète prenant les valeurs x1 , x2 ,..., xn ,... la loi de
probabilité (discrète) associée est définie par les pi  P  X  xi  , i  1 avec 0  pi  1 et
p
i 1
i
1.
Lorsque X est une variable aléatoire continue la loi de probabilité (continue) associée est
définie par une fonction positive f X appelée densité de probabilité, telle que
b
P  a  X  b    f X  t  dt
a
La probabilité d’un intervalle se présente dans ce cas continu comme une aire sous la
courbe représentative de f X .
y
y=f(x)
P([a,b[)
x
a
b
Propriété d’une fonction densité de probabilité :

f X  0 et
 f  t  dt  1
X

Fonction de répartition d’une variable aléatoire :
Si X est une variable aléatoire continue, on appelle fonction de répartition de X la fonction
FX  t   P  X  t  
t
 f  x  dx
X

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y
FX  t 
y=f(x)
x
t
On a :
P  a  X  b 
b
 fX  x  dx 

a
 f  x  dx  F b   F  a 
X
X
X

Espérance mathématique
L’espérance mathématique (ou moyenne théorique) d’une variable aléatoire discrète X est
définie par :
E  X     X    pi xi
i
La variance théorique d’une variable aléatoire discrète X est définie par :
 2  X     X   X     pi  xi      pi xi 2   2
2
2
i
i
L’écart type théorique est :
 X 
 p x  
i
2
i
i
Propriétés :
Si X et Y sont deux variables aléatoires discrètes ou continues et a et b deux réels :
 (X  Y)   (X)   (Y)
 (a X  b)  a  (X)  b
 2  a X  b   a 2 2  X 
  a X b   a   X 
Définition : si X et Y sont deux variables aléatoires définies sur  , A , P  , X et Y sont
dites indépendantes si pour tous réels a1 , b1 , a2 , b2 tels que a1  b1 et a2  b2 :
P  a1  X  b1 et a2  Y  b2   P  a1  X  b1   P  a2  Y  b2 
Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes, alors :
 2  X Y    2  X    2  Y 
  X Y    2  X    2  Y 
E  XY   E  X   E  Y 
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