C Arbres
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Représentations Exemples de situations aléatoires conduisant à l’emploi de partitions, de tableaux ou d’arbres pour organiser des données A Partition On interroge 150 foyers sur leur équipement. 126 ont la télévision, 72 ont un magnétoscope, 50 ont un ordinateur, 42 la télévision et un ordinateur, 54 la télévision et le magnétoscope, 36 un ordinateur et un magnétoscope et 30 possèdent les trois types d’appareils. 1. Compléter le diagramme ci-dessous. Télévision Magnétoscope Foyers Ordinateur 2. On choisit un de ces foyers au hasard (on considère qu’il y a équiprobabilité). Quelle est la probabilité qu’il y ait exactement deux de ces types d’appareils ? B Tableaux Une entreprise achète et revend des pièces mécaniques. Ces pièces sont achetées à deux fournisseurs A et B. Parmi les pièces venant de A, 10 % ont un défaut. Parmi les pièces venant de B, 6 % ont un défaut. L’entreprise commercialise un lot de 1000 pièces, dont 60 % viennent de A et 40 % de B. 1. Compléter le tableau suivant : Nombres de pièces Nombre de pièces venant de A venant de B Nombre de pièces défectueuses Nombre de pièces non défectueuses Total Total 1000 2. a. On prend une pièce au hasard parmi ces 1000 pièces. Quelle est la probabilité qu’elle est un défaut ? b. On prend une pièce au hasard parmi les pièces n’ayant pas de défaut. Quelle est la probabilité qu’elle vienne du fournisseur B ? C Arbres Dans un tirage au hasard de plusieurs objets, on peut faire le choix : - soit successivement, c’est-à-dire qu’à chaque objet choisi, on note le résultat ; on tient compte de l’ordre de tirage. - Soit simultanément, c’est-à-dire que tous les objets sont pris en même temps ; on ne tient pas compte de l’ordre de tirage. Quand le tirage se fait de façon successive on peut : - soit remettre chaque objet tiré avant de faire le tirage suivant : on peut alors, dans un même tirage, reprendre plusieurs fois le même objet. - Soit laisser de côté l’objet tiré avant de prendre le suivant : on ne peut pas alors avoir le même objet plusieur fois dans un même tirage. Chacun de ces modèles correspon à des expériences différents et les arbres de choix que l’on fait sont différents. 1. A chaque expérience, son modèle : Pour chacune des expériences suivantes, dites à quel type de tirage elle correspond. a. Dans une classe, un professeur choisit deux élèves au hasard pour préparer un exposé. b. Dans une classe, un professeur choisit deux élèves au hasard : le premier sera interrogé sur une leçon, le deuxième sur un exercice. c. Pendant une matinée comportant quatre heures de cours avec des professeurs différents, à chaque cours le professeur choisit au hasard un élève pour l’interroger. 2. Exemple de choix avec ordre (tirage successif) avec remise : a. Trois personnes (A, B et C) entrent dans un ascenseur au rez-de –chaussée d’un immeuble de quatre étages. Pour déterminer le nombre de répartitions possibles de ces trois personnes sur les quatre étages (on suppose qu’aucune d’elles ne redescend de l’ascenseur au rez-de – chaussée), compléter l’arbre de choix commencé ci-dessous. A B 1 1 2 3 C 1 2 3 4 2 . : b. On suppose toutes les répartitions équiprobables. Quelle est la probabilité que les trois personnes descendent au même étage ? 3. Exemple de choix avec ordre (tirage successif) et sans remise : a. On reprend l’exemple précédent mais on considère que deux personnes ne peuvent pas descendre de l’ascenseur au même étage. Compléter l’arbre de choix ci-dessous correspondant à cette nouvelle expérience. A B C 3 2 4 1 3 2 . : : b. On considère toujours toutes les répartitions équiprobables. Quelle est la probabilité que l’étage auquel descend A soit au-dessus de l’étage auquel descend B ? 4. Choix sans ordre et sans remise (tirage simultané) : a. On reprend l’exmple précédent mais on ne s’intéresse plus à savoir qui est descendu à tel ou tel étage mais simplement quels sont les étages où une personne est descendue. Compléter l’arbre de choix ci-dessous : 3 2 1 3 4 4 2 . : b. On considère toujours toutes les répartitions équiprobables. Quelle est la probabilité que l’étage le plus haut desservi soit le troisième étage ?
