Devoir de Mathématiques Exercice 1 Un objet relié à un parachute est largué à l'instant t = 0. On admet que sa trajectoire est verticale. A chaque instant t, exprimé en secondes, on désigne par h(t) la distance (en mètres) parcourue par l'objet, par v(t) sa vitesse et par a(t) son accélération. On sait que v(t) = h'(t) et que a(t) = v'(t). Le système formé par l'objet et le parachute subit la force de pesanteur ainsi que la résistance de l'air proportionnelle à sa vitesse avec un coefficient réel positif k. On en déduit que : ma(t) = mg - kv(t) où m est la masse, en kilos, de l'objet et du parachute et g le coefficient d'accélération de la pesanteur. 1. Montrer que la fonction v est solution de l'équation différentielle . Comme a(t) = v'(t), l'équation ma(t) = mg - kv(t) est équivalente à mv'(t) = mg - kv(t). En divisant par m on obtient montre que v est solution de ce qui . En déduire une expression de v(t), et la limite de v(t) lorsque t tend vers l'infini. Comme v est solution de , on sait que avec C représentant une constante réelle. Comme , et par conséquent . On peut remarquer que si v atteint sa limite, v devient constante et l'accélération a(t) est donc nulle. L'équation ma(t) = mg - kv(t) donne bien a(t) = 0 lorsque . -2 2. On donne : m = 8kg, g = 10m.s et k = 25 unités SI. D'autre part on sait que l'objet a été laché avec une vitesse initiale nulle, on a donc h(0)=0 et v(0)=0. a) Exprimer v(t) en fonction de t. Nous avons vu que et . Comme v(0)=0, . 1 , donc En tenant compte des valeurs de m, g et k, on obtient : . b) Montrer que h(t) = 3,2t + 1,024(e -3,125t - 1). Comme v(t) = h'(t), h est la primitive de v qui vérifie h(0)=0. On a donc . Comme h(0)=0, 1,024+C=0, donc C=-1,024 et finalement -3,125t h(t) = 3,2t + 1,024(e - 1). c) L'objet a été lâché d'une hauteur de 100m. Montrer que l'équation h(t) = 100 admet une solution unique t1. Que représente ce nombre t1 ? On considère l'intervalle I= . La fonction h est continue sur I puisqu'elle est dérivable. On sait que . Pour t > 0, on a , donc h'(t) > 0. La fonction h est donc croissante sur I. Enfin h(0)=0 et donc h(t) prend des valeurs supérieures à 100. En appliquant le théorème des valeurs intermédiaires on peut dire que l'équation h(t)=100 a une solution unique t1 sur I. Comme l'objet a été lâché d'une hauteur de 100m, t1 représente la durée de sa chute. d) Déterminer, à l'aide d'une calculatrice, une valeur approchée de t1 à 1 seconde près. En déduire une valeur approchée de la vitesse de l'objet à l'arrivée au sol. La calculatrice indique h(31)<100 et h(32)>100, donc 31 < t1 < 32. La durée de la chute est donc d'environ 31,5s. La vitesse atteinte à l'arrivée au sol est v(31,5) ≈ 3,2. Remarquons que la vitesse limite est . La vitesse atteinte est si proche de la valeur limite que la calculatrice n'arrive pas à les distinguer. Exercice 2 On a rangé en vrac, dans une boîte, neuf cartes postales indiscernables au toucher. Cinq de ces cartes proviennent de France, une provient d'Australie et trois des Etats-Unis. 1. On tire simultanément et au hasard trois cartes de la boîte. a) Démontrer que la probabilité de n'obtenir aucune carte de France parmi les trois cartes est égale à . 2 Comme on tire 3 cartes parmi 9, le nombre de tirages possibles est . Pour effectuer un tirage qui ne contient pas de carte qui provient de France il faut tirer les 3 cartes parmi les 4 cartes qui proviennent d'Australie ou des Etats-Unis. Le nombre de cas correspondant est . La probabilité de n'obtenir aucune carte de France parmi les trois cartes est donc . b) Calculer la probabilité de l'évènement E "lors d'un tirage, obtenir une carte de chaque pays". Pour réaliser l'évènement E il faut tirer une carte de France parmi les 5 possibles, la carte d'Australie et une carte des Etats-Unis parmi les 3 possibles. Le nombre de cas correspondant est . On en déduit que P(E)= . 2. On répète ce tirage cinq fois de suite en remettant à chaque fois les trois cartes tirées dans la boîte. Quelle est la probabilité de l'évènement "lors de ces 5 tirages, deux fois et deux fois seulement, on n'obtient aucune carte de France" ? On répète 5 fois l'épreuve de Bernoulli pour laquelle un succès consiste à tirer 3 cartes dont aucune n'est une carte de France; la probabilité d'un succés est donc . La variable aléatoire X donnant le nombre de succès suit ainsi la loi binomiale de paramètres 5 et . Alors la probabilité demandée est : P(X=2) = 3. Soit n un entier naturel non nul. On répète ce tirage n fois de suite en remettant à chaque fois les trois cartes tirées dans la boîte. a) Exprimer, en fonction de n, la probabilité d'obtenir au moins un tirage sans carte de France. Soit X la variable aléatoire représentant le nombre de tirages sans carte de France. Comme dans la question 2 X suit la loi binomiale de paramètres n et La probabilité d'obtenir au moins un tirage sans carte de France est : P(X ≥ 1) = 1 - P(X=0) = . b) A partir de quelle valeur de n cette probabilité est-elle supérieure ou égale à 0,95 ? 3 . On a obtient pour . En passant aux logarithmes, on et finalement et donc n ≥ 62. 4 (car )