Dynamique et énergétique

TD Physique - Dynamique et énergétique - MPSI 1 Lycée Chaptal - 2012
Dynamique et énergétique
I - Frottement fluide simple ?
Une goutte d’eau supposée ponctuelle est soumise à son poids et à une force de résistance de l’air proportionnelle
à la vitesse. Le coefficient de proportionnalité est noté k. On suppose qu’elle a une vitesse initiale nulle.
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4.
Écrire les equations différentielles portant sur les composantes de la vitesse.
Résoudre les équations et montrer que le mouvement de fait selon un axe que l’on précisera.
Donner la loi v(t).
Montrer l’existence d’une vitesse limite ; que peut-on alors dire de l’ensemble des forces appliquées ?
II - Jonglage ??
Un jongleur lance ses balles de jonglage à une vitesse v0 , et à une hauteur h. Lorsqu’une balle atteint cette hauteur,
il lance la suivante. À quelle hauteur deux balles consécutives se croisent-elles ?
III - Freinage d’un bateau ??
Un bateau (ponctuel ...) de masse M = 12.103 t flotte sur une mer calme et se déplace le long d’un axe [Ox) en
→
−
−
étant soumis à une force de frottement F = −kv 3 →
ex . On prendra k = 6, 4.103 SI. La vitesse initiale du bateau est
de 16km/h. Sous l’effet de la seule force de frottement :
1. Déterminer au bout de combien de temps la vitesse du bateau atteindra 13km/h.
2. Calculer alors la distance parcourue.
IV - Guide hélicoïdal ??
Soit un guide rigide ayant la forme d’une hélice circulaire inscrite sur la surface cylindrique d’axe [Oz) et de rayon
a, d’équation en coordonnées cylindropolaires r = a et z = hθ, où h est une constante positive. Un petit anneau
de masse m et supposé ponctuel suit le guide de façon bilatérale, sans frottements. Il est lâché avec une vitesse
initiale nulle depuis une altitude z0 .
1. Donner les expressions de la vitesse et de l’accélération de l’anneau en fonction de a ; h, et de dérivées de θ.
2. Traduire l’absence de frottements par une relation utilisant a, h, θ̇ et certaines composantes de la réaction
→
−
R.
3. Établir les équations différentielles du mouvement.
4. Déterminer z(t) et θ(t).
5. À quel instant l’anneau touchera-t-il le sol ?
→
−
6. Déterminer les composantes de la réaction R .
V - Accélération de particules chargées ?
Un filament émet des électrons possédant une vitesse nulle sur une cathode. Les électrons sont alors attirés par
l’anode. La différence de potentiel entre anode et cathode est de V . Exprimer la vitesse des particules lorsqu’elles
atteignent l’anode.
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TD Physique - Dynamique et énergétique
VI - Rebonds d’une balle ??
Une balle est lâchée sans vitesse initiale d’une hauteur h = 1 m au dessus d’un plancher sur lequel elle rebondit
avec un coefficient de restitution e = 0, 8, c’est-à-dire que la vitesse de la balle après le choc au sol vaut à chaque
fois la vitesse avant le choc multipliée par ce coefficient. Calculer les hauteurs maximales atteintes entre chaque
rebond. Calculer la durée entre deux rebonds consécutifs. Calculer enfin la durée totale à partir du premier rebond
jusqu’à ce que la balle ne rebondisse plus que de façon imperceptible.
VII - Régimes de pendule ? ? ?
Un point matériel M de masse m est suspendu à un fil inextensible de longueur `, de masse négligeable et sans
→
raideur. Initialement, le fil est vertical et on communique au point M une vitesse −
v0 horizontale.
1. En supposant que le fil reste tendu, donner l’expression de la norme de la vitesse acquise par le point matériel
lorsque le fil fait un angle θ avec la verticale.
2. Sous la même hypothèse, déterminer la tension du fil.
3. On fixe θ. Quelle condition doit vérifier v0 2 pour atteindre cette valeur de θ et que le fil reste tendu ?
4. Que peut-on dire du mouvement lorsque v0 2 6 2g`, 2g` < v0 2 6 5g` et 5g` < v0 2 ?
VIII - Allongements optimaux ?
On considère une masse m suspendue dans le vide par un ressort de longueur à vide `0 et de raideur k. On
lâche la masse avec une vitesse initiale nulle, alors que le ressort est au repos, et on prend cette altitude comme
origine de l’axe. Déterminer la loi de l’allongement du ressort au cours du temps, et en déduire les allongements
minimaux et maximaux.
IX - Équivalences de ressorts ? ? ?
On considère deux ressorts de même longueur à vide `0 mais de raideurs différentes k1 et k2 . Montrer que ces
deux ressorts sont équivalents à un seul ressort dont on donnera longueur à vide et raideur, dans les deux cas
suivants : les deux ressorts sont en parallèle (assez facile) ; les deux ressorts sont en série (beaucoup plus difficile).
À quel composant électronique cela vous fait-il penser ?
X - Oscillations avec frottements ? ? ?
Un point matériel M de masse m se déplace sur un axe horizontal (xOx0 ). Il est soumis à son propre poids, à
→
−
−−→
−
→
une force de rappel F = −k OM et à une réaction R de l’axe vérifiant les lois de Coulomb, c’est-à-dire que l’on a
au cours du mouvement RT = f RN . Á t = 0, M est en M0 d’abscisse x0 > 0 et sans vitesse initiale.
• Que doit valoir au minimum x0 pour que le mouvement puisse commencer ? On suppose cette condition
satisfaite.
• Etablir l’équation différentielle du mouvement, et la résoudre en utilisant ω 2 = k/m.
• On pose a = f mg/k. Jusqu’à quelle valeur de ωt cette solution est-elle valable ? Calculer l’abscisse x1 du
point atteint au terme de la première phase de ce mouvement.
• Quelle condition sur x1 est nécessaire pour que le mouvement reparte en sens inverse ? Quelle est alors la
condition sur x0 ?
• Etablir alors la nouvelle équation différentielle, la résoudre et donner l’abscisse x2 du point atteint à la fin de
la deuxième phase.
• On donne x0 = 4, 5 a. Tracer la représentation graphique de x(t). Comment varient les amplitudes à chaque
alternance ?
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