Énoncé - Geogebra en FGA
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La géométrie euclidienne avec Geogebra La géométrie euclidienne avec Geogebra Énoncé 1 Dans tout triangle isocèle, les angles opposés aux côtés isométriques sont isométriques. Construire deux points quelconques A et B ; Construire un triangle isocèle ABC rectangle en B ; Marquer les deux angles aigus du triangle ; Mesurer les deux angles aigus du triangle ; Comparer les mesures des deux angles aigus du triangle ; Déplacer les points A et B ; Que dire des mesures des deux angles aigus du triangle ? Énoncé 2 L’axe de symétrie d’un triangle isocèle supporte une médiane, une médiatrice, une bissectrice et une hauteur de ce triangle. Construire deux points quelconques A et B ; Construire un triangle ABC isocèle en C ; Construire la hauteur du triangle issue du point C ; Construire la bissectrice de l’angle ACB ; Construire la médiatrice du côté AB ; Construire la médiane du côté AB ; Déplacer les points A, B; Que peut-on conclure ? http://recitmst.qc.ca/maths/-Geometrie-Euclidienne- 2 Énoncé 3 : Les côtés opposés d’un parallélogramme sont isométriques. Énoncé 4 : Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu. Énoncé 5 : Les angles opposés d’un parallélogramme sont isométriques. Construire deux points quelconques A et B ; Construire un parallélogramme ABCD ; Construire les deux diagonales du parallélogramme ; Mesurer les quatre côtés du parallélogramme ; Marquer les quatre angles intérieurs du parallélogramme ; Mesurer les quatre angles intérieurs du parallélogramme ; Observer les deux diagonales du parallélogramme ; Comparer les mesures des côtés opposés du parallélogramme ; Comparer les mesures des angles opposés du parallélogramme ; Déplacer les points A, B et C ; Énoncé 3 : Que peut-on dire des mesures des côtés opposés du parallélogramme ? Énoncé 4 : Que peut-on dire des deux diagonales du parallélogramme ? Énoncé 5 : Que peut-on dire des mesures des angles opposés du parallélogramme ? Énoncé 6 Les diagonales d’un rectangle sont isométriques. Construire deux points quelconques A et B ; Construire un rectangle ABCD ; Construire les deux diagonales du parallélogramme ; Mesurer la longueur du segment passant par les deux côtés opposés Que peut-on conclure sur ces deux diagonales ? http://recitmst.qc.ca/maths/-Geometrie-Euclidienne- 3 Énoncé 7 Les diagonales d’un losange sont perpendiculaires. Construire deux points quelconques A et B ; Construire un losange ABCD ; Tracer les diagonales du losange ; Mesurer l’angle au centre Que peut-on conclure sur la mesure des angles formés par le croisement des deux diagonales ? Énoncé 8 Si deux droites sont parallèles à une troisième, alors elles sont aussi parallèles entre elles. Construire une droite à partir des points A et B ; Construire une deuxième droite passant par le point C et parallèle à la droite AB ; Construire une troisième droite passant par le point D et parallèle à la droite AB et C ; Déplacer le point A de haut en bas ; Déplacer le point D de haut en bas ; Que peut-on dire de la droite passant par le point D par rapport à la droite passant par les points AB ? Énoncé No 9 Si deux droites sont perpendiculaires à une troisième, alors elles sont parallèles. Construire une droite passant par les points A et B ; Construire une droite perpendiculaire passant par le point A ; Construire une droite perpendiculaire passant par le point B ; En déplaçant le point A, que remarquez-vous par rapport aux droites b et c ? Comment pourriez-vous démontrer que votre affirmation est toujours vraie ? http://recitmst.qc.ca/maths/-Geometrie-Euclidienne- 4 Énoncé 10 Si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l’une d’elle est perpendiculaire à l’autre. Construire une droite passant par les points A et B ; Construire une parallèle par rapport à la droite a ; Construire une perpendiculaire à la droite b ; En déplaçant le point A, que remarquez-vous par rapport aux droites b et c ? Comment pourriez-vous démontrer que votre affirmation est toujours vraie ? Énoncé 11 Trois points non alignés déterminent un et un seul cercle. Construire les points A, B et C ; Construire un cercle circonscrit à ces trois points. Sans déplacer les points A, B et C, tentez de construire un cercle différent en passant par ces trois points ? Que peut-on conclure ? Énoncé 12 Toutes les médiatrices des cordes d’un cercle se rencontrent au centre de ce cercle. Construire un cercle de rayon AB ; Tracer une corde, dont un des sommets sera le point B ; Tracer la médiatrice en utilisant le point milieu de la corde et en traçant la perpendiculaire passant par ce point. Déplacer un des points de la corde. Qu’observez-vous de la médiatrice par rapport au centre du cercle ? http://recitmst.qc.ca/maths/-Geometrie-Euclidienne- 5 Énoncé 13 Tous les diamètres d’un cercle sont isométriques. Tracer un cercle de rayon AB ; Placer un point C sur la circonférence ; Tracer la droite CA ; Placer le point D à l’intersection de la droite et du cercle ; Masquer la droite ; Tracer un segment de droite CD et mesurez-le. À partir de cette réalisation, prouvez que tous les diamètres d’un cercle sont isométriques. Énoncé 14 Dans un cercle, la mesure d’un rayon est égale à la demi-mesure du diamètre. Tracer un cercle de rayon AB ; Placer un point C sur la circonférence ; Tracer la droite CA ; Placer le point D à l’intersection de la droite et du cercle ; Masquer la droite ; Tracer un segment de droite CD et le mesurer ; Tracer le rayon AB ; Mesurer le rayon AB et mesurer le diamètre CD ; À partir de cette réalisation, prouver que dans un cercle, la mesure d’un rayon est égale à la demi-mesure du diamètre. Enrichissement : Pouvez-vous trouver le rapport entre les deux segments AB et CD ? Énoncé 15 Dans un cercle, le rapport de la circonférence au diamètre est une constante que l’on note PI Tracer un cercle de centre A ; Tracer le diamètre et le mesurer ; Mesurer la circonférence ; Calculer le rapport de la circonférence au diamètre (champ de saisie); À l'aide de la formule LaTex inscrivez la formule pour calculer le rapport de la circonférence au diamètre de façon dynamique. Agrandir le cercle et vérifier si ce rapport s’approche toujours de PI http://recitmst.qc.ca/maths/-Geometrie-Euclidienne- 6 Énoncé 16 Des angles adjacents dont les côtés extérieurs sont en ligne droite sont supplémentaires. Tracer une droite AB ; Ajouter un point C sur cette même droite, entre A et B; Tracer une demi-droite passant pas le point C; Mesurer chacun des angles; Faire la somme des angles pour vérifier l’énoncé (champ de saisie); Donner un titre à la construction; Indiquer, de façon dynamique, la somme des 2 angles: d'abord algébriquement (texte statique), ensuite avec les valeurs d'angles (dynamique); En utilisant un point D sur la demi-droite CD, vérifier si l’énoncé est vrai en déplaçant D. Énoncé 17 Les angles opposés par le sommet sont isométriques. Tracer une droite AB ; Tracer une droite AC ; Placer un point D sur la droite AB (sur le prolongement de la droite BA) ; Placer un point E sur la droite AC (sur le prolongement de la droite CA) ; Marquer la mesure des angles BAC et DAE. À partir de cette réalisation, prouvez que les angles opposés par le sommet sont isométriques. Énoncé 18 Dans un cercle, l’angle au centre a la même mesure en degrés que celle de l’arc compris entre ses côtés. Tracer un cercle AB ; Tracer la droite AB ; Placer un point C sur le cercle ; Tracer une autre droite passant par les point A et C ; Placer les points C, D et E aux intersections des droites et du cercle ; Marquer la mesure d’un angle au centre. Construire l'arc de cercle BC correspondant à l'angle mesuré ; Sachant que la circonférence du cercle mesure 360 degrés, indiquer la valeur de l'arc de cercle de façon dynamique (texte mixte). Comparez avec la valeur de l’angle du centre. http://recitmst.qc.ca/maths/-Geometrie-Euclidienne- 7 Énoncé 19 Si une droite coupe deux droites parallèles, alors les angles alternesinternes, alternes-externes et correspondants sont respectivement isométriques. Tracer deux points A et B sur le plan ; Tracer une droite passant par ces deux points ; Tracer une parallèle à cette droite passant par un point quelconque C ; Tracer une droite passant par C et coupant la droite AB en un point D ; Mesurer tous les angles; Que peut-on conclure des différents angles de couleur marqués dans cette figure ? Pouvez-vous appuyer vos observations avec des mesures d’angle ? Énoncé 20 Dans le cas d’une droite coupant deux droites, si deux angles correspondants (ou alternes-internes ou encore alternes-externes) sont isométriques, alors ils sont formés par des droites parallèles coupées par une sécante. Tracer trois points A, B et C sur le plan ; Tracer le point E représentant la symétrie de A par rapport à C ; Tracer le point F représentant la symétrie de B par rapport à C ; Tracer une droite passant par A et B ; Tracer une droite passant par E et F ; Tracer une sécante passant par C et coupant les deux droites. Mesurer les angles alternes-internes ; Mesurer les angles alternes-externes ; Que peut-on conclure sur les deux droites AB et EF ? http://recitmst.qc.ca/maths/-Geometrie-Euclidienne- 8 Énoncé 21 Si une droite coupe deux droites parallèles, alors les paires d’angles internes situées du même côté de la sécante sont supplémentaires. Tracer trois points A, B et C sur le plan ; Tracer le point E représentant la symétrie de A par rapport à C ; Tracer le point F représentant la symétrie de B par rapport à C ; Tracer une droite passant par A et B ; Tracer une droite passant par E et F ; Tracer une sécante passant par C et coupant les deux droites. Mesurer les angles alternes-internes ; Mesurer les angles alternes-externes ; Faire la somme des angles-internes situés d’un même côté de la sécante (champ de saisie); Afficher la valeur de ces sommes de façon dynamique (texte mixte); Que peut-on conclure sur la mesure des angles internes se situant d’un même côté de la sécante ? Est-ce que cette observation est toujours valide lorsque vous déplacez votre sécante ? Vos droites parallèles ? Énoncé 22 Dans un cercle, le rapport des mesures de deux angles au centre est égal au rapport des mesures des arcs interceptés entre leurs côtés. Tracer deux points A et B ; Tracer un cercle ayant comme centre A et comme longueur de rayon la mesure du segment AB ; Tracer une droite passant par AB ; Placer un point D à l’intersection du cercle et de la droite AB ; Placer un point E quelconque sur le cercle et un autre point F aussi sur le cercle ; Mesurer l’angle EAD ; Mesurer l’angle BAF ; Faire le rapport des mesures de ces deux angles (champ de saisie); Mesurer la longueur de l’arc EAD ; Mesurer la longueur de l’arc BAF ; Faire le rapport des mesures de ces deux arcs (champ de saisie); Afficher ces rapports de façon dynamique (texte mixte) Quelles conclusions pouvez-vous tirer ? http://recitmst.qc.ca/maths/-Geometrie-Euclidienne- 9 Énoncé 23 Dans un disque, le rapport des aires de deux secteurs est égal au rapport des mesures des angles au centre. Tracer deux points A et B ; Tracer un cercle ayant comme centre A et comme longueur de rayon la mesure du segment AB ; Tracer une droite passant par AB ; Placer un point D à l’intersection du cercle et de la droite AB ; Placer un point E quelconque sur le cerle et un autre point F aussi sur le cercle ; Tracer la portion de cercle ABF ; Tracer la portion de cercle AED ; Mesurer l’angle EAD ; Mesurer l’angle BAF ; Faire le rapport des mesures de ces deux angles (champ de saisie); Calculer l’aire de la portion de cercle ABF ; Calculer l’aire de la portion de cercle AED ; Faire le rapport de la mesure de ces deux surfaces ; Afficher de façon dynamique les éléments suivants : aire de chacun des secteurs, le rapport des aires des secteurs, et le rapport des angles aux centres des secteurs (texte mixte) Quelles conclusions pouvez-vous tirer ? Énoncé 24 La somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle est de 180°. Construire un triangle ABC ; Mesurer l’angle ABC ; Mesurer l’angle BCA, puis l’angle CAB, de la même façon ; Calculer la somme des 3 mesures d’angle (champ de saisie); Déformer le triangle en déplaçant un ou plusieurs sommets ; Calculer à nouveau la somme des 3 mesures d’angle ; Que pouvons-nous conclure ? Peut-on dégager une règle de cette expérimentation ? Est-il possible de faire apparaître dans votre feuille de travail le calcul automatisé de la somme des angles ? http://recitmst.qc.ca/maths/-Geometrie-Euclidienne- 10 Énoncé 25 La mesure d’un angle extérieur d’un triangle est égale à la somme des mesures des angles intérieurs qui ne lui sont pas adjacents. Tracer les point A, B, et C (non-colinéaires); Tracer une droite passant par AB ; Tracer une droite passant par BC ; Tracer une droite passant par AC ; Placer un point D sur la droite AB situé à l’extérieur du triangle ; Mesurer l’angle BCA ; Mesurer l’angle CAB ; Mesurer l’angle extérieur DBC ; Faire la somme des angles intérieurs BCA et CAB (champ de saisie) Afficher de façon dynamique la somme des ces angles intérieurs Que peut-on conclure ? Validez votre hypothèse en essayant des angles différents. Énoncé 26 Les éléments homologues de figures planes ou de solides isométriques ont la même mesure. Tracer deux points A et B ; Tracer une droite passant par les points A et B ; Tracer une perpendiculaire à la droite AB passant par A ; Tracer une perpendiculaire à la droite AB passant par B ; Placer un point C sur la perpendiculaire passant par le point A ; Tracer une parallèle à la droite AB passant par C ; Placer un point passant par l’intersection de la perpendiculaire passant par B et coupant la droite parallèle passant par C ; Mesurer le côté AC ; Mesurer le côté BD ; Que peut-on conclure ? Compléter la figure plane afin de réaliser un solide ; Que pouvez-vous affirmer à propos des côtés homologues du solide ? http://recitmst.qc.ca/maths/-Geometrie-Euclidienne- 11 Énoncé 27 Les angles homologues des figures planes ou des solides semblables sont isométriques et les mesures des côtés homologues sont proportionnelles. Tracer deux points A et B ; Tracer une droite passant par les points A et B ; Tracer une perpendiculaire à la droite AB passant par A ; Tracer une perpendiculaire à la droite AB passant par B ; Placer un point C sur la perpendiculaire passant par le point A ; Tracer une parallèle à la droite AB passant par C ; Placer un point passant par l’intersection de la perpendiculaire passant par B et coupant la droite parallèle passant par C ; Compléter votre forme afin de construire un solide ; Énoncé 28 Dans des figures planes semblables, le rapport entre les aires est égal au carré du rapport de similitude. Tracer deux points A et B ; Construire un carré à partir de ces deux points ; Tracer deux autres points E et F ; Construire un carré différent à partir de ces deux points ; Mesurer chacun des côtés de votre premier carré ; Mesurer chacun des côtés de votre second carré ; Calculer l’aire de chaque carré ; Faire le rapport des côtés homologues de vos figures (champ de saisie); Faire le rapport des aires calculées de vos figures (champ de saisie); Que pouvez-vous affirmer ? Si vous déplacez un des points composants l’une des deux figures, est-ce que votre affirmation demeure la même ? http://recitmst.qc.ca/maths/-Geometrie-Euclidienne- 12
