Asservissement de position avec correction tachymètrique On étudie un système de positionnement linéaire constitué d'un moteur à courant continu alimenté par un amplificateur. On donne : Pour l'amplificateur U = A vER, Pour le moteur : moment d'inertie J, résistance r, couple de frottements visqueux C f (où est la vitesse en rad/s) ; couple moteur C m Ki (où i est le courant d'induit). Pour le convertisseur rotation-translation : y S a ( angle de rotation). Pour le capteur de position : vR W.yS . 1 Etude de la boucle de position seule. 1.1 Modélisation 1.1.1 Etablir l'équation différentielle qui régit les variations de la vitesse du moteur : d t τm t H m0 U t . dt 1.1.2 En déduire la transmittance du moteur, puis compléter le diagramme fonctionnel représenté sur la figure 1. VE(p) VER(p) U(p) Ω(p) p Ys(p) figure 1 VR(p) Vr 1.1.3 Donner l'expression de la fonction de transfert en boucle ouverte : V p H p R . VE p 1 . p ω1 (1 p ω2 ) On exprimera 1 et 2 en fonction de H m 0 , W, a, A, m . 1.1.4 La mettre sous la forme : H p On donne H m 0 10rad / s , a =1,33.10 2 m/rad, W =50V/m, K =2,51.10 2 Vs/rad, r =4,7 , m 75ms . 1.2 Etude de la stabilité du système. Pour A = 1, on donne le diagramme de Bode ( gain et phase ) de H(j). — Mesurer la marge de phase du système. — En déduire la valeur de A qui permet d'avoir une marge de phase de 45°. 1 1.3 Etude de la précision du système 1.3.1 Etablir la tansmittance relative à l'erreur : F p VER p VE p 1.3.2 On donne le théorème de la valeur finale : lim f t lim p F p t jω0 — En déduire l'erreur (statique) pour une attaque en échelon V E p E . p — En déduire l'erreur (de traînage) pour une attaque en rampe V E p α p 2 . 1.4 Etude de la rapidité du système 1.4.1 Calculer la transmittance en boucle fermée T(j), puis la mettre sous la forme canonique : T0 T( jω) 2 jω jω 1 2 m 2 ω0 ω0 1.4.2 Exprimer m et 0 en fonction de A. 1.4.3 A partir de l'abaque donnée en annexe, déterminer la valeur de A qui assure un temps de réponse à 5% minimum ? 2 , calculer la valeur minimale de t r 5% . 1.4.4 Sachant que t r 5% 0,44 0 2 Correction par boucle tachymétrique. On montre qu'une diminution de m améliore les performances du montage. Pour cela, on réalise le montage correspondant au schéma bloc de la figure 2. La dynamo tachymétrique fixée sur l'arbre du moteur donne une tension e g proportionnelle à la vitesse de rotation : e g K g Un réducteur réduit cette tension à v1 Xe g . VE(p) VR(p) Vr VER(p) Ω(p) U(p) A' V1(p) Réducteur Dynamo tachy X Kg W Figure 2 2 (p) Ys(p) 2.1 Compléter le schéma de la figure 2 par les fonctions de transfert adéquates. p 2.2 En déduire la fonction de transfert F p . VER p — Montrer que dans le cas où XK g H m 0 A ' >> 1, on peut la mettre sous la forme : Fp p 1 X Kg VER p 1 τ 'm p — Exprimer ' m en fonction de X, K g ,H m 0 ,A' , m . 2.3 Le schéma de la figure 2 peut se simplifier et être remplacé par celui de la figure 3. (p) Ω(p) VE(p) VER(p) Ys(p) VR(p) Vr W Figure 3 Compléter la figure 3 et en déduire la fonction de transfert en boucle ouverte du système : V p TBO p R . VE p 2.4 On donne K g 0,23V / rad.s et X = 2 10-3, déterminer A' pour avoir une M = 45°. 2.5 Mesurer le nouveau temps de réponse à 5 % sur le relevé de la figure 4. Commenter les performances du système corrigé (rapidité, stabilité, précision). Step Response From: Input Point 1.4 1.2 1 To: Output Point1 Amplitude 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 Time (sec.) figure 4 : réponse indicielle en BF avec la boucle de correction tachymétrique. 3 ANNEXE : Gain en dB Bode Diagrams Annexe From: Input Point 100 50 0 -50 -150 -200 Argument en ° 0 -20 -40 -60 To: Output Point Phase (deg); Magnitude (dB) -100 -80 -100 -120 -140 -160 -180 -200 -1 10 0 10 1 2 10 10 Pulsation en rad/s Frequency (rad/sec) 4 3 10 4 10