Modèle mathématique.

Chapitre 6
Terminale S
LES NOMBRES COMPLEXES
L'Histoire des nombres complexes commence en pleine renaissance Italienne avec Giralomo
Cardano (1505-1576) plus connu sous le nom de Jérôme Cardan et Nicolo Tartaglia ( vers 1500-1557)
qui s'opposèrent dans des défis "algébriques" entremêlés de contre verses sordides (accusations de vols
de formules, plagiat, etc.), sans oublier Scipione Del ferro, Antonio Maria fior et Ludovici Ferrari qui
dans cette affaire, ne jouèrent pas les simples "porteurs d'eau".
En tout état de cause, Cardan publie en 1547 une formule, appelé formule de CARDAN qui donne une
solution de l'équation x3 = px + q
I
Découverte des nombres complexes
Voici ce que publia Cardan en 1547
" une solution de l'équation x3 = px + q
1)
est
x = Error! + Error!
"
Soit l'équation x3 = 1 , vérifier les résultats donnés par la formule de Cardan
2)
Soit l'équation x3 = 2x + 4, à l'aide de la formule de Cardan trouver une solution de l'équation et en
déduire toutes les solutions.
3)
On considère maintenant l'équation x3 = 15x + 4, justifier que la formule de Cardan ne peut pas
s'appliquer.
Enthousiasmés par cette formule, et frappés d'un amour irraisonné des mathématiques vous décidez de
l'appliquer malgré tout…..
Donner la "solution" de l'équation.
Puis vous vient la brillante idée " considérons un nombre imaginaire
montrons que (2 + -1) 3 = 2 + 11 -1 et ( 2 - -1) 3 = 2 - 11 -1 "
-1 tel que ( -1) 2 = -1 et
rappel : (a +b)3 = a3 + 3a2b +3ab2 + b3
3
Déduire alors une solution de l'équation x = 15x + 4 et vérifier le résultat.
Stepec
Page 1 sur 8
840903693
Chapitre 6
Terminale S
" Vous venez de faire la même découverte qu'un célèbre mathématicien Rafaël Bombelli fit au XVIième
siècle, il utilisa ces nombre imaginaires (car ils ne peuvent pas être réels) pour résoudre des équations."
4)
On sait que a b = a b lorsque a et b sont 2 réels positifs, appliquer cette propriété à -1 et
montrer que cela contredit la définition même de ce nombre!!!!
" C'est pour cette contradiction que l'usage de ces nombres imaginaires fut l'objet de très nombreux
débats mathématiques, il a fallu deux siècles pour que l'on adopte la théorie des nombres complexes et
c'est Euler qui en 1770 adopte la notation i = -1 ( i comme imaginaire qui est le principal élément de
la théorie des nombres complexe). "
II
Les nombres complexes
1)
Ensemble des nombres complexes
Définition:
corps:
On appelle corps des nombres complexes l'ensemble noté CI tel que:
CI contient l'ensemble des nombres réels IR
L'addition et la multiplication des nombres réels se prolongent aux nombres complexes et
les règles de calculs sont les mêmes.
Il existe un nombre complexe noté i tel que i2= -1
Tout nombre complexe z s'écrit de manière unique z = a + ib , avec a et b réels cette
écriture est appelée forme algébrique.
a est la partie réelle de z on note : Re(z) = a
b est la partie imaginaire de z on note :
Im(z)= b
un corps est un ensemble dans lequel il est possible d'effectuer des additions, des soustractions, des multiplications et
des divisions.
Exemple:
z = 3-5i
a pour partie imaginaire
z=4
a pour partie imaginaire
z = 2i
a pour partie imaginaire
et pour partie réelle
et pour partie réelle
et pour partie réelle
c'est un réel ( IR  CI )
c'est un imaginaire pur
Remarque: les partie réelles et imaginaires sont des nombres réels.
Propriété:
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si, ils ont même partie imaginaire et
même partie réelle.
a + ib = a' + ib'

a = a' et b = b'
exemple: Les nombres complexes suivants sont-ils égaux ? ..commencez par donner la forme algébrique
z1= 9 +4i -Error! +Error!
et
z2 = -10 +5i +Error! -Error!
2)
Stepec
Représentation géométrique
Page 2 sur 8
840903693
Chapitre 6
Terminale S
" …De même que l'on peut représenter tout le domaine des réels par une ligne droite, de même on
peut se figurer les réels et les imaginaires au moyen d'un plan où chaque point, déterminé par son
abscisse a et son ordonné b ,représente le nombre complexe z = a + ib… "
Gauss en 1811
Définition:
A tout nombre complexe z = a +ib où a et b sont des
réels on associe le point M (a;b) appelé point image de z,
on note également M (z).
Réciproquement, à tout point M (a; b), on associe le
nombre complexe z = a + ib appelé affixe de M.
Le plan est alors appelé plan complexe
Axe imaginaire
pur
M(a +ib)
b
Axe
Réel
a
Module: La distance OM est appelée module de z , on note z= OM
z= a2 + b2
3)
Règles de calculs dans CI
Règles de calcul:
L'addition et la multiplication des nombres réels se prolongent aux nombres
complexes et les règles de calcul restent les mêmes.
i x i = -1 donc i² = -1
z + z' =
M1(z+z')
M'(z')
zz' =
(z + iz')( z - iz') =
(a + ib )(a – ib ) =
M(z)
exemple:
(1 + 3i) + (-3 + 2i) =
(4 + i)(-5 + 3i) =
Propriété: Tout nombre complexe non nul z admet un inverse
Error!
Exemple:
Error! =
Error! =
Exercices: 1, 3, 4, 6, 7 p333
4)
Affixe d'un vecteur, affixe d'un barycentre
Dans le plan complexe on associe au vecteur Error!(a;b) le nombre complexe z = a + ib appelé affixe de
Error!
Stepec
Page 3 sur 8
840903693
Chapitre 6
Terminale S
Remarque Si Error! et Error! ont pour affixes z et z', alors l'affixe du vecteur Error! + Error! est z + z'.
Propriétés:
Soit 2 points du plan complexe A et B d'affixes respectives zA et zB
L'affixe du vecteur Error! est zB- zA
L'affixe du barycentre G des points pondérés (A,) et (B,) avec +  0 est
zG = Error!
Démon.:
III
Conjugué d'un nombre complexe
1) Définition:
– ib
Exemple:
2)
Le conjugué d'un nombre complexe z = a + ib , a et b réels, est le nombre Error! = a
z = 3 -2i alors Error! =
z = -2 alors Error! =
z = 4i alors Error! =
Interprétation géométrique
M(z)
Soit M un point du plan complexe d'affixe z alors le point M'
d'affixe Error! est le symétrique de M par rapport à l'axe des
abscisses.
M' ( z )
Conséquences:
z = z' 
z = z'
z +Error! = 2 Re(z)
z réel 
z= z
Relation fondamentale:
3)
z=z
z - Error! = 2i Im(z)
z imaginaire pur

z + z =0
z z = z2
Opérations sur les nombres conjugués
Théorème:
z +z' = z + z'
Error!
-z=-z
= Error!
Démon.: z +z' = z + z '
Error!
et
zn = z
z z' = z z '
n
= Error! (z' 0)
z z' = z z '
Exercices: 9, 11, 12, 13, 14, 15 p333
IV
Forme trigonométrique
1)
Stepec
M(z)
)
b
Définition
Page 4 sur 8
r

840903693
Chapitre 6
Terminale S
Le plan est muni d'un repère orthonormé direct (O;Error!,Error!).
Soit M un point de coordonnées (a ; b) et z = a + ib l'affixe de M.
Si M est distinct de O alors M possède également des coordonnées
polaire (r ; ) tel que:
r = OM = a2 + b2 et  = (Error! , Error!) [2]
On en déduit: a = r cos  et b = r sin 
Si z est l'affixe de M, z = a + ib = rcos + i rsin = r (cos + i sin )
Définition:
Soit z est un nombre complexe non nul.
On appelle forme trigonométrique l'écriture z = r(cos + isin ),
avec r =z  et
arg(z)=  [2]
L'argument de z noté arg(z) est n'importe qu'elle mesure exprimée en radians de l'angle
orienté (Error!; Error!)
Conséquences:
2)
arg(- z) = arg(z) + 
arg( z ) = - arg(z)
Lien entre forme algébrique et forme trigonométrique
Si on connaît r et 
alors
a = r cos ()
Si on connaît a et b
alors
r = z =
et
b = r sin ()
a2 + b2
et
cos() = Error!
et
sin () = Error!
Remarque:
Si les cosinus et les sinus ne sont pas des valeurs remarquables, on utilise la calculatrice
pour trouver . Ainsi, cos -1 ( Error! ) donne la valeur absolue de  et le sin( ) nous permet de déterminer
le signe de 
Exemple:
Déterminer le module et l'argument de z1 = 5 + 8i et
z2 = -3+3i
Propriété:
 Deux nombres complexes non nuls sont égaux si, et seulement si ils ont même module et même
argument à un multiple de 2 près.
 Si z = r (cos + isin ) avec r > 0
alors r =z 
et
 = arg(z)
Démon.:
Exercices:22, 23, 24, 26 p 334
V
Propriétés des modules et des arguments
1)
Module et argument du conjugué et de l'opposé
M(z)
Théorème:
Stepec
Pour tout nombres complexes non nuls z
 z =z et arg( z ) = - arg z
Page 5 sur 8
- z=z et arg(- z) = arg z + 
M''(-z)
840903693
M' ( z )
Chapitre 6
2)
Terminale S
Module et argument d'un produit
Théorème:
Pour tout nombres complexes non nuls z et z'
zz'=zxz'
et
arg(zz') = arg z +arg z' (mod 2)
ROC Démon.
Conséquences:
zn= zn
Formule de Moivre (admise):
3)
et
arg(zn ) = n arg z
[r(cos + isin )]n = rn (cos(n) + isin(n) )
Module et argument d'un quotient
Théorème:
Pour tout nombres complexes non nuls z et z'
Error!= Error! et arg(Error!) = arg z - arg z' (mod 2)
Démon.:
4)
Module d'une somme
M1(z+z')
Théorème:
Pour tout nombres complexes z et z'
z + z'  z+z' (inégalité triangulaire)
M'(z')
z'
z
M(z)
Exercices: 28, 29, 30, 32 p 334
VI
Forme exponentielle
1)
Notation exponentielle
Soit f la fonction définie sur IR et à valeurs dans CI par f( ) = cos+ i sin.
La fonction f vérifie: f( +  ') = f() f(')
et
f'() = i f() ainsi par analogie avec la
définition de la fonction exponentielle on adopte l'écriture suivante:
Stepec
Page 6 sur 8
840903693
Chapitre 6
Définition:
Terminale S
Pour tout réel  , on pose e i = cos + i sin
Ainsi pour tout nombre complexe non nul d'argument  on peut écrire
z = z(cos  + i sin ) = ze i ou encore z = re i
2)
Forme exponentielle
Définition:
3)
L'écriture sous forme exponentielle d'un nombre complexe est z = re i
 est l'argument de z et r le module de z
Règles de calculs sur les formes exponentielles
On déduit les propriétés suivantes d'après les théorèmes établis en V)
Propriétés:
r e i x r'e i' = r r' e i(+')
(r e i)n = rn e in
Error!
= Error! e i( - ')
re i = r e - i
On déduit les formules suivantes en utilisant e i = cos + i sin
et
e - i = cos - i sin
Formule de Moivre: Pour tout réel  et tout entier naturel r
(cos + i sin)n = cos(n) + i sin(n)
(cos - i sin)n = cos(n) - i si(n)
Formules d'Euler: Pour tout réel
cos  = Error!
sin  = Error!
exercices: 34, 36, 38, 39 p335
VII
Equation du second degré à coefficients réels
1)
Racines carrés dans CI d'un nombre réel
Définition:
Soit a un nombre réel.
Les solutions dans CI de l'équation z² = a sont appelées racines carrées de a dans CI .
Si a > 0 alors les racines carrées sont
a
et
– a
Si a < 0 alors les racines carrées sont
i –a et
–i –a
Exemple: Résoudre z² = -3
2)
Résolution de l'équation générale du second degré
Théorème:
Stepec
On considère l’équation : az2+bz+c = 0
avec a, b et c trois réels et a 0.
2
le discriminant de l’équation est : Δ = b − 4ac.
Si Δ > 0, l’équation a deux solutions réelles distinctes, z1 et z2 :
z1 = Error!
z2 = Error!
Page 7 sur 8
840903693
Chapitre 6
Terminale S
Si Δ = 0, l’équation a une racine double :z0 = − Error!
Si Δ < 0, l’équation a deux solutions complexes conjuguées :
z1 = Error!
z2 = Error!
Remarque: Pour tout complexe z on peut écrire az2 + bz +c = a (z - z1)(z - z2)
ROC Démon.: Ecrire l'équation sous la forme canonique et résoudre comme en 1)
Exercices: 41, 42 p335, 43, 44 p336, 55 p337, 61p338, 73 p 339, 81p340, 84 p341, 106 p 344
Stepec
Page 8 sur 8
840903693