Chapitre 7 :

Chapitre 7
Les suites
I Notion de suite
A Définition d’une suite
Définition :
Une suite u ou (un) est une fonction qui à tout entier n associe un nombre u(n), noté un.
Remarque :
u0 ou up est le terme initial de la suite suivant que la suite commence à 0 ou p.
Vocabulaire :
On dit que un est le terme général de la suite (un).
Exemples :
u0 = 1, u1 = 3, u2 = 5, …
v0 = – 1 , v1 = 1, v2 = – 1, v3 = 1,….
B] Mode de génération d’une suite et sa représentation graphique
1)
Génération d’une suite
Une suite est une liste de nombres, mais on peut parfois la définir à l’aide d’une formule.
Voyons deux modes de génération.
 Formule explicite : un = f(n) quand le terme est fonction de l’indice.
 Formule de récurrence : un+1 = f(un) lorsque le terme est fonction du terme précédent,
il faut alors aussi préciser le terme initial.
Exemples :
 f(x) = 2x² – 1 et un = f(n).
 { vn + 1 = 2vn + 1 ; v0 = – 1 .
Exercices 1, 2, 6, 7, 9, 10, 11p164.
2)
Représentation graphique
Exemples :
Représenter graphiquement les cinq premiers termes de (un) et (vn).
C] Sens de variation
Définition :
Soit (un) une suite.
On dit que :
 (un) est croissante lorsque pour tout n on a un+1  un ( ou un+1 – un 0).
 (un) est décroissante lorsque pour tout n on a un+1  un ( ou un+1 – un  0).
Exemples :
 un = n².
 vn = Error!.
Méthodes :
-1-
Chapitre 7 : 1ère ES


Etudier le signe de un+1 – un.
Pour un suite du type un = f(n), on étudie les variations de f sur IR+,
 Si f est croissante sur IR+*, alors (un) est croissante.
 Si f est décroissante sur IR+*, alors (un) est décroissante.
 Pour une suite dont tous les termes sont tous strictement positifs, on peut comparer
Error! à 1 :
 Si Error!  1, alors la suite est croissante.
 Si Error!  1, alors la suite est décroissante.
Exercices 17, 19, 22, 23, 26p164.
II Suite arithmétique
A] Définition
u0
u1
u2
u3
u4
un
un+1
Définition :
Une suite est arithmétique quand on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours le même
nombre r appelé la raison. Donc pour tout n entier naturel on a un+1 = un + r.
Exemple :
r = – 2 et u0 = 5.
Méthode :
Si la différence un+1 – un est une constante, alors la suite est arithmétique de raison cette
constante.
Exercices 28, 29, 30p164.
B] Formule explicite en fonction de n
Explication :
Traiter u0, u1, u2, u3, u4, ....
Propriété :
Soit (un) une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0.
Alors un = u0 + n r.
Exemple :
Donner le terme général de la suite de l’exemple précédent.
Exercices 31, 32, 34, 38p164.
C] Sens de variation
Propriété :
Soit (un) une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0.
 Si r  0, alors (un) est croissante.
 Si r  0, alors (un) est décroissante.
Démonstration :
Soit n un entier naturel.
Soit (un) une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0.
On sait que un+1 = un + r.
Donc un+1 – un = r ; C’est pourquoi si r  0 on a un+1 – un  0, donc (un) est croissante.
C’est pourquoi si r  0 on a un+1 – un  0 donc (un) est décroissante.
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Chapitre 7 : 1ère ES
D] Somme des premiers termes d’une suite arithmétique
1)
Calcul de 1 + 2 + 3 + …+ n
Propriété :
S = 1 + 2 + 3 + 4 + …+ n = Error! .
Démonstration :
A faire comme Gauss.
Exemples :
Calculer :
 S = 1 + 2 + 3 +…+ 500.
 S’ = 1 + 2 + 3 +…+ 1 000.
2)
Somme des premiers termes d’une suite arithmétique
Propriété :
Soit (un) une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0.
S = u0 + u1 + u2 + …+ un = Error! .
Démonstration :
Soit (un) une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0.
Pour tout k entier naturel on a : uk = u0 + kr.
Donc S = u0 + ( u0 + r) + (u0 + 2r) + … + (u0 + nr).
D’où S = (n+1)u0 + r ( 1 + 2 + 3 + …+ n).
Donc S = (n+1)u0 + r Error! .
Ainsi S = (n+1) ( u0 + Error! ) .
D’où S = Error! .
Or 2u0 + nr = u0 + u0 + nr = u0 + un car un = u0 + nr .
Ainsi S = Error! .
Exercices 39, 40, 41, 45p165.
Exercice 51p166.
IIISuite géométrique
A] Définition
u0
u1
u2
u3
u4
un
un+1
Définition :
Une suite est géométrique quand on passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par le
même nombre non nul q appelé raison de la suite.
Exemple :
u0 = 2 et q = 3.
Exercices 52, 53, 54p166.
B] Formule explicite
Explication :
Traiter avec u0, u1, u2, u3, u4, ....
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Chapitre 7 : 1ère ES
Propriété :
Soit (un) une suite géométrique de raison q et de premier terme u0.
Pour tout n entier naturel on a : un = u0 qn.
Exemples :
Exprimer le terme général des suites géométriques suivantes :
 u0 = 2 et q = 5.
 v0 = – 1 et q = 2.
 w0 = 3 et q = 2.
Exercices 55, 57p166.
C] Sens de variation
Propriété :
Soit une suite géométrique de raison q.
 Si q > 1, alors la suite est croissante.
 Si 0< q < 1, alors la suite est décroissante.
Remarque :
Pour q < 0, la suite est alternée. Elle n’est ni coissante, ni décroissante.
D] Calcul de la somme des premiers termes d’une suite géométrique
1) Calcul de 1 + q + q² + …+ qn
Propriété :
S = 1 + q + q² + …+ qn.
Si q = 1, alors S = n+1.
Si q  1, alors S = Error! .
Démonstration :
Si q = 1, alors S = 1 + 1 + 1 +...+ 1 = n+1.
Si q  1,
Calculons S – q S = 1 – qn+1 = ( 1 – q ) S .
Donc S = Error! .
Exemple :
Calculer S = 1 + 2 + 2² + …+ 263.
2) Somme des premiers termes d’une suite géométrique
Propriété :
Soit (un) une suite géométrique de raison q et de premier terme u0.
Si q  1, alors S = u0 + u1 + u2 + …+ un = u0 Error!
Si q = 1, alors S = u0 (n+1)
Démonstration :
Si q  1 :
S = u0 + u1 + u2 + .. + un.
D’où S = u0 + u0 q + u0 q² + … + u0 qn.
Donc S = u0 ( 1 + q + q² + … + qn ).
Ainsi S = u0 Error! .
Si q = 1 :
S = u0 + u0 + u0 +… + u0 = (n+1) u0.
Exercices 60, 61, 62p166.
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Chapitre 7 : 1ère ES
Exercices 68, 72p167.
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Chapitre 7 : 1ère ES