Suite et série --- résumé
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Suite et série --- résumé
1.
Suite
Une suite {ai} est une fonction de
dans
qui à tout nombre naturel i permet d'associer un nombre réel,
noté ai. Une suite {ai} est convergente lorsque lim ai L où L .
i
Pour vérifier la convergence d’une suite, il faut donc calculer la limite suivante : lim ai .
i
2.
Série
Soit la suite suivante : {ai} = a1, a2, a3, …
L'expression
ai = a1 + a2 + a3 + … est appelée une série infinie.
i 1
La suite {sn}, appelée suite des sommes partielles de cette série, est définie par :
s1 = a1
s2 = a1 + a2
s3 = a1 + a2 + a3
n
sn = a1 + a2 + a3 + … + an =
ai
i 1
Une série converge si la suite de sommes partielles associée à cette série converge vers un nombre réel
S, nous pouvons alors écrire :
ai S
i 1
si lim sn lim
n
n
ai a1 a2 a3
S
n i 1
Lorsque la suite des sommes partielles diverge, la série est alors divergente et elle n'a pas de somme finie.
3.
Critères de convergence des séries
3.1 Critère de divergence
Si la série est à termes positifs, calculer lim ai . Si lim ai 0 alors
i
i
ai diverge.
i 1
Si lim ai 0 alors la série peut diverger ou converger, il faut utiliser un autre critère pour le déterminer.
i
Si la série est à termes alternés, calculer lim | ai | . Si lim | ai | 0 alors
i
i
ai diverge. Cela revient à
i 1
calculer la limite du terme général de la série alternée sans tenir compte du signe.
Si lim | ai | 0 alors la série peut diverger ou converger, il faut vérifier la deuxième condition, c’est-à-dire
i
si les termes (sans tenir compte du signe) sont décroissants.
3.2 Séries géométriques
La série est-elle géométrique ?
a
Afin de le déterminer, calculez le rapport i 1 . Si ce rapport est constant, c'est-à-dire qu'il ne dépend pas
ai
de i, alors la série est géométrique.
Si la série est géométrique alors nous pouvons déterminer sa convergence de la façon suivante :
Forme
a r i 1
i 1
a
où le rapport r i 1 est
ai
constant et a est le premier
terme de la série.
Suite de sommes partielles
Convergence
a
Calculer r = n 1
Le terme général de la suite des
an
sommes partielles est :
Si -1< r < 1 alors la série converge
a(1 r n )
sn
a
1 r
S
et on a que : lim sn
1 r
n
Il permet de calculer la somme
des n premiers termes de la
Si r ≤ -1 ou r ≥ 1 alors la série diverge.
série.
et lim sn n'existe pas dans .
n
3.3 Séries non géométriques
ai
i 1
Si la série est non géométrique à termes positifs alors nous pouvons vérifier sa convergence à l’aide des
critères suivants :
Critère
Calculs à faire
des séries-p de Riemann
1
1
1
i p 1 2 p 3p
i 1
du polynôme
P (i )
Q(i)
i 1
P et Q sont des polynômes
La série converge si p 1
Déterminer la valeur de p
La série diverge si p 1
p = degré numérateur
q = degré dénominateur
d=q–p
Si d > 1 alors la série converge.
Si d ≤ 1 alors la série diverge.
de D'Alembert
a
R = lim i 1
i ai
de l'intégrale
Soit f une fonction où ai = f(i)
pour les séries à termes
décroissants
Conclusion
série décroissante si
f’(x) < 0 ou ai+1 < ai
vérifier l'une ou l'autre de ces conditions
Si R < 1 alors la série converge.
Si R > 1 alors la série diverge.
Si R = 1, il faut utiliser un autre critère.
f
(
x
)
dx
converge
ai converge
1
(diverge)
(diverge)
i 1
3.3 Séries non géométriques à termes alternées
(1)i ai ou
i 1
(1)i 1 ai
i 1
Si la série est telle que les signes des termes sont alternés alors nous pouvons vérifier sa convergence à
l’aide du critère suivant :
Critère
Calcul à faire
Conclusion
1º vérifier la décroissance des termes ai
de la série alternée
(termes sans tenir compte du signe) :
en calculant si f’(x) < 0 où ai = f(i)
ou en démontrant que ai+1 < ai
à partir d’un certain rang
Si {ai} est décroissante à partir d'un
certain rang et lim ai 0 alors la
i
série converge.
Elle diverge si l'une ou l'autre de ces
deux conditions n'est pas respectée.
2º calculer lim ai
i
4. Séries de Taylor
4.1 Développement en séries de Taylor
Soit une fonction f indéfiniment dérivable sur un intervalle contenant a, nous pouvons développer cette
fonction en série de Taylor :
f ( x) co c1 ( x a) c2 ( x a)2 c 3 ( x a)3
f ( x) f (a) f (a)( x a)
ci ( x a)i où ci
i 0
f (a)
f (3) (a)
( x a)2
( x a )3
2!
3!
f (i ) ( a )
donc
i!
f (i ) ( a )
i 0
i!
( x a )i
La fonction f(x) égale cette série de puissance dans l’intervalle de convergence de la série, c’est-à-dire
pour les valeurs de x autour de a pour lesquelles la série converge.
Pour calculer les coefficients de cette série, on effectue les calculs suivants :
Évaluation du coefficient
(i )
Dérivées successives f ( x)
(i )
Évaluation de f (a)
f(x) = ...
f(a) = ...
f ’(x) =...
f ’(a) = ...
f’’(x) = ...
f’’(a) =...
…
…
f (i ) ( a )
ci
i!
c0
f (a )
f (a )
0!
c1
f '(a)
f '(a)
1!
c2
f (a )
2!
…
Après avoir calculé quelques coefficients (5 au moins), vous devez être en mesure de déduire le
coefficient suivant et vous validez votre déduction en calculant ce coefficient.
Par la suite, vous écrivez le développement de la fonction en série et vous déterminez son terme général
f ( x) co c1 ( x a ) c2 ( x a ) 2 c 3 ( x a )3 c 4 ( x a ) 4 c 5 ( x a )5
f ( x)
i 0
4.2 Intervalle de convergence
Afin de déterminer l'intervalle de convergence d'une série de puissance, nous utilisons le critère de
ai 1
D'Alembert généralisé en calculant premièrement R lim
.
i ai
Lorsque R est fonction de x, nous pouvons ainsi déterminer un intervalle de convergence,
c'est-à-dire les valeurs de x pour lesquelles |R| < 1.
Dans le cas des valeurs de x pour lesquelles |R| = 1, nous remplaçons ces valeurs de x dans la série et
nous utilisons les autres critères de convergence des séries numériques afin de conclure sur la
convergence ou la divergence de cette série pour ces valeurs de x.
Note : dans le cas où R ne dépend pas de x et que sa valeur est comprise entre -1 et 1 alors la série
converge pour tout x .
Nous obtenons alors que :
f ( x)
f (i ) ( a )
i 0
i!
( x a)i pour tout x appartenant à l'intervalle de convergence de la série.
