Lycée Berthollet - MPSI 1 - 2011-2012 Feuille d’exercices 27 Applications linéaires E désigne un espace vectoriel sur K . 1- f: R 2 R 3 Montrer que f est linéaire et déterminer Ker f et Im f (x,y) ( 4x- 3y , 5x+4y, x-y) 2- Mêmes questions qu’à l’exercice précédent pour (x,y,z) (6x-4y+z, 9x-6y) 3- C est considéré comme un R -espace vectoriel. Soit f : C C définie par f ( z ) (1 i) z (1 i) z Montrer que f est linéaire et déterminer Ker f et Im f 4- E= C0 ( R , R ) Soit T l'application qui à f dans E associe T (f ) = F , F étant définie par F ( x) xf ( x) . Montrer que T est un endomorphisme et déterminer son noyau et son image. 5- f et g sont deux endomorphismes de E tels que g o f = f o g. Montrer g (Ker f ) Ker f et g ( Im f ) Im f 6- Soit f dans L ( E ). On note f o f = f² 1) Montrer Ker f Ker f² puis Ker f = Ker f² 2) Montrer Im f² Im f puis Im f = Im f² Ker f Im f = {0} E = Ker f + Im f 7 - Soit f dans L ( E ) vérifiant f²+ f -2Id =0 . Montrer E= Ker(f-Id) Ker(f+2Id) 8- Soit p et q deux projecteurs de E . a) Montrer que p + q projecteur p q q p 0 b) On suppose ces conditions vérifiées. Montrer Ker ( p q) Ker ( p) Ker (q) et Im( p q) Im( p) Im(q) 9- Soit f dans L(E) telle que pour tout u de E, il existe u dans K tel que f (u) u u a) Montrer que si u et v forment une famille libre alors u v u v b) Montrer que si u et v sont colinéaires non nuls alors u v c) Déterminer les endomorphismes de E tels que pour tout u dans E f (u ) soit colinéaire à u. 10- Soit f dans L ( E ) vérifiant f²-3f +2Id =0 a) Montrer que f est un automorphisme de E et exprimer f-1 en fonction de f. b) On pose p 2Id f et q f Id . Montrer que p et q sont des projecteurs et déterminer p q ainsi que q p . c) Calculer f n en fonction de p et q pour n entier naturel. La formule trouvée reste-t-elle vraie pour n entier négatif ? 11- Soit B e1 , e 2 , e3 la base canonique de IR3 et f l’endomorphisme défini par f (e1 ) 1 1 e1 e 2 2 2 1 1 e1 e 2 et f (e3 ) e1 e2 e3 2 2 a) Déterminer une base de Ker f et une base de Im f. Ces sous-espaces vectoriels sont-ils supplémentaires ? b) Déterminer f f et en déduire f f (e 2 )