Rappels calculs numériques

RAPPELS :
FRACTIONS IRREDUCTILES
POURCENTAGES
PROPORTIONNALITE
PUISSANCE D’UN NOMBRE
PUISSANCES DE 10 ET NOTATION
SCIENTIFIQUE
RACINES CARRES
DEVELOPPEMENT D’UNE EXPRESSION
FACTORISATION D’UNE EXPRESSION
M. DESERT
EG4 MATHEMATIQUES SECONDE PRO
1
Fractions irréductibles
Objectif
Le PGCD de 2 nombres entiers permet de mettre les fractions sous forme irréductible.
Comment simplifier des fractions grâce aux critères de divisibilité ou au PGCD ?
1. Simplifications de fractions
On dit que l’on simplifie une fraction lorsqu’on l’écrit avec un numérateur et un
dénominateur plus petits.
En pratique, cela revient à diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre.
Exemple : simplifier
15 et 75 sont divisibles par 5 car leurs chiffres des unités est 5. On a donc :
Remarque : On peut présenter la simplification d’une fraction en barrant les facteurs
communs du numérateur et du dénominateur.
2. Fractions irréductibles
Une fraction est irréductible lorsque l’on ne peut plus la simplifier.
Exemple :
Remarque : on peut donc rendre une fraction irréductible en connaissant les critères de
divisibilité.
Définition équivalente : Une fraction est irréductible si le PGCD (a ; b) = 1
Autrement dit : Une fraction est irréductible si a et b sont premiers entre eux.
Exemple :
est une fraction irréductible car PGCD (43 ; 65) = 1
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2
Propriété : Si on divise le numérateur et le dénominateur d’une fraction par le PGCD (a ;
b), alors la fraction obtenue est irréductible.
Application : Rendre la fraction
irréductible
1ère étape : Calcul du PGCD par algorithme d’Euclide
• On effectue la division euclidienne de 10608 par 391.
On obtient : 10608 = 27 × 391 + 51
• Puis : 391 = 7 × 51 + 34
• Puis 51 = 1 × 34 + 17
• Puis 34 = 2 × 17 + 0
Donc PGCD (10608 ; 391) = 17 (car 17 est le dernier reste non nul)
2ème étape : simplification de fractions :
est une fraction irréductible.
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Pourcentages
1. Des clés pour ne plus se tromper
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4
2. Part en pourcentage
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5
3. Pourcentages d'évolution
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M. DESERT
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7
4. Des pièges à éviter
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Proportionnalité
Objectif
Dans de nombreuses situations de la vie courante, on utilise la proportionnalité :
pourcentages, vitesse, recette de cuisine, achats…
Comment reconnaître une situation de proportionnalité dans un tableau de valeurs ou sur un
graphique ?
1. Grandeurs proportionnelles
Deux grandeurs sont proportionnelles si l’on peut calculer la valeur de l’une en multipliant la
valeur de l’autre par un nombre constant, appelé coefficient de proportionnalité.
Pour rassembler des grandeurs proportionnelles, on utilise un tableau de proportionnalité.
Exemple: dans le tableau suivant, on a relevé la distance parcourue y (en km) par un véhicule
en fonction du temps x (en h)
On remarque que :
Le temps est donc proportionnel à la distance parcourue. Le coefficient de proportionnalité
qui permet de passer de la première à la deuxième ligne est 30.
2. Représentation graphique
Une situation de proportionnalité est représentée, dans un repère, par des points alignés
avec l’origine.
Exemple : Dans l’exemple de la distance parcourue en fonction du temps, on représente le
temps x en abscisse et la distance y en ordonnée en plaçant les points de coordonnées (0,5 ;
15) ; (2 ; 30)…
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Les points de la représentation graphique sont sur une droite qui passe par l’origine. Ce qui est
en accord avec le fait que la distance parcourue et le temps sont proportionnels.
Réciproquement, une droite passant par l’origine représente une situation de proportionnalité
entre les valeurs portées sur l’axe des abscisses et celles sur l’axe des ordonnées.
Exemple : Un cinéma propose différents types d’abonnement. On reporte sur un graphique, le
prix payé en fonction du nombre de places achetées:
Seul le graphique correspondant à l’abonnement 1 est une droite passant par l’origine. Dans
ce cas le nombre de places achetées est proportionnel au prix payé.
Contre-exemple : Situation de non proportionnalité
• Sur l’exemple précédent les abonnements 2 et 3 sont représentés graphiquement par des
droites, mais elles ne passent pas par l’origine. Dans ce cas on est dans une situation non
proportionnelle.
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• Le schéma suivant représente une situation de non proportionnalité car la courbe passe par
l’origine mais ce n’est pas une droite.
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Puissance d'un nombre
Objectifs
L’utilisation des puissances simplifie l’écriture des produits comportant le même facteur.
Qu’est ce que la puissance d’un nombre relatif ? Quelles sont les règles sur les puissances ?
1. Définition
Puissance à exposant positif : Soit n un nombre strictement positif et a un nombre relatif.
On appelle « a puissance n » le nombre noté
n est appelé l’exposant.
tel que :
Exemples : 24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16 ; (-3) × (-3) × (-3) = -27 ;
Par convention:
0n = 0
;
a1 = a
a0 = 1
;
;
Calculatrice: pour calculer une puissance, on utilisera la touche
Pour calculer 24, on tapera 2
4 ou 2
ou
4
Puissance à exposant négatif : Soit n un nombre strictement positif et a un nombre relatif
non nul. On appelle « a puissance moins n » le nombre noté
Exemples :
tel que :
;
→ inverse de
Cas particulier : quand
2. Règles de calculs sur les puissances
Produit et quotient de puissances: Soit a un nombre relatif non nul; m et n deux entiers.
Exemples :
;
Puissance de produit et de quotient: Soit a et b deux nombres relatifs non nuls
Soit m un entier.
;
Exemples :
;
Puissance de puissance: Soit un nombre relatif ; soit m et n des entiers
Exemple :
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Puissances de 10 et notation scientifique
Objectif
L’utilisation des puissances simplifie l’écriture des produits comportant le même facteur.
Comment calculer une puissance de 10 ? Qu’est ce que l’écriture scientifique d’un nombre ?
1. Puissance de 10
Parmi les puissances, les puissances de 10 sont plus faciles à calculer:
Soit n un entier strictement positif:
et
Exemples:
;
Remarques: les règles de calculs vues précédemment restent évidemment valables pour les
puissances de 10
2. Notation scientifique
La notation scientifique d’un nombre relatif est son écriture sous la forme
, où n est
un nombre entier et a un nombre ne possédant qu’un chiffre devant la virgule qui ne soit pas
0.
Remarques:
• La notation scientifique d'un nombre relatif est unique
• La notation scientifique est souvent utilisée dans les matières scientifiques nécessitant des
grands nombres: astronomie, sciences physiques, chimie...
Exemples :
•
est une écriture scientifique
•
n'est pas une écriture scientifique car le chiffre devant la virgule est 0
• Donner l'écriture scientifique de
:
comme
alors
est l'écriture scientifique cherchée
Intérêt: La notation scientifique des nombres relatifs permet, entre autres, de les comparer.
Lorsque les deux nombres sont sous forme d’écritures scientifiques, on compare d’abord les
exposants respectifs :
• S’ils sont différents, les nombres sont classés dans le même ordre que les exposants
• S’ils sont égaux, les nombres sont classés suivant le nombre devant la puissance de 10
Exemples : comparer
et
•
est déjà sous forme d’écriture scientifique
•
Dans l’exemple, les exposants sont égaux à 12 mais
Donc
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Racines carrées
Objectif
Avec le théorème de Pythagore, nous avons déjà rencontré les racines carrées. Depuis
l’Antiquité, les nombres générés par ces racines carrées fascinent les mathématiciens.
Pythagore et ses disciples ne voulaient pas accepter ces nombres car ils y voyaient la preuve
de l’irrationalité du monde, contraire à leurs principes.
Comment calculer une racine carrée ? Quelles sont les règles de calculs sur les racines carrées
?
1. Racines carrées d'un nombre
Soit a un nombre positif.
La racine carrée de a est le nombre dont le carré est égal à a.
On note ce nombre
. Le signe
s’appelle le radical.
Exemples: Racines carrées de carrés parfaits
De la définition, on en déduit que :
• La racine carrée de a n’existe que si le nombre a est positif.
• Pour tout a positif,
est positif.
La racine carrée d’un nombre est donc un nombre positif.
• Pour tout nombre a positif,
et
• Les racines carrées de certains nombres ne peuvent pas s’écrire sous forme décimale.
C’est le cas par exemple pour les nombres
et tous les nombres de la forme
, où p est un nombre premier.
Dans ce cas, pour obtenir leur valeur approchée, on utilisera la touche de la calculatrice.
2. Produit et quotient de racines carrées
Théorème :
Exemples :
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Attention, il n’y a pas d’égalité concernant l’addition et la soustraction.
3. Réduction d'expressions avec radicaux
a. Des cas simples
Problème : Ecrire le nombre
sous la forme
où a est un nombre entier positif.
Le but est de décomposer 75 en le produit d’un carré parfait et d’un autre nombre entier.
On remarque que
.
En utilisant les propriétés des racines carrées, on trouve :
.
On écrit alors :
.
Application : Écrire le nombre
On remarque que
Alors :
sous la forme
où a est un nombre entier.
.
,
Donc :
b. Des cas complexes
Problème : Ecrire le nombre
entiers, b étant le plus petit possible.
sous la forme
où a et b sont deux
La technique consiste à décomposer 12, 75 et 300 en le produit d’un carré parfait et d’un autre
entier.
On trouve ici :
Alors :
Donc :
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Développement d'une expression
Objectifs
Réduire et ordonner une expression littérale permet de donner une solution unique à un
développement.
Comment développer une expression littérale ? Comment réduire puis ordonner une
expression ?
1. Développer une expression
Développer, c’est transformer une multiplication en une somme ou en une différence.
a. Distributivité de la multiplication
La multiplication est distributive sur l'addition signifie que, pour tous nombres k, a et b,
k(a + b) = ka + kb.
De même la multiplication est distributive sur la soustraction :
k(a − b) = ka − kb.
Exemples
Développer les expressions suivantes :
• 3(x + 7) = 3x + 21 ;
• 9(2x − 7) = 18x − 63 ;
• 2x (3x + 1) = 6x2 + 2x.
b. Double distributivité
La double distributivité de la multiplication sur l’addition signifie que, pour tous nombres a,
b, c et d :
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.
De la même manière, on obtiendrait les égalités suivantes :
• (a + b)(c − d) = ac – ad + bc − bd ;
• (a − b)(c + d) = ac + ad – bc − bd ;
• (a − b)(c − d) = ac – ad – bc + bd.
Exemples
Développer les expressions suivantes :
• (x + 3)(2x + 1) = 2x2 + x + 6x + 3 ;
• (5 + x)(3x − 2) = 15x – 10 + 3x2 − 2x ;
• (6 − 5x)(7 − 4x) = 42 − 24x − 35x + 20x2.
c. Identités remarquables
Les identités remarquables sont des développements particuliers d’expressions. On prendra
a et b des nombres quelconques.
Développement de (a + b)2
(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2.
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Exemple
(5x + 1)2 = (5x)2 + 2 × (5x) × 1 + 12 = 25x2 + 10x + 1.
Développement de (a − b)2
(a − b)2 = (a − b)(a − b) = a2 − 2ab + b2.
Exemple
(3x − 7)2 = (3x)2 − 2 × (3x) × 7 + 72 = 9x2 − 42x + 49.
Développement de (a − b)(a + b)
(a − b)(a + b) = a2 − b2.
Exemple
(4 − x) (4 + x) = 42 − x2 = 16 − x2.
Remarques
• On retrouve chacune de ces expressions en utilisant la double distributivité.
• Ces expressions sont à connaître « par cœur » sans utiliser la double distributivité
2. Réduire et ordonner
a. Réduire une expression
Réduire une expression littérale revient à diminuer le nombre d’opérations la composant.
Exemple
Développer et réduire l’expression (8 − x)(2x − 7).
(8 − x)(2x − 7) = 16x – 56 − 2x2 + 7x = 23x – 56 − 2x2.
Remarque : En pratique, réduire une expression revient à rassembler les termes en « x2 », en
« x » et les constantes…
b. Ordonner une expression
Ordonner une expression littérale revient à écrire les termes dans l’ordre de puissances
décroissantes ou croissantes de x.
Rappel : x = x1 et 1 = x0.
Exemple
Ordonner l'expression 23x – 56 − 2x2.
23x – 56 − 2x2 n'est pas une expression ordonnée car elle est égale à 23x1 − 56x0 − 2x2.
Les puissances de x sont 1, 0 et 2. Les nombres 1, 0 et 2 ne sont rangés ni dans l'ordre
croissant ni dans l'ordre décroissant.
On ordonne cette expression de deux manières différentes :
23x – 56 − 2x2 = −56 + 23x − 2x2 = −2x2 + 23x − 56.
Remarques
• En règle générale, on ordonne dans l’ordre des puissances décroissantes ;
• Réduire et ordonner une expression permet de trouver un résultat unique à un
développement.
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Factorisation d'une expression
Objectifs
La factorisation permet de simplifier des expressions, et de résoudre des équations en les
transformant en équations-produits. La factorisation par un facteur commun ou les identités
remarquables sont les techniques les plus utilisées.
Comment factoriser une expression avec un facteur commun ? Comment factoriser une
expression avec des identités remarquables ?
1. Factorisation d'une expression
Factoriser une expression numérique ou littérale, c’est l’écrire sous la forme d’un produit.
Exemple d'expression factorisée :
L'expression (3x–7)(2x+4) est factorisée
car elle n'est composée que d'un seul terme
qui comporte DEUX facteurs
Exemples d'expressions non factorisées :
Les expressions possèdent deux termes (séparés par un + ou un – ) comportant chacun deux
facteurs.
2. Factorisation par facteur commun
Rappel:
k × a + k × b = k × (a + b)
k × a – k × b = k × (a – b)
avec k, a et b trois nombres quelconques.
On dit que l’on a factorisé par k. On dit aussi que k est un facteur commun.
a. Facteur commun « évident »
Dans certains cas, on peut appliquer directement le rappel précédent :
Exemple 1 : factoriser l’expression
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On a factorisé par (2x+3) l’expression E en un produit de 2 facteurs.
Exemple 2 : factoriser l’expression
On a factorisé par 2 l’expression F en un produit de 3 facteurs.
b. Facteur commun « caché »
Parfois, le facteur commun n’est pas apparent. La première étape de calculs va alors consister
à le faire apparaitre.
1. Factoriser l’expression
On remarque que
. On peut donc réécrire l’expression sous la forme
Le facteur (x – 2) est commun aux deux termes;
par conséquent :
2. Factoriser l’expression
On remarque que
. On peut donc réécrire l’expression sous la forme
.
Le facteur (3x + 5) est commun aux deux termes;
par conséquent :
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3. Factorisation par identités remarquables
Les identités remarquables rencontrées lors des développements vont aussi nous permettre
de factoriser des expressions. Pour cela, il suffit d’inverser ces formules de développements.
On obtient les formules suivantes :
Exemples :
1. Factoriser
On reconnait la deuxième identité remarquable en posant : a = x et b = 3.
2. Factoriser
On remarque que 81 = 9² ; on peut donc utiliser la première identité remarquable en posant :
a = 2x–1 et b = 9.
3. Factoriser
On remarque que
a = 2–3x et b = .
et on utilise la première identité remarquable en posant :
Remarques :
• Le plus souvent, on factorise avec un facteur commun ou l’identité remarquable :
.
• Factoriser une expression est très utile pour résoudre des équations-produits.
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