Quelques équations courantes dans les recherches de complexité d’algorithmes récursifs, et leur solution Equation Solution T(n)=T(n-1) T(n)=(1) T(n)=T(n-1)+1 T(n)= (n) T(n)=T(n-1)+nk T(n)= (nk+1) a>1, T(n)=aT(n-1)+ nk T(n)= ( an) a>1, T(n)=aT(n-1)+ an + nk T(n)= (n an) a,b>1, T(n)=aT(n-1)+bn T(n)= (Max(an, bn)) T(n)=2T(n/2)+1 T(n)= (n) T(n)=2T(n/2)+n T(n)= (nlogn) T(n)=2T(n/2)+ nk T(n)= ( nk) k<logba, T(n)=aT(n/b)+ nk T(n)= (nlogb a) k=logba, T(n)=aT(n/b)+ nk T(n)= (logn nk) k>logba, T(n)=aT(n/b)+ nk T(n)= ( nk) Equations de récurrences linéaires Theorème 1 k Soit (E) : un ai un i une équation de récurrence linéaire homogène d’ordre k à coefficients i 1 constants. k Si P( x ) x k ai x k i le polynôme caractéristique associé possède t racines distinctes i 1 r1 , r2 ,...., rt de multiplicité respectivement m1 , m2 ,...., mt , alors une suite vn est solution de (E) si et seulement il existe des constantes ci , j ,1 i t ,0 j mi 1 , telles que t mi 1 i 1 j 0 vn rin ( ci , j n j ) Théorème 2 Si spn est une solution particulière de l’équation de récurrence linéaire non homogène d’ordre k k à coefficients constants (E’) : un ai un i F ( n ) . Alors toute solution de (E’) est de la i 1 k forme spn vn où vn est solution de (E) : un ai un i , equation de recurence lineaire i 1 homogène associée à (E’) Théorème 3 Soit l’équation de récurrence linéaire non homogène d’ordre k à coefficients constants (E’) : k un ai un i F ( n ) avec F (n) P(n) s n où P(n) est un polynôme en n de degré d. i 1 Alors si s n’est pas racine du polynôme caractéristique associé à ( E), E’ admet une solution particulière de la forme sp n Q ( n ) s n , où Q(n) est un polynôme en n de degré d. Si s est racine d’ordre k du polynôme caractéristique associé à ( E), E’ admet une solution particulière de la forme sp n Q ( n ) s n , où Q(n) est un polynôme en n de degré d+k.