Lois fondamentales dans les circuits électriques en régime continu

Lois fondamentales dans les circuits électriques en régime continu
1 Définitions
1.1 Courant électrique
Le courant électrique est le débit de charges électriques s’écoulant dans un conducteur :
Le conducteur est un milieu qui contient des électrons libres ou de conduction. L’ensemble des
charges, portées par ces électrons se déplace parallèlement aux parois du conducteur.
1.2 Différence de potentiel
La différence de potentiel électrique entre deux points A et B est définie comme la circulation du
champ électrique le long d’un contour reliant A et B, changée de signe.
Le symbole du potentiel électrique est V, il se mesure en volt (V). On écrit par conséquent
1.3 Convention relative au sens du courant et au sens de référence de la
tension
On sait que, physiquement, le courant électrique correspond à un déplacement de charges
électriques. On admet, arbitrairement, que le sens du courant est inverse au déplacement des
charges négatives (électrons).
La manière d’indiquer graphiquement le sens positif des tensions est réalisée à l’aide d’une
flèche. La flèche est orientée du point au potentiel le plus bas vers le potentiel le plus haut :
2 Eléments des circuits
2.1 Résistance
La résistance transforme en chaleur (pertes Joule) l’énergie électrique fournie pour assurer le
passage du courant.
La puissance dissipée est proportionnelle au carré du courant, le facteur de proportionnalité est
appelé la résistance R du conducteur :
La puissance est égale au produit de la tension électrique et du courant associé à un déplacement
de charges :
On peut introduire aussi la notion de conductance dont l’unité est le siemens (S) :
2.2 Sources de tension et de courant
2.2.1 Source de tension parfaite
Une source de tension parfaite est un dipôle actif qui présente à ses bornes une tension U
indépendante du courant débité.
2.2.2 Source de courant parfaite
Une source de courant parfaite est un dipôle actif débitant un courant électrique I indépendant de
la tension U apparaissant à ses bornes.
2.2.3 Source de tension réelle
Une source de tension parfaite est impropre à rendre compte du comportement d’un générateur
physique, on observe en effet une diminution V de la tension mesurée V aux bornes d’une
telle source réelle :
Cette chute de tension suggère la présence d’une résistance interne Ri. Le schéma équivalent
d’une source de tension réelle est représentée par une source de tension parfaite de force
électromotrice (f.e.m) V0 associée en série avec la résistance interne Ri :
On obtient la relation suivante entre la tension V fournie et le courant débité :
V = V0 – RiI
2.2.4 Source de courant réelle
On observe pour une source de courant une diminution du courant i lorsque la tension
augmente d’une quantité V :
Cette chute de courant suggère la présence d’une conductance interne Gi. Le schéma équivalent
d’une source de courant réelle est représentée par une source de courant parfaite de courant I0
(courant de court-circuit de la source réelle) associée en parallèle avec la conductance interne
Gi :
On obtient la relation suivante entre la tension V fournie et le courant débité :
I= I0-GiV
2.2.5 Remarque
Si la résistance interne Ri est petite vis-à-vis de la résistance équivalente du circuit de charge
Rch, on utilisera le schéma équivalent en source de courant.
Si la résistance interne Ri est grande vis-à-vis de la résistance équivalente du circuit de charge
Rch, on utilisera le schéma équivalent en source de tension.
2.3 Capacité
L’élément capacitif est un dipôle défini par la relation suivante entre la charge instantanée q(t) et
la tension instantanée v(t) :
q(t) = CV(t)
D’après les équations [1] et [5] , on a alors : iC(t) = dq/dt = C dV(t) /dt [9]
L’unité de la capacité est le farad (F). Le farad étant une unité très grande, on utilise
généralement des unités plus petites, telles que le microfarad (F), le nanofarad (nF) et le
picofarad (pF).
2.4 Inductance
L’inductance est un dipôle défini par la relation suivante entre les valeurs instantanées du flux
magnétique total (t) et du courant iL(t) :
(t) = LiL(t)
La tension aux bornes de l’inductance est égale à la dérivée du flux par rapport au temps (loi
d’induction) :
L’unité de l’inductance se mesure en henry (H), le henry étant une unité très grande, on utilise
généralement des unités plus petites, telles que le millihenry (mH), le microhenry (H) ou le
nanohenry (nH).
3 Lois d’Ohm et de Kirchhoff
3.1.1 Loi d’Ohm
Des relations [3] et [4], on peut tirer l’expression :
V = RI [12]
Cette relation de proportionnalité associée à un conducteur est désignée par le nom de loi d’Ohm.
3.1.2 Lois de Kirchhoff
3.1.2.1 Définitions : mailles et nœuds
Lorsqu’un circuit électrique est formé de divers éléments (sources, R, C et L), il est possible de
définir plusieurs dispositions relatives. Parmi celles-ci, on distinguera :
- le noeud n, qui est le point de convergence de trois conducteurs ou plus ;
- la branche b, qui regroupe les éléments situés entre deux noeuds et traversés par un même
courant ;
- la maille m, qui est formée d’un ensemble de branches parcourues en partant d’un noeud pour y
revenir, sans passer deux fois par la même branche.
3.1.2.2 Première loi : loi des noeuds
Cette loi exprime la conservation des courants. Au niveau d’un noeud, elle s’exprime comme suit
:
 ik = 0
Il s’agit de la somme algébrique, compte tenu du sens des courants. Il faut noter que le sens
positif est choisi convergent. On obtient alors pour le cas ci-dessus :
k i = 0 i1 + i2 – i3 +i4 – i5 = 0
3.1.2.3 Deuxième loi : loi des mailles
Partant de la définition du potentiel électrique, on peut exprimer l’intégrale du champ électrique
le long d’une maille (en l’absence de tension induite) :
Là, également, il s’agit de la somme algébrique des différences de potentiel, un sens étant défini
pour chacune d’elles. On pendra un sens positif horaire. On obtient pour l’exemple ci-dessus
: kk V = 0 V1 + V2 – V3 -V4 + V5 = 0
4 Théorèmes fondamentaux
4.1 Rappels des théorèmes les plus usuels
4.1.1 Eléments en série
4.1.1.1 Mise en série de résistances
Un circuit composé de plusieurs résistances connectées en série peut se réduire à une unique
résistance équivalente RS égale à la somme des diverses résistances :
On peut écrire :
Vab = (R1I + R2I + + RnI) = RSI
D’où la relation suivante:
RS = R1 + R2 + + Rn = kRk
4.1.1.2 Mise en série de capacités
Un circuit composé de plusieurs capacités connectées en série peut se réduire à une unique
capacité équivalente CS :
D’après l’équation [9], on peut écrire pour chaque capacité Ck :
La tension Vab est ainsi donnée :
D’où, l’expression de la capacité équivalente :
4.1.1.3 Mise en série d’inductances
Un circuit composé de plusieurs inductances connectées en série (et en l’absence de couplage
magnétique entre inductances) peut se réduire à une unique inductance équivalente LS égale à la
somme des diverses inductances :
D’après l’équation [11], on peut écrire pour chaque capacité Lk :
VLk(t) = Lk di /dt
La tension Vab est ainsi donnée :
Vab = (L1 + L2 +…..+ Ln) di /dt = LS di/dt
D’où, l’expression de l’inductance équivalente :
LS = (L1 + L2 +…..+ Ln) = kLk
4.1.1.4 Mise en série de sources de tension
Un circuit composé de plusieurs sources de tension parfaites connectées en série est équivalent à
une source parfaite de tension unique égale à la somme algébrique des différentes sources :
Si toutes les tensions sont définies avec le même sens de référence, on a :
Vab = kVk
4.1.1.5 Mise en série de sources de courant
Il est évident qu’il n’est pas possible d’envisager la mise en série de plusieurs sources de courant
sans violer la première loi de Kirchhoff.
4.1.2 Eléments en parallèle
4.1.2.1 Mise en parallèle de résistances
Pour un circuit comprenant plusieurs résistances connectées en parallèle, on a :