E2.9. Résistance itérative. 1. Valeur du résistor R`. On souhaite que

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E2.9. Résistance itérative.
1. Valeur du résistor R’.
R  2 R  R '
. On obtient ainsi l’égalité :
3R  R '
R  2 R  R '
 R '  2 R 2  RR '  3RR ' R '2
3R  R '
2 R 2  2 RR ' R '2
we
R '2  2 RR ' 2 R 2  0
b.c
Or cette résistance s’exprime par RAB 
om
On souhaite que RAB  R ' .
On résout cette équation du second degré et on ne garde que la racine positive :
 '  3R 2  R ' 


3 1 R
2. Résistance du réseau.
kh
ola
Considérons un circuit qui présenterait l’association de deux modules sur la résistance R’. En tenant compte
du résultat de la question précédente, on a les montages équivalents suivants :
ww
w.
La résistance équivalente ne dépend pas du nombre n de modules. On peut montrer cela par récurrence. On
suppose la propriété vraie pour n = 1 et n = 2 et on la suppose vraie pour n – 1. Pour l’ordre n :
On se retrouve dans le cas du réseau où n = 1.
La résistance équivalente du réseau constitué des n modules et de la résistance R’ est égale
à RAB  R '  R 3  1 . On appelle cette résistance R’ résistance itérative.


3. Tension u aux bornes de R’.
On considère un couple  Ai , Bi  . La résistance équivalente à la partie droite de ce couple est R’. On calcule
om
alors en utilisant la notion de pont diviseur de tension la tension ui 1 en fonction de la tension ui :
ui 1 
R'
ui
2R  R '
Soit :
2
b.c
On obtient :
n
we
R'
R'
 R' 
 R' 
u1 
u o , u2 
u1  
 uo , ... , un  
 uo
2R  R '
2R  R '
 2R  R ' 
 2R  R ' 
n
ww
w.
kh
ola
 3 1 
un  
 uo
3

1

