cours - Stepec Muriel

Chapitre 9
Terminale S
ELEMENTS DE COMBINATOIRES
L'analyse combinatoire est née de l'étude des jeux de hasard (Blaise Pascal (1623-1662)) et s'est
fortement développée sous l'influence du calcul des probabilités. Elle est par ailleurs liée à la théorie des
nombres et à la théorie des graphes. Ses méthodes étaient originellement adaptées à la résolution de
problèmes particuliers.
L'analyse combinatoire s'emploie à étudier et à dénombrer divers types de groupements que l'on peut
faire à partir d'ensembles finis.
I
Dénombrer des listes
1)
Permutation d'un ensemble
Imaginons une rencontre exceptionnelle entre ces joueurs: Archimède, Bernoulli, Crick, Descartes, et
Euler. On souhaite les classer, combien de possibilités de classement a-t-on?
Donc il y a
classements possibles
Un classement ( ou rangement ) est appelé une permutation {A,B,C,D,E,} et {A,C,B,D,E} sont 2
permutations différentes.
Remarque: l'ordre des éléments est important
Ainsi, nous avons trouvé précédemment le nombre de permutations possibles d'un ensemble de 5
éléments.
Le nombre de permutations d'un ensemble de n éléments, n  1, est égal à :
n x (n-1) x (n-2)x … x 2x1 =
n!
(se lit factorielle n)
par convention: 0! = 1
2)
et
1! = 1
Liste sans répétitions de p éléments de E ( tirage sans remise )
Une urne contient 5 boules numérotées de 1 à 5. On tire successivement trois boules de l'urne sans remise
et on note dans l'ordre les numéros tirés. Combien y a-t-il de possibilités de tirage?
Il y a
Stepec
possibilités de tirages
Page 1 sur 3
769797983
Chapitre 9
Terminale S
Remarque: {1;2;3} et {3;1;2} sont deux tirages (ou listes) différentes, l'ordre des éléments est important
Le nombre de listes sans répétitions de p éléments dans un ensemble contenant n éléments est:
n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x … x (n-(p-1))
3)
Liste avec répétition de p éléments de E (tirage avec remise)
Dans l'exemple précèdent, si on effectue les trois tirages en remettant la boule dans l'urne après chaque
tirage alors le nombre de tirages possibles est:
Le nombre de listes avec répétitions de p éléments dans un ensemble contenant n éléments est:
np
exercices: 4, 6, 8, 10, 12 p247
II
Combinaisons
1)
Définition
E est un ensemble de n éléments et p un entier tel que 0  p  n
Une combinaison de p éléments d'un ensemble E est un sous-ensemble de E qui contient p éléments.
Remarque: Dans une combinaison l'ordre n'a pas d'importance {1;2;3} et {3;1;2}représentent la même
combinaison.
2)
Nombres de combinaisons
On dispose de 5 cartes numérotées de 1 à 5 . On souhaite connaître le nombre de mains de 3
cartes qu'ils est possible de former avec ces 5 cartes.
a) Combien peut-on former de listes ordonnées de 3 cartes?
b) Avec 3 cartes fixées , combien peut-on former de listes ordonnées de 3 cartes?
c) En déduire le nombre de mains de 3 cartes que l'on peut former.
Stepec
Page 2 sur 3
769797983
Chapitre 9
Terminale S
Le nombre de combinaisons de p éléments dans un ensemble de n éléments est:
Error! = Error! = Error!
(se lit p parmi n)
Démon.:
( n;0 ) = 1
( n;1 ) = n
Valeurs remarquables:
Exercices:ex 16, 17, 18, 20,22,23 p 248 TD2p246
III
Formules
1)
Formules relatives aux combinaisons
Théorème:
( n;n ) = 1
Pour tous entiers naturels n et p tels que 0  p  n :
Pour tous entiers naturels n et p tels que 1  p  n-1 :
( n;n-1 ) = n
( n;p ) = ( n;n-p )
( n-1;p-1 ) + ( n-1;p ) = ( n;p )
()
Démontrer l'égalité: ( n-1;p-1 ) + ( n-1;p ) = ( n;p )
()
2)
Formule du binôme
(a +
b)n
Pour tous nombres complexes a et b et pour tout naturel n  1:
= ( n;0 ) an + ( n;1 ) an-1b + ( n; 2 ) an-2b2 + …..+ ( n;n-1 ) abn-1 + ( n;n ) bn
Exercices: 28, 29p248 et 30, 31p249
Stepec
Page 3 sur 3
769797983