B. Dénombrement Dans tout ce paragraphe, On considère un ensemble E fini de n éléments (n 1). 1. Listes d'éléments d'un ensemble fini Définition : On considère un ensemble E fini de n éléments (n 1) et un entier p 1. Une liste de p éléments de E (ou p-liste) est une suite ordonnée de p éléments de E, non nécessairement distincts. Pour 1 p n, une liste de p éléments de E deux à deux distincts est une suite ordonnée de p éléments de E. Exemple : L'ensemble constitué des six faces d'un dés est l'ensemble {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Des 2-listes de cet ensemble sont {1,1}, {4,5}, {3, 6},... Des listes de 3 éléments deux à deux distincts sont {1, 3, 4}, {4, 5, 6}, ... Propriété: Pour tout entier p 1, le nombre de listes de p éléments de E est égal à np. Pour tout entier p tel que 1 p n, le nombre de listes de p éléments de E deux à deux distincts est égal à n(n – 1)(n – 2)....(n – p + 1). Dans l'exemple précédent, le nombre de listes de 2 éléments de E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} est égal à 62 = 36 (qui correspond à tous les résultats possibles du lancer de deux dés). Et le nombre de listes de 3 éléments deux à deux distincts est égal à 6×5×4 = 120 (qui correspond aux résultats donnant des faces distinctes du lancer de trois dés). Permutations : On appelle permutation des éléments de l'ensemble E, une liste de n éléments de E deux à deux distincts. Le nombre de permutations de E est égal à n(n – 1)(n – 2).... 2×1. On note ce nombre n! (lire « n factorielle » ou « factorielle n »). Exemple : On tire trois cartes d'un jeu de 32. Déterminer le nombre de tirages possibles dans les deux cas suivants: a) on remet chaque carte avant de tirer la suivante (tirage avec remise). b) on tire successivement les cartes sans les remettre (tirage sans remise). Dans le cas a), il s'agit de 3-listes dans un ensemble contenant 32 éléments (les cartes), donc le nombre de tirages possibles est 323 = 32768. Dans le cas b), il s'agit de 3-listes d'éléments deux à deux distincts dans un ensemble contenant 32 éléments, donc le nombre de tirages possibles est 32×31×30 = 29760. Propriété : Avec la notation factorielle, on peut alors écrire: n! . le nombre de listes de p éléments de E deux à deux distincts est égal à n(n – 1)(n – 2)....(n – p + 1) = np! 2. Combinaisons Définition : Soit p un entier tel que 0 p n. On appelle combinaison de p éléments de l'ensemble E, toute partie de E ayant p éléments. Le nombre de combinaisons de p éléments d'un ensemble à n éléments est noté n . p a) Dénombrement des combinaisons Propriété : Le nombre de combinaisons de p éléments d'un ensemble à n éléments est égal à n! p! n p ! Démonstration : le nombre de p-listes d'éléments deux à deux distincts se calcule en deux étapes: 1) on dénombre le nombre de parties de E à p éléments: il y en a = n . p n . p 2) on classe les p éléments d'une partie: il y a p! possibilités. Donc il y a n! n n p! listes de p éléments deux à deux distincts, donc = p! , d'où p p np! n! n = . p p!n p ! Exemples: nombre de tirages de 6 numéros possibles au LOTO : un tirage est une partie de l'ensemble E constitué des 49! 49 = = 13983816. nombres entiers de 1 à 49; il y a donc 6 6 !43 ! b) Coefficients binomiaux n n n = = 1; =n; 0 n 1 Propriétés: Pour tous entiers n et p tels que 0 p n , Pour tous entiers n et p tels que 1 p n – 1 , n n = . p n p n n 1 n1 = + . (Triangle de Pascal) p p p1 Démonstration: n n = = 1: le nombre de parties à 0 éléments = 1 et le nombre de parties à n éléments = 1 ; 0 n 1 n = n : le nombre de parties à 1 éléments = n = Card(E). 1 1 1 1 2 1 n n = : le nombre de parties à p éléments = le nombre de parties 1 3 3 1 p n p 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 à n – p éléments, car choisir p éléments dans l'ensemble E, 1 6 15 20 15 6 1 c'est laisser n – p éléments dans E. 1 7 21 35 35 21 7 n n1 n1 = + : On considère un élément a de E. 1 8 28 56 70 56 28 p p p1 1 8 1 Pour 1 p n – 1, les parties de E sont de deux types: 1) celles qui contiennent l'élément a et p – 1 éléments autres que a, pris parmi n – 1: il y en a n1 . p1 2) celles qui ne contiennent pas l'élément a et p éléments autres que a, pris parmi n – 1: il y en a Le nombre total de ces parties est n , d'où l'égalité: p n 1 . p n p = n1 n1 + . p p1 Le triangle de Pascal ci-contre se construit en utilisant la formule: Un nombre du tableau est égal à la somme du nombre au-dessus et de celui à sa gauche, comme 6 + 4 = 10. Théorème: Pour tous nombres complexes a et b et n un entier naturel non nul, k=n n (a + b) = k=0 Les nombres n an1 b n a n2 b 2 n a b n 1 n n n a n k b k =a + + + ... + +b . 1 2 n 1 k n portent ainsi le nom de coefficients binomiaux. p n p q Démonstration: En développant (a + b) = (a + b)(a + b)...(a + b), on obtient des termes de la forme a b avec 0 p n et 0 q n et p + q = n. Le nombre de termes de cette forme est obtenu en prenant a dans p facteurs et b dans q = n – p facteurs, il y en a n , d'où la formule du binôme. p Exemples : (x + 1)6 = x6 + 6x5 + 15x4 + 20x3 + 15x2 + 6x + 1. k=n En prenant a = b = 1, on obtient k=0 (x – 1)4 = x4 – 4x3 + 6x2 – 4x + 1. n n n = 2 . Ce résultat affirme que le nombre de parties dans l'ensemble E est 2 . k