Une roue est assimilée à huit rayons, un cylindre creux pour la jante

TD 5 Moment d’inertie - moment de force
Exercice 1 : Un tréteau est constitué de deux bras
identiques AB et BC de masse M. Ils sont rattachés aux
points I et J par un ressort de constante de raideur k et
de longueur à vide x0. On pose AI=CJ=l et BI=BJ=L. On
suppose que les bras reposent sur le sol sans
frottements. A l’équilibre, l’angle que font les bras avec la
verticale est noté α et la longueur du ressort est notée x.
1) Faire le bilan des forces extérieures agissant sur
l’ensemble
2) Calculer la valeur des réactions R1 et R2 des
deux bras avec le sol
3) Déterminer la force de rappel du ressort F à l’équilibre
4) Trouver par trigonométrie une autre relation qui lie α, x et L
5) Dans l’hypothèse des petits angles, trouver x en fonction de x0, L, l, M, g et k.
Application numérique : L=1 m, M=10 kg, l=0,1 m, g=9,81 m/s2, k=200 N/m, x0=0,2 m
Exercice 2 : Roue et freinage
Une roue est assimilée à huit rayons, un cylindre
creux pour la jante et une bande de roulement en
caoutchouc (cf dessin).
Les rayons sont des cylindres de cuivre de diamètre
Dr et de longueur lr. La jante est également en cuivre
de largeur L et de diamètres intérieur et extérieur
respectivement de 2lr et DJ. Le pneu est supposé
être en caoutchouc plein,
de largeur L et de
diamètres intérieur et extérieur respectivement DJ et
Droue.
L
DRoue
Caractéristiques du système : k D =0,01 ; S=100N ;
k R =0,1 ;  =100 N.m.
DJ
2 lR
I)
Indiquer
qualitativement
comment
déterminer le moment d’inertie du système. On supposera par la suite que ce moment
vaut 500 kg.m2. Pour cela, on rappelle les moments d'inertie I suivants :
II)
Partant d’une vitesse de rotation nulle, la roue est mise en mouvement par un moteur
qui délivre un couple noté  et supposé constant.
a. déterminez l’équation horaire de la rotation. (On utilise pour cela le théorème du
moment cinétique.)
b. Après t=30 secondes d’accélération, déterminez l’énergie cinétique de rotation Ec.
III)
Après cette étape d’accélération, on coupe le moteur et on utilise un ralentisseur
magnétique pour freiner la rotation.
Le ralentisseur induit une force proportionnelle à la vitesse de rotation qui s’oppose au
mouvement FR  k R . Cette force s’exerce au centre de l’épaisseur de la jante en cuivre.
a) Représentez la force sur votre schéma, déterminez l’expression de son moment et
déterminez l’équation horaire de la rotation.
b) Donner alors l’expression de la puissance et du travail de la force de freinage en fonction du
temps (choisir l’origine des temps au début du freinage). Après combien de temps la vitesse
de rotation est elle divisée par deux ?
c) Combien de temps faut-il avant d’obtenir l’immobilisation de la roue ? (justifiez le terme de
ralentisseur).
d) Lorsque la vitesse de rotation est divisée par deux (par rapport à la vitesse de rotation
maximum), on n’utilise plus qu’un frein à disque (frottement solide indépendant de la vitesse
de rotation) FD  kD  N appliqué au même point que la force de freinage magnétique.
Déterminez le temps nécessaire à l’arrêt total. On calculera en prenant comme nouvelle
origine des temps t1 / 2
Exercice 3 : Pendule de Torsion
Un disque de masse M et de rayon R est suspendu en son centre par un fil. Ce fil exerce un
couple de rappel de moment M R  C u z . A l’instant initial, on éloigne le pendule de sa
O
position d’équilibre en le tournant d’un angle  d  / 4 et on l’abandonne avec une vitesse de
rotation nulle.
1) On suppose le système sans frottement, donnez l’équation du mouvement en fonction du
temps.
2) On suppose maintenant que nous sommes en présence d’un frottement visqueux qui
induit un couple de freinage de moment M F  u z (le disque est en immersion dans
O
un liquide). Donnez les équations horaires du mouvement en fonction de la valeur de 
(trois cas).