puissances de dix

4ème
Chapitre 7
PUISSANCES
I – DEFINITIONS ET NOTATIONS :
1) Puissances d’exposant entier positif :
Définition : a est un nombre relatif et n est un nombre entier positif non nul.

a n est le produit de n facteurs tous égaux à a.
an=a×a×…×a
n facteurs
a n se lit « a exposant n ».
a n est une puissance du nombre a.
Le nombre n s’appelle un exposant.

En particulier : a 1 = a.

Par convention : a 0 = 1.
Remarques : a 2 se lit « a au carré ».
a 3 se lit « a au cube ».
Exemples :
2 5 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32
17 1 = 17
(–5) 3 = (–5) × (–5) × (–5) = – 125
9,45 0 = 1
( Error! ) 4 = Error! × Error! × Error! × Error! =
2 2 2 2
= Error!
3 3 3 3
Remarque : Attention à l’importance des parenthèses !
– 4 2 = – 4 × 4 = – 16 alors que (– 4) 2 = (– 4) × (– 4) = 16.
Error! =
2 2 2
2 2 2
= Error! alors que ( Error! ) 3 = Error! × Error! × Error! =
= Error!.
5
5 5 5
2) Puissances d’exposant entier négatif :
Définition : a est un nombre relatif non nul et n est un nombre entier positif non nul.
a – n est l’inverse de a n.
a – n = Error! = Error!
n facteurs
1
Exemples :
3 –2=
1
1
1


2
3 3 9
3
(– 2) – 3 =
4 –1=
1
1
1


3
 2  (2)  (2)
8
(2)
1
4
3) Utilisation de la calculatrice :
Pour calculer par exemple 2 5 avec une calculatrice, on tape :
2 x
5
ou
2
5
ou
2
⋀
5
ou
2
xy
5
selon les modèles.
II – CALCULER AVEC DES PUISSANCES :
1) Exemples de calculs :
4  4  4 4 4 4 4  4
2
3
D’où : 4 2  43  4 5
5
57 5  5  5  5  5  5  5

 5  5  5  53
4
5 5 5 5
5
57
3
D’où : 4  5
5
(3x) 2  3x  3x  3  3  x  x  32  x 2  9 x 2
2
2
2
D’où : (3x)  3  x
2 3 2 2 2 2  2  2 23
( )    

7
7 7 7 7  7  7 73
3
D’où : ( ) 
(53 ) 2  53  53  5  5  5  5  5  5  56
3 2
6
D’où : (5 )  5
2
7
23
73
2) Règles de priorité :
Pour calculer une expression :
1. on effectue les calculs entre parenthèses, en commençant par les parenthèses les plus intérieures,
2. on calcule les puissances,
3. on effectue les multiplications et les divisions de gauche à droite,
4. on effectue les additions et les soustractions de gauche à droite.
Exemples :
A=
A=
A=
A=
7  32  4
7  9 4
7  36
 29
2
2
2
B = (3  5)  (3  5 )
B = 8  (9  25)
B = 64 36
B = 2176
2
2
III – PUISSANCES DE DIX :
1) Définition :
Définition : n est un nombre entier positif.
10 n = 10 × 10 × … × 10 = 1 0 … 0
n facteurs
n zéros
10 – n = Error! = Error! = 0 , 0 … 0 1
n zéros
n zéros
Exemples :
10 5 = 100 000
1 suivi de 5 zéros
10 – 3 = 0,001
1 précédé de 3 zéros (ne pas oublier la virgule !)
10 1 = 10
10 0 = 1.
2) Multiplier par une puissance dix :
Propriété : n est un nombre entier positif.
 Pour multiplier un nombre décimal par 10 n, on décale la virgule de n rangs vers la droite (en complétant par des
zéros si nécessaire).
 Pour multiplier un nombre décimal par 10 – n , on décale la virgule de n rangs vers la gauche (en complétant par
des zéros si nécessaire).
Exemples :
52,147 10 2  5214,7
214 758 10
4
 21,4758
0,00019 10 7  1 900
21,3 10 5  0,000213
3) Règles de calculs :
Propriétés : m et n sont deux nombres entiers relatifs.
10 m × 10 n = 10 m + n
Error! = 10 m – n
(10 m) n = 10 m x n
Exemples :
3
10 4  10 2  10 4 2  10 6
10 6  10 4  10 6 4  10 2
10 7
 10 73  10 4
10 3
10 5
 10 5( 8)  10 58  10 3
10 8
(10 5 ) 2  10 52  1010
(10 2 ) 4  10 2( 4)  10 8
4) Ecriture scientifique d’un nombre décimal :
Définition : L’écriture scientifique, ou notation scientifique, d’un nombre décimal est l’écriture de ce nombre sous la
forme a × 10 n où :
 a est un nombre décimal ayant 1 seul chiffre, différent de 0, avant la virgule
 n est un nombre entier relatif.
Exemples : Écrire les nombres suivants en notation scientifique :
375 000 = 3,75  105
0,094 = 9,4  10 2
2345,6  10 4 = 2,3456  10 3  10 4 = 2,3456  10 3 4 = 2,3456  10 7
5) Exemple de calcul :
Méthode : Dans un calcul ne comportant que des multiplications et divisions, on regroupe les nombres écrits sous la
forme de puissances de 10 d’un côté et les autres nombres de l’autre côté, puis on calcule avec les règles habituelles.
Exemple : Calculer A et donner le résultat en écriture scientifique et en écriture décimale.
49  10 4  75  10 5
A=
35  (10 3 ) 2
A=
10 4  10 5
49  75

35
(10 3 ) 2
On écrit séparément les puissances de 10 et les autres nombres
et.
A=
10 45
7  7  5  15

75
10 32
On réduit le numérateur et le dénominateur à l’aide des formules sur les
puissances. Ici, on utilise : 10 m  10 n = 10 m + n et (10 m)n=10 m x n
A = 7 15 
101
10 6
A = 105  10
1 – (– 6)
On utilise la formule :
A = 105  10 1 + 6
A = 105  10 7
A = 1,05  10 2  10 7
A = 1,05  10 2 + 7
A = 1,05  10 9
A = 1 050 000 000
écriture scientifique
écriture décimale
4
10 m
= 10 m – n
n
10