COURS-PUISSANCES-ET

PUISSANCES ET
RACINES CARREES
Objectifs : ●
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maîtriser les puissances de 10
écrire un nombre en notation scientifique
évaluer un ordre de grandeur
connaître la racine carrée d’un nombre
ACTIVITE 1 : Puissance d’un nombre
Dans un jeu radiophonique (ou l’on ne compte pas les réponses fausses) chaque
bonne réponse double le gain du concurrent. La cagnotte de départ se monte à 1 euro.
Quel est le gain après trois bonnes réponses ? Six bonnes réponses ?
Après trois bonnes réponses, le gain est de 8 euros.
Le nombre 8 peut s’écrire 8 = 23 (on lit 2 puissance 3).
Après six bonnes réponses, le gain est de 6 euros
Le nombre 64 peut s’écrire 64 = 26 (on lit 2 puissance 6).
Remarque : Dans l’écriture 26, le nombre 6 est l’exposant : il indique qu’il faut
effectuer la multiplication de 6 facteurs tous égaux à 2.
Ce qu’il faut retenir :
Pour tout nombre a non nul et n entier positif, on a :
an = a x a x a… x a ; a1 = a ; a-n = Error! ; a0 = 1
La puissance d’exposant 2 est le carré : a2 = a x a (2 facteurs)
La puissance d’exposant 3 est le cube : a3 = a x a x a (3 facteurs)
Exemples :
a
3
1/2
2,6
a-2
1/9
4
0,14
a-1
1/3
2
0,38
a0
1
1
1
a2
9
¼
6,76
a3
27
1/8
17,57
a5
243
1/32
118,8
a10
59049
1/1024
ACTIVITE 2 : Règles de calcul sur les exposants
Considérons les égalités suivantes :
● 23 x 24 = 27
● (2 x 5)2 = 22 x 52
●
()2 = 23 x2 = 26
● Error! = 25-3 = 22
● Error!3 = Error!
Vérifier à l’aide de la calculatrice que ces égalités sont vraies.
Ce qu’il faut retenir :
Soit deux nombres a0, b0 et deux entiers naturels m et n.
On a :
1) an x am = an+m 2) (a x b)n = an x bn 3) (am)n = am x n
4) Error!n = Error! , b0
5) Error! = am-n , a0
ACTIVITE 3 : Puissances de dix
Considérons les écritures suivantes : 102 ; 103 ; 105
1) Les écrire sous forme de nombres décimaux.
2) Quelle remarque peut-on faire sur le nombre de zéros du résultat ?
3) Ecrire sous forme d’un nombre décimal : 10-2 ; 10-3 ; 10-5.
4) Quelle remarque peut-on faire sur le nombre de zéros du résultat.
Remarque : On dira que ces nombres sont des puissances de dix.
Le nombre n étant un entier naturel, on a :
10n = 10..00 ; 10-n = 0,0..01 ; 10-n = Error! ; 101 = 10 ; 100 = 1
n zéros
n zéros
Exemple :
Ecriture décimale
1000
Puissance de dix
103
104
En toute lettre
Mille
Un million
10 000 000
109
ACTIVITE 4 : Ecriture scientifique
On considère les nombres suivants : 0,0468 x 104 ; 4,68 x 102 ; 4680 x 10-1.
Les écrire sous forme de décimaux. Que constate-t-on ? Proposer deux autres écritures
du même nombre utilisant d’autres puissances de dix.
Remarque : Une seule des écritures précédentes est le produit d’un nombre décimal à
un seul chiffre non nul avant la virgule et d’une puissance de dix : c’est l’écriture
scientifique du décimal 468.
Ce qu’il faut retenir :
Tout décimal peut s’écrire sous la forme a x 10n, avec a décimal tel que
1  a < 10 et n entier positif ou négatif.
L’écriture scientifique d’un nombre décimal est utilisée pour les nombres
très grands ou très petits.
Exemples :
La distance de la terre au soleil est égale à cent cinquante millions de kilomètres.
La vitesse de propagation de la lumière est égale à trois cent mille kilomètres par
seconde.
Exprimer les deux nombres en écriture scientifique.
Cent cinquante millions s’écrit 150 000 000 soit 1,5 x 108.
Trois cent mille s’écrit 300 000 soit 3 x 105.
ACTIVITE 5 : Racine carrée d’un nombre
Un bureau carré a une aire de 9m2. Quelle est la longueur c d’un coté ?
Pour calculer l’aire d’un carré, on utilise la formule : A = c2.
Le nombre cherché, qui a pour carré 9, est 3.
 Remarque : On dit que racine carrée de 9 est égale à 3 et on écrit :  = 3.
L’écriture
 désigne le nombre positif dont le carré est 9 : ( )2 = 9.
Ce qu’il faut retenir :
a désigne le nombre positif dont le carré est égal à a. Le nombre
n’existe que si a est positif et dans ce cas, on a :
a
( a)2 = a.
 Exemple :
existe
n’existe pas
est positif
est négatif

- 
²
-

( )2
 Régles de calcul
Comparer les nombres :
16
9 et
16 x 9
Error! et Error!
x
Ce qu’il faut retenir :
Soit deux nombres a  0, b  0. On a : a x b = a x b.
Soit deux nombres a  0 et b > 0. On a : Error! = Error!.
FIN