Intégrales curvilignes, formes différentielles Ici, p 2 ou 3 . I Intégrale curviligne le long d’une courbe Soit : [a, b] R p un arc paramétré de classe C 1 , de support C. t M (t ) Soit f : C R une fonction continue. On appelle intégrale curviligne de f le long de , et on note b f ( M )ds f ( M (t )) ds dt (t ) dt (où a f (M )ds le réel défini par ds dM (t ) (t ) ) dt dt Admis : Si le paramétrage est « raisonnable » (en particulier pas de points doubles autres qu’en des points isolé), cette intégrale ne dépend que de C. Généralisation : Aux arcs continus et de classe C 1 par morceaux, c'est-à-dire que est continu et il existe une subdivision a a1 a2 ... an b de [ a, b] telle que i 1, n , /[ai1 ,ai ] est de classe C 1 . (On généralise par addition…) Interprétation : s étant une abscisse curviligne, ds représente « le déplacement élémentaire sur C ». Ainsi, f ( M )ds lim n n f (M (t ))( s(t ) s(t i 1 i i i 1 )) (admis) où, pour tout i 0, n , ti a i. bna (subdivision régulière de [ a, b] ). Utilité : Exemple : un fil dont la forme est donné par la courbe paramétrée , de densité linéique p : M p( M ) (fonction continue de M) a pour masse totale II Formes différentielles sur un ouvert de R p p(M )ds . . Soit un ouvert de R p . A) Définition Une forme différentielle sur est une application de dans L(R p , R ) . Si par exemple p 3 , on sait que L(R 3 , R ) (dual de R 3 ) est un R-ev de dimension 3, dont une base naturelle est constituée des 3 projecteurs : ( x, y, z ) x , ( x, y, z ) y et ( x, y, z ) z , qu’on a notés en analyse dx, dy , dz . Ainsi, une forme différentielle sur s’écrit : Adx Bdy Cdz oùA, B, C sont 3 applications de dans R. Autrement dit : ( x, y, z ) R 3 , ( x, y, z ) A( x, y, z )dx B( x, y, z )dy C ( x, y, z )dz . On dit que est de classe C k lorsque A, B, C le sont. De même si p 2 , une forme différentielle sur un ouvert de R 2 s’écrit : Adx Bdy oùA et B sont des fonctions de dans R. Exemples : - définie par ( x, y ) R , ( x, y ) (2 x 1)dx xydy est une forme différentielle de classe C 1 sur R 2 . f f - Si f : R 2 R est de classe C 1 , alors df dx dy est une forme x y différentielle continue sur . B) Formes différentielles exactes Définition : Soit une forme différentielle continue sur . On dit que est exacte lorsqu’il existe f, de classe C 1 sur , telle que df . Autrement dit, avec p 2 par exemple : La forme différentielle définie par ( x, y ) , ( x, y ) A( x, y )dx B( x, y )dy (où A et B sont continues) est exacte si et seulement si il existe f, de classe C 1 , telle que f f ( x, y ) , A( x, y ) ( x, y ) et B( x, y ) ( x, y ) . x y C) Intégrale curviligne d’une forme différentielle le long d’une courbe Soit : [a, b] R p un arc de classe C 1 et de support C. t M (t ) On prend les notations habituelles : b On pose ( M (t ))( v (t )) dt . a Attention : F(, L(R p , R )) , ( M (t )) L(R p , R ) et ( M (t ))( v (t )) R . Autrement dit, dans le cas p 2 : Si ( x, y ) , ( x, y ) A( x, y )dx B( x, y )dy , alors : A( x(t ), y(t )).x' (t ) B( x(t ), y(t )). y' (t )dt b a Admis : Si le paramétrage est « raisonnable », cette intégrale ne dépend que de C et de l’orientation de C définie par ce paramétrage (l’intégrale est changée en son opposée si la paramétrisation inverse l’orientation de C). Lien avec les intégrales curvilignes de fonctions : b b ds ds ( M ( t ))( ( t ) T ( t )) dt ( M ( t ))( T ( t )) ( t ) dt ( M )( T ( M )) ds dt dt a a 1 On peut ici encore généraliser aux arcs continus et C par morceaux, par addition. Cas où est exacte : Théorème : Soit f : R , de classe C 1 , et soit : [a, b] R p continue et de classe C 1 par morceaux, de support contenu dans . Alors df f ( B) f ( A) , où A est le point de de paramètre a, B celui de paramètre b. En particulier, si est fermé (c'est-à-dire A B ), df 0 . Démonstration : Avec les notations précédentes, dans le cas p 2 par exemple : f f b ( x(t ), y (t )). x' (t ) ( x(t ), y (t )). y' (t ) dt f ( x(t ), y(t ))a f ( B) f ( A) a x y b dérivée en t de t f ( x ( t ), y ( t )) III Circulation d’un champ de vecteurs Soit un ouvert de R 3 , et soit F : R 3 un champ de vecteurs de classe C 0 . On a : ( x, y, z ) , F ( x, y, z ) ( X ( x, y, z ), Y ( x, y, z ), Z ( x, y, z )) Soit la forme différentielle Xdx Ydy Zdz . Alors est aussi noté F ( M ) dM , appelé circulation de F le long de . Justification, interprétation : X (M (t )).x' (t ) Y (M (t )). y' (t ) Z (M (t )).z' (t )dt b a b F ( M ) v (t ).dt a lim n n F (M (t )) M i 1 ba n i i 1 Mi Où ti a i. et M i M (ti ) . (La dernière égalité est admise, mais intuitivement claire) Ainsi, le théorème du paragraphe précédent s’écrit aussi : grad M f dM f ( B) f ( A) (circulation d’un champ dérivant d’un potentiel) où f : R est de classe C 1 .