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SUITES
Rappel : . Différents modes de génération d’une suite
* Un= f(n) : suite définie par son terme général
(on donne la fonction f)
* Un+1 = f(Un) : suite définie par récurrence
(on donne la fonction f et le premier terme, U0 le plus souvent)
* dans les exercicres, on aura aussi parfois Un = f(Vn) : suite définie à partir d’une autre
(on donne la fonction f et la suite Vn)
I. VOCABULAIRE
1. monotonie (sens de variation)
Une suite est croissante lorsque pour tout entier n, Un  Un+1
Une suite est strictement décroissante lorsque, pour tout entier , Un > Un+1
Une suite est monotone lorsqu' elle est croissante, ou décroissante
2. suite minorée, suite majorée, suite bornée
Une suite est majorée par M lorsque tous ses termes sont majorés par M cad si, pour tout entier n, Un  M
Une suite est majorée lorsqu'’il existe un réel M par lequel elle est majorée
Une suite est minorée lorsque ...
Une suite est bornée lorsqu'elle est minorée et majorée : il existe m et M tels que, pour tout n, m  Un  M
Une suite est positive lorsque tous ses termes sont positifs cad si elle est minorée par 0
Une suite est négative lorsque …
3. Suite convergente, suite divergente
Une suite est convergente (CV) lorsque elle a une limite finie : il existe un réel  tel que lim Un = 
Une suite est divergente (DV) si elle n’est pas CV :
* ou bien parce qu’elle a une limite infinie : lim Un +  ou lim Un= -  ,
* ou bien parce qu’elle n’a pas de limite (exemple : Un = (-1)n)
pb : comment prouver qu'une suite est CV ? ; comment prouver la limite d'une suite ?
4. Suites particulières : SA, SG
SA de raison r
SG de raison q
Def par récurrence
Un+1 = Un + r
Un+1 = Un × q
Expression terme général
Un = U0 + n*r
NB : Un est une fct affine de n
exemple : Un=2n+5 est une SA de
premier terme U0 = 5 et de raison 2
Un = U0 * qn
monotonie
Étudier signe de Un+1 -Un = r
Utiliser l'expression du terme
général et étudier signe de
Un+1 -Un =. .. = U0 * qn *(q-1)
limite
Utiliser l'expression du terme général
Utiliser l'expression du terme
général :
SUITES
* si -1 < q < 1 alors lim qn = 0
* si q > 1 alors lim qn = +∞
II. DÉMONSTRATION PAR RÉCURRENCE
objectif : on veut démontrer qu'une propriété (P) est vraie pour tout n
exemples de propriétés à prouver :
* « pour tout n, Un <2 » (pour démontrer que (Un) est majorée) ;
* « pour tout n, Un < Un+1 » (pour demontrer que (Un) est croissante)
* « pour tout n, Un = n 4 » (pour démontrer l'expression du terme général)
étape 1 : initialisation : on démontre que « (P) est vraie pour n=0 » (ou n=1)
étape 2 : hérédité : on démontre que « si (P) est vraie pour n=p alors (P) est vraie pour n=p+1 » :
hyp : on suppose (HR = hypothèse de récurrence) : (P) est vraie pour n=p
concl : (P) est vraie pour n=p+1
étape 3 : la propriété (P) est initialisée en n=0 et héréditaire, donc [c'est le principe de récurrence] vraie
III. LIMITE D’UNE SUITE (QUAND N TEND VERS +  )
Pb : comment prouver qu'une suite est CV ? ; comment prouver la limite d'une suite ?
1. Théorème des gendarmes
th (dem 1S) si an ≤ Un ≤ bn pour tout n
et si lim an = lim bn = 
alors lim Un = 
th (dém 1S) si Un ≥ an
et si lim an = +∞
(dem manuel p16, à adapter pour les suites)
alors lim Un = +∞
2. théorème de CV pour les suites monotones
a) énoncé
th1 ( = th de convergence monotone) (th admis)
si (Un) est croissante et majorée alors (Un) CV
rq : ceci dit que la limite sera finie : lim Un =  mais ne donne pas la valeur de cette limite  ;
on saura seulement que, si M est un majorant de (Un), alors pour tout n, Un
vérifie   M
M, donc (admis) sa limite 
th1bis si (Un) est décroissante et minorée (par m) alors (Un) CV (et sa limite  vérifie   m)
b) exemple de référence
étape1
Un de l'ex 5 est croissante et majorée par 2, donc d'après le Th CV M , elle CV : lim Un =  avec 
Calculons sa limite
étape2
on a par définition Un+1 = V(Un+2)
d'une part lim Un+1 = lim Un = 
d'autre part : lim V(Un+2) = lim V(x+2) qdx →  = V(  +2) car f est continue
donc on a nécessairement  = V(  +2)
2.
SUITES
étape3
résolvons cette équation : l² = l+2 ⇔ l²-l-2 = 0 → delta → l=2 ou l=-1
Un est une suite positive, sa limite ne peut pas être -1, sa limite est donc 2 → conclusion
c) interprétation graphique :
soit (Un) une suite récurrente convergente : Un+1 = f(Un) avec lim (Un) =l, alors l vérifie l'égalité l=f(l), ce
qui signifie que l est solution de l'équation x=f(x) , donc est l'abscisse du point d'intersection de la droite y=x
avec la RG de f.
3. Théorème de DV pour les suites monotone
th
si une suite (Un) est croissante et non majorée alors elle diverge vers + 
dem
rappel définitions
* (Un) croissante : « pour tout n , Un+1
Un »; csq : « pour tout n
N, Un
UN »
* (Un) non majorée : « Pour tout réel M, il existe un entier naturel n0 tel que Un0 > M ».
* Un diverge vers +  signifie lim Un = +∞, ce qui se caractérise par :
* tout intervalle J du type ] A ; +  [ contient toutes les valeurs Un dès que n est assez grand.
* quel que soit A, Un > A dès que n est assez grand.
* quel que soit A, il existe n0 tel que pour tout n  n0 on a Un > A.
dém Soit A un réel quelconque.

(Un) non majorée : donc A ne majore pas Un : il existe un terme Un0 tel que Un0 > A cad il existe un
entier n0 tel que Un0 > A
(Un) croissante donc pour tout entier n, Un+1  Un donc pour tout n  n0, Un  Un0

On a donc : il existe un entier n0 tel que pour tout n  n0, Un  Un0 > A
* conclusion :
On a montré que quel que soit le réel A choisi, il existe toujours un rang n0 à partir duquel tous les termes
Un sont >A, ce qui est la définition de : lim Un = + inf
th2bis si (Un) est décroissante et non minorée alors lim Un = - 
dem : si (Un) est décroissante non minorée alors Vn = - Un est croissante non majorée donc lim Vn = +inf et
lim Un = - inf
compléments sur le calcul de limite :
2. Calcul de la limite
* pour une suite Un = f(n) :
- si lim f(x) = L alors lim Un = L (L fini ou infini)
x  
n  
- limite d’un SG (voir manuel)
SUITES
lim qn =
n  
+ ∞ si q>1
1 si q = 1
0 si –1 < q < 1
pas de limite si q ≤ -1
* composée suite / fonction :
th
si lim Un = a (a fini ou infini)
n  
alors nlim
  f(Un) = b
et si lim
x a f(x) = b (b fini ou infini)
complément : définition dans le cas où la limite est finie : L =   R
* Un tend vers  quand n tend vers + 
* tout intervalle J du type ]  -h ;  +h[ contient toutes les valeurs Un dès que n est assez grand.
* quel que soit h>0,  -h < Un <  +h dès que n est assez grand.
* quel que soit h>0, il existe n0 tel que pour tout n  n0 on a  -h < Un <  +h.
Complément : suite majorée, suite non majorée
* Propriété ( P) : « La suite (un) est majorée »
Elle se traduit par la proposition: « Il existe un réel M tel que, pour tout entier naturel n, on a u n < M».
* La négation de la propriété (P) est notée (non P) ; c'est : « La suite (Un) n'est pas majorée » ; comment se
traduit-elle ?...
Examinons la structure de la proposition (P). Elle est composée de trois parties
(1)
« Il existe un élément e de l'ensemble E, tel que »
(2)
« pour tout élément f de l'ensemble F, »
(3)
« on a la propriété (A) » .
Cherchons la négation des différentes étapes.
1°/ (A) : « Un < M »
donne
(non A) : « Un> M »
2° / (B) : « pour tout élément f de l'ensemble F, on a la propriété (A) » . Ce type de proposition est appelée
proposition « universelle ».
Ici, ( B ) : « pour tout n de N, on a u,< M».
Exemple : «pour tout être humain n, son âge u,vérifie u R <_ 150 ans ». Négation
« il existe un être humain no
dont l'âge u vérifie u,,>150». Ce type de négation est appelée négation par « contre-exemple » .
D'où la formulation de (non B ) : « il existe un entier naturel n o tel que > M ».
Plus généralement, (B) : « pour tout élément f de l'ensemble F, on a la propriété (A) » , donne
non B) : « il existe un élément f de l'ensemble F, tel que (non A) »
3°/ (P) : « Il existe un élément e de l'ensemble E tel que (B) ».
Ce type de proposition est appelée proposition « existentielle ».
(non P) serait la traduction du fait que « l'on n'a pas trouvé d'élément de E vérifiant (B);
pourquoi ? Parce que, chaque fois que l'on a considéré un élément de E, il vérifiait (non B)...
Exemple: « il existe un entier naturel dont le carré se termine par 3 ».
Négation : « quel que soit l'entier naturel n, son carré ne se termine pas par 3 »
Plus généralement, (P) : « il existe un élément e de E tel que (B) »
donne (non P) : « pour tout élément e de E, on a (non B) »
Conclusion : la négation de « la suite est majorée », soit : « la suite n'est pas majorée » se traduit par la
propriété (non P) : « Pour tout réel M, il existe un entier naturel n0 tel que uti0.> M ».
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