SUITES I. GÉNÉRALITÉS 1. Différents modes de génération d’une suite * Un= f(n) : suite définie par son terme général (on donne la fonction f) les propriétés de Un dépendent de celles de la fonction f. * Un+1 = f(Un) : suite définie par récurrence (on donne la fonction f et le premier terme, U0 le plus souvent) les propriétés de Un dépendent de celles de la fonction f et du premier terme) * Un = f(Vn) : suite définie à partir d’une autre (on donne la fonction f et la suite Vn) les propriétés de Un dépendent de celles de la fonction f et de celles de Vn) 2. Suites particulières Rappels sur les suites arithmétiques, suites géométriques: voir manuel 3. monotonie (sens de variation) Suite croissante lorsque pour tout entier n, Un ≤ Un+1 Suite strictement décroissante lorsque, pour tout entier , Un > Un+1 Suite monotone lorsqu' elle est croissante, ou décroissante 4. suite minorée, suite majorée, suite bornée a) définitions Suite majorée par M lorsque tous ses termes sont majorés par M cad si, pour tout entier n, Un ≤ M Suite est majorée lorsqu'’il existe un réel M par lequel elle est majorée Suite minorée Suite bornée lorsqu'elle est minorée et majorée : il existe m et M tels que, pour tout n, m ≤ Un ≤ M Suite positive lorsque tous ses termes sont positifs cad si elle est minorée par 0 Suite négative b) suite majorée, suite non majorée * Propriété ( P) : « La suite (un) est majorée » Elle se traduit par la proposition: « Il existe un réel M tel que, pour tout entier naturel n, on a un < M» . * La négation de la propriété (P) est notée (non P) ; c'est : « La suite (Un) n'est pas majorée » ; comment se traduit-elle ?... Examinons la structure de la proposition (P). Elle est composée de trois parties (1) « Il existe un élément e de l'ensemble E, tel que » (2) « pour tout élément f de l'ensemble F, » (3) « on a la propriété (A) » . Cherchons la négation des différentes étapes en remontant: partie (3): (A) : « Un < M » a pour négation (non A) : « Un> M » parties (2)et (3): (B) : « pour tout n de N, on a u,< M» (B) est de a forme: « pour tout élément f de l'ensemble F, on a la propriété (A) » . Ce type de proposition est appelée proposition universelle . Exemple : la négation de la proposition universelle: «pour tout être humain n, son âge un vérifie un <150 ans ». est: « il existe un être humain no dont l'âge u vérifie u,,>150». Ce type de négation est appelée négation par « contre-exemple » . D'où la formulation de (non B ) : « il existe un entier naturel n o tel que u n > M ». 0 SUITES Plus généralement, (B) : « pour tout élément f de l'ensemble F, on a la propriété (A) » , a pour négation (non B) : « il existe un élément f de l'ensemble F, pour lequel on a (non A) » parties (1)+(2)+(3): (C) : « Il existe un réel M tel qu'on ait (B) ». Ce type de proposition « Il existe un élément e de l'ensemble E, tel que (B) »est appelée proposition existentielle . Sa négation serait la traduction du fait que « l'on n'a pas trouvé d'élément de E vérifiant (B); pourquoi ? Parce que, chaque fois que l'on a considéré un élément de E, il vérifiait (non B)... Exemple: « il existe un entier naturel dont le carré se termine par 3 ». Négation : « quel que soit l'entier naturel n, son carré ne se termine pas par 3 » Plus généralement, (P) : « il existe un élément e de E tel que (B) » donne (non P) : « pour tout élément e de E, on a (non B) » D'où la formulation de (nonC): « pour tout réel M, on a (non B) » Conclusion : la propriété (P): « la suite est majorée », soit : « Il existe un réel M tel que, pour tout entier naturel n, on a un < M « a pour négation la propriété (non P): « la suite n'est pas majorée » soit : « Pour tout réel M, il existe un entier naturel n0 tel que uti0.> M ». II. LIMITE D’UNE SUITE NB: la notion de limite pour une suite n'a de sens que en l'infini cad quand n tend vers + ∞ ) 1, Définitions: suite convergente, suite divergente a) Suite convergente une suite est CV si elle a une limite finie : il existe un réel tel que lim Un = définition dans le cas où la limite est finie : L = ∈ R * Un tend vers quand n tend vers + ∞ * tout intervalle J du type ] -h ; +h[ contient toutes les valeurs Un dès que n est assez grand. * quel que soit h>0, -h < Un < +h dès que n est assez grand. * quel que soit h>0, il existe n0 tel que pour tout n ≥ n0 on a -h < Un < +h. b) Suite divergente une suite est DV si elle n’est pas CV : * ou bien parce qu’elle a une limite infinie : lim Un + ∞ ou lim Un= - ∞ , * ou bien parce qu’elle n’a pas de limite (exemple : Un = (-1)n) définition dans le cas où la limite est infinie : L = + ∞ * Un tend vers + ∞ quand n tend vers + ∞ * tout intervalle J du type ] A ; + ∞ [ contient toutes les valeurs Un dès que n est assez grand. * quel que soit A, Un > A dès que n est assez grand. * quel que soit A, il existe n0 tel que pour tout n ≥ n0 on a Un > A. 2. Calcul de la limite * pour une suite Un = f(n) : lim - si xlim (L fini ou infini) → + ∞ f(x) = L alors n → + ∞ Un = L - limite d’un SG (voir manuel) lim n + ∞ si q>1 n→ + ∞ q = 1 si q = 1 0 si –1 < q < 1 pas de limite si q ≤ -1 * composée suite / fonction : th si nlim → + ∞ Un = a (a fini ou infini) SUITES alors nlim → + ∞ f(Un) = b et si lim x→ a f(x) = b (b fini ou infini) * théorèmes des gendarmes si an ≤ Un ≤ bn pour tout n et si lim an = lim bn = si Un ≥ an et si lim an = +∞ alors lim Un = (dem manuel p16, à adapter pour les suites) alors lim Un = +∞ * th (limite d’une suite bornée) (th admis) si (Un) CV, de limite (finie) : lim Un = et si (Un) est majorée par M (respectivement minorée par m) m) alors ≤ M (respectivement ≥ 3. Théorèmes de CV et de DV pour les suites monotone th1 ( = th de convergence monotone) (th admis) si (Un) est croissante et majorée alors (Un) CV rq : ceci dit que la limite sera finie : lim Un = mais ne donne pas la valeur de cette limite ; on saura seulement que, si M est un majorant de (Un), alors vérifie ≤ M (th limite d’une suite bornée th1bis si (Un) est décroissante et minorée (par m) alors (Un) CV (et sa limite vérifie ≥ m) th2 si (Un) est croissante et non majorée alors lim Un = + ∞ dem Soit A un réel quelconque. • (Un) non majorée : donc A ne majore pas Un : il existe un terme Un0 tel que Un0 > A cad il existe un entier n0 tel que Un0 > A • (Un) croissante donc pour tout entier n, Un+1 ≥ Un donc pour tout n ≥ n0, Un ≥ Un0 On a donc : il existe un entier n0 tel que pour tout n ≥ n0, Un ≥ Un0 > A * conclusion : On a montré que quel que soit le réel A choisi, il existe toujours un rang n0 à partir duquel tous les termes Un sont >A, ce qui est la définition de : lim Un = + inf th2bis si (Un) est décroissante et non minorée alors lim Un = - ∞ dem : si (Un) est décroissante non minorée alors Vn = - Un est croissante non majorée donc lim Vn = +inf et lim Un = - inf