STATISTIQUES ET PROBABILITES I) Définitions

STATISTIQUES ET PROBABILITES
I) Définitions
Définition
On appelle échantillon une liste de résultats de n expériences identiques et indépendantes.
Exemple
On lance une pièce de monnaie 20 fois. On note à chaque fois le résultat : pile ou face.
L’échantillon est {P ; P ; F ; P ; F ; F ;….}
Définition
On appelle distribution des fréquences associée à un échantillon la liste des fréquences des différentes issues
de cette expérience.
Exemple
On lance la pièce 20 fois. On obtient les résultats : 12 « pile » et 8 « face »
12
8
fréquence(pile)=
fréquence(face)=
 0, 6
 0, 4
20
20
Définition
Simuler une expérience, c’est choisir un modèle de cette expérience puis simuler ce modèle pour produire une
liste de résultats qu’on assimilera à un échantillon de cette expérience.
But : avoir des échantillons de grande taille.
Exemple
On peut simuler le lancer d’une pièce avec la calculatrice.
La commande « EntAlea » permet de donner un nombre entier compris entre deux entiers à préciser de manière
aléatoire.
La commande « EntAlea(0,1) » permet de donner un nombre entier compris entre 0 et 1 de manière aléatoire.
0  pile
On pose :
1  face
Pour le lancer de 20 pièces, on peut alors obtenir l’échantillon suivant :
Pour le lancer de 20 pièces, on obtient alors la distribution des fréquences suivantes :
Définition
On appelle fluctuation d’échantillonnage la variation des distributions des fréquences d’un échantillon à
l’autre d’une même expérience.
Remarque
Plus l’échantillon est grand, moins les fluctuations sont importantes.
II) Expérience aléatoire
Définition
Une expérience est aléatoire si on ne peut prévoir à l’avance le résultat.
Exemple
Lancé d’un dé, d’une pièce
Définition
Une éventualité est un de ces résultats possibles.
Exemple
Au lancer de dé : 1
Définition
L’univers, noté E, est l’ensemble de toutes les éventualités.
Exemple
Au lancer de dé E={1 ;2 ;3 ;4 ;5 ;6 }
Définition
Un événement A est un sous ensemble de E.
Exemple
A : « Faire 1 ou 3 »
Définition
L’événement Ā, appelé complémentaire de A, est l’ensemble des éventualités qui ne sont pas dans A.
Exemple
A : « Faire 1 ou 3 »
Ā : « Faire 2, 4, 5 ou 6 »
Définitions
A, B deux événements.
A  B , appelé « A union B » est l’ensemble des éventualités qui sont dans A ou dans B ( ou non exclusif c'està-dire dans A ou B ou les deux).
A  B , appelé « A inter B » est l’ensemble des éventualités qui sont dans A et dans B.
Exemples
A : « Faire 1 ou 3 »
B : « Faire plus de 4 »
C : « Faire moins de 4 »
A  B : « Faire 1, 3, 4, 5 ou 6 »
A  B : Ø événement impossible
A  C : « Faire 1, 2, 3 ou 4 »
A  C : « Faire 1 ou 3 »
III) Loi de probabilité
Voir activité informatique : Lancer d’un dé
Définition
On note E  x1; x2 ;...; xr  (différentes éventualités)
Exemple
E={1 ;2 ;3 ;4 ;5 ;6}
Propriété de la « loi des grands nombres »
Dans une suite de n expériences identiques et indépendantes, les fréquences f i des éventualités xi tendent vers
une valeur pi quand n augmente.
Définition
La valeur pi est appelée probabilité d’obtenir l’éventualité xi .
Exemples
Au lancer de dé, la fréquence d’apparition du 1 tend vers
On dit que la probabilité d’obtenir 1 est
1
6
1
1
.ou P(« Obtenir 1 ») = .
6
6
Au lancer d’une pièce, P(« Obtenir face ») =
1
.
2
Définition
On appelle loi de probabilité P associée à l’expérience aléatoire la donnée des valeurs p1 ,..., pr
Exemple
Lancer d’un dé
xi
pi
1
2
3
4
5
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
xi
1
2
pi
1
2
1
2
Somme
des pi
1
Somme
des pi
1
Lancer d’une pièce
Propriétés
Une probabilité est toujours un nombre compris entre 0 et 1.
La somme de toutes les probabilités vaut 1.
IV) Probabilité d’un événement
Définition
A un événement.
La probabilité que A se réalise, notée P(A), est la somme des probabilités des éventualités qui sont dans A.
Exemples
1 1 2 1
  
6 6 6 3
1 1 1 3 1
P(« obtenir plus de 4 »)= P4  P5  P6     
6 6 6 6 2
P(« obtenir un 2 ou un 3 »)= P2  P3 
Propriété
P(Ā)=1-P(A)
P( A  B )=P(A)+P(B)-P( A  B )
V) Equiprobabilité
Définition
On dit qu’il y a équiprobabilité lorsque toutes les éventualités xi ont la même probabilité. On parle aussi de loi
équirépartie.
Exemple
dé non pipé ; pièces équilibrées ; tirage au hasard…
Propriété
P( A) 
Quand la loi est équirépartie :
nombre d'éléments de A
nombre d'éléments de E
Exemples
On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes
 loi équirépartie
4 1
P(« tirer un roi »)= 
32 8
P(« tirer un cœur »)=
8 1

32 4
VI) Dénombrement
1) Arbre
Exemple
Une agence de voyage propose un circuit découverte des grandes capitales européennes : Paris en France,
Londres en Angleterre, Madrid en Espagne et Bruxelles en Belgique. On appelle P, L, M, B ces 4 capitales.
Pour définir un circuit , on suppose que chaque site est visité, mais ne l’est qu’une fois. On tient aussi compte
de l’ordre des visites. Par exemple : P, L, M,B est différent de L, P, B, M.
1) Pour trouver le nombre de circuits différents, on fera un arbre.
2) Combien y a-t-il de circuits commençant par Paris ?
3) Combien y a-t-il de circuits où les visites de Madrid et Londres ne se suivent pas immédiatement ?
2) Tableau
Exemple
2 lancers successifs d’une pièce
P(« au moins une fois pile »)=
3
4
1er lancer
2eme
lancer
P
F
P
F
PP
FP
PF
FF