Nom : _______________________________________ Groupe : _____________ 1 Date : ________________ Manuel de l’élève, volume 1, p. 94 FACTORISATION Factoriser une expression algébrique consiste à l’écrire sous la forme d’un produit de facteurs. Ex. : Forme développée Forme factorisée Facteurs 1) 3xy 6x 2y 4 (3x 2)(y 2) 3x 2 et y 2 2) ax 3x ay 3y (x y)(a 3) x y et a 3 3) 8mn 10m 12n 15 (2m 3)(4n 5) 2m 3 et 4n 5 Il existe diverses méthodes pour factoriser une expression algébrique. 1. Mise en évidence double Factoriser une expression algébrique par cette méthode consiste à : 1. regrouper les termes ayant un facteur commun ; Dans l’expression ab 6 3b 2a, ab et 2a ont a comme facteur commun et 3b et 6 ont 3 comme facteur commun. Ex. : On écrit alors : ab 2a 3b 6. a(b 2) 3(b 2) 2. mettre le facteur commun en évidence dans chacun des groupes ; 3. mettre le facteur commun aux deux termes en évidence. a(b 2) 3(b 2) (b 2) (a 3) Le résultat peut être validé en développant la forme factorisée à l’aide de la propriété de la distributivité de la multiplication sur l’addition ou la soustraction. Ex. : 1) Le facteur b 2 est commun aux deux termes. (b 2)(a 3) b a b 3 2 a 2 3 ab 2a 3b 6 2xy 4 x 3y 6 2x y 2 3y 2 y 22x 3 2) 4a 2 b 8ab 6a 12 4aba 2 6a 2 a 24ab 6 15 Nom : _______________________________________ 2.3 Groupe : _____________ Date : _______________ Manuel de l’élève, volume 1, p. 95 2. Différence de deux carrés Cette méthode permet de factoriser une expression algébrique de la forme a 2 b 2. Ce type de polynôme peut être factorisé en appliquant le modèle suivant : a2 b2 (a b)(a b) Ex. : 1) Puisque 36x 2 y 2 (6x)2 (y)2, les facteurs de l’expression algébrique 36x 2 y 2 sont donc 6x y et 6x y. 2) Puisque 4a2 9b6 (2a)2 (3b3)2, les facteurs de l’expression algébrique 4a2 9b6 sont 2a 3b3 et 2a 3b3. 3) Il est possible de déterminer une expression algébrique qui correspond à la mesure de chacune des diagonales du losange ci-contre de la façon suivante. Puisque 16a2 25 correspond à une différence de carrés : D d 4a 54a 5 2 2 Les expressions algébriques correspondant à la mesure des diagonales du losange sont donc 4a 5 et 4a 5. Aire 3. Trinôme carré parfait Cette méthode permet de factoriser une expression algébrique de la forme ax 2 bx c, où a 0, c 0 et b 2 a c . Ce type de polynôme peut être factorisé de la façon suivante. 1. Vérifier si le trinôme possède les caractéristiques d’un carré parfait. Ex. : Dans l’expression x 2 8x 16 : 1 0, 16 0 et 8 2 1 16 . 2. Déterminer si les facteurs sont des sommes ou des différences selon le signe du terme médian. Puisque le terme médian est positif, chacun des facteurs correspond à une somme. x 2 8x 16 (......)2 3. Déterminer les facteurs. • •x 2 est le carré de x. • •16 est le carré de 4. Les facteurs sont donc x 4 et x 4 ou (x 4)2. Ex. : 1) L’expression 9a 6 12a 3 4 est un carré parfait puisque 9 0, 4 0 et 12 2 9 Puisque le terme médian est négatif, chacun des facteurs correspond à une différence. 4. Puisque 9a 6 (3a3)2 et que 4 22, les facteurs sont donc 3a3 2 et 3a3 2 ou (3a3 2)2. 2) Il est possible de déterminer une expression algébrique qui correspond à la mesure de chacun des côtés du carré ci-contre de la façon suivante. Puisque 36m 2 60m 25 correspond à un trinôme carré parfait : Aire c 2 (6m 5)2. L’expression algébrique correspondant à la mesure d’un côté du carré est donc 6m 5. 16 Nom : _______________________________________ Groupe : _____________ 1 Date : ________________ Manuel de l’élève, volume 1, p. 96 MANIPULATION D’EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES 4. Division d’un polynôme par un binôme La division d’un polynôme par un binôme peut s’effectuer en divisant par étapes successives le polynôme par le binôme. À chacune des étapes, il s’agit de choisir le terme du quotient de façon à annuler le terme de plus haut degré dans le polynôme à diviser. Ex. : 1) (3x 2 5x 2) (x 2) 2) Ainsi : (3x 2 5x 2) (x 2) 3x 1 (5x 2 15x 5) (x 2) Lorsqu’il y a un reste différent de 0, on l’indique en le posant sur le diviseur, ainsi : (5x 2 15x 5) (x 2) 5x 5 5 x 2 5. Expressions rationnelles Une expression rationnelle est une expression de la forme P dans laquelle P et Q sont Q des polynômes et où Q 0. 1 3x 1 x y 1 , et sont des expressions rationnelles. L’expression n’est définie que si x 0, x x 2 x 1 xy tandis que l’expression n’est définie que si x 1. x 1 Ex. : Les expressions On peut générer des expressions rationnelles équivalentes en multipliant le numérateur et le dénominateur d’une expression par une même quantité différente de 0. 4 4x 4 4x x et sont des expressions équivalentes puisque . x 3 x x 2 3x x 3 x 2 3x Ces expressions ne sont définies que si x –3 et x 0. Ex. : Les expressions Il est possible de réduire une expression rationnelle lorsque le numérateur et le dénominateur ont au moins un facteur en commun. On élimine alors le ou les facteurs communs du numérateur et du dénominateur en supposant pour chacun qu’il n’est pas égal à 0. Ex. : Ces égalités sont vraies si x 0 et x 1 . 2 17 Nom : _______________________________________ 1 Groupe : _____________ Date : _______________ Manuel de l’élève, volume 1, p. 97 6. Opérations sur les expressions rationnelles Les opérations sur des expressions rationnelles s’effectuent en appliquant les mêmes règles que celles utilisées pour les opérations sur des nombres écrits sous la forme de fractions. L’addition et la soustraction d’expressions rationnelles nécessitent la recherche d’expressions équivalentes ayant le même dénominateur. Ex. : 1) 1 4 1 8 9 . 2x x 2x 2x 2x Ces égalités sont vraies si x 0. 2) 3 4 3y 4 3y 4 . x xy xy xy xy Ces égalités sont vraies si x 0 et y 0. Pour multiplier des expressions rationnelles, on multiplie les numérateurs ensemble et les dénominateurs ensemble. Ex. : 1) Ces égalités sont vraies si x 0. Pour diviser des expressions rationnelles, on multiplie la première fraction par l’inverse de la seconde. Ex. : 1) Ces égalités sont vraies si x 0 et y 3. Voici une situation impliquant des opérations sur les expressions rationnelles et le rectangle ci-contre. Ex. : 1) Il est possible de déterminer une expression algébrique réduite correspondant au périmètre du rectangle ci-dessus de la façon suivante. Périmètre 2h 2b x 2 2x 1 1 2 2 2 x x 2x 2x 1 1 x x 2x 2 1 x 2x 1 x L’expression algébrique réduite correspondant 2x 1 au périmètre du rectangle est donc , x si x 0 et x 1. 2) Il est possible de déterminer une expression algébrique réduite correspondant à l’aire du rectangle ci-dessus de la façon suivante. Aire b h x 2 2x 1 1 x2 x 2x x 1 1 x 2x x 1 2x 2 L’expression algébrique réduite correspondant x 1 à l’aire du rectangle est donc , 2x 2 si x 0 et x 1. 18