II) Topologie des espaces métriques.

Topologie
Notion de topologie générale. Topologie des espaces métriques, des espaces
vectoriels normés et des espaces préhilbertiens. ............................................ 3
I)
Structure topologique. Ensembles ouverts et fermés. ........................... 3
II)
1)
2)
3)
Topologie des espaces métriques. ........................................................ 3
Topologie associée à une distance. .................................................. 3
Topologie associée à une norme. .................................................... 4
Topologie associée à un produit scalaire. ........................................ 5
III)
Voisinages. ...................................................................................... 5
IV)
Intérieur et adhérence. .................................................................... 6
V)
Point d’accumulation. Point isolé. ....................................................... 8
VI)
Comparaison de topologies ............................................................. 8
VII)
Sous espaces topologiques .............................................................. 8
VIII)
Espaces topologiques produits et espaces métriques produit. ........ 9
IX)
Parties et applications bornées ..................................................... 10
Suites dans un espace métrique. Espace métrique complet. ....................... 11
I)
Suites convergentes ............................................................................ 11
II)
Suites de Cauchy ................................................................................ 12
III)
Espaces complets .......................................................................... 12
Limites et continuité. ...................................................................................... 15
I)
Limites. ............................................................................................... 15
II)
Continuité........................................................................................... 16
III)
Continuité et continuité uniforme dans les espaces métriques. ..... 18
IV)
Un théorème du point fixe. ............................................................ 19
Espaces métriques compacts ......................................................................... 21
I)
Espaces métriques compacts. ............................................................. 21
II)
Parties compactes d'un espace métrique ........................................... 21
Index des notions ............................................................................................ 23
Notion de topologie générale. Topologie
des espaces métriques, des espaces
vectoriels normés et des espaces
préhilbertiens.
I) Structure topologique. Ensembles
ouverts et fermés.
Def (ouvert) : Sur un ensemble E. une structure topologique (ou
topologie) est définie par la donnée d'une famille de parties de E
appelées ouverts de E vérifiant les propriétés suivantes :
1. L'ensemble E et la partie vide sont des ouverts.
2. Toute réunion d'ouverts est un ouvert.
3. Toute intersection finie d'ouverts est un ouvert.
Un ensemble E muni d'une topologie, définie par une famille T
d'ouverts, est appelé espace topologique, noté E, T  (ou E quand
aucune confusion n'est à craindre quant à la topologie considérée
sur E). Ses éléments sont appelés points.
Rq : Une intersection non finie d’ouverts n’est pas toujours un
ouvert.
Def (fermé) : Soit E, T  un espace topologique, une partie F de E
est dite fermée si son complémentaire est ouvert.
Propriétés des fermés :
- L'ensemble E et la partie vide sont fermés.
- Toute intersection de fermés est un fermé.
- Toute réunion finie de fermés est un fermé.
Rq : Une réunion non finie de fermés n’est pas toujours un fermé.
II) Topologie des espaces métriques.
1) Topologie associée à une distance.
Def (distance) : Une distance sur un ensemble E est une
application d : E 2  R  vérifiant :
x, y   E 2 d x, y   d  y, x 
x, y, z  E 3 d x, z   d x, y   d  y, z 
x, y   E 2 d x, y   0  x  y
E, d  est dit être un espace métrique.
Def (boule) : Soit E, d  un espace métrique, a  E et r  R* .
Ba, r   x  E d a, x  r s'appelle boule ouverte de centre a et
de rayon r.
~
B a, r   x  E d a, x   r s'appelle boule fermée de centre a et
de rayon r.
~
Rq : B pour la boule fermée n’est pas une notation universelle.
Propriété des boules :
~
Si 0  r1  r2 alors Ba, r1   B a, r1   Ba, r2  .
Def et prop (ouvert de E, d  ) : Soit E, d  un espace métrique.
On appelle ouvert de E, d  toute partie A de E telle que tout point
de A est centre d'une boule ouverte contenue dans A. Les ouverts
ainsi définis sont ceux d'une topologie sur E, dite topologie
associée à la distance d. Les boules ouvertes sont des ouverts et
les ouverts sont exactement les réunions de boules ouvertes.
L'espace topologique ainsi défini est encore noté E, d  .
2) Topologie associée à une norme.
Def (norme) : Une norme sur un K-espace vectoriel E (K = R ou
C) est une application  de E dans R  vérifiant :
- , x  K  E
- x, y   E
- x  E
2
x    x
x y  x  y
x  0  x  0E
E,   est dit être un espace vectoriel normé. C'est un espace
métrique pour la distance associée d définie par :
x, y   E 2 d x, y   x  y
3) Topologie associée à un produit
scalaire.
Def (produit scalaire) : Un produit scalaire sur un K-espace
vectoriel E (K = R ou C) est une application   de E 2 dans K qui
est :
1. linéaire par rapport à la première variable (pour
tout y  E , l'application x  x y  est linéaire)
2. symétrique dans le cas où K  R (pour
tout x, y   E 2 x y   y x )
3. à symétrie hermitienne dans le cas où K = C (pour
tout  x, y   E 2 x y    y x  )
4. définie positive (pour tout x  0
x x  0 )
E,   est dit être un espace préhilbertien.
Prop : Soit E,   un espace préhilbertien. On a, pour
tout x, y   E 2 ,
1. x y   x x   y y  (inégalité de Cauchy-Schwarz)
2
2. x y   x x   y y  si et seulement si x et y sont liés
2
Prop : Un espace préhilbertien E,   est un espace vectoriel
normé pour la norme associée  définie par :
x  E
x 
x x
L'inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit alors x y   x  y
III)
Voisinages.
Def (voisinage) : Soit E, T  un espace topologique et x0  E . On
appelle voisinage de x0 toute partie de E qui contient un ouvert
contenant x0 .
On notera V x0  l'ensemble des voisinages de x0 .
Propriétés de V x0  :
1. V x0  n'est pas vide.
2. V V x0  W  PE  V  W  W V x0 
3. V1 ,V2   V x0 
2
V1 V2 V x0 
Def (base de voisinage) : Soit E, T  un espace topologique et
x0  E ; on dit qu'une partie Bx0  de V x0  est une base de
voisinages de x0 si elle vérifie :
V  V x0  B  Bx0  B  V .
Prop : Pour qu'une partie d'un espace topologique soit un ouvert il
faut et il suffit qu'elle soit un voisinage de chacun de ses points.
Prop : Soit E, d  un espace métrique. Pour tout point x de E, les
boules ouvertes de centre x forment une base de voisinages de x.
Def (espace séparé) : Un espace topologique E, T  est dit séparé
si, quels que soient les points x et y de E distincts, il existe un
voisinage de x et un voisinage de y sans points communs.
Prop : La topologie d'un espace métrique est séparée.
Prop : Dans un espace topologique séparé, toute partie finie est
fermée.
IV)
Intérieur et adhérence.
Def (intérieur, adhérence) : Soit une partie A d'un espace
topologique E, T  .
La réunion de tous les ouverts contenus dans A est un ouvert

appelé intérieur de A, noté A : c'est le plus grand ouvert (au sens

de l'inclusion) contenu dans A. Un point de A est dit intérieur à A.
L'intersection de tous les fermés contenant A est un fermé appelé
adhérence de A, noté A : c'est le plus petit fermé (au sens de
l'inclusion) contenant A. Un point de A est dit adhérent à A.
Si B est une partie de E, contenant A, A est dite dense dans B
si B  A . En particulier B est dense dans E si B  E .
Propriétés des intérieurs et des adhérences :

1. A  A  A


2. A  B  A  B et A  B



3. A  A A  A
4. A fermé  A  A

5. A ouvert  A  A


c
6. A  Ac
c

7.  A   Ac
 
Prop : Soit A une partie d'un espace topologique E, T 
1. Un point x de E est intérieur à A si et seulement s'il
existe un voisinage de x inclus dans A.
2. Un point x de E est adhérent à A si et seulement si, pour
tout voisinage V de x, V  A  Ф.
Prop : Soit A une partie d’un espace topologique E, T  . Un point
x de E est adhérent à A si et seulement si toute partie d’une base
de voisinage de x rencontre A.
Cor : Soit E, d  un espace métrique. Un point x de E est adhérent
à une partie A de E si et seulement si, pour toute boule ouverte B
de centre x, B  A  Ø.
Prop :
Soit A une partie d’un espace topologique E, T  . A est partout
dense dans E si et seulement si tout ouvert non vide de E
rencontre A.
V) Point d’accumulation. Point isolé.
Def (point isolé, point d’accumulation) : Soit A une partie d’un
espace topologique et x un point de A .
On dit que x est un point isolé de A s’il existe un voisinage V de x
tel que V  A  x.
On dit que x est un point d’accumulation de A si, pour tout
voisinage V de x, V  A  x
Rq : - les points adhérents sont soit des points isolés, soi des
points d’accumulation.
- Si x est un point isolé de A, il appartient à A.
Prop : Soit x un point d’accumulation d’une partie de A d’un
espace topologique séparé. Tout voisinage de x contient une
infinité de points de A.
VI)
Comparaison de topologies
Def (plus fine) : Sur un ensemble E, une topologie T1 est plus fine
qu’une topologie T2 si T2  T1 .
Def (distances équivalentes, normes équivalentes) : Deux
distances d1 et d 2 définies sur le même ensemble E, sont dites
équivalentes s’il existe deux nombres α et β strictement positifs
tels que :
x, y   E 2 d1 x, y     d2 x, y  et d2 x, y     d1 x, y 
Deux normes  1 et  2 définies sur le même ensemble E, sont
dites équivalentes s’il existe deux nombres α et β strictement
positifs tels que : x  E x 1    x 2 et x 2    x 1
Prop : Deux distances (ou deux normes) équivalentes définissent
la même topologie.
VII)
Sous espaces topologiques
Prop et Def (topologie induite, sous-espace topologique) : Soit
E, T  un espace topologique et A une partie de E.
TA  A  U U  T  défini une topologie sur A appelée topologie
induite sur A et  A, TA  est appelé sous espace topologique de
E, T  .
Prop : Soit E, T  un espace topologique et A un ouvert de E, T  .
Les ouverts de la topologie induite sur A sont les ouverts de E, T 
contenus dans A.
Prop : Soit  A, TA  un sous-espace topologique de E, T  .
1. Tout fermé de  A, TA  est de la forme A  F où F est
un fermé de E, T  .
2. Pour tout x et A, tout voisinage de x dans  A, TA  est de
la forme A  V où V est un voisinage de x dans E, T  .
Def et Prop (distance induite) : Soit A un sous-ensemble non vide
d’un espace métrique E, d  , la restriction de d à A2 est une
distance sur A que l’on appelle distance induite sur A par la
distance d sur E. L’espace métrique  A, d  ainsi défini est le sousespace (au sens topologique) de l’espace métrique E, d  .
VIII) Espaces topologiques produits
et espaces métriques produit.
Prop et Def (topologie produit, espace topologique produit) :
Soient E1 ,T1  et E2 ,T2  deux espaces topologiques.
La famille T des réunions quelconques des pavés O1  O2 où
O1  T1 et O2  T2 , définit sur E1  E2 une topologie appelée
topologie produit et E1  E2 , T  est appelé espace topologique
produit.
Prop et Def (produit de deux espaces métriques) : Soient E1 , d1 
et E2 , d 2  deux espaces métriques.
On définit sur E1  E2 des distances équivalentes d , d  et d  en
posant, pour tout couple de points x  x1 ,x 2  et y   y1 , y2 
de E1  E2 ,
d x, y   max d1 x1 , y1 , d 2 x2 , y2 
d x, y   d1 x1 , y1   d 2 x2 , y2 
d x, y   d1 x1 , y1   d 2 x2 , y2 
2
2
L’espace métrique E, d  est dit produit des deux espaces
métriques E1 , d1  et E2 , d 2  .
La topologie définie sur E1  E2 par d , d  ou d  et la topologie
produit des topologies définies sur E1 par d1 et sur E2 par d 2
sont identiques.
Rq : d , d  et d  sont équivalentes.
d x, y   d x, y   2  d x, y   2  d x, y 
IX)
Parties et applications bornées
Def (partie bornée, diamètre d’une partie, application bornée) :
Une partie A d’un espace métrique E, d  est dite bornée si les
distances des points de A à un point fixe a  E sont majorées par
un nombre fini ce qui équivaut à ce que le diamètre   A de A,
défini par   A  sup d x, y  , est fini.
 x , y A2
Une application f d’un ensemble A dans un espace métrique
E, d  est dite bornée si f  A est bornée.
Rq : La définition est indépendante du choix de a.
Suites dans un espace métrique. Espace
métrique complet.
I) Suites convergentes
Def (suite convergente, limite d’une suite) : On dit qu’une suite
xn nN de points d’un espace topologique E converge vers un
 a ou lim xn  a ) si :
point a  E (et on note xn 
n 
n 
V V a  N  N n  N xn V
a s’appelle la limite de la suite.
Prop : Une suite de points d’un espace topologique séparé (en
particulier un espace métrique) a au plus une limite.
Prop : Une suite xn nN de points d’un espace métrique E, d 
converge vers un point a si et seulement si la suite d a, xn nN
converge vers zéro dans R.
Prop : Soient E1 , d1  et E2 , d 2  deux espaces métriques. Pour
qu’une suite de points zn  xn , yn , n  N , de E1  E2 soit
convergente, dans le produit des deux espaces métriques, il faut et
il suffit que les deux suites xn nN et  yn nN soient convergentes
et alors :
lim xn , yn   lim xn , lim yn
n 

n 
n 

Def (suite extraite) : Une suite extraite d’une suite xn nN est une
suite  yn nN où yn  xqn , qn nN désignant une suite strictement
croissante d’entiers.
Autre formulation : Une suite extraite d’une suite xn nN est une
suite  yn nN où yn  x n  ,  étant une application strictement
croissante de N dans N.
Def (valeur d’adhérence) : Soit xn nN une suite dans un espace
topologique E. a  E est dite valeur d’adhérence de la suite si :
V  V a  n0  N
n  n0
xn V
Prop : Soit xn nN une suite de points d’un espace métrique
E, d  . a  E est valeur d’adhérence de la suite si et seulement
s’il existe une suite extraite qui converge vers a.
Prop : Soit A une partie d’un espace métrique E, d  , pour que a
appartienne à A il faut et il suffit que a soit limite d’une suite de
points de A.
Cor : Soit A une partie d’un espace métrique E, d  . A est
l’ensemble des limites des suites convergentes de points de A.
Cor : Soit A une partie d’un espace métrique E, d  , pour que A
soit fermée il faut et il suffit que les limites de suites convergentes
de points de A appartiennent à A.
II) Suites de Cauchy
Def (suite de Cauchy) : Dans un espace métrique E, d  une suite
xn nN de points de E est dite de Cauchy si :
  0 n0  N p  n0 q  n0 d x p , xq   
Autre formulation :
  0 n0  N p  n0 n  N d x p , x p n   
Prop : Dans un espace métrique
1. toute suite convergente est de Cauchy.
2. toute suite de Cauchy est bornée.
III)
Espaces complets
Def (espace complet) : Un espace métrique est dit complet si toute
suite de Cauchy y est convergente.
Une partie d’un espace métrique est dite complète si c’est un
espace complet pour la distance induite.
Un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet.
Un espace hilbertien (ou espace de Hilbert) est un espace
préhilbertien complet.
Prop : Dans un espace métrique toute partie complète est fermée.
Dans un espace métrique complet toute partie fermée est
complète.
Prop : Tout produit fini d’espaces complets est complet.
Cor : R n est complet.
Prop : Deux distances équivalentes sur un même espace E donnent
lieu aux mêmes suites de Cauchy et aux mêmes suites
convergentes, de plus si E est complet pour l’une il est complet
pour l’autre.
Limites et continuité.
Les espaces topologiques considérés dans ce chapitre sont
supposés séparés.
I) Limites.
Def et Prop (limite) : Soit E et F deux espaces topologiques, A une
partie de E, f une application de A dans F, a  A et b  F .
On dit que b est limite de f x  quand x tend vers a dans A (et on
écrit lim f x   b ou f x  x
 b )si :
a
x a
x A
xA
W  V b V  V a f V  A  W
Si cette limite existe, elle est unique et égale à f a  lorsque
a A.
Autres formulation :
W  V b  V  V a  f V  A  W
 W  V b  V  V a  x V  A f x  W
 W  V b  V  V a  x V  A  f x  W
Prop : Soit E et F deux espaces topologiques, f une application
d’une partie A de E dans F, a  A et b  F .
lim f x   b équivaut à :
x a
x A
1. si E, d  est un espace métrique
W  V b   0 x  A d x, a    f xW
2. si F ,   est un espace métrique
  0 V  V a x V  A    f x, b  
3. si E, d  et F ,   sont des espaces métriques
  0   0 x  A d x, a      f x, b  
Rq : 1) Si F est métrique, alors
lim f x   b  lim   f x , b   0
x a
x A
x a
x A
Dans la proposition précédente, on peut remplacer les inégalités
strictes par des inégalités larges.
Prop : Soit E, F, G trois espaces topologiques, f une application
d’une partie A de E dans F, B une partie de F contenant f  A , g
un application de B dans G, a  A , b  B et c  G .
Si f x  x
 b et g  y  
 c e alors g  f x  
 c .
a
y b
x a
xA
yB
xA
Prop : Soit E, F1 , F2 trois espaces topologiques et f   f1 , f 2  une
application d’une partie A de E dans F  F1  F2 . On a :
f x    f1 x , f 2 x  
 l  l1, l2   f1 x  
 l1 et
x a
x a
x A
f 2 x  
 l2 .
xa
x A
x A
II) Continuité
Def : Soit f une application d’un espace topologique E dans un
espace topologique F.
On dit que f est continue en un point a de E si f x  tend vers
f a  quand x tend vers a dans E, c'est-à-dire :
W  V  f a V  V a f V   W
On dit que f est continue si f est continue en chaque point de E.
Rq : f continue en a
def
 f x  
 f a 
x a
 W  V  f a  V  V a  f V   W
 W  V  f a  V  V a  x V f x W
 W  V  f a  V  V a  x V  f x W
Prop : Soit f une application d’un espace topologique E dans un
espace topologique F.
f est continue en un point a de E si et seulement si l’image
réciproque de tout voisinage de f a  est un voisinage de a.
Prop : Soit f une application d’un espace topologique E dans un
espace topologique F.
Les propositions suivantes sont équivalentes
1. f est continue.
2. Pour tout U ouvert de F, f 1 U  est un ouvert de E.
3. Pour tout Ω fermé de F, f 1   est un fermé de E.
Rq : L’image d’un ouvert (resp. d’un fermé) par une application
continue n’est pas toujours un ouvert (resp. un fermé).
Prop : Soit f une application d’un espace topologique E dans un
espace topologique F.
f est continue si et seulement si chaque point a de E possède un
voisinage Va tel que la restriction de f à Va soit continue.
Prop : Soit E, F, G trois espaces topologiques et les applications
f : E  F et g : F  G .
1. Si f et g sont continues respectivement au point a  E et
au point f a F alors g  f est continue au point a.
2. Si f et g sont continues, alors g  f est continue.
Prop : Si xn nN est une suite de points d’un espace topologique
E qui converge vers un point a et si f est une application de E dans
un espace topologique F continue en ce point a, alors la suite
 f xn nN converge vers f a  .
Prop : Soit E, F1 et F2 trois espaces topologiques. Soit
f   f1 , f 2  une application de E dans F1  F2 . f est continue en
un point de E si et seulement si f1 et f 2 le sont.
Prop : Soit E1 , E2 et F trois espaces topologiques et f une
application continue de E1  E2 dans F. Alors, pour tout point x2
de E2 , les applications partielles f , x2  de E1 dans F et, pour
tout point x1 de E1 , les applications partielles f x1 , de E1 dans
F sont continues.
Rq : La continuité des applications partielles ne suffit pas toujours
à la continuité de l’application.
Def (homéomorphisme) : Soit f une application d’un espace
topologique E dans un espace topologique F. On dit que f est un
homéomorphisme si f est une bijection et si f et f 1 sont
continues. E et F sont alors dits homéomorphes.
III)
Continuité et continuité
uniforme dans les espaces
métriques.
Prop : Soit E, d  et F ,   deux espaces métriques et f une
application de E dans F. f est continue en un point a de E si et
seulement si :
  0   0 x  E d x, a      f x, f a  
Rq : f continue en a  lim   f x , f a   0
n
Prop : Soit E, d  et F ,   deux espaces métriques et f une
application de E dans F.
Une condition nécessaire et suffisante pour que f soit continue en
un point a de E est que pour toute suite xn nN de points de E
tendant vers a, la suite  f n x nN tende vers f a 
Def (uniformément continue) : Soit E, d  et F ,   deux espaces
métriques et une application f de E dans F. f est dite uniformément
continue si:
  0   0 x, y   E 2 d x, y       f x , f  y   
Prop : Une application uniformément continue est continue.
Def (application lipschitzienne, isométrie) : Soit E, d  et F ,  
deux espaces métriques et une application f de E dans F. f est dite
lipschitzienne de rapport k si:
x, y   E 2   f x , f  y   k  d x, y 
f est dite une isométrie si f est bijective et si
x, y  E 2   f x , f  y   d x, y 
Prop : Une application lipschitzienne (ou une isométrie) est
uniformément continue.
Prop : Soit E, d  un espace métrique, et a appartenant à E. Les
applications suivantes sont lipschitziennes
1. x  d a, x de E dans R
2. x, y   d x, y  de E 2 dans R
IV)
Un théorème du point fixe.
Th et Def (point fixe) : Soit E, d  un espace métrique complet et
f une application de E dans lui-même. Si f est lipschitzienne dans
un rapport strictement inférieur à 1 ( f est dite contractante), alors
il existe un point a de E unique tel que f a   a (un tel point est
appelé point fixe de f) et ce point est limite de toute suite xn nN
de premier terme quelconque et vérifiant la relation de récurrence
xn1  f xn  .
Espaces métriques compacts
I) Espaces métriques compacts.
Def (compact) : Un espace topologique E est dit compact s'il est
séparé et s'il vérifie la propriété suivante (dite de BorelLebesgue) :
De tout recouvrement ouvert de E on peut extraire un
recouvrement fini.
Rq : R n’est pas un compact.
Th : Un espace métrique E, d  est compact si et seulement s'il
vérifie la propriété suivante (dite de Bolzano-Weierstrass) :
De toute suite de points de E on peut extraire une suite
convergente.
Prop : Un espace métrique compact est complet.
Théorème de Heine : Toute application continue d'un espace
métrique compact dans un espace métrique est uniformément
continue.
Prop : Le produit de deux espaces métriques compacts est un
espace compact.
II) Parties compactes d'un espace
métrique
Def (partie compacte) : Soit E un espace topologique, une partie A
de E est dite compacte si c'est un compact pour la topologie
induite.
Def (partie compacte) : Soit E, d  un espace métrique. Une partie
A de E est dite compacte, si et seulement si, de toute suite
d'éléments de A on peut extraire une suite convergente dans A.
Prop : Soit E, d  un espace métrique.
1. Toute partie compacte de E est fermée et bornée.
2. Si E est compact, toute partie fermée de E est compacte.
Index des notions
adhérence
Topol ................ 7, 8, 9, 14
application bornée
Topol ............................ 12
application symétrique
CDO ............................... 5
bornée
Topol ...................... 12, 15
boule
Topol .......................... 4, 9
diamètre d’une partie
Topol ............................ 12
distance
CDO, Topol ... 4, 5, 10, 11,
12, 15
distance induite
Topol ...................... 11, 15
distances équivalentes
Topol ................ 10, 11, 15
espace complet
Topol ............................ 15
espace séparé
Topol .............................. 7
espace topologique produit
Topol ............................ 11
fermé
Topol .......... 3, 4, 8, 11, 19
intérieur
Topol .......................... 7, 8
limite
Topol .......... 13, 14, 17, 21
limite d’une suite
Topol .......... 13, 14, 17, 21
norme
CDO, Topol ................ 5, 6
normes équivalentes
Topol ............................. 10
ouvert
Topol .... 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10,
19
partie bornée
Topol ............................. 12
point d’accumulation
Topol ............................... 9
point isolé
Topol ............................... 9
produit de deux espaces
métriques
Topol ............................. 11
produit scalaire
CDO, Topol .................... 5
sous-espace topologique
Topol ............................. 10
suite convergente
Topol ........... 13, 14, 15, 19
suite de Cauchy
Topol ................... 6, 14, 15
suite extraite
Topol ....................... 13, 14
topologie induite
Topol ............................. 10
topologie produit
Topol ....................... 11, 12
voisinage
Topol ....... 6, 7, 8, 9, 11, 18